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規(guī)律探索及新定義問題（原卷版）

【考點歸納】

二、考點02圖形類規(guī)律--------------------------------------------------------------------------6

二、考點03點的坐標規(guī)律-----------------------------------------------------------------------11

考點01數式類規(guī)律

一、考點01數式類規(guī)律

1，2,3,5,……，這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數

的前2024個數中，奇數的個數為（）

A.676B.674C.1348D.1350

2.（2024?重慶?中考真題）烷燒是?類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的

分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6

個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個

數是（）

,/內淬*

①②③④

A.20B.22C.24D.26

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式加：。/*+為_/-+…+qx+%,其中〃…為自然數，.為正整

數，且〃…Tq+/=5.下列說法：

①滿足條件的整式獻中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式破仃且只有3個；

③滿足條件的整式融共有16個.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

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4.（2022?西藏?中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數據：-三，二，一V911

，.…則按此規(guī)

52172637

律排列的第10個數是（）

19

A.jB.---C.上Dc?1—21?

W18.2

5.（2022?內蒙古?中考真題）觀察下列等式：?爐=1，加7'=49，7,=343，74=240b

75=16807,…根據其中的規(guī)律可得7°+7、L+72022的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

6.（2023?四川巴中?中考真題）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖

表給出了①+與"展開式的系數規(guī)律.

(。+與°=1

11(a+b)'=a-￥b

121(4+6)2=d+2ab+b2

1331(a+bY=a3+3/b+3ab2+b3

當代數式/一12丁+54%2一108x+81的值為1時，貝iJx的值為（）

A.2B.-4C.2或4D.2或-4

7.（2。23,山東?中考真題）已知一列均不為I的數卬5弓…，/滿足如下關系：&=詈1+。2

1一&

1+q1+a

a4=-.--'…'4”二上，若%=鶯則%>23的值是（）

1Q.

1B，1

A.---C.-3D.2

2

8.（2024?云南?中考真題）按一定規(guī)律排列的代數式：察，歌甥，屯的酸,6/,L,第〃個代數式是（）

A.2xnB.(n-[)xnC.nxD.(〃+l)x"

9.（2023?云南?中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：a,亞丸GWW府，…，笫〃個單項式是（）

B.，〃二la"1D.yjnan1

10.（2023?西藏?中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式副，8。2,：1譚，眄^,….則按此規(guī)律排列的第〃

個單項式為..（用含有〃的代數式表示）

11.（2023?黑龍江大慶?中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖

所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角

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1(a+b)i=Q+b

11(a+b)2=〃+2"+加

121

133(a+=〃+3八+3協(xié)+分

14641

(a+b)4=a4+4a3b^-6a2b2+4ab3+b4

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規(guī)律，（4+少展開的多項式中各項系數之和為

12.（2023?內蒙古?中考真題）觀察下列各式:

請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：5+§2+…+,*0=______.

13.（2024?四川成都?中考真題）在綜合實踐活動中，數學興趣小組對盛這〃個自然數中，任取兩數之和

大于〃的取法種數％進行了探究.發(fā)現(xiàn)當魏二公時，只有｛L2｝一種取法,即自印,：當我u3時,有｛1,3｝和｛2,3｝

兩種取法，即屹=著當下=4時,可得北=4;……若港口卷則左的值為；若〃=24,則%的值

為.

14.（2023?山東聊城?中考真題）如圖，圖中數字是從1開始按箱頭方向排列的有序數陣.從3開始，把位

于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：（3,5）；（7,10）；（13,17）；⑵,26）；（31,37）…如

果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請寫出第〃個數

對：.

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

15.（2024?江西?中考真題）觀察”，，筋，第，根據這些式子的變化規(guī)律，可得第10。個式子

為.

357

16.（2022?湖南?中考真題）有一組數據：q二―9=9q—，

1x2x322x3x433x4x5

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（1）依據小亮測量的數據，寫出y與x之間的函數表達式，并說明理由：

（2）若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過28.8cm，求此時碗的數量最多為多少個？

21.（2024?安徽?中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為（X,y均為自

然數）”的問題.

（1）指導教師將學生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（〃為正整數）：

腐奇數4的倍數

：1=13-024r警一胸

軟二警隹口筍一單

5-妙一呼12二承一公

表示結果

于MT*16=52-32

您=解一a。*)

LL

一般結論2n-\-n2-(n-i'f?fel"_____

按上表規(guī)律，完成下列問題：

（i）24=（）2-（）2；

（ii）物=；

（2）興趣小組還猜測：像2610,14…這些形如4簌一2（〃為正整數）的正整數建不能表示為/—V",y均

為自然數）.師生一起研討，分析過程如下：

假設4〃-2=工2-爐，其中右歹均為自然數.

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分下列三種情形分析：

命若X，y均為偶數，設x=2上y=2加，其中怎加均為自然數，

則x2-y2=（22）2_（24=4付一/）為4的倍數.

而^一@不是4的倍數，矛盾.故X，V不可能均為偶數.

②茗x,y均為奇數，設工二2左干1，y=2m+l,其中“，〃均為白然數,

22

貝I，一/=（2%+1）-（2m+l）=為4的倍數.

而輸一，不是4的倍數，矛盾.故乂歹不可能均為奇數.

③若X，y一個是奇數一個是偶數，則犬-/為奇數.

而自耀一2是偶數，矛盾.故X，歹不可能一個是奇數一個是偶數.

由①@③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

考點02圖形類規(guī)律

二、考點02圖形類規(guī)律

22.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正

方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數為

23.（2024?重慶?中考直題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形,第②個圖案

中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中,

菱形的個數是（）

A.20B.21C.23D.26

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24.（2024?黑龍江牡丹江?中考真圾）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個

圖有4個三角形.第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個圖

中三角形的個數是（）

△

△△△△

△△△△△△△

△△△△△△△△△

第1個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

25.（2023?重慶?中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個圖案中有2個圓圈,第②個圖案

中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個

圖案中圓圈的個數為（）

OOOO8O

OoOOOOOOOOO

OOOO?O

(O⑵⑶

A.14B.20C.23D.26

26.（2023?重慶?中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，

第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列

下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（）

9S□COO<XCO…

①②③④

A.39B.44C.49D.54

27.（2022,江西?中考真題）將字母"C"y’按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去,則第4個圖形中字母

的個數是（）

HHHHHH

—

—

I—II

CCC

C-C-C---

—

—

I—II

HHHHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

中考破考工題

28.（2023,黑龍江綏化?中考真題）在求1+2+鼾……4MM的值時，發(fā)現(xiàn)：1+1儂=11?,2+99=101……

從而得至通+2+爭+…+蛭。=101/50二505D.按此方法可解決下面問題.圖（1）有I個三角形，記作

蟠=1：分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2）,有5個三角形，記作嵋=強再分別連接圖（2）中間的

小三角形三邊中點得到圖（3）,有9個三角形，記作q=%按此方法繼續(xù)下去，則

29.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如'花朵”

形的美麗圖案，他們將等腰三角形08。置于平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點8的坐標為（1,0）,

點C在第一象限，/O8C=120。.將△O8C沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與.'?軸重合，第

一次滾動后，點。的對應點為口’，點C的對應點為仃，OC與O'C'的交點為4,稱點4為第一個'花朵”的

花心，點4為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△08C滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”

的花心的坐標為.

aBcx

30.（2023?山西?中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中有4

個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有1（）個白色圓

片，…依此規(guī)律，第〃個圖案中有個白色圓片（用含〃的代數式表示）

31.（2023?湖北十堰?中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小

菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第〃個圖案需要火

柴棍的根數為（用含〃的式子表示）.

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32.（2024,青海?中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個圖案中有個火柴

33.（2022?山東聊城?中考真題）如圖，線段&-2，以為直徑畫半圓，圓心為％,以44為直徑畫半

圓①；取的中點4，以44為直徑畫半圓②；取48的中點晶，以44為直徑畫半圓③…按照這樣的

規(guī)律畫下去，大半圓內部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為.

34.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“?！焙桶匆欢ㄒ?guī)律擺成的“小屋子按照此規(guī)律繼

續(xù)擺下去，第個“小屋子'中圖形“?！眰€數是圖形“?”個數的3倍.

O

OOO

oooOOO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOO

OOoOOOOOOOO

OOOOOO

OOOOOOOO

OOOOOO

)

(2⑸

35.（2024?四川涼山?中考真題）閱讀下面材料,并解決相關問題:

下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行,其中第一行有1個點，第二行有2個點……第〃行有〃個點

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容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數之和為10.

(I)探索：=角點陣中前8行的點數之和為,前15行的點數之和為.那么?前〃行的點數之和

為______

(2)體驗：三角點陣中前〃行的點數之和(填“能”或“不能”)為500.

(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第〃排制盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

36.(2024?江蘇鹽城?中考真題)發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有〃個籽，每列有4個籽，

行二相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(〃，左均為正整數，n>k>^4>0)，如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

方■案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為，共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

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■三三”加［1…心

圖1圖2圖3

37.（2023?安徽?中考真題）【觀察思考】

◎?*?

◎?*??**@

?*??*?*??*?*?*??*?*?

第1個圖案第2個圖案第3個圖案笫4個圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含〃的式子填空：

（1）第〃個圖案中“◎”的個數為二

⑵第1個圖案中“★”的個數可表示為已，第2個圖案中“★”的個數可表示為上，第3個圖案中的個

22

數可表示為第4個圖案中“★”的個數可表示為誓......第〃個圖案中“★”的個數可表示為

【規(guī)律應用】

⑶結合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數〃，使得連續(xù)的正整數之和M■四*…分翅等于第〃個

圖案中的個數的2倍.

考點03點的坐標規(guī)律

三、考點03點的坐標規(guī)律

38.（2024?河北?中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于。的

點稱為'和點將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數為

0時，向右平移；當余數為I時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移I個單位長度.

例："和點”0（2,1）按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達點八（2,2）,其平移過程如下：

/）（2,1）工>1\（3,P2（3,2）上->乙（2,2）

余0余1余2

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若“和點按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點06（-1，9）,則點。的坐標為（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15,-7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.舀中戈億1）

39.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數7=9-3/+31-1的圖象，發(fā)現(xiàn)它

關干點（1,0）中心對稱.若點4（01,乂），4（02%），4（03%），……，4KL9,%），4。（2,必。）都在函

數圖象上，這里。個點的橫坐標從0」開始依次增加0.1,則%+%+%+……+%+為）的值是（）

40.（2023?遼寧阜新?中考真題）如圖，四邊形。相。是正方形，曲線C?。3c4G…叫作“正方形的漸開線”,

其中至，家,qq,加，…的圓心依次按。，力，B,q循環(huán).當由二1時，點舔的坐標是（）

A.（-1,-2022）B.（-2023,1）C.（-1,-2023）D.（2022,0）

41.（2024?山東?中考真題）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以

2.反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環(huán)圈1-4-2-1,這就是，冰雹猜想”.在平面直

角坐標系XQV中，將點（XJ）中的X，V分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，其中

X,y均為正整數.例如，點（4?）經過笫1次運算得到點（3,10）,經過笫2次運算得到點（10,5）,以此類

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推.則點U用經過2024次運算后得到點

42.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知4（1,—石），4卜,-萬），4（4,0），4（6,0）,4（7,百）,

4（9詢,"（I。，。），4（U,叫…,依此規(guī)律，則點44的坐標為

正方形OMNP頂點M的坐標為

（3,0）,△048是等邊三角形，點4坐標是（1,0）,z/MB在正方形OMVP內部緊靠正方形。朋的邊（方向

為。做無滑動滾動，第一次滾動后，點力的對應點記為4，4的坐標是

（2,0）：第二次滾動后，4的對應點記為4，4的坐標是（2,0）；第三次滾動后，內的對應點記為盤恁的

坐標是（3只萬一；如此下去,

，則4024的坐標是.

44.（2024?四川廣安?中考真題）己知，直線/:^二當工―孚與X軸相交于點力,以。4為邊作等邊三角形

。44,點片在第一象限內，過點用作X軸的平行線與直線/交于點4,與^軸交于點G，以￡；4為邊作等

邊三角形。；4與（點躡在點髭的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形G4與等邊三角形。34小一,

則點@24的橫坐標為.

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45.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形/也打。］,3c2,《B/G，

44四。4,…都是平行四邊形，頂點麋，垓.篷,為，禺，…都在工軸上，頂點（；，C,.G，6,…都

在正比例函數上不（工注0）的圖象上，且也G=2&G，a。2=246，4c3=24（;,...,連接4打,

4

4",4",…，分別交射線。&干點&,心，備、魚，…，連接Q4，024,0,4,…，得

到八。出打，A0即3,AO3/4B4……若4（2,0）,打（3,0），4（3,1）,則AO2023@24B2024的面積

縱坐標均為整數的點按如下規(guī)律依序排列:

(0,0),(1,0),M(2,0),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),。除僅今弧霞…

按這個規(guī)律，則嘉扉是第個點.

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考點04新定義問題

四、考點04新定義問題

47.（2024?河北?中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘

法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發(fā)，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運算結果為

3036.圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現(xiàn)有數據進行推

6

I

V

6

圖2

A.“20”左邊的數是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運算結果小于6000D.運算結果可以表示為4100。+1025

48.（2023?內蒙古?中考真題）定義新運算'、?',規(guī)定：a0b=a2-\b\,則（-2）⑥（-1）的運算結果為（）

A.-5B.-3C.5D.3

49.（2022?四川巴中?中考真題）對于實數a,力定義新運算：冰b二卅-b，若關于X的方程1刈二%有兩

個不相等的實數根，則4的取值范圍（）

A.融洽上B.C.小》-上且女/0D.初冷一二且女工0

4444

50.（2024?四川眉山?中考真題）定義運算：a^b=（a+2^）（a-b）,例如4③3=（4+2x3）（4-3）,則函數

y=（x+l）⑥2的最小值為（）

51.（2024?甘肅?中考真題）定義一種新運算*,規(guī)定運算法則為：m^n=mn-mn（加，〃均為整數，且

加工0）.例：2*3=2,-2x3=2，則（一2）*2二

a1-6(?<0)

52.（2024?廣東廣州?中考真考）定義新運算：a③b=，例如：一2⑥4=(—2)2-4=0,

-a+b(a>0)

2?3=-2+3=1.若X?.-2，則X的值為.

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53.（2023?湖南懷化?中考真題）定義新運算：（。力）?,4）=g+〃，其中。，b，C，”為實數.例如：

（1,2）-（3,4）=lx3+2x4=ll.如果（2x,3）?（3,f=3,那么x=.

54.（2022?湖南長沙?中考真題）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大.保密性強、追蹤性高等特點，

它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經展現(xiàn)出無窮威

力.看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼.根據相關數

學知識，這200個方格可以生成a?00個不同的數據二維碼，現(xiàn)有四名網友對2?°°的理解如下：

（永遠的神）：220°就是20（）個2相乘，它是一個非常非常大的數；

皿切。（懂的都懂）：220°等于2郵；

JA70（覺醒年代）：22°°的個位數字是6；

0GY%（強國有我）：我知道2付=1024,lO=lOOO,所以我估計220°比1O60大.

其中對2?00的理解錯誤的網友是（填寫網名字母代號）.

55.（2022?浙江寧波?中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數。，b,。⑥力=1十］若

ah

2x+l

（X+1）0X=±±11,則x的值為.

x

56.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）對于實數a,