第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年山東省聊城市東昌府區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正切值是（）A. B. C. D.2.如圖，∠1=∠2，則下列各式不能說明△ABC∽△ADE的是（）A.∠D=∠B

B.∠E=∠C

C.

D.

3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C=110°，則∠OBD=（）A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

4.如圖，半徑為6的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則sin∠OBC為（）A.

B.

C.

D.5.如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，OA：AD=2：3，△ABC的周長為6，則△DEF的周長為（）A.9

B.15

C.12

D.186.已知⊙O的半徑為6cm,點(diǎn)P在直線l上.若OP=6cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交或相切 D.相離或相切或相交7.如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D.若DE+DF=6，△ABC的周長為20，則EF的長為（）A.8

B.4

C.3.5

D.38.一艘貨輪從小島A正南方向的點(diǎn)B處向西航行15km到達(dá)點(diǎn)C處，然后沿北偏西60°方向航行10km到達(dá)點(diǎn)D處，此時觀測到小島A在北偏東60°方向，則小島A與出發(fā)點(diǎn)B之間的距離為（）A.

B.

C.

D.9.如圖,RtABC中,ACB=,AC=4,BC=6,以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC,BC相切于點(diǎn)D,E,則AD為（

）

A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.110.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過A（3，0），B（0，4），⊙O的半徑為2，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P是直線AB上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為（）A. B.2 C.3 D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.在△ABC中，若|sinB-|+，則∠C=

度.12.如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，若PA=20，則△PDE的周長為

.

13.如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：2，則S△DOE：S△AOC=

.

14.如圖，在△ABC中，正方形EFGH的兩個頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個頂點(diǎn)G、H分別在AC、AB上，BC=15，BC邊上的高是10，則正方形的邊長為

.

15.定義一種運(yùn)算：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.例如：當(dāng)α=60°，β=45°時，，則sin15°的值為

.16.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足CF：FD=1：3，連接AF并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3.給出下列結(jié)論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④，其中正確的是

.（填序號）

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

計(jì)算：

（1）；

（2）.18.(本小題8分)

△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，1），C（2，3）.

（1）以原點(diǎn)O為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個△A1B1C1，使它與△ABC位似，且相似比為2：1，畫出△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)；

（2）把△ABC繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2，并求出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B到點(diǎn)B2所經(jīng)過的路徑長.19.(本小題8分)

如圖，矩形ABCD中，E、F分別在AD、BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對稱點(diǎn)P落在CD上，B的對稱點(diǎn)為G，PG交BC于H.

（1）求證：△EDP∽△PCH.

（2）若P為CD中點(diǎn)，且AB=12，BC=18，求GH長.20.(本小題8分)

如圖，AD是△ABC的中線，，，.

（1）BC的長為______；

（2）求∠ADC的值.21.(本小題8分)

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.

（1）求證：DE是⊙O的切線.

（2）若⊙O的半徑為，∠C=30°，求圖中陰影部分的面積.（結(jié)果保留π）22.(本小題10分)

已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長AP為26米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?6°.（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

求：（1）坡頂A到地面PO的距離；

（2）古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）.23.(本小題10分)

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，O為AC上一點(diǎn)，BC與⊙O相切于點(diǎn)E，連接AE，經(jīng)過點(diǎn)A、E的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、F，連接OD交AE于點(diǎn)M.

（1）求證：AE平分∠BAC；

（2）若，求⊙O的半徑及DM的長度.24.(本小題12分)

某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究.

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在等邊△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為邊作等邊△APQ，連接CQ.則∠ACQ的度數(shù)為______；

（2）【問題提出】

如圖②，在等腰△ABC中，AB=BC，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，以AP為腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，連接CQ.試說明∠ABC=∠ACQ；

（3）【問題解決】

如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APEF，點(diǎn)Q是正方形APEF的對稱中心，連接CQ.若CQ=2，求BP的長.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】90

12.【答案】40

13.【答案】1：9

14.【答案】6

15.【答案】

16.【答案】①②④

17.【答案】（1）

（2）

18.【答案】（1）如圖△A1B1C1即為所求；A1（-2，-4），B1（-6，-2），

A1（-2，-4），B1（-6，-2）

（2）如圖：△A2B2C2即為所求，

19.【答案】（1）∵矩形ABCD中，∠A=∠D=∠C=90°，

∴∠PED+∠EPD=90°

由折疊知，∠EPG=∠A=90°，

∴∠EPD+∠HPC=90°，

∴∠PED=∠HPC，

又∵∠D=∠C，

∴△EDP∽△PCH

（2）

20.【答案】8

21.【答案】（1）連接OD，OM，

∵AC=AB，

∴∠C=∠ABC，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠ABC，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC．

∴∠DEC=∠ODE，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）

22.【答案】（1）10米

（2）19米

23.【答案】（1）如圖，連接OE，

∵BC與⊙O相切于點(diǎn)E，

∴∠OEC=90°，

∴∠OEC=∠B=90°，

∴OE∥AB，

∴∠BAE=∠OEA．

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠BAE=∠OAE，

∴AE平分∠BAC

（2）6，

24