2/22第三章排列、組合與二項式定理（高效培優(yōu)單元測試·強化卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．240 C．15 D．【答案】B【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)【分析】寫出二項式的通項公式，令通項公式中的指數(shù)為0，求出的值，將其代入通項的系數(shù)部分，計算得到常數(shù)項即可.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，得，所以二項式的展開式中常數(shù)項為.故選：B.2．3個男同學和3個女同學排成一列，進行遠足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學，則不同的排法有（

）種．A．36 B．108 C．120 D．144【答案】D【難度】0.85【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】分步驟分析，利用排列組合的乘法原理來計算即可．【詳解】總共有3個男同學，排頭必須是男同學，所以排頭的選擇有種，所以排尾只能從剩余2個男同學選取，有種，最后剩余4人安排在中間4個位置，有種，所以一共有種．故選：D．3．的展開式的第6項的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.【詳解】根據(jù)二項式展開式的通項公式得，第6項的系數(shù)為：.故選：D4．某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【答案】C【難度】0.4【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】甲班的2名同學相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步，將甲班的2人捆綁，連同丙班的2人作全排列，有種站法；第二步，將乙班的2人插入前后4個空檔，有種站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的站法共有種.故選：C5．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】利用多項式乘以多項式的規(guī)則及分類計數(shù)原理可求解.【詳解】個因式，個因式中取，個因式中取，個因式中取，即可得出含的項，其為，故的系數(shù)為.故選：D6．從4個漢字、10個數(shù)字、3種顏色中選元素組成3個標識，每個標識含1個漢字、1個數(shù)字、1種顏色，且同一組內(nèi)漢字、數(shù)字、顏色均不重復.最多可設(shè)計不同標識組的數(shù)量為（

）A．2400 B．3200 C．4320 D．5760【答案】D【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】根據(jù)題設(shè)，以顏色為序?qū)?個漢字、10個數(shù)字填入，應(yīng)用分步乘法求出所有可能標識個數(shù)，再由每3個標識構(gòu)成一個標識組求出不同標識組最多個數(shù).【詳解】由題設(shè)，3種顏色（假設(shè)為紅黃藍）分別填入3條標識的顏色欄，如下表，顏色漢字數(shù)字紅**黃**藍**再將4個漢字、10個數(shù)字安排到上表的3條標識中，且各條標識間的漢字、數(shù)字不重復，所以，依次填入3條標識漢字欄、數(shù)字欄，有種，所以一共可以構(gòu)成個標識，而每3個標識構(gòu)成一個標識組，所以不同標識組最多有個.故選：D7．的展開式中常數(shù)項為（

）A．120 B．-120 C．180 D．-180【答案】D【難度】0.65【知識點】求二項展開式的第k項【分析】因為，所以分別求和展開式中的常數(shù)項，即可得出結(jié)果.【詳解】展開式的通項為:，.不存在的值使得，所以的展開式中沒有常數(shù)項；當且僅當時，的展開式可取到常數(shù)項，則的常數(shù)項為.綜上所述：的展開式中常數(shù)項為-180.故選：D.8．驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號生成的一幅圖片．圖片里加上一些干擾像素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某項功能．很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全．在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由中的5個數(shù)字隨機組成．將中間數(shù)字最大，然后向兩邊遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】實際問題中的組合計數(shù)問題、計算古典概型問題的概率【分析】本題可以先確定中間數(shù)字的所有可能取值，再分別計算中間數(shù)字是7的情況數(shù)以及總的情況數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式（其中是包含的基本事件個數(shù)，是基本事件總數(shù)）計算概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊遞減，所以中間的數(shù)字可能是．當中間是4時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是5時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是6時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是7時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是8時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是9時，其他4個數(shù)字可以是，8，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知在的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為64，則下列說法正確的有（

）A． B．只有第3項的二項式系數(shù)最大C．的系數(shù)為 D．各項系數(shù)之和為【答案】AC【難度】0.85【知識點】二項式系數(shù)的增減性和最值、二項式的系數(shù)和、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和得，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)及展開式通項公式判斷A、B、C，最后應(yīng)用賦值法求各項系數(shù)之和判斷D.【詳解】由題設(shè)，可得，A對；展開式共有7項，故只有第4項的二項式系數(shù)最大，B錯誤；展開式通項為，，令，可得，則的系數(shù)為，C對；令，則，D錯.故選：AC10．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）

A．2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B．C．記第10行的第個數(shù)為，則D．記第行的第個數(shù)為，則【答案】ACD【難度】0.65【知識點】楊輝三角【分析】對于A，利用的展開式的二項式系數(shù)計算，對于B，利用性質(zhì)計算即可；對于CD，代入，利用二項式定理計算即可.【詳解】對于A，第2024行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1012個數(shù)為，第1014個數(shù)為，由于，故A正確；對于B，由可得，故B不正確；對于C，第行的第個數(shù)為，因為，所以，故C正確；對于D，第行的第個數(shù)為，則，故D正確；故選：ACD11．2025海南國際康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)博覽會設(shè)有“氣候治療和氣候康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)合作”“食品營養(yǎng)健康”“森林康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“醫(yī)藥大健康企業(yè)跨境出?！彼拇笃叫姓搲阎翅t(yī)藥公司的4位人員參與論壇，且每個人只能選一個論壇，則下列結(jié)論正確的有（

）A．每個論壇都有人員參與的情況共有24種B．有論壇沒人參與的情況共有256種C．恰有1個論壇沒人參與的情況共有144種D．4人只參與“食品營養(yǎng)健康”“森林康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展”兩個論壇的情況有20種【答案】AC【難度】0.65【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、實際問題中的組合計數(shù)問題、分組分配問題【分析】對于A，根據(jù)排列數(shù)，可得其正誤；對于B，利用正難則反的解析思路，可得其正誤；對于C，根據(jù)分步乘法原理以及分組分配的解題思想，可得其正誤；對于D，根據(jù)分類加法原理以及分組分配，可得其正誤.【詳解】對于A，每個論壇都有人員參與的情況數(shù)為，故A正確；對于B，人參加四個論壇，每人只能去一個的總的情況數(shù)為，則有論壇沒人參加的情況數(shù)為，故B錯誤；對于C，恰有1個論壇沒人參與的情況數(shù)為，故C正確；對于D，4人只參與“食品營養(yǎng)健康”“森林康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展”兩個論壇的情況數(shù)為，故D錯誤.故選：AC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則；.【答案】【難度】0.85【知識點】奇次項與偶次項的系數(shù)和【分析】利用賦值法直接計算即可.【詳解】令，則；令，令，兩式相減得，即.故答案為：；.13．已知的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，展開式中系數(shù)最大項是.【答案】【難度】0.65【知識點】求指定項的二項式系數(shù)、求系數(shù)最大（?。┑捻棥痉治觥坷枚検秸归_式的通項公式，結(jié)合已知條件可先求出，再利用遞推不等式組可求出系數(shù)最大項.【詳解】由題意，可得二項式展開式的通項為，因為第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，可得，即，所以，則或（舍），設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，則，可得，解得，因為，所以，所以系數(shù)最大的項為．故答案為：14．在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，從整點到整點或的有向線段叫做一個T步，從整點A到整點B的一條T路是指由若干個T步組成的起點為A、終點為B的有向折線.則整點到整點的T步的條數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】15【難度】0.65【知識點】代數(shù)中的組合計數(shù)問題【分析】從整點到整點，記為上步，從整點到整點，記為下步，結(jié)合題意分析易得整點到整點的T步一共有6個，且上步有4個，下步有2個，進而結(jié)合組合知識求解即可.【詳解】由題意，從整點到整點，記為上步，從整點到整點，記為下步，不管上步還是下步，在一個T步上橫坐標都增加1，而上步縱坐標增加1，下步縱坐標減少1，因此整點到整點的T步一共有6個，且上步有4個，下步有2個，因此整點到整點的T路的條數(shù)為.故答案為：15.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）280；（2）【難度】0.85【知識點】排列數(shù)的計算、排列數(shù)方程和不等式、組合數(shù)的計算【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式計算，即得答案；（2）根據(jù)排列數(shù)公式，解不等式，即得答案.【詳解】（1）；（2）由，得，化簡得，解得.①又，所以.②由①②及，得，即不等式的解集為.16．某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生10名，外科醫(yī)生6名，現(xiàn)選派5名參加新冠肺炎醫(yī)療隊.(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲?乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲?乙2人至少有1人參加，有多少種選法？(4)醫(yī)療隊中至少有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，有多少種選法？【答案】(1)364(2)2002(3)2366(4)4110【難度】0.65【知識點】實際問題中的組合計數(shù)問題【分析】（1）從余下人中任選3人即可；（2）從余下人中任選5人即可；（3）分類討論甲乙參加人數(shù)計算即可；（4）法一、直接分類討論內(nèi)外科參加人數(shù)計算即可；法二、間接法，計算只有內(nèi)科5人或外科5人的總數(shù)，用16人選5人的方法數(shù)減去即可.【詳解】（1）只需從其他14人中選3人即可，共有（種）選法.（2）只需從其他14人中選5人即可，共有（種）選法.（3）分兩類：甲?乙中有1人參加；甲?乙都參加.則共有（種）選法.（4）方法一（直接法）至少有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生的選法可分4類：內(nèi)科1人，外科4人；內(nèi)科2人，外科3人；內(nèi)科3人，外科2人；內(nèi)科4人，外科1人.所以共有（種）選法.方法二（間接法）從無限制條件的選法總數(shù)中減去5名都是內(nèi)科醫(yī)生和5名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)所得的結(jié)果即為所求，即共有（種）選法.17．在的展開式中(1)含的項并說明它是展開式中的第幾項；(2)常數(shù)項的值和對應(yīng)的二項式系數(shù)；(3)二項式系數(shù)最大的項；(4)各項二項式系數(shù)的和及各項系數(shù)的和．【答案】(1)，第5項；(2)不含常數(shù)項；(3)，；(4)，.【難度】0.65【知識點】二項式系數(shù)的增減性和最值、二項式的系數(shù)和、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式寫出，（1）令，（2）令，（3）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)來求，（4）根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)，以及賦值法來求系數(shù)和.【詳解】（1）由二項展開式得第項，令，得，則，為第5項；（2）令，得，不是整數(shù)，則不含常數(shù)項；（3）二項式系數(shù)最大為，時，，時，，所以二項式系數(shù)最大的項為第4項和第5項；（4）二項式系數(shù)和為，令，則所有項的系數(shù)和為.18．若，其中.(1)求的值；(2)求.【答案】(1)2(2)【難度】0.65【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)、奇次項與偶次項的系數(shù)和【分析】（1）寫出二項展開式的通項公式，列式即可求得.（2）利用賦值法