第二章直線與圓的方程

立線與圓的方程

知識清單1

清單01直線斜率的坐標(biāo)公式

如果直線經(jīng)過兩點4不，,），8（西,以）（百工修），那么可得到如下斜率公式：

清單02直線方程

（1）直線的點斜式方程

已知條件（使用前提）直線/過點P（x0,%）和斜率k（已知一點+斜率）

圖示J

1

點斜式方程形式—

適用條件斜率存在（注直線/若斜率大存在不可使用該形式直線方程）

（2）直線的斜截式方程

已知條件（使用前提）直線/的斜率為k且在y軸上的縱截距為/?（已知斜率+縱截距）

圖示

點斜式方程形式

適用條件斜率存在（注宜線/若斜率穴存在不可使用該形式直線方程）

（3）直線的兩點式方程

已知條件（使用前提）直線/上的兩點6（X|，X）,巴（々，%）（%工工2，,工）’2）（已知兩點）

務(wù)

圖示

點斜式方程形式—

適用條件斜率存在且不為0：

當(dāng)直線沒有斜率（玉=/）或斜率為o（y=%）時，不能用兩點式求出它的方程

（4）直線的截距式方程

已知條件（使用前提）直線/在x軸上的截距為。，在y軸上的截距為人

圖示JL

/adx

點斜式方程形式—

適用條件。00,bw0

<5）直線的一般式方程

定義:關(guān)于X,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于兒y的二元一次方程Ar+Bv+C=o（其中

A,B不同時為oA?+）wo）叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.

說明：

1.A、3不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.

Ar（rAA

當(dāng)BwO時，方程可變形為），=-^^一高，它表示過點0,--,斜率為一百的直線.

當(dāng)8=0,AwO時，方程可變形為At+C=0,即x=—C,它表示一條與x軸垂直的直線.

A

由上可知，關(guān)于工、y的二元一次方程，它都表示一條直線.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于元、y的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以

對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于x、y的一次方程.

3.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.

清單03兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

h：y=kix+b\/］：4速+3信+。1=0(國+灰片0)

方程

h,.y=kix+bi

1-2：A2X+B2y+C2=0(&+Bl豐0)

AB—AB=#0（當(dāng)工24于0時，記為生H咨■）

相交k#k?X22X

清單07對稱問題

1、點關(guān)于點對稱問題（方法：中點坐標(biāo)公式）

求點,y）關(guān)于點A（/,比）的對稱點Q（a,Z?）

a=2XQ-玉

由：n

〃=2yo-y

2、點關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）

求點?（王，）口關(guān)于直線/：Ar+By+C=0的對稱點Q（a,b）

①設(shè)PQ中點為A利用中點坐標(biāo)公式得A（三著，空辿）,將A（空空2）代入直

2222

線1：4t+3v+C=O中；

②也?&=-1

整理得：

3、直線關(guān)于點對稱問題（求4關(guān)于點P（a,〃）的對稱直線4,貝I"出）

方法一：在直線4上找一點4,求點A關(guān)于點P對稱的點8,根據(jù)4/〃2=＞匕=&，再由點斜式求解：

方法二：由/J〃2，J〃2,設(shè)出4的直線方程，由點尸到兩直線的距離相等4=出求參數(shù).

方法三：在直線，2任意i點（五,?。笤擖c關(guān)于點尸對稱的點（2a-戈,2。一y）,則該點（2〃一工2人一），）在直

線4上.

4、直線關(guān)于直線對稱問題

4.1直線4：4x+4），+G=0（A：+B：工0）和/：AK+B）：+C=0（&+B；。0）相交，求4關(guān)于直

線/的對稱直線，2

①求出4與/的交點產(chǎn)

②在《上任意取一點“（非P點），求出M關(guān)于直線/的對稱點N

③根據(jù)P,N兩點求出直線

4.2直線hA-E+3J+G=0（A；+B：w0）和/：Ar+By+C=0（8+叫工0）平行，求4關(guān)于直

線/的對稱直線

①―匕

②在直線乙上任取一點M,求點M關(guān)于直線/的對稱點N,利用點斜式求直線4

清單08點與圓的位置關(guān)系

222

判斷點M(x0,%)與QA：(x-a)+(y-b)=r位置關(guān)系的方法：

(1)幾何法(優(yōu)先推薦)

設(shè)M(x0,%)到圓心的距離為〃，則d二|1

①d〉/O則點M(%,%)在QA

②d=r0則點A/(x0,%)在QA

?d<r<=>則點M(%,yQ)在OA

(2)代數(shù)法

22

將點M(X。，y0)帶入OA：a-0)2+(y-b)=r方程內(nèi)

①點M(x0,%)在0A外。

②點M(x0,%)在0A上<=>

③點河(演),y0)在OA內(nèi)o

清單09圓上的點到定點的最大、最小距離

設(shè)0A的方程(了一。)2+()，-32=/，圓心A(a*),點/是OA上的動點，點P為平面內(nèi)一點；記

d=\PA\-,

①若點P在OA外,則；1PMimM=d-r

②若點P在。A上，則；IPM1mm=0

③若點尸在0A內(nèi)，則|PM|max=d+r;

清單10判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法

2.1幾何法(優(yōu)先推薦)

位置相交相切相離

關(guān)系

判定C：（X-4）2+（y"=，；C:（x-a）2+（y-b）2=r；C\（x-a）~+{y-b）'=r~；

方法

/:Ax+By+C=O?/:Av+By+C=00/:Ax+By+C=0o

圓心C（a,。）到直線/的距離：圓心C（4,。）到直線/的距離：圓心C（a,。）到直線/的距離：

,|Aa+Bh+C\|Aa+劭+C|.|Aci+Bb+C|

a=,-------a=,-------oa=,-------

J/V+B?odA?+JA?+B?o

圓與直線相交。d=rn圓與直線相切。d＞廠二＞圓與直線相離。

2.2代數(shù)法

直線/：Av+8），+C=0；x2+y2+Dx+Ey+F=O

Ax+By+C=0

聯(lián)立〈22消去“y”得到關(guān)于“X”的一元二次函數(shù)雙2+"+C=0

廠+）廣+6+玲，+/=（）

①A>0o直線/與圓M

②A=0O直線/與圓M

③A〈0o直線/與圓M

清單11直線與圓相交

記直線/被圓C截得的弦長為IA。I的常用方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

①弦心距（圓心到直線的距離）

②弦長公式：_______________________

2、代數(shù)法

直線/：Ar+8），+C=0；圓Md+V+Ox+Ey+Fn。

Ax+By+C=0

聯(lián)立〈22消去“y”得到關(guān)于“X”的一元二次函數(shù)公2+"+C=0

x~+y~+Dx+Ey+F=O

弦長公式：_______________________

清單12圓上點到直線的最大（小）距離

設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的三徑為廣

①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：d-r；

②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：2人最小距離為：0；

③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為："+，?，最小距離為：0；

易錯總結(jié)

易錯點1忽視了直線傾斜角的取值范圍

錯誤：錯誤認(rèn)為直線傾斜角是0°?aW90。

注意：直線傾斜角取值范圍O'Wav180,

例題1經(jīng)過點P（0,-1）作直線,,若直線/與連接點A（L-2）,3（2,1）的線段沒有公共點，則直線/的傾斜角。

的取值范圍是.

易錯點2判斷兩條直線位置關(guān)系時忽視斜率不存在或者直線重合的情況的情況

錯誤：在根據(jù)兩條直線位置關(guān)系求參數(shù)時，容易忽略考慮直線斜率不存在的情況，或者忽略了直線重合

注意：要特別注意考慮斜率不存在情況，不遺漏

例題2?1已知直線2x+my+m+6=0與直線〃氏+2），-4=?；ハ嗥叫?，則"?為（）

A.--B.-2C--2或2D.2

2

例題2?2已知直線4：6a-y+2024=0,/2：（2-3〃）工+緲-1=0,若…,則實數(shù)。的值為（）

A.0B.7C.0或2D.1或2

33

易錯點3忽視截距為0的情況

錯誤：題意中出現(xiàn)截距問題是直接用直線截距式從而忽視考慮截距為0的情況

注意：出現(xiàn)截距優(yōu)先考慮截距為0,不遺漏

例題3?1過點八（1,3）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為.

例題3?2過點A（l,2）,且在兩坐桁軸上截距相等的直線方程為.

易錯點4平行線間距離公式使用不當(dāng)

錯誤：兩條直線平行，使用公式時忽略了直線一般式中A,B化為一樣

注意：先講兩條直線一般式中A,B化為一樣在代入距離公式

例題4-1直線/,:2x-3y+l=0與直線/2:4x-6y+l=0的距離為一.

例題4-2兩平行直線點3x-4），-8=0,4：64-8），+9=0之間的距離為.

易錯點5忽略了二元二次方程表示圓的條件

錯誤：對于方程f+y2+Di+既，+尸=0為常數(shù)），當(dāng)。2+￡2一4/>0時，方程

/+）,2+瓜+及y+尸=0叫做圓的一般方程.

（n以1>]D2+E2-4F為半徑的圓;

①當(dāng)￡）2+爐一4歹>0時，方程表示以-萬，-為圓心,

4

注意：只有在。2+七2一4廠才表示圓

例題5?1若點P（T2）在圓/+）,27+2,，+22=0的外部，則實數(shù)&的取值范圍是（）

A.（—5,+oo）B.（—so,—5）C.15年）D.-5,—^

2

例題5?2若圓C的方程為-V+/-2x+z=0,則實數(shù)f的取值范圍為一.

易錯點6曲線方程變形不等價

錯誤：形如：=這類曲線變形時，不等價變形

注意：變形時注意等價變形

例題6?1若函數(shù)），=-再二的圖象與直線工-2），+〃?=0有公共點，則實數(shù)”的取值范圍為（）

A.—2\/5—1,1JB.[-2\/^-1,-2占+1]

C.[-26+1,1]D.[-3,1]

例題6?2過定點（-20）的直線/與曲線C：），=j4-（x-2）2交于不同的兩點,則直線/的斜率的取值范圍

易錯訓(xùn)練

1.已知直線/的方程為(sina)x-y+3&=0,aw,則直線/的傾斜角0的取值范圍是（）

。丹3兀7t71

A.0,：%)B.C.D.

T,7t4,4

2.設(shè)直線/的方程為2x—2）cos8+3=0,則直線/的傾斜角。的范圍是（）

it兀

A.[0,n]B.

4,2

n3兀nn713兀

C.45TD.“32,T

3.已知直線儂+（2m-l）y+2=0與直線3x+my+3=0垂直,則（）

A.tn=\B.tn=-\C.〃?=()或〃z=-lD."7=1或〃2=0

4.方程/+）,2一2工+2），=〃表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[2,-K?)B.(2,田)C.[-2,+03)D.(-2*)

5.若方程3-2"++7=0表示一個圓，則。的取值范圍是（）

A.(-V6,0)u(0.V6)

C.(->/7,0)U(0,>/7)

6.已知點（2,0）在圓/+），2-2〃a+4〉，+8=0的外部，則實數(shù)，”的取值范圍為（）

A.（f3）B.（3,-Ko）

C.,-2）U（2,3）D.-2）U（2,-KO）

7.若/+），2—x+y—2〃?=。是一個圓的方程，則實數(shù)機的取值范圍是（）

旬B.Q.+aJC（“+力D.-oo,-

4/

8.過點（2.0）引直線/與曲線），+67了=0相交于A,8兩點,0為坐標(biāo)原點，當(dāng)VA08的面積取最大值時,

直線/的斜率等于（）

A.且B.GC.土且

D.±G

33

9.若直線y=Mx-2）與曲線c：）,=JT/恰有兩個公共點,則實數(shù)k的取值范圍為（）

10.已知函數(shù)=的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線），=-1的對稱點在尸心-1

的圖象上，則攵的取值范圍是（）

11.已知直線y=x+，〃和曲線)，=4-Y有兩個不同的交點，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-&,&)C.[l,夜)D.[1,3]

12.(多選)已知直線小工-/"2=0,直線?、?(〃-2力-3=0,若《IL則實數(shù)?？赡艿娜≈禐?)

A.-1B.0C.1D.2

13.直線.8。$。+6丁-2=0傾斜角的取值范圍是.

14.已知點4(2,—I),8(3,〃?)，若〃?[-2,6-1],則直線43的傾斜角的取值范圍為.

15?直線4:2x-(a+l)y-l=O,直線乙：以一丁+1=。，若"〃2,貝心=.

16?直線/經(jīng)過點(3,-2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線/的方程為.

17.直線/過(-3,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線/的方程/.

18?過點(-1,2)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的斜率是.

19.直線/過點(3,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/的方程為.

20.兩條平行直線標(biāo)-4y-2=0與6x-8＞，+1=0間的距離為：.

21.兩條直線4：x-2y+l=0與12：2工一4)，-8=。之間的距離為.

22.直線3x+4)，-1二0與直線6x+8y+9=0的距離為.

23.直線3l一4)，-1=0與6x—8y+9=0間的距離是_______.

第二章直線與圓的方程

立線與圓的方程

知識清單

清單01直線斜率的坐標(biāo)公式

如果直線經(jīng)過兩點4王，凹），8（々,乃）（玉工々），那么可得到如下斜率公式:

心AZA

清單02直線方程

（1）直線的點斜式方程

已知條件（使用前提）直線/過點和斜率%（已知一點+斜率）

y|Z

圖示yp(^

點斜式方程形式），一耳=心一凡）

適用條件斜率存在（注直線/若斜率不存在不可使用該形式直線方程）

（2）直線的斜截式方程

已知條件（使用前提）直線/的斜率為&且在y軸上的縱截距為力（已知斜率+縱截距）

L

圖示

點斜式方程形式y(tǒng)=kx+b

適用條件斜率存在（注直線/若斜率穴存在不可使用該形式直線方程）

（3）直線的兩點式方程

已知條件（使用前提）直線/上的兩點4（石，x）,6（々，必）（工尸當(dāng)，,工）’2）（已知兩點）

圖示

點斜式方程形式y(tǒng)-y,x-x,、

?、，=?“a豐%)

適用條件斜率存在且不為0；

當(dāng)直線沒有斜率（$=/）或斜率為0（y=%）時，不能用兩點式求出它的方程

（4）直線的截距式方程

己知條件（使用前提）直線/在X軸上的截距為。，在y軸上的截距為。

圖示X

%。X

點斜式方程形式

"a=b1

適用條件。,/?w0

（5）直線的一般式方程

定義:關(guān)于y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于Ly的二元一次方程AY+B），+C=O（其中

A,B不同時為0A2+B2工0）叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.

說明：

1.A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.

Ar（cAA

當(dāng)BwO時.，方程可變形為），=-與1-高，它表示過點0,---,斜率為的直線.

BByBJB

當(dāng)B=0,AwO時，方程可變形為At+C=O,即x=—C,它表示一條與x軸垂直的直線.

A

由上可知，關(guān)于工、y的二元一次方程，它都表示一條直線.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于冗、y的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以

對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于x、y的一次方程.

3.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.

清單03兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

方程h：y=k\x+b\八：42+8信+。1=0（國+段大0）

h'.y=kix+bi

1-2-A2X+B2y+C2=0（^2+芋0）

AIB—AB^0（當(dāng)工24HO時，記為牛H惇）

相交k#222X

442+5&=0（當(dāng)8逮2于。時,記為言?含=-1）

垂直k\ki=-

1%5

^1^2—ABi=0或?4B—ABI=Q

<222

萬I。％—^>2^\干UIO2—Z12^1千U

平行女尸&2且。1初2

（當(dāng)4282c2芋0時，記為點=會于會）

4=血叢=入①6=入。2（杼0）

重合k=依且bi=l）2

（當(dāng)4282G￥0時，記為*=等=舁）

&2用5

清單04兩點間的距離

平面上任意兩點6（X，y）,￡（%,%）間的距離公式為IPR1=4±一%）2+（為一）。2

特別地，原點0（0,0）與任一點P（x,y）的距離IOP1=+L.

清單05點到直線的距離

|A%+By。+C|

平面上任意一點《（小,為）到直線/：A￥+8y+C=0的距離d三

YA>十s一

清單06兩條平行線間的距離

一般地，兩條平行直線乙：Ax+4y+G=0（小+母工0）向4：4工+男y+。2=0（A；+B；工0）

,IG-CJ

間的距離d=二一

y/A，+爐

清單07對稱問題

1、點關(guān)于點對稱問題（方法：中點坐標(biāo)公式）

求點,y）關(guān)于點A（/,比）的對稱點Q（a,Z?）

a=2XQ-玉

由：n

〃=2yo-y

2、點關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）

求點?（王，）口關(guān)于直線/：Ar+By+C=0的對稱點Q（a,b）

①設(shè)PQ中點為A利用中點坐標(biāo)公式得A（三著，空辿）,將A（空空2）代入直

2222

線1：4t+3v+C=O中；

②也?&=-1

整理得：

au姆&c=o

22

A,-aB

3、直線關(guān)于點對稱問題（求4關(guān)于點p（ab）的對稱直線，2,則4人）

方法一：在直線人卜找一點八.求點A關(guān)干點尸對稱的點△,根據(jù)4/〃2=＞工=上,再由點斜式求解：

方法二：由ijiiji],設(shè)由4的直線方程，由點P到兩直線的距離相等4=4求參數(shù).

方法三：在直線，2任意一點（X,y），求該點關(guān)于點尸對稱的點（24—x,2b—y）,則該點（2。一工26-），）在直

線、上.

4、直線關(guān)于直線對稱問題

4.1直線4：Ax+q），+G=0（用+以工0）和/：Ar+8）：+C=O（用+鷲工0）相交，求4關(guān)于直

線/的對稱直線

①求出4與/的交點P

②在4上任意取一點M（非P點），求出M關(guān)于直線/的對稱點N

③根據(jù)P，N兩點求出直線（

4.2直線hAX+3J+G=0（A：+B：/0）和/：At+8）：+C=0（&+國工0）平行，求《關(guān)于直

線/的對稱直線，2

①攵2=冗

②在直線4上任取一點M,求點M關(guān)于直線/的對稱點N,利用點斜式求直線人

清單08點與圓的位置關(guān)系

222

判斷點M(x0,%)與QA：(x-a)+(y-b)=r位置關(guān)系的方法：

(1)幾何法(優(yōu)先推薦)

設(shè)M(x0,%)到圓心的距離為〃，則d二|1

①d〉r=則點M(%,%)在OA處

②/=r0則點/W(x0,%)在CM上

?d<r<=>則點M(%,Y))在OA內(nèi)

(2)代數(shù)法

將點M(馬，%)帶入OA：(1-of+(y-b)2=r2方程內(nèi)

①點用(Xo,y0)在QA外0(1—八)2+(%—力/>八

②點A/(x0,y())在QA上0(%-〃)2+(%—/?)2=產(chǎn)

③點M(%,為)在OA內(nèi)o(%一a：十(為一/I<廠2

清單09圓上的點到定點的最大、最小距離

設(shè)0A的方程(4一。)2+()，一人)2=，，圓心A(a,Z?),點加是QA上的動點，點P為平面內(nèi)一點；記

d=\PA\-

①若點尸在OA外，則皿三4±土;|PM1mm二〃一廠

②若點。在OA上，則I尸M|g、=2r；|PML“二0

③若點P在。A內(nèi)，則IPML、=d+9；IPM篇=r-d

清單10判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法

2.1幾何法(優(yōu)先推薦)

圖象

d

位置相交相切相離

關(guān)系

判定C：（X-4）2+（y"=，；C:（x-a）2+（y-b）2=r；C\（x-a）~+{y-b）'=r~；

方法

/:Ax+By+C=0?/:Av+By+C=O0/:Ax+By+C=0o

圓心C（a,。）到直線/的距離：圓心C（4,。）到直線/的距離：圓心C（a,。）到直線/的距離：

,|Aa+Bh+C\|Aa+劭+C|.|Aci+Bb+C|

a=,-------a=,-------oa=,-------

J/V+B?odA?+JA?+B?o

圓與直線相交。d=rn圓與直線相切。d＞廠二＞圓與直線相離。

2.2代數(shù)法

直線/：Av+8），+C=0；x2+y2+Dx+Ey+F=O

Ax+By+C=0

聯(lián)立〈22消去“y”得到關(guān)于“X”的一元二次函數(shù)雙2+"+C=0

廠+）廣+6+玲，+/=（）

①A>0=直線/與圓Mill交

②A=00直線/與圓M相切

③A<0=直線/與圓A/相離

清單11直線與圓相交

記直線/被圓C截得的弦長為IA。I的常用方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

①弦心距（圓心到直線的距離）

②弦長公式：ARcF—d?

2、代數(shù)法

直線/：Ar+8），+C=0；圓M/+），2+瓜+4+/=0

Ar+Bv+C=0

聯(lián)立《，，八消夫“y”得到關(guān)于“X”的一元二次函數(shù)依2+'.+°=0

x~+y~+Dx+Ey4-F=0

弦長公式：48=J]+）2.+X[）2—4再％2

清單12圓上點到直線的最大（?。┚嚯x

設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的三徑為廠

①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為："r,最小距離為：d-rx

②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：2人最小距離為：0；

③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：0；

易錯總結(jié)

易錯點1忽視了直線傾斜角的取值范圍

錯誤：錯誤認(rèn)為直線傾斜角是a《90’

注意：直線傾斜角取值范圍180。

例題1經(jīng)過點尸(0,-1)作直線/,若直線/與連接點A(l,-2),8(2,1)的線段沒有公共點，則直線/的傾斜角。

的取值范圍是_____.

【答案】(祥)

【分析】根據(jù)直線與線段無交點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求傾斜角的范圍.

【詳解】如圖所示，直線/與線段沒有公共點，若a為直線/的傾斜角,

直線/可從直線出逆時鑰旋轉(zhuǎn)到直線EA的位置，注意包含直線/傾斜角為金的情況,

kpA==-ikpB=~~~-=I,

叢0"-21PB0-2

直線/的區(qū)域包含傾斜角為y的情況，

斜率&<A戶八二一1或A=1,從而tana<-1或tana>l,

又痣40,兀)結(jié)合正切曲線可得ae信手).

易錯點2判斷兩條直線位置關(guān)系時忽視斜率不存在或者直線重合的情況的情況

錯誤：在根據(jù)兩條直線位置關(guān)系求參數(shù)時，容易忽略考慮直線斜率不存在的情況，或者忽略了直線重合

注意：要特別注意考慮斜率不存在情況，不遺漏

例題2」已知直線2x+〃r+〃z+6=0與直線〃?x+2y-4=?；ハ嗥叫?，則加為()

A.--B,-2C.-2或2D.2

2

【答案】D

【分析】利用兩直線平行的性質(zhì)列方程求出川的值，再檢驗兩直線是否重合即可.

【詳解】因為直線21+，世+〃?+6=0與直線〃“+2），-4=0互相平行，

所以m~=4,解得〃7=2或-2,

又囚為〃2=-2時，兩直線重合，K符合題意，舍去.

所以，=2.

故選：D.

例題2?2已知直線4：av-y+2024=0,/2：（2-3〃）%+砂一1=0,若則實數(shù)”的值為（）

A.0B.-C.0或！D.1或2

33

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】直線4：◎7+2024=0,4：（2-%）“+斫1=0,

則=0,解得a=0或;.

故選:C.

易錯點3忽視截距為0的情況

錯誤：題意中出現(xiàn)截距問題是直接用直線截距式從而忽視考慮截距為o的情況

注意：出現(xiàn)截距優(yōu)先考慮截距為0,不遺漏

例題3-1過點A（l,3）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為.

【答案】3x-y=0或x+y-4=0

【分析】對直線是否過原點進(jìn)行分類討論，設(shè)出所求直線方程，將點A的坐標(biāo)代入直線得出，求出參數(shù)值,

綜合可得出所求直線的方程.

【詳解】若直線過原點，設(shè)直線方程為丁=履，

將點A的坐標(biāo)代入直線方程可得A=3,此時，直線方程為力-），=0；

若直線不過原點，設(shè)所求直線方程為'+2=1（。工0）,即x+y=〃，

aa

將點A的坐標(biāo)代入直線方程可得a=4,此時，直線方程為x+y=4,即x+y-4=0.

綜上所述，所求直線方程為3x—y=?；騲+）-4=0.

故答案為：3x-?，=()或x+y-4=0.

例題3-2過點4(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

【答案】y=2x或y=-x+3.

【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，直線過原點時直接求出斜率得直線方程；不過原點時設(shè)

出直線方程，代入點的坐標(biāo)得答案.

【詳解】顯然直線的斜率是存在的.

若兩坐標(biāo)軸上截距相等且等于零,設(shè)直線方程為)，=依，因為過點A(l,2),所以4=2,所以直線方程為y=2x;

若兩坐標(biāo)軸上截距相等且不等于零，設(shè)直線方程為2+2=1.因為過點4(1,2),所以』+2=],故”=3,

aaaa

所以直線方程為:+]=L即y=-x+3;

故答案為：y=2x或)，=一X+3.

易錯點4平行線間距離公式使用不當(dāng)

錯誤：兩條直線平行，使用公式時忽略了直線一般式中A,B化為一樣

注意：先講兩條直線一般式中A,B化為一樣在代入距離公式

例題4-1直線4:2x-3y+l=0與直線4：4x-6y+l=0的距離為.

【答案】風(fēng)工歷

2626

【分析】利用平行線間的距離公式可求出這兩條平行直線間的距離.

【詳解】直線4的方程可化為4x-6y+2=(),由題意可知，"么,

,IT屈

所以，直線J：2x-3y+l=。與直線，2：4x-6y+l=。的距離為"==寶

故答案為：叵.

26

例題4?2兩平行直線4：3x-4)，-8=0,4：6x-8y+9=0之間的距離為_____.

【答案】|/2.5

【分析】先將變換直線為《：6X-8)，-16=0,再利用兩平行線間的距離即可求得結(jié)果.

|9-(-16)|255

【詳解】由題意得4：61-8)，-16=0,由兩平行線間的距離公式，得八42；(_8)2=歷=5

故答案為:I

易錯點5忽略了二元二次方程表示圓的條件

錯誤：對于方程f+),2+f+4+產(chǎn)=。(/)/,產(chǎn)為常數(shù))，當(dāng)。之+爐―4/時，方程

x2+V+Ox+@+尸=0叫做圓的一般方程.

(nF為圓心，以，爐一尸為半徑的圓;

①當(dāng)。2+E2-4/>0時，方程表示以一不，一不gJ2+4

注意：只有在。2+?2一4/>0才表示圓

例題5?1若點p(-1,2)在圓/+),2_1+2)，+2々=0的外部，則實數(shù)&的取值范圍是()

A,(—5,+oo)B.(-co,—5)C.卜5，wD.-5,—^

【答案】C

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系以及二元二次方程表示圓的條件可得不等式，解不等式即可.

【詳解】由已知圓V+y2-x+2y+2*=0,貝打+4-84>0,

又點。(一1,2)在圓/+)，2一%+2丁+2攵=0的夕卜部,

則1+4+1+4+2Q0,

'5-8Q0,,5

即」,解■（寸—5<k<—,

10+2%>08

故選：C.

例題5?2若圓。的方程為/+爐-2x+r=0,則實數(shù)/的取值范圍為

【答案】(-℃,1)

【分析】由圓的一般方程可得出關(guān)于7的不等式，解之即可.

【詳解】因為圓。的方程為丁+)，-2/「=0,則(-2)2-射>0,解得

因此，實數(shù)/的取值范圍是(口4).

故答案為：(-oo,l).

易錯點6曲線方程變形不等價

錯誤：形如：C：y=VT7這類曲線變形時，不等價變形

注意：變形時注意等價變形

例題6?1若函數(shù)），=-歷二萬的圖象與直線x—2），+〃?=0有公共點，則實數(shù)"，的取值范圍為（）

A.[-275-1,1]B.1-26-1,-26+1]

C.[-2>/5+1,1]D.[-3,1]

【答案】A

【分析】由條件可得函數(shù)圖象為半圓，將問題轉(zhuǎn)化為直線與半圓存在交點，結(jié)合圖象可求得〃?的取值范圍.

【詳解】將y=-j4-（x-lf變形得出（x—l）2+），2=4（yK0）,

即該曲線是以。（1,0）為圓心，以2為半徑的半圓，如圖，

其與x軸的交點為A（—L0）,8（3,0j,

當(dāng)直線工-2），+6=0過A（—1,O）時，有-1+加=0,即m=1,

|1+同

當(dāng)直線工-2），+切=0與半圓相切時，有圓心。到直線的距離=2,m<0,

得加=一2行一1或〃?=2右一1（舍）

結(jié)合圖象可知，若函數(shù)y=-j4-（x-l『的圖象與直線x-2y+〃i=0有公共點,

貝IJ實數(shù)〃?的取值范圍為[-26-1,1].

例題6?2過定點（-2,0）的直線/與曲線C：尸（%-2）2交于不同的兩點,則直線/的斜率的取值范圍

是____-

【分析】由題干中的方程，明確曲線所圍成的圖形，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案.

【詳解】由已知曲線C:（x-2）2+y2=4（0MxW4）表示的是以C（2,0）為圓心，以2為半徑的上半圓,

由題意可知直線的斜率一定存在且大于零，可設(shè)方程為），=6+2左，即京-），+2%=。

當(dāng)直線與圓相切時,即』,得得J解外哼

所以直線/的斜率的取值范圍是0,

易錯訓(xùn)練

1.已知直線/的方程為（sina）x-y+3五=0。十去"則直線/的傾斜角。的取值范圍是（）

nn

D.

414

【答案】A

【分析】利用直線斜率與傾斜角的止切函數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率的范圍可求傾斜角的范圍.

【詳解】由題意假設(shè)直線傾斜角為0得：tan0=sina

又因為ae,所以sinaw(-1,1),

即lan9w（-1,1）.再由正切函數(shù)的性質(zhì)與直線傾斜角的取值范圍,

可得6的取值范圍是卜），1］/含:.

L4八4）

故選：A.

2.設(shè)直線/的方程為21-2）儂和3=0,則直線/的傾斜角。的范圍是（）

A.［。，可B.

-兀3兀］一「兀兀、，兀3兀

C-D.匕；卜仁，了］

【答案】C

【