山西省晉中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線“十石k2=（）的傾斜角為（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】由X+G），+2=0,可得y二一正不一名叵，故直線的斜率為一正，

333

設(shè)直線的傾斜角為凡則[an6=—正，因6R0,兀），故。=2.

36

故選：D.

2.2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京隆重舉行，中國代表團(tuán)獲得了9金4

銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強(qiáng)國的底蘊(yùn)和綜合國力.設(shè)某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在?次滑

雪訓(xùn)練中滑行的路程/（單位：m）與時(shí)間，（單位：S）之間的關(guān)系為/（/）=2/+]人

則當(dāng)，=3s時(shí).,該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度為（）

A.7.5m/sB.13.5m/s

C.16.5m/sD.22.5m/s

【答案】B

【解析】由題意，/'（。=4/+],

/、3

故當(dāng)/=3s時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪速度為/'⑶=4x3+]=13.5.

故選：B.

3.“相＜5”是“方程‘二+」一二1表示橢圓”的（）

5-min-2

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若方程工一+^^=1表示橢圓，

5-mtn-2

5-m＞0

(7、,7

則需滿足〃?一2＞。，解得機(jī)￡2,-U-,5

5—〃2wm-2

/7、(7、

顯然2,-U-,5是(-＜。5)的真子集，

\2)\2)

所以"機(jī)＜5、'是“方程’一+—=1表示橢圓”的必要不充分條件.

5-mn7-2

故選：B.

4.在三棱柱A3C-4蜴G中，

AB=a?AC=b^A4(=c,。為平行四邊形BCG4對

角線的交點(diǎn)，則AO=()

A—-11-

B.a+-br-\--c

22222

1-1,1--1,1-

C.—a+—b+—cD.a——b——c

22222

【答案】C

【解析】如下圖所示：

易知AD=AB+BD=AB+-(BC+網(wǎng)二AB+'AC-AB+AAJ

2

1

=a+—(b-a+c\=—a-￥—b+—c.

2、J222

故選：C.

5.設(shè)等比數(shù)列｛q｝滿足內(nèi)-q=5,%-4=4(),則公比4=()

A.8B.--8C.-2D.2

【答案】D

【解析】由題意可得上幺二也辿="="=8,即〃2.

5

故選：D.

---2—

6.在長方體ABC。一AgGA中，AD=AA=\,A8=3,點(diǎn)M滿足AM=一A8,則

,3

點(diǎn)M到直線4。的距離為()

AV2R603&D3石

2222

【答案】C

【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4、DC、。。分別為x、)'、z軸的空間直角坐標(biāo)系，

7)(0,0,0),4(1,0,1),M(l,2,0),設(shè)點(diǎn)M到直線A。的距離為d，

所以0M=(1,2,0),D4=(1,0,1),

DM.DA,

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式有：d=\DM

7.已知函數(shù)/。)的定義域?yàn)镽,且/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函

數(shù)為廣(工)，若函數(shù)g(x)=(x+2)/'(x)的圖象如圖所示，則()

A.7(五)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)

由耳尸〃鳥Q,根據(jù)對稱性可知忻"二|鳥尸|,

又PK上PF?,所以四邊形P6P耳為矩形；

由同。I=2內(nèi)尸|可設(shè)內(nèi)耳=m(m>0),則怩。=2m；

由雙曲線定義可知|鳥尸IT耳尸|=2a,所以忻H=團(tuán)一2〃，

所以忸月=|瑪川="一2；

乂田@一優(yōu)。|=2〃，所以山。=2m+2〃；

因?yàn)閨QP|=|QEI+1〃周=2m+m-2a=3m-2a,

在*QP中，|QP『+|p有『=|Q周2,且后耳=|市)=加,

-,1()

所以(3〃z-2々)~+m2=(2〃z+2a)~,解得m=-a；

^\F2P\=m=—a,所以忻尸|=工〃一2〃=±〃：

在地尸鳥中，|尸國2+|尸用2=|瑪娟2,即(爭)+*)=(2C)2,

解吟嚕即，書二備號

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在空間直角坐標(biāo)系Of中，點(diǎn)4(2,0,0),8(2,1,—2),。(0,0,—2),則()

A.OCAB=4

B.異面直線。。與48所成的角為々

C.點(diǎn)3關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為(2,-1,2)

D.直線。8與平面40c所成角的正弦值為‘

3

【答案】ACD

【解析】對于A選項(xiàng)，OC=(0,0,-2),AB=((),1,-2),所以O(shè)CA8=4,A對；

275

對于B選項(xiàng)，8s叫:阿同二市

-5~，

所以異面直線。。與AB所成的角余弦值為氈，故異面直線0C與AB所成的角不是

5

7C...

二，B錯(cuò)；

3

對于C選項(xiàng)，點(diǎn)8關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為（2,-1,2）,C對；

對于D選項(xiàng)，易知平面AOC為坐標(biāo)平面xOz,則平面AOC的一個(gè)法向量為

77/=（0,1,0）,

/77D-\OBm11

所以cos（C6〃?）=|二1=個(gè)則直線03與平面所成角的正弦值為一，D對.

\0B?網(wǎng)33

故選：ACD.

10.若函數(shù)g（x）=eJ〃x）在R上具有單調(diào)性，則函數(shù)/（X）可以是（）

A./（x）=2x4-1B./（X）=X2+3

C./(x)=-y^yD./(x)=-sinr-3

【答案】BD

【解析】g'(x)=e'?/(x)+e'?/'(x)=e[/(x)+/'(x)],

若函數(shù)8（%）=十/（力在R上具有單調(diào)性,由西＞0恒成立,

則/（X）+/”（X）NO或/（x）+r（x）4。在R上恒成立，

對A：/（x）+/'（x）=2工+l+2=2x+3,不滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對B：/(x)+/'(x)=￡+3+2x=(x+l)2+2>2恒成立，故B正確;

X2+1-X-2X_+1)+1-/_+X+]

對C：/(x)+/'(x)=

x2+1(X2+1)2(￡+1)2(X2+1)2

/(o)+r(o)=j=i>o,不符，故c錯(cuò)誤；

對D：/(x)+f'(x)=-sinx—3—cosx=-&sin(x+；)—3,

由sin卜+故/(x)+/'(x)=-&sin(x+；-3<0恒成立，故D正確.

故選：BD.

11.設(shè)s”是數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）

A.若｛4｝是等差數(shù)列，且24+64=89,則其=品）

B.若｛q｝是等差數(shù)列，則今是學(xué)與學(xué)的等差中項(xiàng)

JJ/

C.若｛4｝是等比數(shù)歹U,

則S8-§4是§4與S12-S&的等比中項(xiàng)

且'=（｝「'+?'則'=[

D.若｛%｝是等比數(shù)列,

【答案】ABD

【解析】對于A：設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d,由2q+6《=S9有:

9x8

24+6（4+51）=94+----d=q+6d=0n%=0,

因?yàn)?10-邑=&+%+牝+。7+4+49+《0=7%=0，所以§3=品），故A正確;

對于B：因?yàn)椋鹮｝是等差數(shù)列，S”是數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和,

rri.r1)fSdStlS.d

所以S”=na.+------d=>—=a+—n>--------=—

27?12nn-\2

所以數(shù)列]之為等差數(shù)列,2今4+多所吟吟吟的等差中項(xiàng)，故E正

n

確;

對于C：若｛%｝是等比數(shù)列，當(dāng)公比4=-1時(shí)，58-54=54=512-58=0,

所以不是，與52-乂等比中項(xiàng)，故C錯(cuò)誤;

W+1|

對于D：因?yàn)椋āǎ堑缺葦?shù)列，且S“=（g

+k,所以公比為一,

9

所以q=S

解得％=一1,故D正確，

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若曲線＞=1111次+1）在點(diǎn)（0,0）處的切線與直線2x-y+l=0垂直，則。=

【答案】

2

【解析】因?yàn)閥=ln（G；+l）,所以），'=",所以了［1）=〃，所以％二〃，

OV+1

直線21一），+1=0的斜率為4=2,因?yàn)殡?4-1,所以Z=—g,

故答案為：—.

2

13.已知直線與拋物線），2=2px（/?>0）交于A、B兩點(diǎn),且OA_LOB,QD_L/W于

點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,1）,則〃=.

【答案】-

4

【解析】???0（2』），=g,

-OD1AB,：.kAI）=-2,則直線A5的方程為：y-l=-2（x-2）,即y=-2x+5,

設(shè)人（再,％）,8（W,％），

聯(lián)立，'2Px，消去K得：y2+py-5p=0,

[>'=-2x4-5-

2

A=p+20p>0,y1y2=-5p,

22K

OA±OB,0A0B=X[X,+）[K=三4+XK='-5〃=0,

2p2p4

5

4

14.已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若5e+5.二〃2（〃￡河），月.40=12,則出二

【答案】4

【解析】由題意可得：Se+S“=",S"+S“T=5—1）2,

兩式作差可得:。“+|+4=2〃-1①，進(jìn)一步有：4-2n-3②,

由①-②有：4+i-4』=2?故數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且公差為2?

據(jù)此可得：40=%+41,即：12=%+4x2n〃2=4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓+（），_〃『=/&>（））的圓心在直線）,-3/二0上，且直線

工一N=0被圓M截得的弦長為2幣.

（1）求圓M的方程；

（2）過點(diǎn)N（—2,—l）作圓M的切線，求切線的方程.

解：（1）圓歷：（］一1）2+（丁一32二/&>0）的圓心為加（［,〃），

由圓心在直線），-3工=0上可得人=3,即圓心M（l,3）；

11-3|r

易知圓心到直線x-y=0的距離為d==V2,

由弦長公式可得2必方=2/^工=24，解得r=3；

所以圓M的方程為（Alp+（y-3）2=9；

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)N（—2,—l）的直線方程為大=一2,

顯然“（1,3）到x=—2的距離等于3,符合題意；

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)過點(diǎn)N（—2,-1）的直線方程為y+l=Mx+2）,

則圓心M（l,3）到y(tǒng)+l=k（x+2）的距離為1=號?=3,解得4=焉；

此時(shí)切線方程為），+1=」-（x+2）,即7x-24y-10=。；

24

綜上可知，切線的方程為九-24），-10=0或工=—2.

16.如圖，在底面為矩形的四棱錐夕一A8CD中，PAl^ABCD.E，產(chǎn)分別為棱

DC,。。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱Q4上，且滿足2PG=G4,AD=AP=3,AB=3&.

DEC

（1）判斷B,E,F,G四點(diǎn)是否共面，若是，請用BE和表示區(qū)尸，否則，請說明

理由；

（2）求平面3瓦'與平面PAO夾角的余弦值.

解：（1）由已知，底面A6CQ是矩形，且尸A_L底面A5CD,可得Q4,AB，AO兩兩垂

直，可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：

各點(diǎn)坐標(biāo)如下:5(0,30,0),E(3,|V2,0),F(-,0,-),6(0,0,2)

222

BE=(3,-|V2,0),BF=(1,-3>/2,|),BG=(0,-372,2)

由坐標(biāo)計(jì)算可知，BF--BE+-BG.

24

1—3—

故3,E,F,G四點(diǎn)共面，目BF)BE+—BG.

24

(2)由(1)中建立坐標(biāo)系過程，易知43_1_平面P4O,A8=(0』,0),

另設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m=（x（）,X）,z0），

3%-1?播)'o=°

BE-/w=0

可得，代入2標(biāo)得《

BF/n=033

—x0-3>/2^0+-z0=0

JJ

xo=1

y=V2,則加=(1,&,3b

令XO二l可得，0

Zo=3

設(shè)平面PAD與平面班廠的夾角為。，CQS”cosA而=岑3±2n=亞

1X712+(V2)2+326

17.己知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足S0+2=6+],4=2.

（1）求｛4,｝的通項(xiàng)公式;

（2）記勿=隰與，求數(shù)歹的前F項(xiàng)和人

解；（1）當(dāng)拉A2時(shí)，S“_]+2-%,則%一S“一S“T-%，即4+[-2%，

當(dāng)〃=1時(shí)，S]+2=%=4+2=4,則%=2%,

故數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即勺=2"；

n-l巾1.12n-\

北二0+級」則=工,=—+=+,?+TTT

n-\1〃+1

18.已知函數(shù)/(工)=2/一3工2+"a+〃.

(1)若m=一12,且函數(shù)y=〃x)有極值2,求〃的值；

(2)若〃=0,且不等式/(x)>xhu在(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

解：(1)若〃?=一12,則/。)=2/一3--12.丫+〃，

所以/'(入)=6工2-6x-12=6(x-2)(x+l)；

當(dāng)工?-1,2)時(shí)，r(x)<0,因此〃力在(-L2)單調(diào)遞減,

當(dāng)/?-00,-1)或(2,+00)時(shí)，/z(x)>0,因此〃x)；生(一8,-1),(2,+00)單調(diào)遞增:

即/(x)在x=-1處取得極大值，在x=2處取得極小值；

若函數(shù)>=/(力的極大值為2,即/(—1)=-2-3+12+〃=2,此時(shí)〃=一5；

若函數(shù)y=/(x)的極小值為2,

即/(2)=2x2：'_3x2?-12x2+〃=2,此時(shí)〃=22；

綜上可得，〃=一5或〃=22；

(2)若九=0,則/(%)=2/-312+儂,

所以不等式為2d-3x2+/?u>x\nx在(0,+8)上恒成立，

即/??>-2x2+3x+Inx在(0,+e)上恒成立，

令g(x)=-2.r2+3.r+ln.r,.r<=(0,+<x>),

,,x,1-4x2+3x+\-(4x+l)(x-l)

則Ihlg'3=-4x+3+—=-----------=二-----八-----L；

XXX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)>0,因此g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(l,+x))時(shí),/(x)<0,因此g(x)在(1,+w)單調(diào)遞減；

因此g(x)在X=1處取得極大值，也是最大值，即g(l)=l，

即〃7>g(l)=l滿足題意，

所以實(shí)數(shù)/〃的取值范圍為(1,+8).

19.在直角坐標(biāo)系A(chǔ)0，中，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),直線M4,MB相交

于點(diǎn)M，它們的斜率之積為-1,點(diǎn)"的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)若斜率為勺且不經(jīng)過原點(diǎn)。的直線/與。交于。，E兩點(diǎn),線段OE1的中點(diǎn)為0,

直線。。的斜率記為我2,求匕?&的值;

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且不與C的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

為P',若直線PO與依關(guān)于直線PP對稱，求證：。，Q,P'三點(diǎn)共線.

解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意，工工±3,”——乙=-2,整理得上+工=],