■第1講集合

￡1知識(shí)點(diǎn)目錄/

【知識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合........................................1

【知識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法..........................................................5

【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性.............................................8

【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法............................................................11

【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等................................................................14

【知識(shí)點(diǎn)6】子集與真子集..............................................................17

【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算............................................................22

電知識(shí)點(diǎn)1/

知識(shí)點(diǎn)

【如識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合是高中數(shù)學(xué)中集合概念的重要部分.集合是由某種特

定性質(zhì)確定的對(duì)象組成的整體，這些對(duì)象稱為元素.自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，關(guān)

鍵在于描述內(nèi)容是否明確、具體.例如，描述“所有小于10的偶數(shù)”能組成集合，因?yàn)榭?/p>

以明確確定這些元素為2,，，6,8.而描述“所有美麗的花”則不能組成集合，因?yàn)椤懊?/p>

麗”是主觀的，缺乏明確標(biāo)準(zhǔn).判斷時(shí)，需要分析描述的內(nèi)容是否具有唯一性和清晰性，

以確保所有元素均能明確歸類到該集合中.

【解題方法點(diǎn)撥】

在解題過程中，判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合，通常需要以下步驟.首先，仔細(xì)閱

讀描述內(nèi)容，確定其標(biāo)準(zhǔn)或特征.其次，檢驗(yàn)這些標(biāo)準(zhǔn)是否具體明確，是否能對(duì)所有元素

進(jìn)行唯一判斷.例如，描述“所有3的倍數(shù)小于20的數(shù)”能組成集合，因?yàn)檫@些元素可以

明確列舉為3,6,9,12,15,18.再者，通過反例臉證描述內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)是否嚴(yán)謹(jǐn)，如描述

“所有高個(gè)子的學(xué)生“因“高”定義不明確，無法組成集合.最后，綜合判斷描述內(nèi)容是

否具備形成集合的條件.

【命題方向】

在高中數(shù)學(xué)考試中，關(guān)于判斷自然語言描述內(nèi)容能否組成集合的命題，常以簡(jiǎn)單明了的方式出

現(xiàn).這類題目主要考查學(xué)生對(duì)集合概念的理解和應(yīng)用能力.例如，題目可能會(huì)給出一段描述,

要求學(xué)生判斷其能否組成集合并說明理由.題目可能描述“所有小于100的平方數(shù)”或"所有

以字母A開頭的英語單詞”，學(xué)生需通過分析描述的明確性和唯一性進(jìn)行判斷.這類命題旨在

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求他們?cè)陂喿x理解和分析推理方面具備一定的能力.通過這

些練習(xí)，學(xué)生能夠更好地掌握集合的基礎(chǔ)知識(shí).

典型例題

例1.（2025秋?南充校級(jí)期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）

A.南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生

B.高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)中的難題

C.關(guān)于x的方程x2-1=0的所有實(shí)根

D.無限接近于n的所有實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解.

【解答】解：對(duì)于A,個(gè)子較高，不滿足集合元素的確定性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,難題，不滿足集合元索的確定性，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,x2-1=0的根為x二±1,故集合為{7,1},故C正確:

對(duì)于D,無限接近于n,不滿足集合元素的確定性，故D錯(cuò)誤.

故選：0.

例2.（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)期中）下列對(duì)象能組成集合的是（）

A.非常接近。的數(shù)B.身高很高的人

C.絕對(duì)值為5的數(shù)D.著名的數(shù)學(xué)家

【答案】C

【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得.

【解答】解：由集合中元素的確定性可知，A、B、D選項(xiàng)中的對(duì)象都不能組成集合,

故A、B、D錯(cuò)誤；

對(duì)于C:絕對(duì)值為5的數(shù)有5或-5,符合集合的概念，故C正確.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?于都縣校級(jí)月考）下列敘述能夠組成集合的是（）

2

A.我校所有體質(zhì)好的同學(xué)

B.我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生

C,全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員

D.全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的確定性，逐一分析可得答案.

【解答】解：A中，我校所有體質(zhì)好的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)造集合；

B中，我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生具有確定性，能構(gòu)造集合；

C中，全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員不具有確定性，不能構(gòu)造集合；

D中，全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市不具有確定性，不能構(gòu)造集合：

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?北硝區(qū)校級(jí)月考）下列說法中正確的是（）

A.聯(lián)合國所有常任理事國（共5個(gè)）組成一個(gè)集合

B.朝陽中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合

C.｛1,2,3｝與｛2,1,3｝是不同的集合

D.由1,0,5,1,2,5組成的集合有六個(gè)元素

【答案】A

【分析】根據(jù)集合元素的確定性、互異性和無序性判斷即可.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,聯(lián)合國所有常任理事國共5個(gè)，即：中國，美國，俄國，英國，法

國，可以組成集合，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,“年齡較小”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，無法確定集合的元素，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,集合的元素滿足無序性，｛1,2,3｝與｛2,1,3｝是相同集合，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,集合的元素滿足互異性，由1,0,5,1,2,5可組成的集合｛0,1,2,5｝,且

有4個(gè)元素，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）下列各對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的有.（填

序號(hào)）

①上大嘉高高一年級(jí)全體學(xué)生；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；

③7的正整數(shù)倍的全體；

④洽定的一條長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn).

【答案】②.

【分析】根據(jù)集合的概念判斷即可.

【解答】解：因?yàn)棰谒硎镜难芯繉?duì)象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，

3

而①③④研究對(duì)象確定符合集合的概念.

故答案為：②.

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?浦東新區(qū)期末）請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線

上.

①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0,0）的距離等于1的所有點(diǎn)；

③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；

④不等式3x70V0的所有正整數(shù)解.

【答案】①②④.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的含義，即可求解.

【解答】解：①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生，符合集合的定義，故①正確，

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0,0）的距離等于1的所有點(diǎn)，符合集合的定義，故②正確，

③影響力比較大的中國教學(xué)家，不符合集合的確定性，故③錯(cuò)誤，

④不等式3X-10V0的所有正整數(shù)解，即原不等式的集合為｛1,2,3）,符合集合的定義，故④

正確.

故答案為：①②④.

電知識(shí)點(diǎn)2/

知識(shí)點(diǎn)

【如識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法

全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z;

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q;

全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R.

【解題方法點(diǎn)撥】

熟練掌握幾個(gè)常見數(shù)集的符號(hào)與含義,能判斷給出的數(shù)是否屬于這些數(shù)集.

典型例題

4

例1:

例1.（2024秋?雙清區(qū)校級(jí)期末）給出下列關(guān)系：（EgwR；②&WR；③卜3|￡N；④|一百|(zhì)€

Q.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【率案】B

【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答.

【解答】解：顯然;，板都是實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

卜3|二3是自然數(shù)，③正確；I一百I=百是無理數(shù)，不是有埋數(shù)，④錯(cuò)誤，

所以正確的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

例2.（2024?包河區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）

A.-3eN*B.V5GRC.D.0￡N

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即得.

【解答】解：選項(xiàng)A,因-3不是正整數(shù)，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,遙是無理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故B正確；

選項(xiàng)C,；是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,。是自然數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?武威月考）下列關(guān)系正確的是（）

A.OGN*B.|GZC.-V2GQD.-7.8eR

【答案】D

【分析】根據(jù)選項(xiàng)中大寫字母代表的數(shù)集，結(jié)合元素與集合的屬于關(guān)系逐一判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)?不是正整數(shù)，所以O(shè)WN*,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閨不是整數(shù)，所以|《Z,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)橐灰膊皇怯欣頂?shù)，所以-正如，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?7.8是實(shí)數(shù)，仔以-7.8￡R,故D正確.

故選：D.

5

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）設(shè)有下列關(guān)系：①&￡R;②4￡Q；③06；@0￡

{0,1}.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及數(shù)集的分類可解.

【解答】解：①五￡R,故①正確；

@4GQ,故②正確；

③OWN,故③正確；

@0￡{0,1）,故④正確.

故選：A.

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?武威月考）用符號(hào)或“W”填空：V5N,顯

_____N.

【答案】圖，

【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系求解即可.

【解答】解：因?yàn)榧螻代表自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集），

所及痛CN,Vl6=4eN,

故答案為：W,e.

【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）在下列表達(dá)式中，①0鄴；②0u{O}；③n￡Q：④

{1）e{0,1）,其中正確的為（填寫所有正確的序號(hào)）.

【客案】②.

【分析】根據(jù)集合的概?念與表示、集合的包含關(guān)系和元素與集合的關(guān)系，對(duì)各項(xiàng)逐一判斷，即

可得到本題的答案.

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?是自然數(shù)，所以①OCN錯(cuò)誤；

因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?，故?u{O}正確；

因?yàn)閚不是有理數(shù)，所以③n￡Q錯(cuò)誤；

因?yàn)閧1}u{0,1},所以④{1}￡{0,1}錯(cuò)誤.

綜上所述，其中的真命題是②.

故答案為：②.

?知識(shí)點(diǎn)3/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無序性

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【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征.

(1)確定性：集合中的兀素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說明它走或者不走某個(gè)集合的兀

素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”

等都不能組成一個(gè)集合.

(2)互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元

素.例如不能寫成(1,1,2),應(yīng)寫成｛1,2).

(3)無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序.例如｛1,2,3｝與［3,2,1｝是相

同的集合，也是相等的兩個(gè)集合.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個(gè)特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代臉證，元素不許重復(fù).

【命題方向】

本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以

集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主.

典型例題

例1.(2025?青山湖區(qū)校級(jí)模擬)8月20日《黑傳說悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成

集合的是()

A.游戲中會(huì)變身的妖怪

B.游戲中長(zhǎng)的高的妖怪

C.游戲中能力強(qiáng)的妖怪

D.游戲中擊敗后給獎(jiǎng)勵(lì)多的妖怪

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的確定性依次判斷選項(xiàng)即可.

【解答】解：對(duì)A：游戲中會(huì)變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；

對(duì)B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯(cuò)誤.

故選：A.

例2.(2024秋?安康期末)有4根火柴棒的長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾

相接連成一個(gè)平面四邊形，則這個(gè)平面四邊形可能是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意，4根火柴棒的長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，則4根火柴棒的長(zhǎng)度互不

7

相等，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,梯形的四條邊長(zhǎng)度可以互不相等，符合題意；

對(duì)于B,矩形的對(duì)邊相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對(duì)于C,菱形的四條邊都相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意;

對(duì)于D,等腰梯形的腰相等，不能由這4根火柒棒首尾相接連成，不符合題意.

故選：A.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?潁上縣校級(jí)期末）下列說法中正確的是（）

A.1與｛1｝表示同一個(gè)集合

B.由1,2,3組成的集合可表示為［1,2,3｝或｛3,2,1｝

C.方程（x7）2（x-2）二。的所有解的集合可表示為｛1,1,2）

D.集合｛x|4VxV5｝可以用列舉法表示

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.

【解答】解：1不能表示一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，故B正確；

因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋裕?,1,2｝中有相同的元素，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榧希鹸|4VxV5｝中有無數(shù)個(gè)元素，無法用列舉法表示，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若集合A=｛x|（a2-1）x=a-1］,則不論實(shí)數(shù)a取

何苞，集合A不可能是（）

A.RB.0C.（0）D.｛1｝

【答案】C

【分析】討論參數(shù)a,結(jié)合集合的描述判斷可能對(duì)應(yīng)的集合.

【解答】解：當(dāng)a=1時(shí)，有a-k0,此時(shí)A二R；

當(dāng)a二-1時(shí)，有a2-1=0,而a-1=-2,此時(shí)A-0;

當(dāng)aW±1時(shí)，A=4r,顯然a=0,有A=｛1｝,但士工0,即集合A不可能是｛0｝.

a4-1a-Fl

故選：c.

【跟蹤訓(xùn)練3】（2025秋?莎車縣期中）若一個(gè)集合中的三個(gè)元素a,b,c是AABC的三邊長(zhǎng)，則

此三角形一定不是（）

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A.銳菊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的互異性可知a不b^c,進(jìn)而可判定三國形不可能是等腰三由形.

【解答】解：根據(jù)集合的性質(zhì)可知，

a學(xué)b手c

?二△ABC一定不是等腰三角形.

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練4】(2025秋?水城區(qū)月考)若4￡{a,a2-12},則a二.

【答案】-4.

【分析】利用元素與集合的關(guān)系和集合中元素的互異性求解.

【解答】解：若4￡(a,a2-12],

貝Ua=4或a2-12=4,

解得a=4或a=-4,

當(dāng)a二4時(shí)，a2-12M,不滿足元素的互異性，合去，

當(dāng)a二-4時(shí)，集合為{-4,4],符合題意，

綜上所述，a=-4.

故答案為：-4.

【跟蹤訓(xùn)練5】(2025秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中)已知集合M二卜1,3a-1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】{a|a手0}.

【分析】根據(jù)元素的性質(zhì)求解.

【解答】解：由元素的互異性可知，3a-1=#-1,

所以aRO,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a學(xué)0}.

故答案為：(a|a^O).

■知識(shí)點(diǎn)4/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法

列舉法表示集合

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{)”括起來表示集合的

9

方法叫做列舉法.

【解題方法點(diǎn)撥】把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來即可.

描述法表示集合

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的

元素x所組成的集合表示為{x|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對(duì)象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素.理解描述

條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，通常用文字或符號(hào)來表示集合中的元素特征.統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：

確保描述的方法能夠唯一確定一個(gè)集合，避免模糊或歧義的描述.

區(qū)間法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)aVb,①開區(qū)間：{x|a<x<b)=(a,b)

②閉區(qū)間：(xlaWxWb}二[a,b]

③半開半閉區(qū)間:{x|aVxWb)=(a,b]{x|a^x<b}=[a,b)

正無窮：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，表示某一大于零的有理數(shù)或無理數(shù)數(shù)值無限大的一種方式，

沒有具體數(shù)字，但是正無窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都大的數(shù)值.符號(hào)為+8.數(shù)軸上可表示為

向右箭頭無限遠(yuǎn)的點(diǎn).

負(fù)無窮：某一負(fù)數(shù)值表示無限小的一種方式，沒有具體數(shù)字，但是負(fù)無窮表示比任何

一個(gè)數(shù)字都小的數(shù)值.符號(hào)為-8.

{x|aWx)=[a,+8)

{x|a<x}=(a,+8)

{x|xWa)=(-8,a]

{x|x<a}=(-8,a)

{x|xeR)=(-8,+oo)

【解題方法點(diǎn)撥】通常情況下，解答不等式，函數(shù)的單調(diào)性的問題利用單調(diào)性的定義，或者函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，注意函數(shù)的定義域，變量的取值范圍，集合一般利用區(qū)間表示，函數(shù)的單調(diào)

性多個(gè)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間必須用“，”分開；不能利用并集符號(hào)連接.解題時(shí)注意區(qū)間的端點(diǎn)

的數(shù)值的應(yīng)用.

【命題方向】區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值，恒成立等知識(shí)有

關(guān)問題，高考?？碱}目.

典型例題

例1.(2024秋?新泰市校級(jí)期末)集合{x￡N*|x-3V2}的另一種表示法是()

A.(0,1,2,3,4)B,{1,2,3,4)

C.(0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

10

【分析】集合{x￡N，|x-3V2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法，看出

描述法所表示的數(shù)字，在集合中列舉出元素.

【解答】解：???集合{x￡W|x-3V2}是用描述法來表示的，用另一種方法來表示就是用列舉法,

V[xGN*|x-3<2)={xGNjx<5}={1,2,3,4)

故選：B.

例2.(2024秋?玉溪期末)已知集合A二{x|5x?+4x=0},則集合A二()

A.⑻r,B,--4C.0,--4D.0,g4

【答案】C

【分析】解一元二次方程，即可求出集合A.

【解答】解：由5x?+4x=0,得x(5x+4)=0,

4

解得X,=0,X2=—

4

故A=0,

□

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】(2025春?唐縣校級(jí)期中)集合{x￡N/x-2W1}用列舉法表示為()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2,3,4)D.{1,2,3,4)

【客案】B

【分析】解不等式X-2W1可得x《3,再由x￡N.即可求得結(jié)果.

【解答】解：易知{x￡N」x-2《1}={x￡N/xW3}={1,2,3).

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】.(2025秋?安溪縣期中)已知集合M二(1,5,9,13,17),則忙()

A.(x|x=2n+1,nGN,n<8}B,{x|x=2n-1,n￡N,nW9}

0.(x|x=4n+1,nEN,nW4}D.{x|x=4n-3,nEN,nW5}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)用描述法表示即可.

【解答】解：由題意可知，集合M二{1,5,9,13,17),

則集合M中5個(gè)元素都是被4整除余1的正整數(shù)，即x=1+4n,且n￡N,nW4,

所以{x|x=4n+1,nEN,nW4].

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練3】(2025?黃浦區(qū)校級(jí)開學(xué))用列舉法表示集合{x卜2WxW2,xGN}=

【答案】{0,1,2).

11

【分析】利用列舉法的定義求解.

【解答】解：用列舉法表示集合｛x|-2Wx/2,xEN｝=｛0,1,2).

故答案為：｛0,1,2).

【跟蹤訓(xùn)練4】(2025秋?普陀區(qū)校級(jí)期中)能被3整除余2的自然數(shù)組成的集合可以用描述法

表示為.

【答案】｛x|x=3k+2,k￡N｝.

【分析】根據(jù)被3整除余2的自然數(shù)為3k+2,kGN,結(jié)合集合的表示方法，即可求解.

【解答】解：由題意，被3除余2的自然數(shù)組成的集合為｛x|x=3k+2,kGN｝.

故答案為：(x|x=3k+2,k￡N).

【跟蹤訓(xùn)練5】(2025秋?牡丹區(qū)校級(jí)期中)已知集合A二(x|x(x-1)(x+1)=0｝,則A二

【客案】｛7,0,1］.

【分析】根據(jù)集合描述，應(yīng)用列舉法表示集合即可.

【解答】解：由x(x-1)(x+1)=0可得x=0或x=7或x=1,

所以A二(7,0,1).

故答案為：(-1,0,1).

【跟蹤訓(xùn)練1】(2024秋?仁壽縣校級(jí)期末)方程組］.。［1女的解組成的集合為

【答案】｛(-2,2),(2,-2)｝.

【分析】解方程組能求出結(jié)果.

【解答】解：方程組解得x=-2,y=2或x二2,y=-2.

???方程組｛Jt的解組成的集合｛(-2,2),(2,-2)｝.

故答案為：｛(-2,2),(2,-2)).

■知識(shí)點(diǎn)5/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

(1)若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B.

(2)對(duì)集合A和集合B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)

集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,記作A=B.就是如果AC

B,同時(shí)BGA,那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A二B.

【解題方法點(diǎn)撥】

集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)兀素都在B中，而且B中的每一個(gè)兀索都在A

中.元素一一對(duì)應(yīng)：兩個(gè)集合相同，需確保每個(gè)元素都在兩個(gè)集合中出現(xiàn)，且沒有遺漏.直

接對(duì)比：對(duì)于簡(jiǎn)單集合，可以直接對(duì)比元素列舉是否完全一致.

典型例題

例1.(2025?石景山區(qū)校級(jí)開學(xué))已知集合A二{x|x二2k,k￡Z},B={x|x=4m+6n,叫n￡Z}.則()

A.AC1B=0B.AgBC.A二BD.AUB=Z

【客案】C

【分析】由集合相等的概念，說明BEA,同時(shí)AGB即可；

【解答】解：從B中任取一個(gè)元素x=4m+6n=2(2m+3n),一定是偶數(shù)，所以BGA,

從A中任取一個(gè)元素x=2k=4(-k)+6k,xCB,所以AQB,

所以A二B.

故選：C.

例2.(2025秋?吉林月考)下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是()

A.{x|x=2020)B.{y|(y-2020)2=0}

C.(x=2020)D.(2020)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的表示方法判斷即可.

【解答】解：選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中

只有一個(gè)元素2020,都是數(shù)集，

選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】(2024春?博湖縣期末)下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M二{2,3},N={3,2}

C.M={(x,y)|x+y=1),N={y|x+y=1)

D.M={2,3),N={(2,3))

【答案】B

【分析】利用集合的三個(gè)性質(zhì)及其定義，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷;

【解答】解：A、M二{(3,2)),N=((2,3)),不是同一集合，故A錯(cuò)誤；

13

B、M={2,3},N={3,2}根據(jù)集合的無序性，集合M,N表示同一集合，故B正確

C、M={(x,y)|x+y=1},M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N={y|x+y=1},N表示直線x+y=1的縱坐

標(biāo)，是數(shù)集，故不走同一集合，故C錯(cuò)誤；

D、M={2,3)集合M的元素是點(diǎn)(2,3),N={(2,3)},集合N的元素是點(diǎn)(2,3),故D

錯(cuò)誤;

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】(2024秋哪陽區(qū)校級(jí)期末)下列各組中集合P與Q,表示同一個(gè)集合的是()

A.P是由元素1,V3,n構(gòu)成的集合，Q是由元素n,1,|-百|(zhì)構(gòu)成的集合

B.P是由n構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合

C.P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)(2,3)構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程M=1的解集

【答案】A

【分析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個(gè)集合.

【解答】解：由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個(gè)集合，

而B、C、D中元素不相同，仔以P與Q不能表示同一個(gè)集合.

故選：A.

【跟蹤訓(xùn)練3】下列集合中，A二僅=2,y=1),B={2,1],C={(x,y)|(x-2)2+|y-l|=0},D=

(x,y)|[：+:二:},E={(x,y)|x=2且y=1},F={(x,y)|x=2或y=1},其中與集合{(2,

1))相等的集合共有個(gè).

【分析】根據(jù)點(diǎn)集和數(shù)集的區(qū)別判斷即下.

【解答]解：A={x=2,y=1}=[1,2),B=[2,1},

C=[(x,y)|(x-2)2+|y-1|=0}={x,y)|(2,1)1,

D=(x,y)|{：J：:}={(x,y)|(2,1)),

E=[(x,y)|x=2且y=1}二{(x,y)|(2,1)),

F=[(x,y)|x=2或y=1},

其中與集合{(2,1)}相等的集合共有3個(gè)，

故答案為：3.

【跟蹤訓(xùn)練4】①M(fèi)={(1,2))與N={(2,1))表示同一個(gè)集合；

②M二{1,2}與N二{2,1}表示同一個(gè)集合；

③空集是唯一的；

④若歸{y|y=x?+1,xER},N=(x|x=t2+1,tER},則集合M二N,以上的說法中正確的序號(hào)為

【分析】利用集合相等、空集的定義直接求解.

14

【解答】解：在①中，M二｛(1,2)｝與1^二｛(2,1)｝表示不同的兩個(gè)集合，故①錯(cuò)誤;

在②中，M二｛1,2｝與N二｛2,1｝表示同一個(gè)集合，故②正確；

在③中，空集是唯一的，故③正確；

在④中，若M二｛y|y=x?+1,xGR｝,N=｛x|x=t2+1,tGR),則集合M二N,故④正確.

故答案為：②③④.

.知識(shí)點(diǎn)6/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)6】子集與其子集

子集的判斷與求解

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元

素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集(subset).

記作：AGB(或B3A).

2、其子集是對(duì)于子集來說的.

真子集定義：如果集合AGB,但存在元素x￡B,且元素x不屬于集合A,我們稱集合A是

集合B的真子集.

也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集.

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集.

(1,3)c(1,2,3,4)

(1,2,3,4｝C｛1,2,3,4)

【解題方法點(diǎn)撥】

定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個(gè)元素都在B中.

驗(yàn)證元素：逐個(gè)檢查A中的元素是否在B中.符號(hào)表示：用。表示子集關(guān)系，若A是B的子

集，記為AGB.

［命題方向】

本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問題，常常與

15

集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題.

空集及空集的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集.記作0,空集的性質(zhì)：空集是一切集合的

子集.

2、注意：

空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的.這通常是初學(xué)者的一個(gè)難理

解點(diǎn).

將集合想象成一個(gè)裝有其元素的袋子的想法或許會(huì)有幫助；

袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的.

例如：(x|x2+1=0,xGR)=0.雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒有這樣的實(shí)數(shù)x使得方

程成立，所以方程的解集是空集.

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答與空集有關(guān)的問題，例如集合AC1B二BQBUA,實(shí)除上包含3種情況：

①B二0;

②BuA且B羊0;

③B二A;往往遺漏B是。的情形，所以老師們?cè)谥v解這一部分內(nèi)容或題目時(shí)，總是說“空集

優(yōu)先的原則”，就是首先

考慮空集.

【命題方向】

一般情況下，多與集合的基本運(yùn)算聯(lián)合命題，是學(xué)生容易疏忽、出錯(cuò)的地方，考查分

析問題解決問題的細(xì)心程度，難度不大，可以在選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題中出現(xiàn).

子集的個(gè)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、子集真子集定義：如果集合AGB,但存在元素x￡B,且元素x不屬于集合A,我們稱集

合A是集合B的真子集.

也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中

有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有n個(gè)(n不等于0)元素

的集合而言，它的子集就有2。個(gè)；真子集就有2』1.但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集,

16

沒有真子集.

【解題方法點(diǎn)撥】

公式計(jì)算：若一個(gè)集合有n個(gè)兀索，則它的子集個(gè)數(shù)為2"n.理解幕集：源集是一個(gè)集合的所

有子集組成的集合.

典型例題

例1.（2023秋?綏寧縣校級(jí)期末）下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是（）

A.{1,2}B.0C.{0}D.{1,2,3）

【答案】B

【分析】根據(jù)真子集的定義判斷即可.

【解答】解：集合［1,2}的真子集是0,⑴，⑵，

故選：B.

例2.（2025秋?襄城區(qū)校級(jí)月考）已知集合M二{-1,0,1},N={0,1},則（）

A.MCNB.MAN=0C.N￡MD.M二N

【答案】C

【分析】確定N是M的真子集，得到答案.

【解答】解：集合M二{7,0,1）,N=（0,1）,則N是M的真子集，即N星M.

故AD錯(cuò)誤，C正確，MDN={0,1}羊0,B錯(cuò)誤.

故選：C.

例3.（2025秋?敖漢旗校級(jí)月考）若0是集合M={x|x2-ax+1=0,a￡R}的真子集，則a的取值范

圍是（）

A.-2<a<2B.a<-2Aa>2C.-2WaW2D.a《-2或a22

【答案】D

【分析】依題意可知方程X?-ax+1=0有實(shí)數(shù)解，則4》。，即可求解.

【解答】解：因?yàn)?是集合M二（x|x2-ax+1=0,a￡R）的真子集，

所以M手。，即方程x2-ax+1二。有實(shí)數(shù)解，

所以△二a2-420,

解得aW-2或a22.

故選:D.

跟蹤訓(xùn)練

【跟蹤訓(xùn)練1】（2025?武漢模擬）已知集合A二卜3,-2,0,2},B=（x|-1<x<4},則ADB的

子集個(gè)數(shù)為（）

17

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】直接求得交集，進(jìn)而可確定其子集的個(gè)數(shù).

【解答】解：由題意，可得APIB=｛0,2),

則ADB子集的個(gè)數(shù)為22=4個(gè).

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】(2025春?北京校級(jí)期中)已知集合A二｛1,2,3,4,5,…，2025｝的子集B滿

足：對(duì)任意x,y￡B,有x+yWB,則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是()

A.506B.507C.1012D.1013

【答案】D

【分析】假設(shè)B中的最大元素為2025,再將其余元素分組，再結(jié)合抽屜原理即可得解.

【解答】解：假設(shè)B中的最大元素為2025,

將剩下的元素分成為(1,2024),(2,2023),..,(1012,1013),

則共有1012組，

若B中元素多于1013個(gè)，結(jié)合抽屜原理可得，

一定有兩個(gè)數(shù)在同一組，兩個(gè)數(shù)的和為2025,

此時(shí)與題目條件矛盾.

故B中元素不可能多于1013.

所以當(dāng)B二｛103,1014,1015,2025｝Bf,

B中元素個(gè)數(shù)最多有20257013+1=1013.

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練3】(2025春?徐匯區(qū)校級(jí)期中)若從兩男兩女四人中隨機(jī)選出兩人，設(shè)兩個(gè)男生分

別用A,B表示，兩個(gè)女生分別用C,D表示，相應(yīng)的樣本空間為。=｛AB,AC,AD,BC,BD,

CD),則與事件“選出一男一女”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為.

【分析】根據(jù)題意選出一男一女，即從A,B中選一個(gè)，從C,D中選一個(gè)，即可得答案.

【解答】解：由題意可知與事件”選出一男一女”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為｛AC,AD,BC,

BD).

故答案為：｛AC,AD,BC,BD).

Rn

【跟蹤訓(xùn)練4】(2024秋?仁壽縣校級(jí)期末)定義集合的百集運(yùn)算為：-A=x|x=-,meA,nG

B,已知集合A二｛2,4｝,B=x|x=t_1,keA,則集合:UB的真子集個(gè)數(shù)是______.

NA

【客案】15.

【分析】求出集合B,利用題中定義可得出集合*利用并集的定義可得出集MUB,確定集

18

合：UB的元素個(gè)數(shù)，由此可得出該集合的真子集個(gè)數(shù).

【解答】解：因?yàn)锳={2,4},則B=x|x=：-1,keA=0,1,

又因?yàn)椋?x|x=\,m6A,neB=0,

B

攵

古uB

A-°，不5，1，共4個(gè)元素,

D

所以集A合B的真子集個(gè)數(shù)2，-1二15.

故答案為：15.

【跟蹤訓(xùn)練5】(2025秋?湖北期中)設(shè)集合A={x|ax2-(a+1)x+1=0,aGR),

B二［x|x2-5x+4=0).

(1)若AUB=B,求a的取值；

(2)記C=AUB,若集合C的非空真子集有6個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)a=0或"1或a=；;

4

(2)a|a00且aH1且aH

【分析】(1)通過a二。和a手0兩類情況討論即可；

(2)確定C中元素個(gè)數(shù)，由(1)即可確定.

【解答】解：(1)ax2-(a+1)x+1=0=>(ax-1)(x-1)=0;

若a=0,則x=1,此時(shí)A二⑴；

若a于0,Wx=1或x=1,當(dāng)a=1時(shí)，A二⑴；當(dāng)aWO且a手1時(shí)，A=1,-；

a3

又B二{1,4),

由若AUB二B可知AGB,有a=0或a=1或a=；；

(2)若集合C的非空真子集有6個(gè)，則2「2二6,可得"3,

即C二AUB中的元素只有3個(gè)，又B={1,4)

由(1)知，a手0且aR1且工。4,即aWO且a力1JLaW，

故實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合為a|a牛0且a羊1且a

電知識(shí)點(diǎn)7/

知識(shí)點(diǎn)

【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算

求集合的交集

19

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作AC1B.

符號(hào)語言：AMB={x|xGA,iLxGB).

ADB實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集.

運(yùn)算性質(zhì)：

①AAB=BAA.②AA0=0.@AAA=A.④ACIBGA,AABUB.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解,不能把“或”與“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

求集合的并集

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號(hào)語言：AUB={x|x￡A或x￡B).

AUB實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素.

運(yùn)算性質(zhì)：

①A