27/28專題2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標1.掌握雙曲線的中心、頂點、長軸、短軸、離心率、漸近線的概念，理解雙曲線的范圍和對稱性．2.掌握已知雙曲線標準方程時a，b，c，e的幾何意義及其相互關(guān)系.教學(xué)重難點1.重點：掌握雙曲線的簡單性質(zhì).2.難點：用代數(shù)法研究曲線的幾何性質(zhì)，在熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識點01雙曲線的簡單性質(zhì)（重點）1、對稱性(1)在雙曲線的標準方程中,用代換x(用-y代換y),方程不變,所以雙曲線關(guān)于x軸(軸)對稱,即坐標軸是雙曲線的對稱軸.(2)同時以-x代換x,-y代換y,方程不變,則雙曲線關(guān)于原點對稱,這個對稱中心稱為雙曲線的中心.2、范圍由方程得，所以雙曲線上的任意一點都滿足即因此，雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內(nèi)，即位于兩條直線和外側(cè)的區(qū)域．如圖所示.：3、頂點雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點.如圖,雙曲線的兩個頂點的坐標分別為A1(?a,θ),A2(a,θ)．顯然頂點是雙曲線兩支之間距離最近的點．兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長度等于24、離心率(1)我們規(guī)定,雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率,用e表示,即.(2)因為c>a>0,所以e>1.(3)因為,所以.【知識剖析】細解雙曲線的范圍和頂點1.從雙曲線的方程或圖形中可以直接看出它的范圍.2.雙曲線有兩個頂點、兩個焦點，共四個特殊點，研究雙曲線時一定要注意這四個特殊點的位置.3.已知雙曲線的兩個頂點，可以使用幾何作圖找出其焦點，方法是：以原點為圓心，以c為半徑作弧交實軸于兩點，這兩點就是該雙曲線的焦點.5、漸近線一般地，直線y=bax和y=?【知識剖析】對雙曲線漸近線的四點說明1.隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠沒有交點．2.由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點位置．3.求漸近線的方程，常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫成0，分解因式即得漸近線方程，若已知漸近線方程mx＋ny＝0，求雙曲線的方程，常把雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,m2)＝λ(λ≠0)求解．4.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線系的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0，a>0，b>0)．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知雙曲線方程，寫出它的頂點坐標，焦點坐標，計算它的焦距，實軸長，虛軸長，漸近線方程以及離心率.【答案】答案見解析【分析】由雙曲線的性質(zhì)逐一求解即可.【解析】雙曲線方程可以化成，所以，所以頂點坐標為，焦點坐標為，焦距為，實軸長為，虛軸長為，令，可得，即漸近線方程為，離心率為.2．（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，實軸的長度為，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用給定條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線方程即可.【解析】因為雙曲線實軸的長度為，所以，因為雙曲線的一條漸近線方程是，所以，解得，故雙曲線的標準方程為，故A正確.故選：A3．（24-25高二上·云南紅河·期末）雙曲線與雙曲線的（

）A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】判斷是雙曲線曲線，先分別求解兩雙曲線的焦距、實軸長、虛軸長、離心率，再判斷選項即可．【解析】的實軸的長為，虛半軸的長為4，因為，所以曲線是雙曲線，實軸的長為，虛軸的長為，顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；雙曲線與雙曲線的離心率分別為：和，不相等，所以C不正確．雙曲線與雙曲線的焦距都為8，焦距相等，所以D正確；故選：D．知識點02雙曲線標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．a(chǎn)、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的雙曲線問題常與與焦點三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·北京平谷·期末）雙曲線的焦點到頂點的最小距離是.【答案】1【分析】雙曲線焦點到頂點的最小距離為.【解析】雙曲線的焦點到頂點的最小距離為，故答案為：12．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）雙曲線的實軸長為4，則.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.【解析】顯然恒成立，則雙曲線的焦點在x軸上，于是，所以.故答案為：13．（多選）（24-25高二下·四川瀘州·期末）過雙曲線的一個焦點的直線與的一條漸近線平行，且與交于點，則（

）A．的實軸長為 B．的離心率為C．到的右焦點的距離為 D．的一個頂點坐標為【答案】BC【分析】由直線方程求得焦點坐標，再求出雙曲線的得雙曲線標準方程，然后判斷各選項．【解析】直線與坐標軸的交點分別為和，因此雙曲線的一個焦點為，即，又雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，由，解得，選項A，實軸長為，A錯；選項B，離心率為，B正確；選項C，雙曲線方程為，由解得，即，右焦點為，則，C正確，選項D，曲線的頂點坐標為，D錯誤；故選：BC．知識點03雙曲線和的簡單性質(zhì)比較（難點）焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0，0)范圍x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a頂點(±a，0)(0，±a)軸長實軸長＝2a，虛軸長＝2b焦點F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c離心率，，漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【知識剖析】離心率對雙曲線“張口”大小的影響在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個重要特征．因為，所以當?shù)闹翟酱?，漸進線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．【即學(xué)即練】1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）下列雙曲線，焦點在軸上且漸近線方程為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各項雙曲線方程確定焦點位置并寫出漸近線方程，即可得答案.【解析】由、的焦點在軸上，A、B錯；由的焦點在軸上且漸近線方程為，C對；由的焦點在軸上且漸近線方程為，D錯.故選：C2．（多選）（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點在x軸上，的焦點在y軸上B．的焦點到其漸近線的距離與的焦點到其漸近線的距離相等C．的最小值為D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，逐項判定，即可求解.【解析】對于A中，根據(jù)雙曲線的標準方程的形式，可判定A正確；對于B中，由雙曲線的幾何性質(zhì)，可得的焦點到其漸近線的距離為，的焦點到其漸近線的距離為，所以B錯誤；對于C中，由，當且僅當時，等號成立，所以C正確；對于D中，由（不是定值），當且僅當時，等號成立，所以D錯誤．故選：AC知識點04等軸雙曲線與共軛雙曲線1、等軸雙曲線的性質(zhì)在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質(zhì)有：（1）離心率：等軸雙曲線的離心率；（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為；等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°．2、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線時一對共軛雙曲線．例如，雙曲線與是一對共軛雙曲線，其性質(zhì)如下：（1）已對共軛雙曲線有相同的漸進線；（2）已對共軛雙曲線有相同的焦距；（3）共軛雙曲線的漸近線與直線及的四個交點，以及雙曲線的四個交點，八點共圓，圓心為坐標原點，半徑為（半焦距）；（4）由于，，則，可知共軛雙曲線的離心率雖然不同，但離心率的倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1．【即學(xué)即練】1．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）過點的等軸雙曲線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可.【解析】因為雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)雙曲線方程為，，將點代入得，解得，所以雙曲線方程為，故答案為：2．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）中心在原點，焦點在軸上，且一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可求出直線與軸的交點，得到雙曲線的焦點，再根據(jù)條件雙曲線為等軸雙曲線即可得出結(jié)論．【解析】解：令，得，又雙曲線焦點在x軸上，等軸雙曲線的一個焦點為，即，∴，故等軸雙曲線的方程為.故選：A.3．（多選）（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知某雙曲線系的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．所有雙曲線的焦點均在軸上B．所有雙曲線的焦距均相等C．雙曲線不可能為等軸雙曲線D．當增大時，雙曲線的離心率減小【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)雙曲線方程分析相關(guān)性質(zhì)判斷各項的正誤即可.【解析】由題設(shè)，結(jié)合已知方程知，所有雙曲線的焦點均在軸上，A對；且，則焦距為，B對；當時，此時方程為為等軸雙曲線，C錯；由，故當增大時，雙曲線的離心率減小，D對.故選：ABD題型01利用方程研究雙曲線的性質(zhì)【典例1】（24-25高二上·撫州六?！ぢ?lián)考）（多選）在平面直角坐標系中，已知雙曲線：，則（

）A．的實軸長為2 B．的離心率為2C．的漸近線方程為 D．的右焦點到漸近線的距離為【答案】BD【解析】由雙曲線：可得：，所以，故實軸長為，故A錯誤，離心率為，故B正確，漸近線方程為，故C錯誤，右焦點為，到漸近線的距離為，故D正確，故選：BD由雙曲線方程研究其性質(zhì)的步驟已知雙曲線方程討論其幾何性質(zhì)時，首先要將其化為標準方程，確定a,b的值，然后求解其幾何性質(zhì)中的其他相關(guān)量.若不能確定焦點是在x軸上還是y軸上，則需分情況討論.【變式1-1】（24-25高二下·廣東揭陽·月考）若雙曲線的實軸長為4，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，解方程即可.【解析】因為雙曲線的實軸長為4，所以，解得.故選：A.【變式1-2】（24-25高二上·江蘇常州·期中）雙曲線實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本量的關(guān)系可求實數(shù)的值.【解析】雙曲線方程可化為：，其中，因為實軸長是虛軸長的2倍，故，故，故選：D.【變式1-3】（多選）（24-25高二下·湖南·月考）已知雙曲線和，其中，且，則（

）A．與虛軸長相等 B．與焦距相等 C．與離心率相等 D．與漸近線相同【答案】BD【分析】根據(jù)條件，利用雙曲線的性質(zhì)，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【解析】雙曲線的虛軸在軸上，虛軸長為，雙曲線的虛軸在軸上，虛軸長為，故A錯誤；雙曲線和焦距均為，故B正確；雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，故C錯誤；雙曲線的漸近線為，雙曲線的漸近線為，故D正確．故選：BD.題型02由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程【典例2】（24-25高二·上海·假期作業(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)，經(jīng)過點；(2)與雙曲線1有相同的焦點，且經(jīng)過點；(3)與雙曲線有公共的漸近線，且過點．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）設(shè)出雙曲線的標準方程，代入已知條件求解即可；（2）根據(jù)焦點設(shè)出雙曲線的方程，代入經(jīng)過的點計算即可；（3）設(shè)雙曲線的方程，代入點的坐標，聯(lián)立解參數(shù)即可.【解析】（1）由，當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為，把點A的坐標代入，得，不符合題意；當焦點在y軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為，把點A的坐標代入，得．故所求雙曲線的標準方程為．（2）法一：∵雙曲線1的焦點在軸上，∴設(shè)所求雙曲線的標準方程為，∴，即①∵雙曲線經(jīng)過點，∴．②由①②得，故雙曲線的標準方程為．法二：設(shè)所求雙曲線的方程為．∵雙曲線過點，∴，解得或（舍去）．故雙曲線的標準方程為．（3）設(shè)所求雙曲線的方程為.將點代入雙曲線方程得，解得，因此，所求雙曲線的標準方程為.由雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線標準方程的步驟1.確定焦點所在的位置，進而確定雙曲線標準方程的形式，若焦點位置不確定，則需分類討論.2.由條件直接確定a,b的值或建立關(guān)于a,b,c的方程（組），解出a,b的值.3.寫出雙曲線的標準方程.【變式2-1】（24-25高二上·陜西西安·月考）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)已知雙曲線的焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點；(2)漸近線方程為，且經(jīng)過點.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由雙曲線的離心率公式及過定點即可求出標準方程.（2）由漸近線方程即可將雙曲線方程設(shè)為，再將定點代入即可.【解析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為.,，所以,解得所以雙曲線的標準方程為（2）由雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線方程為.因為在雙曲線上，即，所以雙曲線的標準方程為【變式2-2】（24-25高二上·江蘇徐州·期中）以橢圓長軸的兩個端點為焦點，以橢圓的焦點為頂點的雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程寫出長軸端點和焦點坐標，從而得雙曲線的實半軸長和半焦距，再代入雙曲線標準方程即可.【解析】橢圓長軸的兩個端點為，，焦點為，，所以雙曲線的焦點坐標為，，頂點為，，則雙曲線的焦點在軸上，且，，所以，所以雙曲線的方程為.【變式2-3】（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知等軸雙曲線過點，則該雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出該雙曲線的方程.【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點的坐標代入等軸雙曲線的方程可得，因此，該雙曲線的方程為.故選：C.題型03定義法求雙曲線的離心率【典例3-1】（24-25高二下·山西·開學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為12，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的焦距與標準方程，利用離心率的公式，可得答案.【解析】因為雙曲線的焦距為12，所以，解得，又，所以該雙曲線的離心率為.故選：C.【典例3-2】（24-25高二上·湖北襄陽·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，，則雙曲線的離心率為．【答案】2【分析】由得，根據(jù)雙曲線的定義得，結(jié)合離心率的概念即可求解.【解析】由，，得，又，所以.故答案為：2定義法求雙曲線的離心率所謂定義法，是指利用離心率的定義求解，即建立a,c的關(guān)系式，求出的值，再利用定義式求得離心率e，或整體得到.【變式3-1】（24-25高二下·河南·期末）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由題可得，然后根據(jù)離心率公式計算即可.【解析】由題設(shè)得，所以.故選：B．【變式3-2】（24-25高二下·河北唐山·期末）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為θ，且，則它的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由正弦值求出正切值，根據(jù)雙曲線的漸近線方程，求出參數(shù)關(guān)系式，進而求出離心率.【解析】不妨設(shè)為銳角，由，可知，則，漸近線方程為，即，可得，離心率.故選：C.【變式3-3】（24-25高二下·甘肅慶陽·期末）已知雙曲線（，）的頂點到漸近線的距離為實軸長的，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點到直線的距離公式列方程，結(jié)合離心率公式求解即可.【解析】因為雙曲線C的頂點到一條漸近線的距離為，所以，所以，所以，雙曲線C的離心率.故選：C.題型04構(gòu)造方程求雙曲線的離心率【典例4】（24-25高二下·四川瀘州·月考）設(shè)雙曲線的左，右焦點分別是，，點是上的點，若是等腰直角三角形，則的離心率是．【答案】/【分析】根據(jù)題意得到或，進而得到，構(gòu)造出關(guān)于的齊次式，解出答案.【解析】顯然，或，不妨令，將代入雙曲線方程，，解得：，由等腰直角三角形可得，則，方程兩邊同除以得：，解得：，因為，所以離心率為．故答案為：.方程法求雙曲線的離心率依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式．一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含eq\f(b,a)的方程，求出eq\f(b,a)后利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))求離心率．【變式4-1】（24-25高二下·貴州六盤水·月考）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交雙曲線于兩點，若是正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)雙曲線方程及性質(zhì)求出的長度，再利用正三角形性質(zhì)和雙曲線定義建立關(guān)于離心率的方程，從而求得離心率.【解析】由題可知：過作軸的垂線交雙曲線于兩點，所以.又因為是正三角形，所以為直角三角形且；所以.根據(jù)雙曲線定義可知：，即，解得.所以.故選：.【變式4-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)點在第一象限，先根據(jù)條件求出，再根據(jù)即可化簡得出離心率.【解析】由題意可知，，漸近線方程為，因，不妨設(shè)點在第一象限，則由，得，即，因，則，結(jié)合，得.故選：A【變式4-3】（24-25高二上·湖北武漢·期末）雙曲線的兩個焦點為、，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與的兩支分別交于、兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，確定的關(guān)系，求雙曲線的離心率.【解析】如圖：設(shè)直線與圓的切點為，作，交于點，則.因為，，所以.又為中點，所以，.又，，所以可設(shè)：，，.由.根據(jù)雙曲線的定義：.所以.所以.故選：A題型05求雙曲線離心率的取值范圍【典例5】（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是.【答案】【分析】由條件結(jié)合雙曲線的定義求，根據(jù)，即可求出結(jié)果.【解析】因為點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得，又，所以，即，則，因為雙曲線中，，即，則，即，又雙曲線的離心率大于，所以.所以雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為：.求雙曲線的離心率的取值范圍依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式．一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的不等式求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含eq\f(b,a)的不等式，求出eq\f(b,a)后利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))求離心率．【變式5-1】（24-25高二上·廣東江門·期末）設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對值小于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率的公式求解即可.【解析】由題意，故，故.故選：B【變式5-2】（24-25高二上·天津·期末）已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分或兩種情況，結(jié)合求解.【解析】解：因為雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，所以或，即或，又，所以，故選：D【變式5-3】（24-25高二上·湖北·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出雙曲線焦點到漸近線的距離，得出的表達式，再根據(jù)題中不等關(guān)系得到、的齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，進而得到離心率的范圍.【解析】焦點到漸近線即的距離，所以，因為，即，所以.解得，即，又因為雙曲線中，所以.故選：C題型06由雙曲線的離心率求參【典例6】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）點是雙曲線上的點，，是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若的面積是9，則的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】設(shè)，，先根據(jù)的面積求出，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出的關(guān)系，再結(jié)合離心率公式即可得解.【解析】設(shè)，，則，①又因為，所以，②得，所以，又因為的面積是9，所以，所以．又因為雙曲線的離心率，所以，，所以，所以．故選：D.由雙曲線的離心率求參問題求解策略這類問題一般根據(jù)橢圓的離心率列出關(guān)于參數(shù)的方程，解之即得所求.但求解時還需注意橢圓焦點所在的位置，有時要分焦點在x軸還是y軸討論求解.【變式6-1】（24-25高二上·湖北武漢·月考）已知雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)雙曲線離心率公式求得，再代入橢圓的離心率公式求解即可.【解析】∵雙曲線的離心率為，，即.∴橢圓的離心率為：.故選：A.【變式6-2】（24-25高二上·河南·月考）設(shè)雙曲線，的離心率分別為，.若，則（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)離心率列方程，從而求得.【解析】，，因為，所以，解得.故選：B【變式6-3】（2025·江西·三模）已知雙曲線的右焦點為，左頂點為，離心率為3，為上一點，且位于第一象限，若垂直于軸，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可用將點的坐標表示出來，進而利用離心率可求得直線的斜率.【解析】根據(jù)題意可得：，，.將點的橫坐標代入雙曲線方程得：，則，因為，所以.所以點.所以直線的斜率為.故選：B.題型07漸近線與雙曲線的綜合應(yīng)用【典例7】（2025·山東濟寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為上一點，的兩條漸近線方程為，若，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．2或14【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用雙曲線的定義可得.【解析】因為雙曲線的兩條漸近線方程為，所以，，根據(jù)雙曲線定義，，解得或1，又，所以.故選：B.【變式7-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知雙曲線的一條漸近線的斜率，一個焦點為，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由漸近線的斜率和焦點坐標，解出，進而求出頂點坐標與漸近線方程，再根據(jù)距離公式求解即可.【解析】由題意，，，，，，，雙曲線的焦點到漸近線的距離為，故選：A.【變式7-2】（24-25高二下·湖南長沙·期末）設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點，，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足，已知點F到其中一條漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角的關(guān)系求出漸近線的斜率，進而得到的關(guān)系，再結(jié)合點到直線的距離公式求出的值，最后根據(jù)的關(guān)系求出焦距.【解析】雙曲線（，）的漸近線方程為，即．，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，．又，，，．又雙曲線的右焦點到其中一條漸近線（不妨取這條）的距離為，，，，雙曲線C的焦距為．故選：C【變式7-3】（2025·四川瀘州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，直線與的左?右兩支分別交于點，若，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出四邊形為矩形，利用雙曲線定義求出，進而在直角中利用勾股定理求出，從而求出即可求解.【解析】設(shè)的右焦點為，由題意知四邊形為平行四邊形.因為，所以，故四邊形為矩形，由雙曲線定義得，在直角中，，由，得，解得，所以，所以的漸近線方程為.故選：A.題型08雙曲線的對稱性【典例8】（24-25高二上·江西六?！て谥校殡p曲線的左焦點，雙曲線C的右支上的三個不同的點關(guān)于y軸的對稱點分別為，則的值為（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】C【分析】利用雙曲線的對稱性及雙曲線的定義求解即可.【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，由雙曲線的對稱性可知，，則．故選：C.雙曲線對稱性的應(yīng)用策略雙曲線關(guān)于x軸、y軸，原點對稱.應(yīng)用時，可利用對稱簡化問題：求對稱點坐標，將非第一象限內(nèi)的點轉(zhuǎn)化到第一象限來分析；處理弦中點、對稱點問題時，用對稱性質(zhì)減少計算，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)高效解題.【變式8-1】（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）已知圓與雙曲線的右支交于兩點，且，則圓的半徑的值為．【答案】【分析】設(shè)，結(jié)合題意，求得，代入雙曲線的方程，即可求得的值.【解析】如圖所示，設(shè)點的坐標為，因為，根據(jù)雙曲線的對稱性，可得，又因為，可得，即，將點代入雙曲線，可得，解得.故答案為：.【變式8-2】已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．或2 D．【答案】A【分析】利用兩條漸近線的夾角求出漸近線的傾斜角，再根據(jù)條件驗證即可得解.【解析】依題意，雙曲線的漸近線方程為，因兩條漸近線的夾角為，于是得直線的傾斜角是或，即或，解得或，而，則，又，則有，所以雙曲線的離心率.故選：A【變式8-3】若三個點，，中恰有兩個點在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為.【答案】【分析】利用雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱,得到點，在雙曲線上，即可求出，進而求出雙曲線的漸近線方程.【解析】因為三個點，，中恰有兩個點在雙曲線上，又雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱,所以點，在雙曲線上，所以，解得，所以其漸近線方程為：.故答案為：.

練基礎(chǔ)1．（24-25高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）雙曲線的焦點到它的一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)標準方程寫出焦點坐標與漸近線方程，代入點到直線的距離公式即可求解.【解析】，，焦點坐標為，，漸近線方程為，，所以焦點到漸近線的距離.故選：B.2．（24-25高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點分別為，直線與雙曲線的右支交于點，則（

）A．1 B．0 C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出點，寫出向量坐標，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算可得答案.【解析】由題意，聯(lián)立，可得或，因為點是直線與雙曲線的右支交點，所以.，所以.故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件求出a、b、c的值代入方程即可【解析】由題意知，解得，故雙曲線的標準方程為．故選：A．4．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線的焦點在圓上，且圓與直線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知條件可求得和，從而可求離心率的取值范圍.【解析】由題可得：，則，由直線與圓有公共點，則點到直線的距離，所以，由離心率．故選：B．5．（2025·云南昆明·一模）在節(jié)目表演中為了增強舞臺的亮度，且為了減弱演員面對強光的不適感，燈光設(shè)計人員巧妙地通過雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，發(fā)散光線以保護演員的視力，如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線，其經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當入射光線和反射光線互相垂直時，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離心率為得到，，利用特殊值的思路，設(shè)雙曲線的標準方程為，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可.【解析】因為，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，則，所以，解得（已舍去），所以.故選：A.6．（多選）（22-23高三上·海南儋州·開學(xué)考試）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（

）A．雙曲線的一條漸近線方程為B．橢圓和雙曲線共焦點C．橢圓的離心率D．橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓方程求得，雙曲線方程求得，且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，結(jié)合橢圓和雙曲線的性質(zhì)逐項分析判斷.【解析】對于橢圓的方程為，可得，對于雙曲線的方程為，可得，且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，對于選項A：因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的一條漸近線方程為，故A正確；對于選項B：因為橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，所以橢圓和雙曲線不共焦點，故B錯誤；對于選項C：橢圓的離心率，故C正確；對于選項D：因為，可知雙曲線的頂點在橢圓內(nèi)部，所以橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點，故D正確；故選：ACD.7．（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線表示兩條直線B．若，則曲線是雙曲線C．若，則曲線是橢圓D．若，則曲線的離心率為【答案】ABD【分析】根據(jù)四種曲線的定義可得結(jié)果【解析】A選項：由題意，曲線，若，則，此時曲線，表示兩條直線，A選項正確；B選項：若，又，則，曲線，可化為，此為雙曲線方程，B選項正確；C選項：若，取，則曲線表示圓，C選項錯誤；D選項：若，又，所以，則為，則為等軸雙曲線，其離心率為，D選項正確.故選：ABD.8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的右焦點為，過作垂直于一條漸近線，垂足為，若點關(guān)于原點對稱，則．【答案】【分析】由雙曲線方程得出，漸近線方程，由點到直線的距離公式求得，再計算即可．【解析】由題可得，漸近線方程為，不妨取，即，所以，所以，故答案為：．9．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）雙曲線和橢圓有共同的焦點，則橢圓的離心率是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓標準方程和離心率公式即可求解.【解析】對于雙曲線，設(shè)右焦點為，所以，對于橢圓，設(shè)右焦點為，所以，因為有共同的焦點，所以，所以，所以橢圓的離心率是．故答案為：10．（24-25高二上·福建龍巖·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，C的右頂點D在圓上，且(1)求C的方程；(2)點P在C上，且軸，過點P作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得，由可得，進而得到，即可確定雙曲線方程；（2）由（1）有，令、漸近線為，應(yīng)用點線距離公式求距離，即可得結(jié)果.【解析】（1）由題意，即，又，則，，則，即，則，即.（2）由（1）知：，將代入雙曲線，得，不妨令，又雙曲線漸近線為，如下圖示，所以，，則.11．（24-25高二下·江西六?！て谀┮阎p曲線的方程為，實軸長和離心率均為2.(1)求雙曲線的標準方程及其漸近線方程；(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求的值（為坐標原點）.【答案】(1)，；(2)1.【分析】（1）根據(jù)離心率以及實軸長即可求解，即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求解.【解析】（1）由離心率，又，則，又長軸長，所以，所以，故雙曲線的標準方程為；其漸近線方程為.（2）直線的傾斜角為，故其斜率為1，又過點，的方程為；設(shè)由，得，練提升12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）雙曲線的離心率為的離心率為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意題意，根據(jù)曲線的離心率，再由雙曲線的關(guān)系式和基本不等式，即可得到最值；【解析】雙曲線中，由雙曲線方程，則，當且僅當時取等號．故選：C．13．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上，直線與軸交于點，點為雙曲線左支上一動點，且，過作，垂足為，則的最大值為（

）

A．40 B．50 C．55 D．60【答案】A【分析】由已知可得，將點代入雙曲線方程得，進而可求，直線的方程為.令，得，.連接，.由可得，所以.又因為點為雙曲線左支上一點，且，可知當時，取得最小值，即可求解的最大值.【解析】由已知可得，將點代入雙曲線方程得，解得，所以，所以，直線的方程為.令，解得，所以，所以，所以.連接，.因為，所以，所以.（另解

也可用極化恒等式來化簡，）.又因為點為雙曲線左支上一點，且，所以當時，取得最小值，所以的最大值為40.故選：A.14．（多選）（19-20高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）平面上到兩個定點的距離的積為定值的動點軌跡一般稱為卡西尼卵形線，已知曲線E為到定點的距離之積為常數(shù)4的點的軌跡，關(guān)于曲線E的幾何性質(zhì)有下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．曲線E關(guān)于原點對稱 B．的面積的最大值為2C．其中x的取值范圍為 D．其中y的取值范圍為【答案】ABC【分析】對A，根據(jù)題意求出曲線的方程并化簡，將代入上式，驗證方程不變得解；對B，將的最大值代入到面積公式可判斷；對C，由求解判斷；對D，令，得，求解判斷.【解析】對于A，依題意得，化簡得，將代入上式，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，故A正確；對于C，由，得，由，得，則，即，解得，故C正確；對于D，令，則，所以，當時，的最大值為，所以，故，故D錯誤；對于B，由以上可知的最大值為，又的面積為，所以的面積的最大值為，故B正確.故選：ABC.15．（24-25高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為.【答案】/【分析】設(shè)的左焦點為，由雙曲線的定義，得，又，，在中，由余弦定理可得，結(jié)合可得，求得答案.【解析】設(shè)為坐標原點，則，從而.

設(shè)的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為：.16．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作的切線與的兩支分別交于兩點，若，則的漸近線方程為．【答案】【分析】設(shè)過的直線與相切于點，過點作于，由相似可得，再結(jié)合雙曲線定義和余弦定理可得，運算得解.【解析】設(shè)過的直線與相切于點，過點作于，易知，由相似比得，所以，又，所以，又點在上，所以，則，在中，由余弦定理得，，結(jié)合，代入化簡得，所以，即，故漸近線方程為．故答案為：．

17．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的方程，并寫出其離心率；(2)求的焦點到其漸近線的距離；(3)已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)的值．【答案】(1)，．(2)(3)【解析】（1）因為雙曲線與有相同的漸近線，所以可設(shè)雙曲線的方程為，將代入，得，得，故雙曲線的方程為，所以，故離心率．（2）由（1）可知，的焦點為，漸近線方程為，故的焦點到其漸近線的距離．（3）聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程，得整理得，．設(shè)，則AB的中點坐標為，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以AB的中點坐標為．又點在圓上，所以，所以．18．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線的實軸長為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點作斜率為1的直線l，l與雙曲線交于A，B兩點，求｜AB｜；(3)若是坐標原點，M，N是雙曲線上不同的兩點，且直線MN的斜率為2，線段MN的中點為，求直線OP的斜率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，則．將點的坐標代入，求出即可；（2）由（1）求出焦點坐標，從而求出直線的方程為，將其與雙曲線方程聯(lián)立，通過韋達定理，弦長公式求解即可；（3）用點差法，設(shè)，，則兩式相減后整理得即，即，即可求出直線OP的斜率.【解析】（1）根據(jù)題意可得，則．將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線的方程為．（2）由（1）得，即，則，則直線的方程為．設(shè)，由得，，所以．（3