6.5數(shù)列求和

目錄

01課標要求........................................................................2

02落實主干知識....................................................................3

一、數(shù)列求和常用方法..............................................................3

常用二級結(jié)論......................................................................3

03探究核心題型....................................................................5

題型一：觀察法....................................................................5

題型二：公式法....................................................................8

題型三：分組求和法...............................................................10

題型四：錯位相減法...............................................................12

題型五：裂項相消法之等差模型.....................................................16

題型六：裂項相消法之等比模型.....................................................20

題型七：裂項相消法之其它模型.....................................................23

題型八：倒序相加法...............................................................30

題型九：并項求和法...............................................................34

04好題賞析（一題多解）..........................................................41

05數(shù)學(xué)思想方法...................................................................44

①數(shù)形結(jié)合.......................................................................44

②轉(zhuǎn)化與化歸.....................................................................47

③分類討論.......................................................................48

06課時精練（真題、模擬題）......................................................50

基礎(chǔ)過關(guān)篇.......................................................................50

能力拓展篇.......................................................................58

1/75

01課標要求

（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.

（2）掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

2/75

02落實主干知面］|

一、數(shù)列求和常用方法

一.公式法

（1）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和=推導(dǎo)方法：倒序相加法.

na｝,q=\

（2）等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=?囚（1―/”），推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法.

i-q

二.幾種數(shù)列求和的常用方法

（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和

時可用分組求和法，分別求和后相加減.

（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前〃

項和.

（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那

么求這個數(shù)列的前〃項和即可用錯位相減法求解.

（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列｛為｝與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么

求這個數(shù)列的前〃項和即可用倒序相加法求解.

常用二級結(jié)論

111

(1)----------=------------

n(n+1)nn+1

]

(2)

n(n+k)

(3)______

4n2-l22w-l2n-V

1_11_________]

(4)

〃(〃+1)(〃+2)-5+-(〃+l)(〃+2)

(5)

n(n2-1)n(n-1)(//+1)2(/?-1)/?n(n+1)

—；----=—1+--------------------

4n2-14|_(2/?+1)(2/?-I)

3/75

3〃+l4(+1)-(?+3)11、,11、

---------------------------=------W----------------------=4(------------------)—(-----------------)

(zz+1)(/?+2)(/7+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3n+1〃+2

(8)〃(〃+1)=4-1)(〃+2)-(〃-1)〃(〃+1)].

(9)n(n+1)(〃+2)=+1)(〃+2)(〃+3)-(〃-1)〃(〃+1)(/:+2)]

]]1

(10)

〃(〃+1)5+2)(〃+3)3++2)(〃+1)(〃+2){〃+3)

2/74-111

(11)

/S+lfn2(n+1)2

〃+1111

(12)

〃2(〃+2>4n2(M+2)2

4/75

03探究核心題型

題型一：觀察法

【例題1】（2025高三?全國?專題練習）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》?書中記載的三角垛、

方垛、芻童垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)，如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個,

第三層有6個，第四層有10個，…，設(shè)第〃層有。0個球，則,…L的值為（）

%a2%^2025

2024八20252025

A.2B.----C.----D.----

202520261013

【答案】D

【解析】依題意，4=1,%=1+2,%=1+2+3,…,4=1+2+3+…"

,12J\\}

則一二（...........-，

atl+1〃n+i）

11

所以L+-!-+L+…+=2

I22334

/%%a20252025

故選：D.

【例題2］（24-25高二下?廣西桂林,期末）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角''拓

展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個數(shù)1,!，［，L,構(gòu)成數(shù)列{4},其前〃項和

361（）

為S"，則名|=（）

5/75

1

2

2

33

\_\_

121

464

11

5ioio5

L

313939

A.B.D.—

162040

【答案】A

2I22&J=JL

【解析】根據(jù)題意可知，％…市-=----,a,=-1-=

32x3-6374'1()4x5

以此類推,凡二.

\nn+\

所以其前〃項和，=2("!+3一!+；一:+…左12〃

〃+1/?+l

2x316231

所以S3產(chǎn)

31+13216

故選：A.

【解題總結(jié)】

先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識.

【變式1](2025?浙江紹興?二模)已知虛數(shù)數(shù)列%=(l+i)”,則其前4〃項和為()

A.[l-(-4)n](l-i)

B.

D.gl-(-4)[(i-l)

【答案】B

【解析】由題設(shè)q=1+i,。2=方,a3=-2(l-i),a4=-4,則為+%+/+%=5(1),

as=-4(1+i),a6——8i,a7=8(1-i),as=16,則可+%+g=_2O(i—1),

ag=16(l+i),tr10=32i,=-32(l-i),al2=-64,則由+片。+%+6?=80(i-l),

a

a=-64(1+i),a14=-128i,aiS=128(1-i),ai6=256,l|lija13+aN+a15+ai6=-320(i-1),

L,

依次類推，a4n_3+aAn_2+/z+%“=5?(-4產(chǎn)(i-1)，

1-f_4V

所以其前4〃項和為戈臼+⑷+臼+川+…+㈠尸]”…":/(1)=-](i-l).

1-(-4)

6/75

故選：B.

【變式2](24-25高二上?黑龍江綏化?階段練習)對于任意一個有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩

項之間插入這兩項的之和，構(gòu)造一個新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1,5進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列I,6,5,第2次

得到數(shù)列I,7,6,II,5,依此類推，第〃次得到數(shù)列1,X，七,…,5.記第〃次得到的數(shù)列的各項之和為

S”,則｛S“｝的通項公式S〃=()

A.3n+,+3B.3n+,+1C.3"+3D.3fl+,

【答案】A

【解析】依題意，5=1+6+5=12,5,=1+7+6+II+5=12+18=12+6x3,

22

S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+18+54=12+6x3+6x3=124-6x(3'+3),

=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5

=12+18+54+162=12+6x3+6x32+6x33=12+6X(3)+32+33),

S“=12+6X0+32+33+…+3”T),

由等比數(shù)列的前〃項和公式，得￡=12+6x3d7）=34+3,

1—3

所以｛S,J的通項公式S.=3向+3.

故選：A

【變式3］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）觀察下列式子:

Ix2=-(lx2x3-()xlx2)；

2x3=-(2x3x4-Ix2x3)；

3x4=y(3x4x5-2x3x4)：

根據(jù)規(guī)律，則Ix2+2x3+3x4+…+2022x2023等于()

A.-x202lx2022x2023

B.-x2022x2023x2024

3

I(2021x2022x2023-1x2x3)

C.

1(2022x2023x2024-1x2x3)

D.

【答案】B

7/75

【解析】由規(guī)律可得〃X(〃+I)=+1)x(〃+2)-(〃-+,

J

所以Ix2+2x3+3x4+…+2022x2023

=^x(1x2x3-0x1x24-2x3x4-1x2x3+3x4x5

一2x3x4+…+2022x2023x2024-2021x2022x2023)

=gx(2022x2023x2024-0xlx2)=1x2022x2023x2024.

故選：B.

題型二：公式法

【例題3】(25-26高三上?四川內(nèi)江?階段練習)已知｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，的｝是公比為2的等比數(shù)

列，滿足力2T也=。2-1.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛"｝的通項公式；

(2)記｛%｝，也｝的前〃項和分別為S.U，若s“=",求〃的值.

【解析】(1)由題意得仇=24,的=4+2,

又因為82=4]-1也=%-1，

則的-1=2(4]-1),乂。2=6+2

解得見=3,可得小=2,

因此q=4+2(〃-1)=2〃+1,"="?27=2n-l.

n

(2)由(1)得S.=3+?+l.〃=〃e+2),rn=^-=2-l,

由S'=】，得〃(〃+2)=2*-1,即〃2+2〃=255,解得〃=15.

【例題4】(25-26高二上?甘肅蘭州?階段練習)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，且滿足q=18,

5旬=5”+%-2.

(1)求證：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列；

(2)記4=|&|,求數(shù)列｛4｝的前22項和.

【解析】(1)因為析M=S.+%―2,

所以S,+「S.=可一2,即。=-2.

又％=18,

所以數(shù)列｛4｝是以18為首項，-2為公差的等差數(shù)列.

8/75

(2)Ftl(1)知q=18+(〃-l)x(-2)=20-2〃，

可知，當時，an>0,\aa\=\20-2n\=20-2n,

當心11時，4<0,|%|=|20-2”|=2〃-20,

所以數(shù)列｛4｝的前22項和為(18+16+…+2+0)+(2+4+…+24)

J0x(0+18)J2x(2+24)=246

22

【解題總結(jié)】

針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式

求解.

【變式4](25-26高二上?甘肅?階段練習)已知等比數(shù)列｛/｝的各項均為正數(shù)，%=2,邑為其前〃項和，

且4+2s2=S3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若句=254,求〃的值.

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,q>0,

由4+2s2=S3,得q+2al+2a2=at+a2+%,

整理得。3-2《一生=0,

2

即aiq-2a｝-aiq=0.

又q=2,則g2f_2=0,解得2或9=7.

由題知9>0，所以2,

所以數(shù)列｛q｝的通項公式勺=2X2"T=2”.

(2)由題知s=———=2,,+|-2?

”1-2

令2川一2=254，得2"+|=256=2.，

故川=7

【變式5](25-26高三上?北京?開學(xué)考試)已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列血｝滿足4=1.20%-1，%+1成等

比數(shù)列.

(1)求應(yīng)｝的通項公式;

(2)若外,牝分別是等比數(shù)列也｝的第1項和第2項，求使數(shù)列｛3｝的前〃項和7；〈翡的最大正整數(shù)〃.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(d>0),由2q,%-l4+l成等比數(shù)列，

得他-l)2=2《(q+l),則(2d)?=2(34+2),即2/-3"-2=0，

9/75

則d=2,所以%=q+2(〃-1)=2〃一1.

(2)由(1)知：々=%=3也=%=9,等比數(shù)列也｝的公比g=3,b.=3",/="，

11；。一！)11

數(shù)列｛二｝是首項、公比都為:的等比數(shù)列，則-f-=-0-)，

%3I-A23

3

9911991I

由71而’得5。一干)<而’貝而’即3~100'而數(shù)列｛*單調(diào)遞增’

\9\f乙JX?"zJ1\/\J

又34v100<3,M€N\因此曾“,

所以所求最大正整數(shù)〃為4.

題型三：分組求和法

【例題5】(25?26面三上?內(nèi)蒙古不學(xué)考試)已知數(shù)列｛4｝,｛4｝分別是等差、等比數(shù)列，且

%=-\,a2=4=1也=%.

⑴求｛%｝，也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛(+2bn］的前〃項和S。.

【解析】(1)設(shè)｛4｝的公差為心也｝的公比為夕，

則d=%-q=2,所以(=T+2(/?-1)=2/i-3；

所以。3=3,則4=卜=1=3,所以"=々夕小=3"，

(2)由(1)可知〃,+2“=2〃—3+23i,

則S(q+%)〃+2x4°W)=(7+2〃一叫3"-1=3"+〃.

”2\-q2

【例題6】(河北省十六校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為

S“,且。2=5,Sg=99.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)“=2%+4,求數(shù)列他｝的前〃項和7；.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d.

%+d=5,

由題意可得入9x8

=99,

10/75

解得q=3,d=2,

則”“=q+(n-\)d=3+2(/?-1)=2//+1.

(2)由(1)可知?！?2〃+l,則"=2*+2〃+l,

故7；=a+a+4+…+"=(23+3)+(25+5),2,+7)+---4(2^,+2〃+)

=(23+25+274-?+22fl+,)+(3+5+7+-+2w+l)

2'x(l-4")(3+2/7+1),?

=1+

1-42

22"+3+3H2+6?-8

3

【解題總結(jié)】

(1)分組轉(zhuǎn)化求和

數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列

或可求前〃項和的數(shù)列求和.

(2)分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

Q『6"土。"，｛人卜^^為等差或等比數(shù)列

分

求

組

|乩，〃為奇數(shù)，求

的，一［c“,〃為偶數(shù)，和

和

｛6j,｛c1為等差或等比數(shù)列

【變式6】(25-26高三上?北京?階段練習)已知等比數(shù)列｛6,｝滿足《十%=3,q+%=24.

⑴求應(yīng)｝的通項公式；

(2)設(shè)，=4+2〃，求數(shù)列｛"｝的前〃項和S。.

【解析】(1)因為等比數(shù)列｛%｝滿足/+%=34+%=24,

:m=24,兩式相除可得八8,解得

則

所以｛%｝的通項公式為/=%/1=2"7

nl

(2)bn=atl+2n=2-+2n.

所以

1x(1—2")〃(〃+]),

S'="+4+4+,??+“=2°)1+2x1+2'+2x2+22+2x3+…+2+?=—-----42x―22n-\+n2+n

123|-22

【變式7](25-26高三上?吉林?階段練習)在等差數(shù)列｛4｝中，％=4,%+4=12,在等比數(shù)列也｝中,

4=9,公比g=3.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式;

11/75

⑵若％=/+”,求數(shù)列｛/｝的前〃項和S..

【解析】(1)在等差數(shù)列｛4｝中，％=生署=6,則公差"二與二?=1,(=&+(〃-3)〃=〃+1；

在等比數(shù)列出｝中,4=9,公比q=3,則a=64-2=9x3""=3",

所以數(shù)列出｝和低｝的通項公式分別為?！?〃+1,b,=y.

(2)由(1)得1=〃+1+3",

所以數(shù)列￡｝的前〃項和S“=[2+3+4+…+(〃+1)]+(3+32+33+…+3")

〃[2+(〃+1)]3(1—3")〃2+3-3+3””

=------------卜-------=---------------

21-32

題型四：錯位相減法

【例題7】(安徽省部分學(xué)校2025—2026學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)已知在數(shù)列｛%｝中,

,/-1

%=5,an=anA+2+2(/?>2,//eN*).

(I)證明：數(shù)列｛4-2”｝是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項公式：

(2)設(shè)2喙,求々的前〃項和邑.

【解析】(1)由%=%T+2”T+2,則%一2"=/T+2"T+2-2"=勺T—2'"+2,

故(q一2")-(仆「2"T)=2,Va,-2'=5-2=3.

故數(shù)列｛4-2"｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

則a,「2"=3+2(〃-1),即勺=2"+2〃+1；

.八/a2"+2〃+1.2〃+1

⑵"逮u=-彳—=1+-^?

1110,3,5,2〃+1352〃+1

則S“=1+-+1+—4--+1+-----=〃+-+r+…+-----，

“22?2〃22^2〃

1cn35In+1

貝」衿=]+尹+m+…+方二，

c1c1c/732222〃+1

以，\=彳+彳…+獲一_7羸-

12/75

故S'=〃+5—亭.

【例題8】(25-26高三上?天津濱海新?階段練習)已知｛0｝是等差數(shù)列，其前〃項和為5"，｛"｝是等比數(shù)列,

已知q=l,53=6,?=%,《是久和&的等比中項.

⑴求｛4｝和也｝的通項公式；

(2)對任意的正整數(shù)〃，設(shè)%=?求數(shù)列｛c.｝的前〃項和Tn.

⑶若，“(〃+1)"-。”-1]225“-.對于〃6.恒成立，求實數(shù)〃，的取值范圍.

【解析】(1)由q=1,S3=3%+號3x24=6,解得d=l,

所以4=1+(〃T)X1=〃；pllj4=&=2,

由％是4和2的等比中項,則82=4x4,解得”=16,

又由％=M3=16,所以<7=2,所以”=2X2"T=2".

1In-1

(2)由(1)可得%

42

2135

貝山“=e+c2+c3+---+c?++++

7；1352/7-1

5=3+^+夢+?'+~?71-.2n，

【々皿4口5,曰112222n-\

將兩式相減得：或二萬+尹+尹+…+亍7一下-，

化簡得7；=3-竽.

(3)若〃((〃+1)/)?-an-\^>2s“一凡+1對于〃wN'恒成立，

即陽［(〃+1)2'-(〃+1)］22乂嗎4一(〃+1)對于〃6曠恒成立，

2

化簡得〃此親二對于〃WN.恒成立，令Pn=等,

2—12—1

則用N(P")z，當〃=1時，Pl=14=0：

o+,n

n-\n(n-l)(2-1)-?(2-1)(〃—2)2"+l

所以當月N2時，"才口—產(chǎn)［=(2〃-1)(2向-1)—=(2z,-l)(2rt+I-l)

所以當〃22時，P”單調(diào)遞減，當〃=2時，P2=g，

所以(P”)max=；,所以〃制.

13/75

故實數(shù)的取值范圍為（內(nèi)）.

【解題總結(jié)】

錯位相減法求數(shù)列｛%｝的前“項和的適用條件

若｛?！埃枪顬閐（d工0）的等差數(shù)列，｛2｝是公比為q（g予1）的等比數(shù)列，求數(shù)列也｝的前〃項和

%

【變式8］（25-26高二上?甘肅平?jīng)?階段練習）己知正項數(shù)列｛“,｝的前〃項和為，，口

a~t..=2Sn+〃+1,a,=2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式a.；

（2）若勿=%2,數(shù)列也｝的前〃項和為乙，求使2025的最小的正整數(shù)〃的值.

【解析】（1）當〃22時，

由=2Sn+n+La2=2,

得a；=2S.T+〃-1+1,

兩式相減得曬-a；=2%+1,

即q；+i=。；+2%+1=3+1）2.

?:｛%｝是正項數(shù)列，

?4=凡+1?

當"=1時，a；=2q+2=4,

q=1,

二.%-q=1,

???數(shù)列｛q｝是以《二1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

2=〃?

(2)由(1)知”=。"?2"=〃-2",

.-.7：,=lx21+2x22+3x23+---+n-2\

23

27；1=IX2+2X2+---+(W-1)2"+〃2

兩式相減得—T=2.(T-L

.2n+l

"1-2

=(l-/7)2n+1-2,

/.T?=(H-I)2,,*,+2.

.?.一%=〃2>0,

14/75

???1單調(diào)遞增.

當〃=7時，7；=6x2s+2=1538<2025,

當”=8時，7；=7X29+2=3586>2025,

.?.使7；>2025的最小的正整數(shù)〃的值為8.

【變式9](25-26高三上?重慶?階段練習)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,當〃N2時，

且卬=；.

⑴求S.；

3”

⑵設(shè)“二丁,求數(shù)列仇｝的前〃項和小

【解析】(1)當〃22時，S；+a「g=0,即0=?！暌?，

則S：=(用-Si)S”-(S”-S“T),即得5.,

即：一甘~=|,而當〃=1時，!=一=2,

故數(shù)列"是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

故!=2+(〃-l)xl=〃+l,則￡=」■；?；

〃+1

3”

(2)由題意得"=三=(〃+1)?3”，

故7；=2X3+3X32+3+〃.3"T+(〃+1)-3”,

貝IJ37；=2X32+3x3?+…+〃?3+(〃+。

fe-27；,=6+(32+33+---+J)-(^+1).乎?

=6+9X(TI)_(〃+]).3“J3_如±3叫

i-3v722

則7；=^1.3卅一；=([(2〃+1)-3"_1].

4Q

【變式10](25-26高三上?河北滄州?階段練習)在數(shù)列｛%｝中，/=2,4=不*-.

2-。川

*'

(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

M2J

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(3)設(shè)求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

15/75

【解析】（1）已知勺二普」，兩邊同時取倒數(shù)得：-=^￡1L=T!——.，

2-。川4K+14

Z、

兩邊同時加;可得：,+<=/一+：=!—+7，

2%22*42m+12）

11

1+萬11

由此可得：-^\-=2,當〃=1時，一+彳=1,

±+1%2

42

因此得證：!為等比數(shù)列，其首項為1，公比q=2.

凡2

(2)由(1)可得：為等比數(shù)列，其首項為1,公比q=2.

1/2J

II2

因此可得：一+3=1?2小，得：%=￡(“END

an22-1

b,l2r1

(3)由(2)可知：an=—^―(〃wN‘)，可得：n---,-7(?eN,)

fl

2-lan2

?7；=lx20+2x2l4-3x22+---+wx2n-,(1)

27；1=^2'+2x22+3x23+???+/?x2n(2)

由(1)-(2)得:-7；=lx2<>+lx2l4-lx224-lx23+-+lx2B-,-nx2B

—-------L-nx2"="l+2"-nx2"，

1-2

解得:/;=(?-1)r+i.

S'二”「'(1+2+3+…+〃)=(-1)2+]—g."))=(-1)2/+:4(〃eN，).

題型五：裂項相消法之等差模型

【例題9]（25-26高三卜?四川成都?階段練習）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為工，日￡=2Q“-2（〃WN）

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若“=log2a21，C-=TT—?求｛%｝前〃項和人

【解析】（1）因為邑=2凡-2,

當〃=1時，可得S[=2q-2=q,解得q=2；

當心2時，可得SI=2%-2,

16/75

la

兩式相減得an=2%-2al，即%=n-\；

可知數(shù)列｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以4=2X2”T=2”.

（2）由（1）可知的”7=221，

則h“=iog2a2n_.=2/7-1,bn+i=2n+\f

］=\_(_1______J_、

可得c.二：-(2/7-l)(2/74-l)=2(2?-l-2w4-b

故［=G+G+q+L+cn

Ifl11111

------4---------F…+-----------------

213352〃-12n-\)

id二q

2(2H+1J2n+\

【例題10］（25-26高三上?四川瀘州?階段練習）已知數(shù)列｛%｝滿足卬=：,0-，設(shè)"=%+a.

211

若對于任意〃wN?且〃22,都有二=￡—+■；—.

（I）求。的值；

（2）求數(shù)列｛2｝的通項公式

d%3

-+-++

-?+4-

4生

【解所】⑴由題知數(shù)列出,是等差數(shù)列，則新品.

1八、1I3

???4=7'(1—4"川=7，..?%=￡，%=［，

L1L3

由可得：4二§+a,b,=-+a,

211

1

T1—+3—,解得:a=——

-+a-+a-+a2

48

（1）知：a=_；,4=_；，&=一;

（2）由

40o

則等差數(shù)列1公差為d=1Y=-6-1）=2

也Jb2b

???數(shù)列是以-4為首項，-2為公差的等差數(shù)列,

17/75

,,1=-4+(.-1)(-2)=-2(.+1),

/.b=——.

2(〃+1)'

,1n

⑶證明：由⑴、⑵知%=45=許

〃+1

a-2)=(〃+】丫川

1=1+111

%—1—〃(〃+2)2nn+2

2(〃+1)

￡1+2+…+=〃+If.111111111

2(32435n-\〃+lnn+2

4%4

1111

=?7+—=〃+-4-------

22〃+1〃+2,42\n+\7/4-2;

31113an.3

N”，/.n+-----+---<//+—,「.&+&+???+<n+—

42(〃十1〃十24%ai4'

【解題總結(jié)】

(1)-=又，)

〃(〃+")knn+k

1111

(2)

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

(3)n(n+1)=+])(〃+2)-(/?-[)n(n+1)].

(4)n(n4-1)(〃+2)=—[zz(zj+1)(〃+2)(〃+3)--1)〃(〃+1)(/;+2)]

2〃+111

(5)

/(〃+1)2n2(〃+1)

【變式11](25-26高三上?天津武清?階段練習)己知等差數(shù)列｛qj滿足公差d〉0,“2+%=22,

44=117.等比數(shù)列低｝的首項”=1,她=81,夕＞0.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛。｝的通項公式;

(2)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，記數(shù)列｛9良｝的前〃項和為4,求1；

n

⑶若%=看,求數(shù)歹I」｛4〃七?！?J的前〃項和此.

【解析】(1)在等差數(shù)列｛%｝中，/+。4=%+/=22,而%q=117,

則的，%是方程爐-22》+117=0的兩個實根,由d＞0,得知＞%，

18/75

解得。3=9,%=13,1=%-%=4,%=%+5-3)1=4〃-3,

在等比數(shù)列｛a｝中，由4=1,44=81,得/=81,而夕>0,則2=3"",

所以數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式分別為。”=4〃-3,2=3"，

(2)由(1)得S.=也土誓&=2〃2一〃，池=(2〃-1).3"T,

2n

7；=1+3x3+5x32+7x3^+…+(2〃-1)X3"T,

37；=3+3x3"+5x3'+…+(2〃-3)x3"、(2〃-1)x3”,

兩式相減得-27；=1+2(3+32+33+3,+…+3i)-(2〃-l)x3"

?2(3-3x3H-')..Y00M

=1+---j----(2?-1n)x3=-2-(2/7-2)x3?

所以7；=(〃-1)3"+1.

(3)由(2)得q=-7—=---,4zz2c=--------=1H-----------=14-(—■-----

"2n2-n2/7-1(2〃-1)(北+1)(2〃-1)(2〃+1)22/7-12/7+1

所以吃=〃+4(]二)+(，」)+(!」)+.「+(」......-)]=,J+1(1———)

"233557277-12〃+122〃+1

n2n2+2n

=〃+-----=--------.

In+12〃+1

【變式12](25-26高二上?江蘇?階段練習)已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,2=11,牝=5.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4｝前〃項和S.的最大值;

,2、

(3)求數(shù)列｛々二一｝前〃項和T”.

【解析】(1)在等差數(shù)列｛%｝中，由生=11,牝=5,得數(shù)列｛4｝的公差d=與二黑=-2,

所以數(shù)列M的通項公式為q=見+(n-2)f/=-2n+15.

(2)由(1)知。“=-2〃+15,數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，由。“>0,得〃K7,

因此等差數(shù)列｛/｝的前7項均為正數(shù)，從第8項起均為負數(shù)，

所以當〃=7時，數(shù)列｛4｝前〃項和取得最大值S產(chǎn)7("；%)=74=7x7=49.

22(2〃-13)-(2〃T5)11

(?)由(1)知-----=-----------------=---------\=-------

?！眖+i(-2〃+15)(-2〃+13)(2//-15)(2//-13)2/7-152/2-13'

所以。=(-------)+(-------)+(-----)+…+(-------------)=-----------=

小人-13-II-11-9-9-72/?-152M-13132//-1313(2?-13),

19/75

題型六：裂項相消法之等比模型

【例題11】（25-26高二上?福建莆田?階段練習）已知數(shù)列｛%｝中，S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，|才是首

項為1，公差為1的等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式.

（2）若，,,=（-1）”"士一，記數(shù)歹U｛c“｝的前2〃項