冪的乘方與積的乘方人教版八年級上冊復(fù)習(xí)回顧am

·an(a·a·…·a)n個a=(a·a·…·a)m個a=a·a·…·a(m+n)個a=am+n冪的意義:a·a·…·an個aan=同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)：am

·an=am+n（m,n都是正整數(shù)。）

使學(xué)生經(jīng)歷探索積的乘方的過程，掌握積的乘方的運算法則.

能利用積的乘方的運算法則進(jìn)行相應(yīng)的計算和化簡.

掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點素養(yǎng)課標(biāo)要求

地球、太陽可以近似地看作球體.太陽的半徑是地球的倍，太陽的體積約是地球的倍怎么讀呢？屬于什么運算呢？該怎么計算呢？地球太陽冪的乘方的法則(較簡單的)知識點1根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)填空23=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021023個102相乘乘方的意義2223個2相加同底數(shù)冪乘法性質(zhì)23乘法的意義2323=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3算式結(jié)果觀察算式和結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？規(guī)律根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)填空=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021023個102相乘乘方的意義2223個2相加同底數(shù)冪乘法性質(zhì)23乘法的意義23=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3算式結(jié)果冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相加.猜想m3mnmn觀察算式和結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？？=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021023個102相乘乘方的意義2223個2相加同底數(shù)冪乘法性質(zhì)23乘法的意義23=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)填空規(guī)律算式結(jié)果冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相加.m3猜想mnmn我探究，我收獲.=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021022222323=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3m3性質(zhì)mnmn（m,n都是正整數(shù).）我探究，我收獲=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021022222323=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3性質(zhì)mnmn（m,n都是正整數(shù).）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.我探究，我收獲.=

×

×

=10

+

+

=10

×

.

1021021022222323=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑ2ɑ2ɑ22222323m3=

×

×

=ɑ

+

+

=ɑ

×

.

ɑmɑmɑmmmmm3性質(zhì)mnmn（m,n都是正整數(shù).）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(am)n冪的乘方法則(am)n=amn

(m，n都是正整數(shù).)即冪的乘方，底數(shù)______，指數(shù)＿_(dá)_＿.不變相乘=am·am·am…amn個am=am+m+…+mn個m證明猜想

冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

m·n=.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方的異同：(m)n=

.

說一說

aa

aaam+n

mn相同點不同點運用對比運算種類公式法則中運算計算結(jié)果底數(shù)指數(shù)同底數(shù)冪乘法冪的乘方乘法乘方不變不變指數(shù)相加指數(shù)相乘am·an

=am+n

我應(yīng)用，我展示.練習(xí)×6+5判斷對錯，如果有錯，如何改正？—2

例

計算：解:(1)(103)5

=103×5

=1015；(2)(a2)4

=a2×4=a8；(3)(am)2

=am·2=a2m；(3)(am)2；(4)–(x4)3

=–x4×3=–x12.(1)(103)5

；

(2)(a2)4；(4)–(x4)3；(6)[(–x)4]3.(5)

[(x+y)2]3；(5)[(x+y)2]3=

(x+y)2×3

=(x+y)6；

(6)[(–x)4]3=

(–x)4×3

=(–x)12

=x12.素養(yǎng)考點冪的乘方的法則的應(yīng)用方法點撥運用冪的乘方法則進(jìn)行計算時，一定不要將冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆，在冪的乘方中，底數(shù)可以是單項式，也可以是多項式．在運算時，注意把底數(shù)看成一個整體，同時注意“負(fù)號”.計算：①(103)7；

②(b3)4；③(xn)3；

④–(x7)7=103×7=1021=b3×4=b12=x3n=–x7×7=–x49⑤[(–x)3]3=(–x)3×3=–x9⑥[(–x)5]4=(–x)5×4=(–x)20=x20(–a5)2表示2個–a5相乘，結(jié)果沒有負(fù)號.(–a2)5和(–a5)2的結(jié)果相同嗎?為什么?不相同.(–a2)5表示5個–a2相乘，其結(jié)果帶有負(fù)號.n為偶數(shù)n為奇數(shù)知識點2冪的乘方的法則(較復(fù)雜的)想一想下面這道題該怎么進(jìn)行計算呢？冪的乘方:＝(a6)4=a24[(y5)2]2=______=________[(x5)m]n=______=________練一練：(y10)2y20(x5m)nx5mn例1

計算：(1)

(x4)3·x6;(2)

a2(–a)2(–a2)3＋a10.解:(1)(x4)3·x6=x12·x6=x18；

(2)a2(–a)2(–a2)3＋a10

=

–a2·a2·a6＋a10

=

–a10＋a10

=

0.憶一憶有理數(shù)混合運算的順序先乘方，再乘除。先乘方，再乘除，最后算加減。底數(shù)的符號要統(tǒng)一素養(yǎng)考點有關(guān)冪的乘方的混合運算方法點撥與冪的乘方有關(guān)的混合運算中，一般先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．計算：(1)(x3)4·x2

；

(2)

2(x2)n–(xn)2

；(3)[(x2)3]7

；

(4)[(–m)3]2

·(m2)4.(1)原式=x12·x2

=x14.(2)原式=2x2n

–x2n

=x2n.(3)原式=(x2)21

=

x42.解：(4)原式=(–m)3×2·m2×4=m6·m8

=m14.我鞏固，我提升.說一說如果把冪的乘方公式從右往左看，你得到了什么？mnn

m冪的乘方逆用公式：練習(xí)

請你把x12寫成“冪的乘方”的形式43342662例

已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.

(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；

(2)102n＝(10n)2＝22＝4；

(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

方法總結(jié)：此類題的關(guān)鍵是逆用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法公式，將所求值的式子正確變形，然后代入已知條件求值即可.素養(yǎng)考點指數(shù)中含有字母的冪的乘方的計算(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)

因為2x＋5y－3＝0.所以2x＋5y＝3.則4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.完成下列題目變式訓(xùn)練例

比較3500,4400,5300的大小.分析：這三個冪的底數(shù)不同,指數(shù)也不相同,不能直接比較大小,通過觀察,發(fā)現(xiàn)指數(shù)都是100的倍數(shù),可以考慮逆用冪的乘方法則.解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.

∵256100>243100>125100

∴4400>3500>5300素養(yǎng)考點冪的大小的比較方法點撥比較底數(shù)大于1的冪的大小的方法有兩種:

1.底數(shù)相同,指數(shù)越大,冪就越大;

2.指數(shù)相同,底數(shù)越大,冪就越大.

故在此類題中，一般先觀察題目所給數(shù)據(jù)的特點，將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪，然后再進(jìn)行大小比較.比較大?。?33____322233=(23)11=811322=(32)11=911＜∵811＜911∴233＜322解析：1.計算a3?(a3)2的結(jié)果是(

)

A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)9

C．a(chǎn)11

D．a(chǎn)182.若2x=5，2y=3，則22x+y=_____．解析：∵2x=5，2y=3.∴22x+y=(2x)2×2y=52×3=75．B75我們居住的地球

大約6.4×103km你知道地球的體積大約是多少嗎？球的體積計算公式：地球的體積約為知識點3積的乘方的法則下列兩題有什么特點？(1)(2)底數(shù)為兩個因式相乘，積的形式.這種形式為積的乘方.我們學(xué)過的冪的乘方的運算性質(zhì)適用嗎？問題：同理：(乘方的意義)(乘法交換律、結(jié)合律)(同底數(shù)冪相乘的法則)根據(jù)乘方的意義及乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行計算：(ab)n

=?問題：猜想(ab)n=anbn(ab)n=(ab)·(ab)·····(ab)n個ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n個a

n個b=anbn.證明：思考問題：積的乘方(ab)n

=?猜想結(jié)論：

因此可得：(ab)n=anbn

(n為正整數(shù)).

(ab)n=anbn

(n為正整數(shù))

積的乘方,等于把積的每一個因式分別_____，再把所得的冪________.

(ab)n=anbn

(n為正整數(shù))三個或三個以上的積的乘方等于什么？

(abc)n

=anbncn

(n為正整數(shù))積的乘方法則乘方相乘想一想計算：①(ab)5；

②(2a)3；

③(-xy)4；

④-(ab)3 ⑤2(ab2)3=a5b5=8a3=-a3b3=2a3b6=x4y4

方法總結(jié)：

運用積的乘方法則進(jìn)行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數(shù)不要漏乘方．

若底數(shù)中含有“-”號，應(yīng)將其視為“-1”,并將其作為一個因式，防止漏乘.“同底數(shù)冪相乘的法則”與“冪的乘方法則”異同：法則符號語言運算結(jié)果同底數(shù)冪相乘冪的乘方乘法運算乘方運算底數(shù)不變，指數(shù)相加.底數(shù)不變，指數(shù)相乘.解：（1）(3x)2=32x2=9x2；（2）(-2b)5=(-2)5b5=-32b5

；（3）(-2xy)4=(-2)4x4y4=16x4y4；（4）(3a2)n=3n(a2)n=3na2n

．方法總結(jié)：運用積的乘方法則進(jìn)行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數(shù)不要漏乘方．計算：（1）(3x)2

；（2）(-2b)5；（3）(-2xy)4

；（4）(3a2)n

．例素養(yǎng)考點利用積的乘方進(jìn)行運算計算：(1)(－5ab)3；

(2)－(3x2y)2；(3)(－3ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2.(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；

(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；

(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9；變式訓(xùn)練

×√×(1)(3cd)3=9c3d3;(2)(-3a3)2=-9a6;(3)(-2x3y)3=-8x6y3;×下面的計算對不對？如果不對，怎樣改正？

(4)(-ab2)2=a2b4.變式訓(xùn)練例

計算:(1)

－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.

解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)=32x9y6;(2)原式=a6b12+(－a6b12)=0.含有積的乘方的混合運算素養(yǎng)考點方法總結(jié)：涉及積的乘方的混合運算，一般先算積的乘方，再算乘法，最后算加減，然后合并同類項．計算：（1）(-3n)3·4n2；（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3；（3）-a3+(-4a)2a．解：（1）(-3n)3·4n2=(-3)3

n3

·4n2=-27n3

·4n2=-108n5；（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3=53x3y3-52x2·2xy3

=125x3y3-50x3y3=75x3y3；（3）-a3+(-4a)2a=-a3+42a2a=-a3+16a3=15a3．變式訓(xùn)練=(0.22)2004×54008=(0.2)4008×54008=(0.2×5)4008=14008

(0.04)2004×[(-5)2004]2=1.解法一：=(0.04)2004×[(-5)2]2004=(0.04×25)2004=12004=1.=(0.04)2004×(25)2004

(0.04)2004×[(-5)2004]2解法二：素養(yǎng)考點積的乘方的逆用如何簡便計算(0.04)2004×[(-5)2004]2?例

方法總結(jié)逆用積的乘方公式an·bn＝(ab)n，要靈活運用，對于不符合公式的形式，要通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為公式的形式，再運用此公式可進(jìn)行簡便運算．解：原式

計算:變式訓(xùn)練2.（深圳）下列運算正確的是（

）A．a(chǎn)+2a＝3a2 B．a(chǎn)2?a3＝a5

C．（ab）3＝ab3

D．（﹣a3）2＝﹣a61.（陜西）計算：（﹣x2y）3＝（

）A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4CB我們一起來吧!1．（a4）5=

．2.下列各式的括號內(nèi)，應(yīng)填入b4的是(

)。A．b12＝(

)8 B．b12＝(

)6C．b12＝(

)3 D．b12＝(

)2C基礎(chǔ)鞏固題a203．下列計算中，錯誤的是().A．(a2)3＝a6

B．(b2)5＝b7C．[(－b)3]n＝(－b)3n

D．[(－b)3]2＝b6B4．如果(9n)2＝312，那么n的值是(

).A．4 B．3C．2 D．1B基礎(chǔ)鞏固題5．計算：(1)(102)8；(2)(xm)2；(3)[(－a)3]5；(4)－(x2)m.解：(1)(102)8＝1016.(2)(xm)2＝x2m.(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.(4)－(x2)m＝－x2m.基礎(chǔ)鞏固題6．計算：(1)5(a3)4－13(a6)2；(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.基礎(chǔ)鞏固題8.下列運算正確的是(

)A.x?x2=x2B.(xy)2=xy2

C.(x2)3=x6

D.x2+x2=x4C7.計算

(–x2y)2的結(jié)果是(

)A．x4y2

B．–x4y2C．x2y2

D．–x2y2

A基礎(chǔ)鞏固題9.計算：(1)82016×0.1252015=________;

(2)________;

(3)(0.04)2013×[(–5)2013]2=________.8–31(1)(ab2)3=ab6

(

)

×××(2)(3xy)3=9x3y3

(

)

×(3)(–2a2)2=–4a4

(

)(4)–(–ab2)2=a2b4

(

)10.判斷:

(1)(ab)8

;(2)(2m)3

;

(3)(–xy)5;

(4)(5ab2)3;

(5)(2×102)2

;

(6)(–3×103)3.11.計算:

解：(1)原式=a8b8;(2)原式=23

·m3=8m3;(3)原式=(–x)5·y5=–x5y5;(4)原式=53

·a3

·(b2)3=125a3b6;(5)原式=22

×(102)2=4×104;(6)原式=(–3)3×(103)3=–27×109=