2/8第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u01?？碱}型過關(guān)練題型01作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小題型02利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型03利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型04利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍題型05不等式的綜合02核心突破提升練03真題溯源通關(guān)練01作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小1．（多選）若，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，，所以，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.2．假設(shè)買水兩次，兩次買水的價格有變動，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下兩種方案買水（假設(shè)十元錢剛好能買到整數(shù)瓶水），方案一：每次買十元錢的水，買兩次；方案二：每次買十瓶水，買兩次．則下列說法正確的是（

）A．用兩種買水方案買水的花費一樣B．用“方案二”買水比較劃算C．用“方案一”買水比較劃算D．用哪種方案買水比較劃算與a，b的大小有關(guān)【答案】C【詳解】方案一：平均每瓶的價格為（元）；方案二：平均每瓶的價格為（元）．由于，故方案一比較劃算．3．每次去加油站，甲選擇加固定金額的油，乙選擇加固定體積的油．在油價的波動情況下，哪種方式更經(jīng)濟呢？（

）A．加固定金額的方式 B．加固定體積的方式 C．兩種方案一樣 D．要視具體價格而定【答案】A【詳解】設(shè)兩次加油的油價分別為，（，且），乙方案每次加油的量為；甲方案每次加油的錢數(shù)為，則乙方案的平均油價為：，甲方案的平均油價為：，因為，所以，即甲方案更經(jīng)濟．故選：A4．兩人共同參加一個游戲，游戲規(guī)則如下：其中一人在集合（，且）中任取2個元素并求和，剩下2個元素給另一個人并求和，和大者為勝.則先取者取下列哪2個元素能夠保證先取者必勝（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【詳解】若先取者取和，則，根據(jù)，且，不能確定大小關(guān)系，A錯誤；若先取者取和，則，根據(jù)，且，不能確定大小關(guān)系，B錯誤；若先取者取和，則，根據(jù)，且，所以上式大于0，C正確，D錯誤.故選：C5．若，求證：．【答案】證明見解析【詳解】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．02利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假6．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以，，所以，，故A正確，B錯誤；當時，，，故C錯誤，D錯誤．7．若，，為非零實數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，，則，，因為此時，故A不成立；，故B不成立；，故D不成立；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：，，故C成立.故選：C8．下列命題是假命題的為（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】A【詳解】對于A，，因，則，又，則，故A錯誤；對于B，由不等式同向可加性可知，當時，，故B正確；對于C，，因，則，又，則，故C正確；對于D，，因，則，，則，故D正確．故選：A9．（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對于A：，又，由加法性質(zhì)知，A正確,對于B：,,，B正確,對于C：,,,但是的正負號不確定,與大小關(guān)系不確定，C錯誤,對于D：,,，又,，D正確,故選：ABD.10．（多選）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】B選項，，又，故，由可得，即，由可得，所以，故，由可得，即，所以，B正確；不妨設(shè)，滿足和，此時，，AD錯誤；兩邊同除以得，，，故，即，不等式兩邊同除以得，所以，C正確；故選：BC03利用不等式的性質(zhì)證明不等式11．（多選）下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【詳解】A中，因為，可得，所以，所以A正確；B中，若，也可以，所以不正確，所以B不正確；C中，，因為，，而，所以，即，所以C正確；D中，若，當時，則，則錯誤，所以D不正確．故選：AC．12．（1）已知，，，求證：；（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】（1）因為，所以．又，所以，則，所以，即．又，所以．（2）要證，只需證，即證，即證，即證，即證，顯然成立，所以．13．已知，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由，則，故，由，則，故，所以，得證.（2）由，而，所以，即，得證.14．設(shè)，，，證明：．【答案】證明見解析【詳解】由題意知，，，則有，，，①，，，所以．又根據(jù)①的結(jié)論可知，，，所以．綜上所述，.15．已知，且，求證：【答案】證明見解析．【詳解】因為，且，可得，，所以，所以，可得，又因為，所以，所以，所以，因為，由不等式的性質(zhì)，可得，故．16．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.(1)請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式.(2)利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在中a、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，則”【答案】(1)；證明見解析；(2)證明見解析；【詳解】（1）由題可得，；證明：因為，，，所以，，，從而，即（2）由三角形三邊關(guān)系，可得，而函數(shù)，為單調(diào)遞增函數(shù)，，，，故，所以，04利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍17．若，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，即的范圍為.故選：A18．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，又，，所以的取值范圍是．故選：C．19．（多選）已知且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】∵且，∴，即，故A正確；取，則，故B錯誤；取，則，故C錯誤；∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，綜上，，故D正確，故選：AD.20．若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是；若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．【答案】【詳解】若x，y滿足，則，從而．若，設(shè)，所以解得，則有，所以．05不等式的綜合21．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，因為，當且僅當時取等號，所以，因為，所以，當時，，此時，，這與矛盾，所以，由，得，所以，當且僅當時取等號，由A選項知，當時，不符題意，所以，由，可得，因為，所以，所以，因為，所以，所以，由，得，則，因為，，所以，又因為，所以，所以，綜上所述，.故選：A.22．設(shè)集合，若，，且，，則（

）A． B．，C． D．，【答案】D【詳解】由，，則，，則又實數(shù)，，所以，即，A選項錯誤；當，，此時，B選項錯誤；由A選項知，，故當時，，C選項錯誤；D選項：1.當為奇數(shù)，為奇數(shù)時，為偶數(shù)．又，因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．2.當，為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，則必為偶數(shù)．又，且為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．故，不可能都為整數(shù)，即，，選項D正確．故選：D.23．（2025·浙江·模擬預(yù)測）若負實數(shù)滿足：對于任意，總存在，使得，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知：對于任意，總存在，使得，所以的取值范圍是的子集即可，，注意到，，因為，所以故選：B24．已知實數(shù)滿足．(1)求和的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)；．(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，因為，所以；（2）．

因為，所以．所以；所以．25．求證：．【答案】證明見解析【詳解】?由濃度不等式，可得，則有，于是，，因此．證明濃度不等式：，其中，證明：，所以.1．（多選）已知，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】因為，，對于A，因為，而，，故無法確定與的大小，A錯；對于B，因為，所以，B錯；對于C，由不等式的性質(zhì)可得，從而，C對；對于D，由不等式的性質(zhì)可得，D對.故選：CD.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以．由于，故在不等式上同時乘以a得，即，因此，．3．（2025·福建三明·三模）已知a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若，則，充分性成立；設(shè)，則有滿足，此時有，不滿足，故必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．（多選）在下列四個命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．已知，，則D．已知，若，，則【答案】CD【詳解】對于A,由，故，故A錯誤，對于B，由于，所以，又，所以，又，故，故，因此，故B錯誤，對于C,由于，結(jié)合，，則，故C正確，對于D,，由于，，故，即，故D正確，故選：CD5．（2025·山西·二模）從坐標平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（

）A．第一象限點比第二象限點多 B．第二象限點比第三象限點多C．第一象限點比第三象限點少 D．第二象限點比第四象限點少【答案】D【詳解】設(shè)第一象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第二象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為正數(shù)的點有個，第三象限的點即橫坐標為負數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，第四象限的點即橫坐標為正數(shù)且縱坐標為負數(shù)的點有個，又因為橫坐標為正數(shù)的點比橫坐標為負數(shù)的點多，縱坐標為正數(shù)的點比縱坐標為負數(shù)的點少，所以①，且②，由不等式性質(zhì)可知，①+②可得，即第二象限點比第四象限點少.故選：D.6．設(shè)，則M與N的大小關(guān)系是．【答案】【詳解】因為，所以．7．（多選）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正確，A錯誤.故選：BCD8．已知，且．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）解法1

因為且，所以，且，兩邊取倒數(shù)得，又，則，從而得證．解法2

因為且，所以，且，所以，即．（2）因為且，所以，，則，，由，可得，即，所以，即．綜上，．9．求證：．【答案】證明見解析【詳解】?原不等式可轉(zhuǎn)化為，由濃度不等式得，則得，于是兩邊開平方，即得．下面證明濃度不等式，，其中，證明：由，所以.1．（2018·全國III卷·高考真題）設(shè)，，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：求出，得到的范圍，進而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選：B