第五章第3講平面向量的數(shù)量積

2026年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)（人教A版）

一、填空題

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

（1）向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量）和否，。是平面上的任意一點(diǎn)，作/=[,OB=b，

則=9（0<6><^-）叫做向量"與否的夾角.

（2）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量）和內(nèi)，它們的夾角為6,我們把數(shù)量______叫做

向量￡與石的數(shù)最積（或內(nèi)積），記作7B，即〉.規(guī)定：零向量與任一向廉的數(shù)量

積為0，即。.工=0.

（3）投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作兩=3,ON=b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為郵|,

則就是向量力在向量比上的投影向量.設(shè)與B方向相同的單位向量為配3與5的夾角

為巴則西與加九。之間的關(guān)系為西=|司8s詼.

二、判斷題

2.若〃〃坂，則必有a.%=0.()

3.兩個(gè)向量的數(shù)量積是個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.（）

4.若7萬(wàn)<0，則〈，出）是鈍角.（）

5.若。3=^1（〃。。），則5=-（）

三、填空題

6.已知向量q=(l,m),b=>若（2Z-楊J.￡,則實(shí)數(shù)，〃=

四、單選題

7.已知同=4,忖=3,展5=-12，則向量/；在。方向上的投影向量為()

33-4r

A.--aB.——bC.--DD.--

4433

8.已知等邊AAEC的邊長(zhǎng)為2,則而?就=()

A.2B.-2C.-75D.6

五、填空題

9.已知平面內(nèi)兩個(gè)向量G=(2AJ),若。與5的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)2的取值范

圍是.

六、單選題

10.正方形ABC。的邊長(zhǎng)是2,E是A8的中點(diǎn)，則反.互i=()

A.75B.3C.20D.5

11.在AA6C中，已知NB4C=90,AB=6,若。點(diǎn)在斜邊BC上，CD=2DB,則麗.而的

值為?

A.6B.12C.24D.48

12.已知四邊形ABCD為平行四邊形,|第=6,,4=2,/)內(nèi)=2%《，8力=3例。：則4瓦3加=

()

A.7R.IC.-D.-

44

13.在梯形A8CQ中，AB//DC,ADLDC,AD=AB=2DC=2,E為BC的中點(diǎn),F為

AE的中點(diǎn)，則聞.前=()

-31「337n37

A.—B.—D.—

161616

七、填空題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

14.已知向量回B滿足卜一司=J5,卜+司=忸一方|,則|可=

八、單選題

15.已知向量入5,3滿足4=(3,0),6=(0,4),C=^+(1-2)^(AGR),則同的最小值

為()

、48

A.3B.工C,迎D.——

6555

16.已知向鼠￡=（3,1）3=（2,2）,貝1cos（Z+石,￡-1）=（）

A.±B.叵C,或D,短

171755

17.向量同=|同=1,\c\=y/2t且及+1+^=0,則cos〈”己By()

A.--B.--C.-D.-

5555

18.已知向量2=(1#石=(L-1),若R+")_L(￡+⑷，則()

A.A+//=1B.A+//=-1

C.初=1D.A/.i=-\

九、多選題

19.(多選)已知向量。=(2,1),萬(wàn)=(x,x+l),則下列結(jié)論正確的是()

A.若萬(wàn)則工=-；B.若a〃5，則工=±2

C.若x=l,則卜-同=2D.若戶1,則不與5的夾角為銳角

20.AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量力，5滿足而=2d，AC=2a+b^貝U()

A.|可=2B.a-b=-2C.(4N+B)_L》CD.卜一同=1

十、填空題

21.已知平面向量乙，6,1滿足同=1,同=1,G+5K=0，日出=-1，則慟=.

22.線段AB的端點(diǎn)分別在x軸、），軸的正半軸上移動(dòng)，如圖，ZABC=30°,ACCB=（）,

|阮|=6若點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，則匹-2叫的取值范圍是.

十一、單選題

ABBCCABCABAC1

23.已知非零向量而與而滿足一|祠一二一|就「且畫?國(guó)■=］，則V/WC為（）

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

24.已知M點(diǎn)在VA3C所在的平面內(nèi)，滿足麗7）（4eR）,

|AB|sin8|AC|sinC

則動(dòng)點(diǎn)例的軌跡一定通過(guò)VABC的（）

A.內(nèi)心B.垂心C.外心D.重心

25.如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=2f4BAD.,E是邊8c的中點(diǎn)，尸是CO上靠

近。的三等分點(diǎn)，若通.麗=8,則|而|等于（）

A.4B.4點(diǎn)C.4GD.8

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

題號(hào)781011121315161718

答案ABBCDBBBDD

題號(hào)1920232425

答案ADACDDA

1.耶k°s夕時(shí)l.cos。OM；

【分析】略

【詳解】略

2.錯(cuò)誤

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算即可判斷.

【詳解】當(dāng)3=6或當(dāng)=0時(shí),a//b＞

此時(shí)不?6=同卡上05萬(wàn),6=1）,所以錯(cuò)誤.

故答案為：錯(cuò)誤

3.正確

【分析】由向量數(shù)量積的定義和線性運(yùn)算判斷即可.

【詳解】?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量，故正

確.

故答案為：正確.

4.錯(cuò)誤

【分析】結(jié)合數(shù)量積的定義結(jié)合向量夾角的范圍判斷結(jié)論.

【詳解】因?yàn)榘V＜0,所以cosR，a＜。，又色加卜［0.打，

所以（咽￡俱北,

故答案為：錯(cuò)誤.

5.錯(cuò)誤

【分析】由向量數(shù)量枳的運(yùn)算和性質(zhì)判斷.

【詳解】因?yàn)槲?=/￡（必0）,所以作（萬(wàn)一e）=0,所以萬(wàn)“5-金或5=-

故答案為：錯(cuò)誤

6.■或3

答案第1頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求

解即可.

【詳解】因?yàn)?。一坂=（2,2〃?）-（m一1,6）=（3-"],2機(jī)一6）,且（2。一&_1_。，

所以（3-?1+（2m-6）m=0,即2m2-7加+3=0，

解得〃？=J或m=3.

故答案為：g或3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影向量公式直接計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)1與6的夾角為巴

則向量B在〃方向上的投影向量為

a_ab

xd=——a

I胭同，

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】因?yàn)橄蛄緼后，前的夾角為^;，所以A區(qū)83=2X2XCOS?=-2,

故選：B.

9.Sl）U（TO）

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得小5=24+2<0,結(jié)合5反向時(shí)計(jì)算即可

求解.

【詳解】由題意，0/；=2&+4<（）,:.k<0.

2k1八

—=—v0

當(dāng)〃，后反向時(shí)，有Ik，解得％=-1,

所以我的取值范圍是（f1）U（-1,0）.

故答案為：（-8,-l）U（T,0）

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】方法一：以｛而.而｝為基底向量表示注，防，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解;

方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/QEC,進(jìn)而

根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：以卜4）。｝為基底向量，可知人q=卜。=2,A8-AD=0,

ULUuiruuuiumuunuunuiruuuiuunuuu

則￡C=E8+3C=-A8+AO,E￡>=￡4+AO=——AB+AD,

22

uuauun/1mmuuin\（iuunuuu\iuun>uuu>

所以七0￡0=e48+407（-5/18+叼=-/8+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面宜角坐標(biāo)系，

IUB1UUU

則E（L0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

UUU111UU

所以ECEQ=-l+4=3；

方法二：由題意可得；ED—EC-瓜CD—2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在中，由余弦定理可得COS/DEC;二；匚￡=?，

2DE-CE2xV5xV55

uunULUuun||Uiu3

所以ECEQ=EC^EDcosZDEC=>/5x>/5x^=3.

故選：B.

【詳解】試題分析：因?yàn)?，CD=2DB,N84C=90,所以

痔而=麗麗+而）=通（而+4沅）=詞而+L而-而）］=2命+!麗.正=

3333

-AB=-x62=24,故選C.

33

考點(diǎn)：1、平面向量的加減運(yùn)算；2、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.

12.D

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】用A6和A/5表示AW.和MW即可.

【詳解】如圖：

AD加麗=（而+麗）（正+加）

=（叫碎*國(guó)

BL七"W相4前2

-L

3164

故選:D.

13.B

【分析】方法一：建立坐標(biāo)系，求向量才，麗的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解;

方法二：利用向量而，而表示彳，前，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),3(2,0),c(l,2),0(0,2),E-

所以叫-鴻｝陽(yáng)(鴻｝

所以而罰=-%*哥㈢中

故選：B.

，

ABx

方法二：CF=C?+￡F=1C§+1E4=1CBH《例+網(wǎng)

3—1—

=LCB+LCBAAB=1(DA+LAB]--AB=--AD--AB,

2424(2J248

DF=DA+AF=-AD+-AE=-AD+-(AB+E同

22、

3-3一

=-AD+-AB+-BC=-AD+-AB--AB+-A[D=--AD+-AR,

2428448

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

所以限而+法-阿?卜萍弓可啕可《網(wǎng)Y?

故選:B.

14.73

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解：法二：換元令:、=￡-力，結(jié)合

數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)椴?q=卜〃-同，即（a+石丫=（2”呼,

貝叱+￡1+）2=￡2—￡二十抹，整理得7-2/=0，

又因?yàn)樯弦蝗f(wàn)卜6,即（"盯=3,

貝叱_2荽+九九3,所以：=6.

rrrrrrrrr

法二：設(shè)>=￡」，貝1］卜|=g,a+〃=c+2〃,2"Z?=2c+b,

由題意可得：（c+a）=（2c+Z?）,則:『十《?二+412=4；+4；1+'2，

rr

整理得：；2=力2,即卜卜卜卜百.

故答案為：75.

15.B

【分析】根據(jù)向最模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示由二次函數(shù)最值計(jì)算即可得答案.

【詳解】由條件可知"（344-奴）,

225(芍:144

則同=3萬(wàn)+(4-4杼=V25A-322+16=H-------，

25

易知當(dāng)4=/時(shí)，歸L=5

故選：B

16.B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得B+引［用3+勾?伍-勾，從而利

用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?=（3,1）出=（2,2）,所以々+「=（5,3），1方=01）,

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

則歸+'=5/52+32=扃卡/=JTTT=也,R+B).僅一與=5xl+3x(—l)=2,

所以8s小瓦叫二沁野=17=雪

'/卜+麗一&后x拒17

故選：B.

17.D

【分析】由。+5+1=0可得Y=〃+B,兩邊平方先求出己5=0,可求出m-訂?(方-口，

\a-c\t防-21的值,從而可得答案.

【詳解】因?yàn)橥?|〃|=1,|?|=>/2?且1+另+(?=0，所以-d=d+5,

所以臺(tái)="2+.2+”石,即2=1+1+2無(wú)〃，解得小B=o,

yLa-^=2a+b,/?-c=J42/??

(a-c)(b-c)=(2d+b)■(a+2b)=2(i2+2/?:+5ab=2+2+0=4,

|?-c|=V4a2+4ab+b2=74+0+1=x/5，

\b-c\=^4b2+4ab+a2=V4+0+l=>/5

的、1/一一、f(ii-c)^-c)44

所以coKa—"—"二|"-C|?|5-c廣百忑=歹

故選：D.

18.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出2+與；，3+〃6，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)椤?(1,1),6=(1,-1),所以￡+/l8=(l+41-/l),a+///?=(l+//,!-//),

由(Z+2方)JL(2+〃萬(wàn))可得，(％+%萬(wàn))?(3+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1->1)(1-〃)=。，整理得：M=-i.

故選：D.

19.AD

【分析】根據(jù)垂直和平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解AB,根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解C,根據(jù)夾

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

角公式即可求解D.

【詳解】A選項(xiàng)，alb?2x+x+l=0,x=-；,A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，a//b2（x+l）=x,x=-2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，x=l時(shí),b=（1.2）,?-/?=（1,-1）,|a-/?|=\/2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，當(dāng)x=l時(shí)，由上可知向量瓦不共級(jí)，且人=（1,2）,

所以8s伊力片麗=丁°,所以口〃為銳角，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

20.AC

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和模長(zhǎng)公式依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,由題意可知，〃=（2/+5）-2=而一通=而，則同=|而卜2,

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,d-/i=^A/?BC=!|/4?|-|BC|cosl20o=1x2x2xf-l>=-l,

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,卜"孫亥=（4日方）石=415+戶=4乂（-1）+22=。，

則（4〃+5）_L阮,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,卜一可2=八2無(wú)5+戶=1—2X（—1）+4=7HI,即歸一同工1,

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

21.V2

【分析】結(jié)合已知條件，設(shè)據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律列方程計(jì)算即可.

【詳解】由。+5+八?？傻脙蛇呁瑫r(shí)平方得于=^+2d0+戶

?.?同=1,|c|=l,ab=-\，

.?.1=1一2+時(shí)，解得網(wǎng)=&.

故答案為：\/2

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

22.[0,V3)

【分析】設(shè)乙48O=a,月表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量運(yùn)算表示出|比-2而|,進(jìn)而

可求范圍.

【詳解】設(shè)NABC=a,v|AB|=2,/.B(2cosa,0),A(0,2sina),同理,

x/3.

1—sina,\/3—cosa+

即oC=I—2cosa+——sina

2\22

匹-2叫=|反-)一詞

1

J^ina.lcosa^coscr—sina

'2222

2-2sin(2a-7

兀7T5萬(wàn)..."2”牛(-；,1,

6I66J

.?.討-2叫e[o,V5).

故答案為：[。，6).

23.D

ABBCCABCABAC

【分析】將同二阿變形可得扃+同|?阮=。，從而可知N8AC的角平分線

與8c垂直，故A4=AC.再結(jié)合向量數(shù)最