蘇科版八年級上冊第3章《勾股定理》單元同步練習

一.選擇題

1.下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,1（）D.5,12,13

2.三個止方形的面積如圖明不，則S的值為（）

3.在△力8C中，/A、N8、NC的對邊分別記為。、b、c.下列條件中；不能說明△48C是直角三角形的

是（）

A.NA=/B=NCB.a2=b2+c2

C.ZA+ZB=ZCD.a：b：c=3：4：5

4.如圖，NC=90",AB=\2,8c=3,CD=4,若/彳8。=90。，則彳。的長為（）

A.8B.10C.13D.15

5.如圖，一棵大樹在暴風雨中被臺風刮倒，在離地面3米處折斷，測得樹頂端距離樹根4米，已知大樹垂

6.若4、b、c是△48C三條邊的長，且滿足q2-2M+/>2+|q2+力2_/k0,則。是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

7.將一根長24a〃的筷子，置于底面直徑為5C力，高為12c小的圓柱形水杯中，設筷子露出在杯子外面長為

hem,則h的取值范圍是（）

A.0W〃W12B.12W〃W13C.11WAW12D.12W0W24

8.如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49,小正

方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列結論：①/+/=49；②x-y=2：

③加升4=49；?x+y=7.其中正確的結論是（）

A.①②B.②④C.①②③D.①③

二.填空題

9.在沒有直角工具之前，聰明的古埃及人用如圖的方法畫直角：把一根長繩打.上等距離的13個結，然后

以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中5這條邊所對的角

便是直角.依據(jù)是.

10.在△48。中，若NC=90。，ZJ=46°,則N4='.

11.在△力8c中，ZC=90°,若〃=5,人=12,則《=.

12.如圖，是一個直角三角形以三邊為邊長向外作三個正方形，則字母力所代表的正方形的面積為

13.如圖在Rt△48C中，ZC=90°,CDUB于D,若4C=12,BC=5,則CO=

B

D

14.如圖，在高為5〃?，坡面長為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要〃?.

15.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭(jia)生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？"(注：丈，尺是長度單位，I丈=10尺)這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，

即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1

尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.設這個水池深工尺，則根據(jù)

題意，可列方程為.

16.“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”，LABH,MBCG,4CDF

和△D4E是四個全等的直角三角形，四邊形4和都是正方形，若月B=l(),EF=2,則力，

三.解答題

17.某中學校園有一塊四邊形草坪/4CO(加圖所示)，測得NB=90°,"=24〃?，BC=7m,CD=\5m,

.4。=20m，求這塊四邊形草坪的面積.

18.如圖，在四邊形/5CO中，已知N8=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求證力C_LCQ.

進行說明.

22.我們根據(jù)圖形的移、拼、補可以簡單直觀地推理驗證數(shù)學規(guī)律和公式，這種方法稱之為“無字證明”，

它比嚴謹?shù)臄?shù)學證明更為優(yōu)雅與有條理.下面是用三塊全等的直角三角形移、拼、補所形成的“無字證

明”圖形.

（1）此圖可以用來證明你學過的什么定理？請寫出定理的內(nèi)容；

（2）已知直角三角形直角邊長分別為〃、b,斜邊長為c,圖1、圖2的面積相等，請你根據(jù)此圖證明（1）

圖1圖2

參考答案

一.選擇題

1.解:A,32+42=52,能構成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項錯誤；

B、42+52^62,不是勾股數(shù)，此選項正確；

C、62+82=102,三邊是整數(shù)，同時能構成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項錯誤;

D、52+122=132,是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項錯誤.

故選:B.

由題意可得:AB=4,AC=5,

，：AC2=AB2+BC2,

：.BC2=25-16=9,

.*.5=9,

故選：C.

3.解：A、VZA=ZB=ZC,ZJ+Z5+ZC=180°,

AZA=ZB=ZC=60°,

???△48C不為直角三角形，故此選項符合題意；

B、'：a2=b2+c2,

為直角三角形，故此選項不合題意；

C、???//+N8=NC,Z/l+Z5+ZC=180o,

AZC=90°,

???△48C為直角三角形，故此選項不合題意；

。、＜a：b：c=3：4：5,

設。=3x,b=4x,c=5x,

(3x)2+(4x)2=(5x)2,

???能構成直角三角形，故此選項不合題意；

故選:A.

4.解：在中，ZC=9(T\

由勾股定理得：^=7BC2+CD2=732+42=^

在中，N力BD=90”,

由勾股定理得：=VAB2+BD2=7122+52=13,

故選：C.

5.解：設大樹高約有x米，由勾股定理得：

(x-3)2=32+42,

解得：x=8,

答：大樹高約8米.

故選:B.

6.解：???。2-2融+廬+|/田-。2尸()，

HP(a?b)2+\a2+b2-c2|=0,

Ca-b)2=0,且團+川?/=0,

222

/.(a-h)2=o,且a+b=c,

???a=4且△48C是直角三角形，

???△力8。是等腰直角三角形，

故選:B.

7.解：當筷子與杯底垂直時〃最大，〃最大=24-12=12(cm).

當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，

如圖所不：此時，AB—個AC2+BC2=J122+52=13(cm)1

故"=24-13=11(cm).

故h的取值范圍是：11c〃運力W12c

故選：C.

由①-②得的=45③,

???2.4=49,

①+③得x1+2xy+y2=94,

/.(x+y)2=94,

/.x+y=V94.

???結論①②③正確，④錯誤.

故選：C.

二.填空題

9.解：設相鄰兩個結點的距離為加,則此三角形三邊的長分別為3/n、4m5m,

*.*(3〃?)2+(4m)2=(5m)2,

???以3〃?、4m、5/〃為邊長的三角形是直角三角形.(如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方,

那么這個三角形是直角三角形)

故答案為：如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

10.解：VZC=90°,ZA=46°,

???N8=90°-46°=44°,

故答案為:44.

11.解：在△力4c中，ZC=90°,a=5,方=12,

**-c=7a2+b2=752+122=13J

故答案為：13.

12.解：???正方形尸?！?)的面積等于225,

.??即P。2=225,

???正方形PRGF的面積為289,

，尸/？2=289,

又△P0R為直角三角形，根據(jù)勾股定理得:

PR2=PQ2+QR2,

:?QR2=PR2-喈=289-225=64,

則正方形QMNR的面枳為64.

故答案是:64.

13.解：RtZMBC中,NC=90°,

由勾股定理得：^^=7AC2+BC2=V122+52=13,

由S"c=^XAC><BCqxABXCD得：

乙乙

r.5X12=13XCZ）,

???CO=毀.

13

故答案為：色.

13

14.解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=7132-52=12、

???地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

???地毯的長度至少是12+5=17（米）.

故答案為：17.

15.解：設水池里水的深度是x尺，

由題意得，（x+l）2=由+25,

故答案為：（x+1）2=X2+25.

16.解：V/15=10,￡尸=2,

???大正方形的面積是100,小正方形的面積是4,

J四個直角三角形面積和為100-4=96,設力￡為a,DE為b,即4xZb=96,

2

：,2ab=96,a2+/>2=100,

（a+b）2=a2+/>2+2ad=100+96=196,

a+b=14,

■:a?b=2,

解得：a=8,b=6,

：.AE=StAH=DE=6,

?"〃=8-2=6.

故答案為：6.

三.解答題

17.解：連接力C,如圖:

VZ^=90°,AB=24m,BC=7m,

JAC2=AB2+BC2=242+72=625,

：,AC=25(〃)

22222

又?.?CO=15〃7,力。=20小，15+20=25,B|JAD+DC=AC^t

???△4。。是直角三角形，

Sn成形ABCD~S4ABeyDC

="1?W8C+2?4)?QC

22

=AX24X7+AX20X15

22

=234CM).

答：這塊四邊形草坪的面積是234〃，.

18.證明:VZB=90°,

???△45C為直角三角形，

又???43=3,BC=4,

???根據(jù)勾股定理得：AC=JAB2+BC2=5?

乂?.?CO=12,力。=13,

AJD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

22

：.Ciy+AC=ADf

，△力。。為直角三角形，N4CO=90°,

即ACYCD.

19.解：在"△CD8中,

由勾股定理得，252=3600,

所以，CQ=±6（）（負值舍去），

所以，CE=CO+QE=60+L68=6L68（米），

答：風箏的高度CE為61.68米.

20.解：由題意得：/8=90°,

*?*BC=8m,80=6〃？，

???CD=7BC2+BD2=A/82+62=10,,N

VJC=17/