平面向量基本定理及坐標表示

2026年高考數(shù)學一輪總復習課時檢測訓練（人教A版）

一、單選題

1.平面內(nèi)任一向量而都可以表示成2Z+4〃eR）的形式，下列關于向量的說法中正

確的是（）

A.向量的方向相同B.向量H中至少有一個是零向量

11

C.向量31的方向相反D.當且僅當a=〃=0時,4。+〃/)=0

2.已知向量4=(2,3),Z?=(3,-l),3=（—2,2）,若（2—防）〃口則左=)

5

A.3D.

c12

3.已知，=(5,-2),5=(-4,-3),若0—25+32=0,則2=

A筆)138C313/、

B.T，-3D.IF

（U）,^=（1,-1）.

4.已知向量。=若（而+方）〃（萬+筋）,則（)

A.2+〃=1B.A+//=-1

C.初=1D.A;/=-l

5.已知矩形A8CD中，E為A8邊中點，線段4C和OE交于點尸,則麗=（）

1—2—1—2—

A.--AB+-ADB.-■AB—AD

3333

2—1___2—1—

C.-AB——ADD.——AH+-AD

3333

已知￡為丫43。所在平面內(nèi)的點，且畫+；4c=24瓦若在=加麗+〃/，貝lj"=（）

6.

m

D.-1

A.—3B.3

。53

二、多選題

7.（多選）如圖，點。、E、尸分另U為V48C的邊8C、。、AB的中點，且阮=3,CA=bf

則下列結論正確的是（）

A

B.BE=a+—b

2

ns]r

D.EF=-a

2

三、單選題

8.在等腰梯形ABC。中，而=-2萬,M為8c的中點，則俞=()

A.—ABT—ADB.-AB+-AD

2242

3—1—1一3一

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

4424

四、填空題

9.在平行四邊形ABC。中，點4(0,0),8(T,4),。(2,6).若AC與8。的交點為M,則

0M的中點E的坐標為,

10.已知向量〃=(〃?+4,陽)石=(3,1),且“〃〃，則〃尸,

II.如圖，平行四邊形48C。的對角線相交于點0,E,r分別為44,OC的中點，若

麗=x通+)，而(x,)，eR),則%+)'=.

12.如題圖所示，點。是VABC的邊上的點，且瓦):OC=1:2,AB=a,AC=b＞若

用力，B表示近，貝4而=.

試卷第2頁，共4頁

A

五、多選題

13.VA8C中，。為AC上一點且滿足入。=；。。，若戶為8。上一點，且滿足

AP=AAB+JLIAC,2、4為正實數(shù)，則下列結論正確的是（）

A.加的最小值為16B.%的最大值為上

16

C.~T+~,-的最大值為16D.弓+丁的最小值為4

24〃A4//

六、單選題

14.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人

稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如

圖所示.在“趙爽弦圖”中，若理=4前，麗*BC+^BA,則實數(shù)4二（）

A.2B.3C.4D.5

七、填空題

15.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（o,l）和點8（-3,4）,若點C在/AO3的平分線上,

且匹卜3而，則向量元的坐標為.

16.在V48C中，AB=4,AC=3,A=],點。為VA8C的外心，若血=%而+〃正,

4,〃wR,則a=

試卷第4頁，共4頁

參考答案

題號123456781314

答案DCDCDAABCBBDB

1.D

【分析】根據(jù)平面向顯的基本定理，若平面內(nèi)任一向量帚都可以表示成4Z+〃伙4,〃eR)的

形式，［4構成一個基底，所以向量不共線.

［詳解】因為任一向量機=2。+“員4〃€R)?

根據(jù)平面向理的基本定理得，

所以向量■出不共線，故A,。不正確.

￡石是一個基底，所以不能為零向量，故8不正確.

因為G5不共線，且不能為零向量，所以若心+4》=(),當且僅當a="=0,故。正確.

故選：D

【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

2.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算及共線向量的坐標表示，列式計算得解.

【詳解】依撅意，a-kb=(2-3k,3+k),由R-癌)/不，得(2-3%卜2=(3+左卜(一2),

所以&="

2

故選：C

3.D

【分析】先由￡—2Z；+3"=O,可得"=—：(￡—2與，進而代入點的坐標進行計算即可.

【詳解】解：..?％—?+3)=0，—辦｝

???S-2^=(5,-2)-(-8,-61=(13,4).

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查運算能力，屬于基礎題.

4.C

答案第1頁，共7頁

【分析】先計算出+利用向量平行得到方程，求出辦=1.

【詳解】2?+^=2(1,1)+(1,-1)=(1+2,2-1),

因為(而+〃)//(4+〃〃)，

所以(1+2)(1_〃)_(/1_1乂〃+1)=0,化簡得加=1.

故選：C.

5.D

【分析】取C。中點G,可證得四邊形8的為平行四邊形，得到8G〃。已結合三角形中

位線性質(zhì)可確定/為AC上靠近A的三等分點，從而根據(jù)向量線性運算推導得到結果.

【詳解】取CO中點G,連接8G,交AC于點，，

BE=DG,四邊形用刀G為平行四邊形,

..BG//DE,又E為AB中點、，；.AF=FH,同理可得:CH=FH,

：.A^=；AC=；(A月+A萬)，

：.BF=BA+AF=-AS+-(AS+AD}=--AB+-AD.

3Vf33

故選：D.

6.A

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算及平面向量基本定理將反,庵用而，而表示，求得〃?，〃,

即可得出答案.

【詳解】

答案第2頁，共7頁

A

因為B^=BC+CE，

則加+34。=2的=2斷+網(wǎng)，

所以2年=—A6—l8C=-A^—]（Ae—A^）=5A^—]AC,

i___3

所以CE二一麗一二/，

44

13

所以小="，/?=--,

44

故'=-3.

m

故選：A.

7.ABC

【分析】利用平面向量的線性運算逐項判斷即可.

【詳解】在V48C中，Ab=AC+CD=-CA--BC=-b-^a,故A正確：

22

BE=BC+CE=a+^b,故B正確：

—1—1一1—1一11-

CF=-CB+-CA=--BC+-CA=--a+-b,故C正確；

222222

mn]mrIr

EF=-CB=--a,故D不正確.

故選:ABC.

8.B

Iq

【分析】根據(jù)梯形中位線得|，“h|=夕|4用+依。|）=才八人再利用向量線性運算即可.

【詳解】取AD中點N,連接MN,

VAB=-2CD，：.AB//CD,\AB\=2\CD\.

答案第3頁，共7頁

i3

又M是BC的中點，???MV〃A8,且|MN|=5(|A8|+|CQ|)=jA8|,

^―.I3

AM=AN+NM=-AD+-AB,

24

故選:B.

【分析】利用平行四邊形法則表示出向量通，利用坐標運算計算出向量初的坐標，由A為

坐標原點，所以即可得E的坐標

【詳解】在平行四邊形人BCD中，

因為AC與的交點為A7,且E為。例的中點，

所以4啟=；（4方+人力）

=3［而+（（而+到卜押+那

1（2,6）+"<4）=（0

由A為坐標原點，所以向量冠的坐標即為E的坐標，

故點￡的坐標為忤”）.

“公出生（1111

故答案為：I.

10.2

【分析】根據(jù)向量平行的坐標公式，代值計算即可.

【詳解】因為￡=（〃?+4,陽）石=（3,1）,a//h?

由(/〃+4)xl—3"?=0,得用=2.

故答案為：2.

11.1

【分析】根據(jù)已知條件，利用向量的線性運算的求得.

【詳解】EF=EA+AF=--Ali+-AC=--AB+-(Ali+AD\=-Ali+-AD,

2424tJ44

.13.?

..x=-,y=x+y=l,

44

故答案為：1

s2rIr

12.—a+-b

33

答案第4頁，共7頁

【分析】利用平面向量的線性運算法則解答即可.

【詳解】解：由題得八萬=4總+4力=/\后+—4乙=/1*+—（46;—月分）=一/14十—4^,

3333

所以—人。=：21+彳1人-.

33

故答案為：j2ar+^1br

13.BD

【分析】先證明結論：若A、B、C三點共線，點。為直線人B外一點，且OC=xO4+y0月,

則x+），=l,分析可得2+4〃=1,利用基本不等式可判斷各選項的正誤.

【詳解】先證明結論：若人、B、C三點共線，點。為直線相外一點，且碇=ZX+y礪,

則x+y=l.

證明：因為A、B、C三點共線，可設而=/〃加，即祝一西=〃?（。月—西），

所以，OC=（\-m）OA+niOB=xOA+yOB,所以，x+y=\.

Q/l>〃為正實數(shù)，AD=^-DC,即而=；無=；（近-而5）,故而=4而，

'.?AP=AAB+4JLIAD,且。、B、。三點共線，.,'+4"=1,

???4/=，/-44工，（且色丫=，當且僅當71=!，〃=:時取等號,

4412J1628

1+；=（義+4//>（!+；=2+華+金22+2/華?；=4,當且僅當4=:，〃=：時取

44〃4//J丸4〃y24u28

等號.

故選：BD.

14.B

【分析】依據(jù)題給條件利用（啊'+（麗）2=（町）列出關于2的方程，解之即可求得實數(shù)4的

值

一2一__|6—12—

【詳解】由屁=4麗，可得B石尸，乂8尸=黑4。+弓B4

1+AZJ2〉

則麗=」_佟型+口砌=7配+了就

人」1+/2525）25（1+A）25（1+A）

答案第5頁，共7頁

又網(wǎng)=|四，阿『+麻卜河2,則（而麗），（西2

則W（時+—網(wǎng)得阿瑟網(wǎng)0

256A2I44A2256144,

即西西+西西+而+貳二】‘整理得7萬-⑼-9=。

3

解之得，4=3或％=（舍）

故