江西省全南中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

I.(1+i)2=()

A.2iB.1+21C.2+2iD.0

2.使得等式2cosx一機=1有意義的實數(shù)用的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(—0,0]C.[—1,1]D.[—3,1]

3.已知向量「二(1,7)與坂二(4M)共線,則實數(shù)上=()

A.4B.T2D.1

C.-4

1?

4.已如aU(O,兀)，sina+COST/=———,則sin?！猚oscr=()

A>/42RJ42rV21nJ21

5555

5.把函數(shù)y=COS.V圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼那Ц?縱坐標(biāo)不變)，再將圖象上所有

的點向右平移?個單位長度，得到函數(shù)y=/(x)的圖象，貝妙Q)二()

6

7t

A.cos二2x-吟-\B.cos2x--肩C.cos(-1x--lD.cos(-1x-花-、.

6；I3)[26)(212；

6.已知?個圓柱形容器的軸截面是邊長為4的正方形，往容器內(nèi)注水后水面高度為3.若

再往容器中放入一個半徑為1的實心鐵球，則此時水面的高度為()

10c371182

A.—B.nC.—D.—

97

7.已知函匆(戈)=Asin(心+0)(A>0,W>0,0<0<兀)的部分圖象如圖所示，若人。)=1,

)

8.在VABC中，若點D滿足B萬=2/）不，且八萬+＞則二的值為（）

A.-B.2C.-D.3

72

二，多選題

9.已知函數(shù)Ax）=sin2工一J5cos2x,下列說法正確的是（）

A.f（x）的最小正周期為兀

fix）的一個對稱中心為^,0

B.

C./㈤在區(qū)間0,工內(nèi)單調(diào)遞增

I3)

將函數(shù).丫=2sin2A的圖象上所有點向右平移甘個單位長度，可得到函數(shù)）,=4刈的圖

D.

象

10.已知復(fù)數(shù)z=（l-i）（6+i），則（）

A.z=7+5i

B.|z-2|=5也

C.zI7為純虛數(shù)

D.z在更平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

11.已知"，，〃為兩條不同的直線，。，3為兩個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若川la,an。，則〃？

B.若a,nra,m\\p,n//p,則aII。

C.若alg,m\\a,/?_LP,則〃?

D.若在1〃，m_La,n_Lp,則all。

三、填空題

12（兀'（兀、

12.已知cosan:,aw-7,。，則cosa-二的值為----.

13I2JI4J

13.已知向量方二（|,1）,石二（?1,3）,則向量方在向量力方向上的投影向量為」用坐

標(biāo)表示）

試卷第2頁，共4頁

14.己知〃WR,復(fù)數(shù)4=a+3i,z2=2-i,若會為純虛數(shù)，則會的虛部為-------

四、解答題

15.己知函數(shù)/*)=1+ccs2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求/(“)的單調(diào)遞減區(qū)間.

2

16.(1)已知sina=一一，且。是第四象限的角.求cosG及tana;

(2)已知Iian2=一；,求sina及cosCt.

17.如圖所示，幾何體的上部是一個正四棱錐P-A8CQ,下部是一個正方體，其中正四棱

(1)求該幾何體的表面積；

(2)求該幾何體的體枳.

18.在VA8C中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別是a,b,c,2ccosB+bcos(B+O=acosB.

⑴求8：

(2)若b=2屈如3,m乙二尸二心，求a、c.

3

19.如圖，正四棱錐S-A8c。的底面是正方形，每條便.棱的長都是底面邊長的倍，點P

在側(cè)棱SD上，且SP=3PQ.

試卷第3頁，共4頁

《江西省全南中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案ADBABAABACDABD

題號11

答案CD

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算.計算結(jié)果一

【詳解】由題意得（"ip=l+2i+i?=2i.

故選：A.

2.D

【詳解】由2cosx-=1得cosx=匕■%.因為-1WcosxW1,所以一11"W1,解得

9?

-3<m<1.

3.B

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式，即可求解.

【詳解】因為丁與屋共線，所以"h（-3）x4=0,得k=-12.

故選：B.

4.A

【分析】將題給等式兩邊同時平方得到2sinacos?=q,結(jié)合。范圍可判斷sincr,cosa的

符號，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可即求得sin。-cos。.

）817

（詳解】（sina+cosa）~=I+2sinacoscr=——*2sinacosa.

，42

故（sincz-cosal=1-2sinacos?=—,

又:sinarcosa<0且aG（0.7t）—*sina>0,故cosa<0,

742

:sina-cosQ>0,故sina-cosa=----

S

故選：A.

5.B

【分析】求出把函數(shù)），二co沙圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）后的函

數(shù)，求出再將圖象上所有的點向右平移二個單位長度后的函數(shù).

A

答案第1頁，共8頁

【詳解】把函數(shù))，=COSA?圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目?縱坐標(biāo)不變)后的函數(shù)為

y=cos2x,

再將圖象上所有的點向右平移5個單位長度后的函數(shù)為'=cod2(x-F)]=cos(2xY)

663

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)已知條件，容器中放入鐵球后，總體積為水體積和球體積，由此列方程求解即

可.

【詳解】由已知可得圓柱的底面半徑為2,往容器內(nèi)注水后水面高度為3,此時放入一個半

徑為1的實心鐵球，鐵球的直徑為2,所以鐵球完全沒入水中，

A1A

設(shè)此時水面的高度為力，則71x2?x3+-7rx「=71x2?幼，解得人=一,

3a

故選:A.

7.A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)/(x)=Asin(必+卬)的解析式，然后由人。)二1得出

，江、(兀、

sina+吃的值，最后利用二倍角公式求出cos2a+-的值.

【詳解】由題圖可知火外相鄰對稱軸間的距離為竺-2=71，可得二二丸，

??9

27t

因此丁=2?,w==1,

T

當(dāng)、=,時，—(p—2kit+—,kGZ,故8—2EH—,&￡Z.

由0<0<7t可得0=5,

O

由函數(shù)的最大值為3可得人=3,因此/(X)=3sinx+5,

k6)

由負(fù)a)=1,得sin(a+B]=!，

k613

(.乃、i.2r不17

..cos2a+—,=l-zsm*a+—=—,

I3JI6)9

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解.

【詳解】如圖，

答案第2頁，共8頁

———一2一一2一一I—2一

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

一?—?—??1

又A/=mA1+必B?

m=-in=-,故竺=2.

44〃

故選：B.

9.ACD

【分析】輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為J（X）=sin2x-\5cos2x=2sin（2x-$

A選項，/（x）的最小止冏期為兀，故A選項止確：

B選項，/—\2sinf2x——V2sin—=V3.故B選項錯誤；

16JI63）3

C選項，因為，則

\3/3\33/\22J

所以函數(shù)/（V）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故C選項正確：

771

D選項，將函數(shù)y=2sin2x的圖象上所有點向右平移7■個單位長度得,

2x=2sin2/-［冗的圖象，故D選項正確:

3

10.ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù)Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)知識逐項判斷即可.

【詳解】7=（l-i）（6+i）=7-5i,

z=7+5i,A正確；

|r-2|=5-5i=V52+52=5>/2,B正確；

z+7=14-5i不是純虛數(shù)，C錯誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（7,-5）位于第四象限，D正確.

故選：ABD.

答案第3頁，共8頁

II.CD

【分析】根據(jù)線線關(guān)系，線面關(guān)系分別判斷各個選項即可.

［詳解】對于A,若〃//a,an6=，則"〃/〃或〃與m異面，所以A錯誤.

對于B,若〃7LCT,〃LCX,m//p,n//pt沒有〃7,〃是相交直線這個條件，不能得到?！ㄊ?/p>

所以B錯誤.

對于C,由得存在過直線〃，的平面與平面。相交，令交線為c,則〃?//c,而〃_LB,

aHB，則”_La,〃_Lc,因此〃_L〃，C正確.

對于D,若〃?/加，w_La,貝加_La,又〃_1_氏所以cr〃G，D正確.

故選：CD.

12.這

26

【詳解】因為aJ-工。所以sina=-^/^sCa=所以

I2)H

(ityn..itVI6(f61也

14yl44132L139226

(13、

【分析】根據(jù)向量投影的計算公式求出向量J在向量〃?方向上的投影，再結(jié)合投影向量的定

義求出投影向量.

ab

【詳解】根據(jù)向量投影的計算公式，向量〃.在向量”方向上的投影為兩.

已知/=(1,1),岳二(-1,3),則/出=1x(-l)+lx3=2.

|h|=7(-l)2+32=Vu9=Vio

.ab2M

所以向量a在向量〃方向上的投影為而二7而二飛一

.ab

根據(jù)投影向量的定義，向量)在向量〃方向上的投影向量為?百I

將f.=2,歷『=(廂hl。岳=(-1,3)代入可得：

2-I13

3)=(--,-).

故答案為：

答案第4頁，共8頁

3

【分析】先應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法及除法運算，再結(jié)合復(fù)數(shù)類型計算求參即可.

-a+3i(a+3i)(2+i)2a-3+(6+a)i

【詳解】依題意可知'二大一=<八.蕓:=----7——為純虛數(shù)，故2〃-3=0

二22-i(2-i)(2+i)5

4A2

解得。二一，所以虛部為。+53.

9----=-

57

故答案為：

2

15.⑴兀

(2)kmkn+3,ke7.

【分析】(1)根據(jù)余弦函數(shù)周期公式求解；

(2)根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)避減區(qū)間求解.

【詳解】(1)/U)的最小正周期為7二型二五.

(2)令2履W2vW兀+2bt,A￡Z,解得：kjt<x<--^hi,kRZ,

所以/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為+1,A￡Z.

16.答案見解析

【分析】(1)先根據(jù)象限角判斷cosa>0,然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解；

(2)先根據(jù)tana<0判斷角所在象限，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解

【詳解】(1)。是第四象限的角，則cosa>0,于是cosa=>/rsin%=直則

sina2石

tan3=----=-----;

cosa5

(2)【ana：-，則。是第二或四象限的角，

sin2a+cosJa-\sina=——

5

當(dāng)a是第二象限角時,cosa<o,sina>o,由，1sina解得，

tana=—=26

2cosacosa=-----

5

,亞

sin2a+cos2a=\sina=----

5

當(dāng)a是第四象限角時，cosa>o,sina<o,由<1sina，解得，

tana=—=----2后

2cosacosa=---

5

17.(1)36^4-18(

答案第5頁，共8頁

(2)r=3672+216

【分析】（1）設(shè)M是C。的中點，連接尸M,進(jìn)而可證明尸MJLC。，從而可計算正四極錐

的側(cè)面積與正方體的五個面積：

（2）根據(jù)錐體與正方體體積求解即可.

【詳解】（1）設(shè)M是8的中點，連接PM.

因為△PCO是邊長為6的正三角形，

所以PMJ.C。，且=

所以該幾何體的表面積5=（3乂6、3百）*4+62、4+62=368+180.

（2）連接AC8。，設(shè)交點為O,連接PO,則P0是四棱錐P-A8CO的高,

則P0=3出，所以/一小=+6、3>/1=36也

又正方體的體積為6x6x6=216,

所以該幾何體的體積V=36,2+216?

Tt

?8.（I）-

（2）a=3,c=4癡=4,c=3

【分析】（I）利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式求出cosB,即可得解：

（2）首先求出〃，由數(shù)量積的定義求出加、，再由余弦定理求出〃+c,最后解得即可.

答案第6頁，共8頁

(詳解】(1)因為2ccosB+bcos(B+O=acosB,

BP2ccosB-bcosA=acosB，

即acosB+bcosA=2ccosB,

由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，

sin(A+B)=2sinCcosB,：sinC=2sinCcosB,

'-CG(0.兀)，sinCW0,：cos,

BG(0,7t),：8=1.

(2)由(l)可得力=22受sinB二獨9x蟲=

2?7

_________________一1

==-6./.BCBA=accosB=-ac=5,

.R?a2+c2-b21

.ac=\2,又cosB=---------------=—

nr?;

222

Bna+c-13(a+cf-2ac-l3(a-H?)-13.I

2ac2ac242

a+c=l解得fa="3或fa=4

：a+c=1由，|c=3

ac=\2

19.(1)證明見解析

(3)存在，SE:EC=2:1,理由見解析

【分析】(1)連接ACA8Q=。，連接50,利用正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直