第十六章二次根式

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：9（）分鐘；總分：1（）0分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）

1.（23-24八年級上?上海楊浦?期中）的一個有理化因式是（）.

A.a-4bB.Ja+4bC.y/a+2yfbD.y[a—2xfb.

2.（23-24八年級上?上海松江?期中）若等式0=（八『成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<0

3.（23-24七年級下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知點和點8卜后6）關(guān)于x軸對稱，則a+力的值是

（）

A.5/2+B.V2—y/3C.—^2-y/3D.—^2+y/3

4.（23-24八年級上?上海徐匯?階段練習(xí)）若4r工7=_4/7音，則X的取值范圍是（）

A.x<0B.x>-4C.-4<x<0D.x<-4

5.（23?24七年級下?上海浦東新?期中）在引入無理數(shù)的時候，我們把兩個邊長都為1的正方形，剪拼成了

一個邊長為正的正方形，類似的，若正方形/8CO的邊長為2,4。長為則下列說法中正選的有（）

①?？梢杂脭?shù)軸上的一個點來表示；

②3<a<4；

③q=2&;

④7^"=a；

⑤。是有理數(shù).

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.（2023九年級?北京?專題練習(xí)）如果加+〃「夜=0,那么代數(shù)式（竺1+1）的值是（）

nVm

A.&B.272C.V2+1D.V2+2

二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）

7.（23-24八年級上?上海奉賢?期中）斤于=_____

8.（22-23九年級上?吉林長春?期末）若使代數(shù)式許有意義，則x的取值范圍是.

9.（23-24八年級匕上海徐匯?期中）2々+3近的有理化因式是—.

10.（23-24八年級上?上海寶山?期中）若最簡二次根式石與病工是同類二次根式，則

11.（23-24九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如果a+J/—6a+9=3成立，那么實數(shù)。的取值范圍

12.（23?24七年級下?上海?階段練習(xí)）計算：2V3+1V3-（V3）'=.

74-r

13.（23-24八年級下?上海浦東新?階段練習(xí)）如果代數(shù)式r與傷的值相等，那么代數(shù)式「的值為______

2—x

14.（23-24七年級下?上海?階段練習(xí)）已知x+』=JF,那么x-』二

xx

15.（23-24八年級下?江西南昌?階段練習(xí)）把（m-1中根號前的（加-1）移到根號內(nèi)得到的結(jié)果

是_________

2

16.（2024?上海徐匯?三模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，X/-3AT+1=

17.（23-24七年級下?上海徐匯?期中）如圖，如果正方形座戶G的面積為6,正方形,49c。的面積為正方形

BEFG的面積的2倍，則AGCE的面積是.

18.（22-23八年級上?上海虹口?階段練習(xí)）已知,20221,2021'則

x6-2V202TX5-X4+x3-2j2022x?+2x-J2022的值為.

三、解答題（本大題共7小題，共64分）

啦+

19.（23-24七年級下?上海?階段練習(xí)）計算：^^64+75x720-1)°

20.（23-24八年級上?上海青浦?期中）已知》飛3=5+2正求『+?！?了的值

21.（23-24七年級下?上海?期中）已知實數(shù)入滿足|2006-4+L-2007=*求q-20062的值.

22.（23-24七年級下?山東臨沂?期中）有兩個十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳，他們善于將所做的題目進(jìn)行

歸類，下面是他們的探究過程.

⑴解題與歸納：

①小明摘選了以下各題，請你幫他完成填空.—；VF=—；病=—；而=

7^7=一；7^7=一；

②歸納：對于任意數(shù)。，有。=:

③小芳摘選了以下各題，請你幫她完成填空.（4）2=—；（5）2=—;（后）2=一:（V36）2=

酒）2=：（Vo）2=:

④歸納：對于任意非負(fù)數(shù)4,有（向2=一

（2）應(yīng)用：根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論，解答問題.

數(shù)~6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：后一后一瓜Ffg）'

T圓'旗—

23.（17/8八年級下?全國?單元測試）觀察下列各式及驗證過程：口1=』R

V232V3

驗證朋JmR，

（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃（〃為任意的自然數(shù)，且”22）表示的等式，并給出證明.

24.（23-24七年級下?上海嘉定?期中）閱讀下列解題過程:

I/(8/)-aZ7n

E7一(島”)(6-石廠(扃_(4「:

1一川n")瓜飛_R有

娓+亞(巫+非)(巫-布)(>/6)-(>/5)

請回答下列問題：

(1)觀察上面的解題過程，請直接寫出式子：/\=(〃>2).

(2)利用上面所提供的解法，請化簡：

11111

----------4-------------------1------------------1-----------------p...-|--------------------

V2+1V3+V2V4+V3V5+V4M+5

(3)模仿上面所提供的解法，試一試化簡：

J]]]]]

1+V56+33+V13屈+對V17+V2T6+5.

25.(23?24八年級上?上海閔行?階段練習(xí))閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù).形如土2〃，

如果你能找到兩個數(shù)〃?、〃，使〃/+//=〃，且〃〃?=6,則可變形為

，/+〃2±2也〃=J(M±〃)2=帆±4從而達(dá)到化去一層根號的目的.

例如化簡J5—2布，???5=3+2且6=3x2,

：*—2娓“(6_&丫二百-夜.

(1)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：次+2岳=^J=.

(2)而工店能化為最簡二次根式，求正整數(shù)〃?的最小值和最大值.

(3)化簡：“-岳+，7+35

第十六章二次根式

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：90分鐘；總分：1（）0分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）

1.（23-24八年級上?上海楊浦?期中）的一個有理化因式是（）.

A.\/a—4bB.da+4bC.y/a+2yfbD.y[a—2xfb.

【答案】A

【分析】根據(jù)有理化因式的定義即可解答；掌握兩個根式相乘的積為有理數(shù)成為解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：>ja-4bx&-4b=a-4b,

???\/ci-4b的一個有理化因式是y/u-4b.

故選A.

2.（23-24八年級上?上海松江?期中）若等式右式右丫成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.?！?B.a>0C.a<0D.a<0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?等式C=成立，

A>0,

故選：B.

3.（23-24七年級下?上海浦東新?階段練習(xí)）己知點力和點網(wǎng)關(guān)于x軸對稱，則a+b的值是

（）

A.5/2+5/3B.5/2—5/3C.—V2—>/3D.—\/2+5/3

【答案】C

【分析】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo).根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐

標(biāo)互為相反數(shù)，可得4、6的值，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：?.?點，4卜,正）和點耳-"6）關(guān)于x軸對稱，

?**a=-V3，

：?a+b=—\/2—y/3>

故選：C.

4.（23-24八年級上,上海徐匯?階段練習(xí)）若肝二？=一&｝，則x的取值范圍是（）

A.x<0B.x>-4C.-4<x<0D.x<-4

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利川了二次根式的性質(zhì).根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),

二次根式的值是非負(fù)數(shù)，可得答案.

【詳解】解：VX3+4X2=-Xy/x-^4：

.-.x<0,x+4>0；

解得：-4<x<0；

故選：C.

5.（23-24七年級下?上海浦東新?期中）在引入無理數(shù)的時候，我們把兩個邊長都為1的正方形，剪拼成了

一個邊長為血的正方形，類似的，若正方形力8c。的邊長為2,/1C長為。，則下列說法中正飾的有（）

①?？梢杂脭?shù)軸上的一個點來表示；

②3<“<4；

③1二2萬

④=a；

【答案】B

【分析】本題考查了無理數(shù)、實數(shù)與數(shù)軸、二次根式的性質(zhì)、元理數(shù)的估算，根據(jù)題意得出NC=q=2&，

即可判斷③；由2夜為無理數(shù)，可以用數(shù)軸上的一個點來表示即可判斷①⑤；估算出2V人<3即可判斷

②，由二次根式的性質(zhì)即可判斷④，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：，??把兩個邊長都為1的正方形，剪拼成了一個邊長為友的正方形，

.??邊長為1的正方形的一條對角線的長為0,

,??類似的，若正方形48CO的邊長為2,力。長為。，

.?/C=a=2&，故③正確；

2&為無理數(shù)，可以用數(shù)軸上的一個點來表示，故①正確，⑤錯誤；

???2點=際，>/4<78<5/9,

.?.2<我<3,即2<〃<3,故②錯誤：

?;。=26>0,《20=26,

.?.后=a，故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，共3個，

故選：B.

6.（2023九年級?北京?專題練習(xí)）如果加+/〃-垃=0,那么代數(shù)式（型二+1）+%孝的值是（）

m~nr

A.V2B.2V2C.V2+1D.V2+2

【答案】A

【分析】先進(jìn)行分式化簡，再把/■+〃?=&代入即可.

?、訃E,2w+l.、W+1

【詳解】解：（——+1）+—T

mm

2m+\+m:m+\

2

=-（w--+-1-）----加-3-

m2w+1

2

=m+mt

,:n/+m-&=0,

：.nr+m=?

二原式=y/2?

故選:A.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）

7.（23-24八年級上?上海奉賢?期中）心可=_____

【答案】3

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵.

由“^二時即可作出求解.

【詳解】解：卮7=k3|=3,

故答案為：3.

8.（22-23九年級上?吉林長春?期末）若使代數(shù)式環(huán)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】x<2

【分析】本題考杳了二次根式有意義的條件以及一元一次不等式，根據(jù)被開方數(shù)大于等于零列出不等式即

可求解.

【詳解】解：由題意得：2-x>0

解得：x<2

故答案為：x<2.

9.（23-24八年級上?上海徐匯?期中）2指+3近的有理化因式是—.

【答案】2指-3&/-3拒+2"

【分析】本題考查了有理數(shù)因式的定義，根據(jù)“如果兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含

有二次根式，就說這兩個非零代數(shù)式互為有理化因式“，即可解答.

【詳解】解：《2#+3&）9卡-3&）

=卜甸：卜甸2

=24-18

=6,

.??2、石+3行的有理化因式是2"-35/?,

故答案為：2a-3五.

10.（23-24八年級上?上海寶山?期中）若最簡二次根式瘍石與病工是同類二次根式，則〃=.

【答案】I

【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.利用同類二

次根式的定義列出關(guān)于。的方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???最簡二次根式歷M與后工是同類二次根式，

???24+5=8-4，

二。=1,

故答案為：1

11.（23-24九年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如果〃+〃2一6〃+9=3成立，那么實數(shù)”的取值范圍.

【答案】?<3

>0

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)c=|o,〃=o,即可求解.

-a,a<0

【詳解】解：a+da2-6a+9=3變形得，"（a-3），=3—a,

?e.a-3<0,

a<3,

故答案為：a<>3.

【點睛】本題主要考查二次根式的性膜，理解并掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（23-24七年級下?上海?階段練習(xí)）計算：26+；石百了=.

【答案】—口一之叢

22

【分析】此題主要考查了二次根式的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，再

計算二次根式的加減得出答案.

【詳解】解：2百十g石一（石）’

=2也J6-3百

2

="—5/3.

2

故答案為：二6

2

2+v

13.（23-24八年級下?上海浦東新?階段練習(xí)）如果代數(shù)式r與而的值相等，那么代數(shù)式「的值為_____.

2—Y

【答案】1

【分析】本題二次根式的有意義的條件、求代數(shù)式的值，先根據(jù)代數(shù)式-X與傷的值相等得出x=0,代入

計算即可得出答案，求出x=0是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?病有意義，

3x>0,病20,BPx>0,

???代數(shù)式-X與后的值相等，

-X>0,-X=y/3x

解得：x=0,

2+x2+0?

------=-------=1,

2-x2-0

故答案為：1.

14.（23?24七年級下?上海?階段練習(xí)）己知x+』=JF,那么.

xx

【答案】i3

【分析】

直接利用完全平方公式得出，+4=in進(jìn)而得出工-」的值.

此題主要考查了二次根式的化簡求值以及完全平方公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：門+'=后，

X

+=13,

H—7+2=13,

rt—=11,

X——

故答案為：±3.

【答案】—

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)及二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求解,

熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得:

\-m

得：1-Z7J>0,

/.zn-1<0,

故答案為：一\1"m.

16.（2024?上海徐匯?三模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，O2-3.ry+l=

【答案】號-

【分析】本題考查因式分解，二次根式的乘法，熟練掌握公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)題

意，利用十字相乘因式分解.

[詳解】解：x2y2-3xy+1

=（9，『-3切+

17.（23-24七年級下?上海徐匯?期中）如圖，如果正方形8EEG的面積為6,正方形48co的面積為正方形

BEFG的面積的2倍,則AGCE的面積是.

【答案】3V2-3/-3+3V2

【分析】根據(jù)題意易得正方形的面積為12,則有BE=BG=巫,BC=瓦=2百,然后可得

C￡=2>/3-76,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：由題意得：正方形188的面積為12,

BE=BG=a,BC=^=2>[i,

???CE=2#-布,

??.S,GC￡=；CE.8G=；X(2b一網(wǎng)x后二3五一3：

故答案為3a-3.

【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用及實數(shù)的混合運算，熟練掌握正方形的面積公式及實數(shù)的運算是

解題的關(guān)鍵.

八年級上?上海虹口?階段練習(xí))已知x=J2022：j2021

18.(22-23則

x6-2>/202TX5-X4+2J2022J+2x-,2022的值為

【答案】V2021

【分析】先對已知條件進(jìn)行化簡，再依次代入所求的式子進(jìn)行運算即可.

【詳解】解：vx=1

V2022-V202I

.x=「產(chǎn):三_=際+"

(V2022-V202I)(72022+V2021)

.■./-25/202TX5-x4+/-2V2022X2+2x-V2022

=(72022-V2021).v-x4+-2>/2022x2+2x-V2022

=(V2022-V2021)(72022+A/2021)x4-x4+-2V2022x2+2x->/2022

=.?-A-4+/-2>/2022X2+2X-72022

=x：1-2V2022x:+2x-V2022

=r(x-2V2022)+2x-V2022

=r(V2021-V2022)+2x-V2022

=M：J2021+&022)(j2021-j2022)+2x-j2022

=-x+2.t->/2022

=x-V2022

=^02l

故答案為：V2021

【點睛】本題考查了二次根式的億簡求值，解題的關(guān)鍵是逐步把x=05五-兩代入所求式子進(jìn)行化簡求

值.

三、解答題(本大題共7小題，共64分)

/■、12

19.(23-24七年級下?上海?階段練習(xí))計算：?石+石x而+(72+1)°

【答案】3

【分析】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)以及零指數(shù)第的性質(zhì)、二次根式的乘法、立方根的性質(zhì).先

根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、二次根式的乘法、立方根的性質(zhì)化簡，再合并，即可求解.

【詳解】解：石口+石x儷-(_gy+(0+i『

=-4+75x20-4+1

=-4+10-4+1

=3.

20.(23-24八年級上?上海青浦?期中)已知X=3-20'正求『+k+/的值

【答案】35

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值和整式的混合運算，首先利用分母有理化求出工和y的值，然后求

出了+尸6,xy=\t然后將利用完全平方公式變形為(x+y)2-k，然后代入求解即可.熟練學(xué)

握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

13十2拒.今仄1_3-20

【詳解】?..'=』=（3-20）62&）=3+2.=3-272

3+2-72（3+20）（3-20）

?e.x+^=3+2>/2+3—2V2=6,XV=（3+2>/2）（3—2>/2）=1,

???x2+xy+y2

=x2+2xy+y2-xy

=(x+y)2-xy

=62—1

=35.

21.(23-24七年級下?上海?期中)已知實數(shù)“滿足|2()06-4+4-2007=a,求q-20062的值.

【答案】2007

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解法巧妙，先求出。的取值范圍然后去掉絕對信號是解題的

關(guān)鍵，也是本題的突破口.根據(jù)被開方數(shù)大于等于0可以求出,然后去掉絕對值號整理，再兩邊平

方整理即可得解?.

【詳解】解：根據(jù)題意得，a-2007>0,

解得a22007,

???原式可化為：a-2006+7a-2007=a,

即Ja-2007=2006,

兩邊平方得a-2007=20062，

.??"20062=2007.

故答案為2007.

22.（23-24七年級下?山東臨沂?期中）有兩個十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳，他們善于將所做的題目進(jìn)行

歸類，下面是他們的探究過程.

⑴解題與歸納：

①小明摘選了以下各題，請你幫他完成填空.—;療=—:病=一;而=—;

7^7=一；7^7=一；

②歸納：對于任意數(shù)〃，有。=:

③小芳摘選了以下各題，請你幫她完成填空.（">=—；（附『=—；（岳——；（A/=—:

（國2=.（Vo）2=；

④歸納：對于任意非負(fù)數(shù)。，有（向2=

（2）應(yīng)用：根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論，解答問題.

數(shù)力在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：后-后-麻時

【分析】本題考查了數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)的正確和靈活運用;

（1）①根據(jù)要求直接計算即可;

②艱據(jù)①的計算歸納即可;

③艱據(jù)要求直接計算即可；

④艱據(jù)③的計算歸納即可;

(2)先由數(shù)軸得，少0,進(jìn)而可得。>0,a-b<0,根據(jù)(1)的公式直接代入計算即可;

【詳解】(1)①正=2赤=5府=6；府=0；/(-3)2=|—3l=3；J(-6)2=|-6|=6,

故答案為：2,5,6,0,3,6；

②對于任意的數(shù)m有"=同，

故答案為:1。|;

③⑷'=4；㈣2=9；(岳j=25；(>/36)2=36；(V49)2=49；(珂=0,

故答案為：4,9,25,36,49,0；

④對于任意非負(fù)數(shù)%有(向2=“，

故答案為：a；

(2)由數(shù)軸得，a(0,b)0,b>a

:.b-a>0,a-b<0,

y/cT->[b~~J(a-by-(y[b-~a)'

=|tf|-|6|-|a-Z>|-(Z)-a)

23.(17-18八年級下?全國?單元測試)觀察下列各式及驗證過程:

驗證

4

驗證

4

(1)按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想會的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證.

⑵針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃(〃為任意的自然數(shù)，且”22)表示的等式，并給出證明.

【答案】⑴叱

,驗證見解析

,驗證見解析

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì).此題是一個找規(guī)律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右

兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式.

（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)"二白色之。），把根號內(nèi)的移到根號外;

（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般.表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內(nèi)的分子、分

母之間的關(guān)系可得：3島一+）=^丫心+2）.

【詳解】（1）

驗證:

,4x5x6

I5

^4X52X6

5

⑵1(J_____!_)=_|

V”〃+1〃+2〃+1丫〃(〃+2)

跖E：J-(—-----匚)

丫〃〃+1〃+2

1

、〃(〃+1)(〃+2)

1In+\

~”+|[”（〃+2）?

24.（23-24七年級下?上海嘉定?期中）閱讀下列解題過程:

1/n

吊》一（布+刊心一"）-（可一㈣2r";

1I4#-6）V6-V5r-氏

7^7?一標(biāo)+用即一司-（網(wǎng)2_（碼2-V7.

請回答下列問題:

（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出式子：4+4+廣（〃之2）.

（2）利用上面所提供的解法，請化簡：

11111

6+1G+0V4+V3正+CM+W

（3）模仿上面所提供的解法，試一試化簡：

---1-+-1----+1;+―;-1+—1+—1

]+6V5+33+V13V13+s/l7717+72?回+5，

【答案】（1）疝1一冊

⑵疝-1

（3）1

【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的加減計算:

（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；

（2）根據(jù)（1）所求裂項，然后根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可；

（3）先分母有理化得到r=二一二匹口;現(xiàn)一3,據(jù)此裂項求解即可.

V4/Z-3+yJ4n+14

]

【洋解】（1）解:4n+J〃+l

y]n+\—y[n

{yfn+J〃+1)(J〃+l一冊)

、/〃+1_yfii

n+]-n

=、〃+1-yfn，

故答案為：yjn+\-y/n;

11111

(2)解:百1+后正+斥方+而石+…+而環(huán)

=\2—1+Vs—5/2+5/4—y/3+…+x/To->/9

=V10-l;

(3)解：>」?

-3+J4〃+1

_y/4n+I—J4〃—3

(—4〃-3+-J4n+1)(J4n+I-J4〃-3)

、/4〃+1--3

4〃+1-4n+3

、/4〃+174n-3

:--------------,

4

1]]