2/11專(zhuān)題01基本計(jì)數(shù)原理題型一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型三：計(jì)數(shù)原理的判斷及綜合應(yīng)用題型四：計(jì)數(shù)原理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題型五：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題題型六：幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題題型七：數(shù)字排列問(wèn)題題型八：涂色問(wèn)題題型九：其它計(jì)數(shù)模型題型一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1．（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數(shù)有（

）A．18 B．9 C．8 D．7【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得不同的選法種數(shù)為.故選：C2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若某焊接點(diǎn)脫落，則此處斷路，則焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致電路不通的情況的種數(shù)為（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【分析】按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論，運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論，若脫落1個(gè)，則有共2種情況，若脫落2個(gè)，則有共6種情況，若脫落3個(gè)，則有共4種情況，若脫落4個(gè)，則有共1種情況，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，情況種數(shù)共有種．故選：C．3．（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車(chē)CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車(chē)車(chē)票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【分析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算即可.【詳解】按照分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得小張的購(gòu)票方案種數(shù)為.故選：B.4．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則在第二象限內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【分析】根據(jù)第二象限坐標(biāo)特征分類(lèi)結(jié)合分類(lèi)加法原理計(jì)算求解.【詳解】第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合M提供橫坐標(biāo)，集合N提供縱坐標(biāo)，則符合題意的點(diǎn)有，，共2個(gè)；若集合M提供縱坐標(biāo)，集合N提供橫坐標(biāo)，則符合題意的點(diǎn)有，，，，共4個(gè)．綜上，在第二象限內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．故選：D.5．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一個(gè)棋子放在如圖所示的正方形（邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度）的頂點(diǎn)處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜃邘讉€(gè)單位長(zhǎng)度，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蜃遡個(gè)單位長(zhǎng)度，一直循環(huán)下去.此人拋擲三次骰子后，棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的不同走法共有種.【答案】【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【分析】根據(jù)正方形周長(zhǎng)可知三次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為或，分情況討論即可.【詳解】正方形的周長(zhǎng)為，故拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為或.（1）點(diǎn)數(shù)之和為的情況有種：，，，，，其中，，都含有個(gè)相同數(shù)字，各有種走法；而，由個(gè)不同的數(shù)字組成，各有種走法.所以共有種走法.（2）點(diǎn)數(shù)之和為的情況有種：，，共有種走法.因此，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的走法，故答案為：.6．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某玩具廠(chǎng)參加展出，帶了四款不同類(lèi)型、不同價(jià)格的玩具，它們的價(jià)格分別是元、元、元、元.某禮品進(jìn)貨商準(zhǔn)備買(mǎi)若干款不同類(lèi)型的玩具樣品（至少購(gòu)買(mǎi)一款，且每款只購(gòu)一只），因信用卡出現(xiàn)故障，他身上只剩元現(xiàn)金，則他買(mǎi)玩具樣品的方案有種.【答案】【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【分析】按照所買(mǎi)玩具的種類(lèi)進(jìn)行分類(lèi)，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得解.【詳解】按照玩具的種類(lèi)分成種情況.（1）只購(gòu)買(mǎi)一款玩具樣品，共種方案.（2）購(gòu)買(mǎi)兩款玩具樣品：買(mǎi)元和元的各一只；買(mǎi)元和元的各一只；買(mǎi)元和元的各一只；買(mǎi)元和元的各一只；買(mǎi)元和元的各一只；買(mǎi)元和元的各一只.共種方案.（3）購(gòu)買(mǎi)三款玩具樣品：買(mǎi)元、元和元的各一只；買(mǎi)元、元和元的各一只；買(mǎi)元、元和元的各一只.共種方案.綜上，購(gòu)買(mǎi)玩具的方案共有種，故答案為：.題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1．（25-26高二上·湖北襄陽(yáng)·階段練習(xí)）李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色各不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率【分析】結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，利用古典概型概率公式求解概率即可.【詳解】每次摸取有3種顏色選擇，有放回地摸取3次，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總基本事件數(shù)為，3次摸取的顏色各不相同，即從3種顏色中選3種排列，第1次有3種選擇，第2次不能與第1次相同有2種選擇，第3次不能與前兩次相同有1種選擇，符合條件的事件數(shù)為，所以所求概率為.故選：B.2．（25-26高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）書(shū)架上有6本不同的書(shū)，再往書(shū)架放另外3本不同的書(shū)，要求不改變?cè)瓉?lái)書(shū)架上6本書(shū)的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．168【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【分析】定序問(wèn)題，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】將新買(mǎi)的本書(shū)逐一放進(jìn)去，對(duì)第一本書(shū)，本書(shū)形成個(gè)空當(dāng)，在個(gè)空當(dāng)里面選一個(gè)有種選法；對(duì)第二本書(shū)，本書(shū)形成個(gè)空當(dāng)，在個(gè)空當(dāng)里面選一個(gè)有種選法；最后一本書(shū)，本書(shū)形成個(gè)空當(dāng)，在個(gè)空當(dāng)里面選一個(gè)有種選法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有(種).故選：A3．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為，，，的個(gè)小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】根據(jù)分類(lèi)加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算.【詳解】把區(qū)域分成三部分，第一部分為，，，有種涂法.第二部分為，，.當(dāng)，同色時(shí)，，各有2種涂法；當(dāng)，異色時(shí)，有種涂法，，均只有種涂法.故第二部分共有種涂法.第三部分為，，，與第二部分一樣，共有種涂法.因此根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種涂法，故選：D.4．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圖中每個(gè)開(kāi)關(guān)都有閉合與不閉合2種可能，因此5個(gè)開(kāi)關(guān)共有種可能情況，在這種可能情況中，電路（從甲到乙）接通的情況有（

）.A．30種 B．24種 C．16種 D．10種【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：若中間斷開(kāi)；中間閉合；分別求出每種情況下的電路接通情況的數(shù)目，結(jié)合分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)電路中間是斷開(kāi)還是閉合進(jìn)行分類(lèi)．①若中間斷開(kāi)，如圖5所示，則電路接通的情況有（種）；②若中間閉合，如圖6所示，則電路接通的情況有（種）．故共有（種）.故選：C.5．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，當(dāng)一條電路從處到處接通時(shí)，不同的線(xiàn)路共有條（每條線(xiàn)路僅含一條通路）．

【答案】8【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【分析】根據(jù)分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意知可以按上、下兩條線(xiàn)路分為兩類(lèi)，上線(xiàn)路中有2條，下線(xiàn)路中有（條）．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得不同的線(xiàn)路共有（條）．故答案為：86．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子.現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則共有種放法.【答案】20【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用【分析】先確定恰好有兩個(gè)球編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法，然后再考慮其余3個(gè)小球的放法，即可求解.【詳解】先在五個(gè)球中任選兩個(gè)球放入與球編號(hào)相同的盒子內(nèi)，有10種放法，剩下的三個(gè)球，不妨設(shè)其編號(hào)為3，4，5.其中3號(hào)球可以放入4，5號(hào)盒子中，有2種放法；而4，5號(hào)球只有1種放法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種放法.故答案為：20題型三：計(jì)數(shù)原理的判斷及綜合應(yīng)用1．現(xiàn)有5名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．9【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、判斷事件計(jì)數(shù)的原理【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：.故選：A2．（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（）A．分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情B．從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各1本，求共有多少種取法的問(wèn)題是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題C．求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線(xiàn)的問(wèn)題是分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題D．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可用來(lái)求解完成一件事有若干類(lèi)方法這類(lèi)問(wèn)題【答案】BD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、判斷事件計(jì)數(shù)的原理、實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的定義逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，分步乘法計(jì)數(shù)原理要求每一步都完成，才能說(shuō)任務(wù)完成，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各1本，完成這件事需要分兩步：第一步取1本數(shù)學(xué)書(shū)，有若干種取法；第二步取1本語(yǔ)文書(shū)，故應(yīng)是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，故B正確；對(duì)于C，任務(wù)“從甲地經(jīng)丙地到乙地”，分為從甲地到丙地，再?gòu)谋氐揭业貎刹酵瓿?，是分步?jì)數(shù)問(wèn)題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中的每一類(lèi)方法都能一次性地完成任務(wù)，故可用來(lái)求解完成一件事有若干類(lèi)方法這類(lèi)問(wèn)題，即D正確.故選：BD.3．（24-25高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）若完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是;而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是.【答案】分類(lèi)分步【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、判斷事件計(jì)數(shù)的原理【分析】略【詳解】略4．有8種不同型號(hào)的手機(jī)供4位顧客選購(gòu)，每人只購(gòu)一臺(tái)，則共有種不同的選法.【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、判斷事件計(jì)數(shù)的原理【分析】按分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由已知得，每位顧客都有8種選法，所以共有種方法，故答案為：題型四：計(jì)數(shù)原理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．（24-25高二下·廣西百色·期末）如圖所示，從甲地到丙地有2條公路可走，從丙地到乙地有3條公路可走，從甲地不經(jīng)過(guò)丙地到乙地有2條水路可走.則從甲地到乙地的走法種數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：從甲地經(jīng)過(guò)丙地到乙地共有種走法；又從甲地不經(jīng)過(guò)丙地到乙地有2條水路可走，所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得：從甲地到乙地的走法種數(shù)為.故選：D.2．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）學(xué)校教師運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)置有“跳繩”、“立定跳遠(yuǎn)”、“定點(diǎn)投籃”、“沙包擲準(zhǔn)”四個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目各需要一位裁判，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位體育老師，每人做且僅做一項(xiàng)裁判工作，因?yàn)闀r(shí)間問(wèn)題，甲不能安排“跳繩”裁判，乙不能安排“定點(diǎn)投籃”裁判，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．14種C．7種 D．9種【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】應(yīng)用分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理，求出甲安排為“定點(diǎn)投籃”、不安排“定點(diǎn)投籃”兩種情況分別寫(xiě)出安排方法數(shù)，即可得答案.【詳解】當(dāng)甲安排“定點(diǎn)投籃”，另外3人任意安排工作有6種方法.當(dāng)甲不安排“定點(diǎn)投籃”時(shí)，先安排甲有2種，再安排乙有2種，另外剩余2人有2種，此時(shí)有種方法，共有種，故選：B3．（24-25高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒(méi)有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢(xún)問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【詳解】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時(shí)，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；丙是第3名時(shí)，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時(shí)共2種情況；丙是第4名時(shí)，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當(dāng)甲，乙是第1，2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共2種情況；當(dāng)甲，乙是第2，3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.4．（23-24高二下·貴州·期中）高二某班級(jí)4名同學(xué)要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，其中甲同學(xué)不能報(bào)名足球，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，則不同的報(bào)名種數(shù)有（

）A．54 B．12 C．8 D．81【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】直接由分步計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】由甲同學(xué)不能報(bào)名足球，可得甲有2種報(bào)名方式，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，可得乙有3種報(bào)名方式，丙有2種報(bào)名方式，丁只有1種報(bào)名方式，共分步計(jì)數(shù)原理可得共有種．故選：B．5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）2024屆高三某次聯(lián)考中對(duì)尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現(xiàn)在確定第一、二、五名是三位同學(xué)，但不是第一名，兩名同學(xué)只知道在6至9名，且的成績(jī)比好，則這5位同學(xué)總分名次有多少種可能（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】先排，再排和，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，可排6，7，8位，最后根據(jù)的情況再排?！驹斀狻康谝徊脚庞袃煞N可能：第2名或第5名；第二步排和有兩種可能；第三步排和，有6，7，8位三種可能；當(dāng)為第6名時(shí)，有7，8，9名三種可能，當(dāng)為第7名時(shí)，有8，9名兩種可能，當(dāng)為第8名時(shí)，只有第9名一種可能，所以第三步的總數(shù)為種；根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，所有名次排位的總數(shù)種。故選：C6．某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（

）種.A．10 B．9 C．8 D．12【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】利用計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算即可.【詳解】按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒(méi)有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步.因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步.為形象起見(jiàn)，以白、黑、紅三種顏色的球來(lái)記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過(guò)程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，每一過(guò)程可表為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，此時(shí)，共有4個(gè)黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（i）第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過(guò)程.故選：A7．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）有紅、黃、藍(lán)三色旗各三面，每次可升旗一面、兩面或三面，在旗桿上縱向排列，不同的顏色和旗幟數(shù)均代表不同的信號(hào)，共可組成不同的信號(hào)種.【答案】39【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】根據(jù)給定條件分成每次升1面、升2面、升3面旗3類(lèi)，求出各類(lèi)表示的信號(hào)數(shù)，再將各類(lèi)信號(hào)數(shù)相加即得.【詳解】根據(jù)所升旗的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)：①升1面旗，有三種顏色可供選擇，故可組成3種不同信號(hào)；②升2面旗，則升第一面旗時(shí)，有三種顏色可供選擇，升第二面旗時(shí)，同樣有三種顏色可供選擇，故可組成種不同信號(hào)；③升3面旗，則升每面旗時(shí)，均有三種顏色可供選擇，故可組成的不同信號(hào)有種.綜上所述，可組成的不同信號(hào)共有（種）．故答案為：398．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種特殊的粒子，現(xiàn)在把該粒子放在依次排開(kāi)的1~5號(hào)密封箱子中，兩個(gè)箱子之間只有一條通道相連，該粒子每天只會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)箱子里，第二天會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)在相鄰箱子中的一個(gè)，若科學(xué)家每天只能觀察一個(gè)箱子，則至少需要天才能確保觀測(cè)到該粒子.【答案】6【難度】0.15【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】根據(jù)題意，假設(shè)科學(xué)家第一天查看2號(hào)或者4號(hào)箱子，以2號(hào)箱子為例，依次判斷粒子可能出現(xiàn)的情況，并根據(jù)科學(xué)家的決策確定最終的天數(shù).【詳解】假設(shè)考慮最壞情況，粒子會(huì)以對(duì)抗方式移動(dòng)以盡可能避免被觀測(cè)，科學(xué)家第一天查看2號(hào)或者4號(hào)箱子，以2號(hào)箱子為例，如果沒(méi)觀察到粒子，則粒子一定在1，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第二天粒子一定會(huì)在2，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第二天科學(xué)家去3號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在2，4，5這三個(gè)箱子中的一個(gè)，所以第三天粒子一定會(huì)在1，3，4，5這四個(gè)箱子中的一個(gè)，第三天科學(xué)家去4號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在1，3，5這三個(gè)箱子中的一個(gè)，所以第四天粒子一定在2，4這兩個(gè)箱子中的一個(gè)，第四天科學(xué)家去2號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在4號(hào)箱子，則第5天粒子一定在3，5這兩個(gè)箱子中的一個(gè)，第五天科學(xué)家去3號(hào)箱子查看，如果沒(méi)有觀察到粒子，則粒子一定在5號(hào)箱子，第六天一定在4號(hào)箱子，因此科學(xué)家第六天去4號(hào)箱子一定能觀察到它，這時(shí)6天一定可以確保觀察到粒子，其他情況確保觀察到粒子都不少于6天.故答案為：69．（24-25高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）某校為弘揚(yáng)“頑強(qiáng)拼搏的馬拉松”精神，舉辦了5千米長(zhǎng)跑比賽，若包含甲、乙在內(nèi)的共6名同學(xué)進(jìn)入了決賽，通過(guò)賽后成績(jī)得知，其中沒(méi)有名次并列的情況，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的絕對(duì)值為2．（1）若甲的名次為偶數(shù)，則這6名同學(xué)的名次排列情況共有種；（2）甲和乙的名次之和為10的概率為.【答案】【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】利用給定條件確定甲和乙的位置，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解情況總數(shù)來(lái)判斷第一空，求出符合甲和乙的名次之和為10的事件數(shù)，再求出總事件數(shù)，最后使用古典概型概率公式求解即可.【詳解】對(duì)于第一空，由題意得甲的名次為偶數(shù)，且甲不是第一名，則甲可能為第二名，第四名，第六名，當(dāng)甲是第二名時(shí)，因?yàn)榧缀鸵业拿沃畹慕^對(duì)值為2，所以乙是第四名，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，當(dāng)甲是第四名時(shí)，因?yàn)榧缀鸵业拿沃畹慕^對(duì)值為2，所以乙可能是第二名或第六名，當(dāng)乙是第二名時(shí)，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，當(dāng)乙是第六名時(shí)，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，當(dāng)甲是第六名時(shí)，因?yàn)榧缀鸵业拿沃畹慕^對(duì)值為2，所以乙是第四名，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有種情況，對(duì)于第二空，因?yàn)榧撞皇堑谝幻?，所以甲的名次有五種可能，當(dāng)甲是第三名時(shí)，因?yàn)榧缀鸵业拿沃畹慕^對(duì)值為2，所以乙是第五名，或第一名，當(dāng)乙是第五名時(shí)，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，當(dāng)乙是第一名時(shí)，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，當(dāng)甲是第五名時(shí)，因?yàn)榧缀鸵业拿沃畹慕^對(duì)值為2，所以乙是第三名，此時(shí)剩下四名同學(xué)全排列，共有種情況，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有種情況，若甲和乙的名次之和為10，則甲是第四名，乙是第六名，與甲是第六名，乙是第四名，這兩種情況符合題意，符合條件的事件數(shù)為，且設(shè)概率為，由古典概型概率公式得.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是分類(lèi)討論甲和乙的名次，然后求出總事件數(shù)和符合條件的事件數(shù)，最后利用古典概型概率公式得到所要求的結(jié)果即可．10．（23-24高二下·天津紅橋·期中）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿(mǎn)意，則選法有種．【答案】50【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】分甲選龍和甲不選龍兩種情況，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，第二種情況是甲選?；蜓颍子?種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有種方法，所以共有種方法.故答案為：50題型五：代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題1．（24-25高二下·山西呂梁·階段練習(xí)）數(shù)字540的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．16 C．20 D．24【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有的正因數(shù)即可.【詳解】由，共有24個(gè)正因數(shù).故選：D2．（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】分是否取兩類(lèi)，當(dāng)不取時(shí)，排除重復(fù)的即可得解.【詳解】當(dāng)取時(shí)，則只能為真數(shù)，此時(shí)這個(gè)對(duì)數(shù)值為，當(dāng)不取時(shí)，底數(shù)有種，真數(shù)有種，其中，故此時(shí)有個(gè)，所以共有個(gè).故選：D.3．已知，且，則所有滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．13 C．20 D．24【答案】B【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】將題設(shè)條件變形為且、，結(jié)合判斷的可能數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，即，又，且，則，所以且，可能為、、、、、、、、、、、、，共13個(gè)，所以對(duì)應(yīng)也有13個(gè).綜上，所有滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為13個(gè).故選：B4．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（

）A．64 B．56 C．53 D．51【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】按所取的兩個(gè)數(shù)字中有數(shù)字1和沒(méi)有數(shù)字1分別計(jì)算對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)，再去掉對(duì)數(shù)值相等的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】由于1只能作為真數(shù)，則以1為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對(duì)數(shù)值均為0，從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成個(gè)對(duì)數(shù)式，其中，，，，，重復(fù)了4次，所以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為.故選：C5．設(shè)集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一個(gè)根x0∈A，就稱(chēng)方程為合格方程，則合格方程的個(gè)數(shù)為()A．13 B．15C．17 D．19【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【詳解】當(dāng)m＝0時(shí)，取n＝0,1,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝1時(shí)，取n＝0,2,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝2時(shí)，取n＝0,3，方程為合格方程；當(dāng)m＝3時(shí)，取n＝0,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝4時(shí)，取n＝0,5，方程為合格方程；當(dāng)m＝5時(shí)，取n＝0,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝6時(shí)，取n＝0,7，方程為合格方程；當(dāng)m＝7時(shí)，取n＝0，方程為合格方程．綜上可得，合格方程的個(gè)數(shù)為17；故選：C.6．從1，2，…，2024中任取兩數(shù)，（可以相同），則個(gè)位為8的概率為【答案】【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率【分析】先研究和的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，確定它們的周期均為4，再借助古典概型知識(shí)，即可求解.【詳解】從1，2，?，2024中任取兩數(shù)a，b(可以相同)，共有種取法，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)字隨著從1開(kāi)始，依次是，周期變化，的個(gè)位數(shù)字隨著從1開(kāi)始，則依次是，周期變化，故它們的周期均為，所以，中，共有種數(shù)型，且每種數(shù)型的個(gè)數(shù)是均等的，都是個(gè)，和的尾數(shù)中只有三種情形中個(gè)位數(shù)字是，即時(shí)，的個(gè)位數(shù)字是，，所以滿(mǎn)足的個(gè)位數(shù)字是的取法有種取法，所以所求概率為.即個(gè)位為的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析發(fā)現(xiàn)的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)呈周期規(guī)律，從而得解.7．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方數(shù)，則滿(mǎn)足條件的集合共有個(gè)．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】令，，求出集合的非空子集數(shù)，與集合的子集數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】集合中的完全平方數(shù)有，，，令，，則集合的非空子集有個(gè)，集合的子集有個(gè)，則滿(mǎn)足條件的集合為集合的非空子集與集合的子集的并集，故一共有個(gè).故答案為：8．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，，則不同的有序集合對(duì)有種.【答案】27【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】先根據(jù)條件將集合分類(lèi)，列舉出滿(mǎn)足條件的集合.【詳解】AB、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如上表，每一種集合可確定滿(mǎn)足條件的集合，不同的有序集合對(duì)有27種.故答案為：27.題型六：幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題1．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】正方體共有條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，再考慮重復(fù)情況得到答案.【詳解】正方體共有條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，每組中包含兩條棱，故有故選：【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力.2．過(guò)三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)作直線(xiàn)，在所有這些直線(xiàn)連線(xiàn)中構(gòu)成異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54【答案】C【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題【解析】根據(jù)題意，分棱柱側(cè)棱與底面邊、棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)、底面邊與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)、底面邊與底面邊、側(cè)面對(duì)角線(xiàn)與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)五類(lèi)依次計(jì)數(shù)即可得答案.【詳解】解：如圖，分以下幾類(lèi)：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線(xiàn)有：對(duì)；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)之間所構(gòu)成的異面直線(xiàn)有：對(duì)；底面邊與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)之間所構(gòu)成的異面直線(xiàn)有：對(duì)；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線(xiàn)有：對(duì)；側(cè)面對(duì)角線(xiàn)與側(cè)面對(duì)角線(xiàn)之間所構(gòu)成的異面直線(xiàn)有：對(duì)；所以共有對(duì).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，異面直線(xiàn)的判斷，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意合理分類(lèi)，做到不重不漏，進(jìn)而解決，是難題.3．一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)（由8×8個(gè)方格組成），其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示．現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤(pán)剪成數(shù)個(gè)“L”形骨牌，則（）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌B．至多能剪成20塊“L”形骨牌C．最多能剪成21塊“L”形骨牌D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】由2×3的6塊方格10塊和一個(gè)田字格組成棋盤(pán)，只要將破損的方格所在位置剪成一個(gè)恰當(dāng)?shù)奶镒指窦纯桑宰疃嗄軌蚣舫?1塊“L”形骨牌.【詳解】考慮2×3的6塊方格，如圖：，每一塊這樣的骨牌含有2塊“L”形骨牌一共可以剪成10塊這樣的骨牌，和一個(gè)田字格，田字格可以剪1塊“L”形骨牌，則一共21塊“L”形骨牌.只要將破損的方格所在位置剪成一個(gè)恰當(dāng)?shù)奶镒指窦纯桑砸欢軌蚣舫?1塊“L”形骨牌.如圖所示故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)圖形特征結(jié)合計(jì)數(shù)原理求解，根據(jù)題目要求合理構(gòu)造圖形即可解題.4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫(huà)出形狀相同的兩個(gè)陰陽(yáng)魚(yú)，陽(yáng)魚(yú)的頭部有個(gè)陰眼，陰魚(yú)的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為．

【答案】24【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】首先分情況，先確定兩個(gè)頂點(diǎn)，再確定其他頂點(diǎn)，即可求解.【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，

若以AB為底邊，則可構(gòu)成2個(gè)梯形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知此類(lèi)梯形有（個(gè)），若以AC為底邊，則可構(gòu)成1個(gè)梯形，此類(lèi)梯形共有（個(gè)），所以梯形的個(gè)數(shù)是（個(gè)）．故答案為：245．圓周上有個(gè)等分點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為．【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題【分析】只有三角形的一條邊為直徑才能組成直角三角形,第一步選直徑共有種方法，第二步選直角頂點(diǎn)有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理相乘即可.【詳解】由題意知,只有三角形的一條邊過(guò)圓心,才能組成直角三角，因?yàn)閳A周上有個(gè)等分，所以共有條直徑，每條直徑可以和除去本身的兩個(gè)端點(diǎn)外的點(diǎn)組成直角三角形，所以可做個(gè)直角三角形.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知,共有個(gè)故答案為:.題型七：數(shù)字排列問(wèn)題1．（24-25高二下·山東威海·期末）用0，1，2，3，4可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．18【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、數(shù)字排列問(wèn)題、元素（位置）有限制的排列問(wèn)題【分析】根據(jù)分步乘法原理計(jì)算求解.【詳解】用0，1，2，3，4可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)個(gè)位數(shù)字有2種情況，首位數(shù)字有3種情況，十位數(shù)字有3種情況，所以三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為種情況.故選：D.2．（24-25高二下·河北唐山·階段練習(xí)）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．48個(gè) B．52個(gè) C．60個(gè) D．120個(gè)【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字排列問(wèn)題【分析】根據(jù)分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類(lèi)討論，求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，分為兩種情況：情況一：個(gè)位是0，則有不同的結(jié)果個(gè)；情況二：個(gè)位不是0，則有不同結(jié)果個(gè)；所以共有個(gè)；故選：B.3．（24-25高三下·湖南·階段練習(xí)）用1，3，5組成數(shù)字可以重復(fù)的自然數(shù)，并按照從小到大的順序排列，依次得到1，3，5，11，13，15，31，33，35，51，53，55，…則3135是這組數(shù)的（

）A．第69項(xiàng) B．第72項(xiàng) C．第74項(xiàng) D．第75項(xiàng)【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、數(shù)字排列問(wèn)題【分析】由已知分別計(jì)算出一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)以及比3135小的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，從而確定3135是這組數(shù)的第幾項(xiàng).【詳解】當(dāng)組成的數(shù)字為一位數(shù)時(shí)，有1，3，5，共個(gè)，當(dāng)組成的數(shù)字為兩位數(shù)時(shí)，十位和個(gè)位都可以從1，3，5中任意選一個(gè)數(shù)字，所以?xún)晌粩?shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，當(dāng)組成的數(shù)字為三位數(shù)時(shí)，百位，十位和個(gè)位都可以從1，3，5中任意選一個(gè)數(shù)字，所以三位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，當(dāng)組成的數(shù)字為四位數(shù)且比3135小時(shí)，千位是的四位數(shù)，百位，十位和個(gè)位都有種選擇，所以個(gè)數(shù)為個(gè)，千位是的四位數(shù)，百位是，十位是，個(gè)位有種選擇，千位是的四位數(shù)，百位是，十位是，個(gè)位有種選擇，所以個(gè)數(shù)為個(gè)，因?yàn)?，所?135是這組數(shù)的第72項(xiàng).故選：B.4．（24-25高三上·重慶長(zhǎng)壽·期末）數(shù)字0，1，1，2可以組成不同的三位數(shù)共有（

）A．24個(gè) B．12 C．9個(gè) D．6個(gè)【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、數(shù)字排列問(wèn)題【分析】分百位上為1和百位上為2兩種情況列舉即可.【詳解】當(dāng)百位上為1時(shí)，組成的三位數(shù)有101，102，110，112，120，121，共6個(gè)數(shù)，當(dāng)百位上為2時(shí)，組成的三位數(shù)有201，210，211，共3個(gè)數(shù)，所以組成不同的三位數(shù)有9個(gè).故選：C5．（23-24高二下·河南商丘·期中）數(shù)學(xué)中“凸數(shù)”是一個(gè)位數(shù)不低于3的奇位數(shù)，是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù)，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．147 B．112 C．65 D．50【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、數(shù)字排列問(wèn)題【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合“凸數(shù)”的意義，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即得.【詳解】最高位是5的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個(gè)，共有21個(gè)；最高位是6的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個(gè)，共有21個(gè)；最高位是7的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為8，9，分別有7，8個(gè)，共有15個(gè)；最高位是8的“凸數(shù)”，中間數(shù)為9，有8個(gè)，所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故選：C6．（23-24高二下·江蘇無(wú)錫·期中）將數(shù)字“322469”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．240 B．192 C．120 D．72【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字排列問(wèn)題【分析】考慮到該六位數(shù)中有兩個(gè)2，故按照分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算，對(duì)于個(gè)位是4或6的兩類(lèi)，只需排好另外三個(gè)數(shù)字即可，對(duì)于個(gè)位是2的一類(lèi)，則可以考慮另5個(gè)數(shù)字全排即得.【詳解】依題意，因這個(gè)六位數(shù)中有兩個(gè)“2”，故不能直接將其與其他數(shù)字全排，否則會(huì)出現(xiàn)重復(fù).可將這樣的偶數(shù)分成三類(lèi)：第一類(lèi)，個(gè)位排4，在前面五位數(shù)位中，只需選三個(gè)排上數(shù)字3，6，9即可（剩下兩個(gè)數(shù)位即排2），有種方法；第二類(lèi)，個(gè)位排6，與第一類(lèi)相同，有種方法；第三類(lèi)個(gè)位排2，則前面五個(gè)數(shù)位只需將另外5個(gè)數(shù)字全排即可，有種方法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為.故選：A.7．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)）用1，2，3三個(gè)數(shù)字的全體或部分構(gòu)造四位數(shù)，但不允許有兩個(gè)2相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】60【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字排列問(wèn)題【分析】應(yīng)用分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理求四位數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】若四位數(shù)中沒(méi)有2，共有個(gè)，若四位數(shù)中有1個(gè)2，共有個(gè)，若四位數(shù)中有2個(gè)2，共有個(gè)，因此共有60個(gè).故答案為：608．（24-25高二下·福建福州·期末）用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字，可組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)（用數(shù)字作答）【答案】18【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、數(shù)字排列問(wèn)題【分析】需要分步確定三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位數(shù)字.【詳解】組成的數(shù)是三位數(shù)，故百位不能是，百位有種選擇；百位選了一個(gè)數(shù)字后，十位還有種選擇；百位和十位各選了一個(gè)數(shù)字后，個(gè)位還有種選擇；一共可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：（個(gè)）故答案：.題型八：涂色問(wèn)題1．（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】根據(jù)分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理，先分四種顏色都用和只有三種顏色兩種情況，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將涂色過(guò)程分成若干步，每一步確定一個(gè)區(qū)域的顏色，再根據(jù)相鄰區(qū)域不同色的條件，確定每一步的涂色方案數(shù)，最后將各步方法數(shù)相乘得到總的涂色方案數(shù).【詳解】設(shè)四種顏色分別為1、2、3、4，（1）四種顏色都用：先涂區(qū)域，有4種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色1，再涂區(qū)域，有3種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色2，再涂區(qū)域，有2種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色3，若區(qū)域填涂顏色2，則區(qū)域填涂顏色1、4或4、3，若區(qū)域填涂顏色4，則區(qū)域填涂顏色1、3或4、3，共4種不同的填涂方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的涂法.（2）四種顏色只用其中的三種顏色：即當(dāng)同色，同色，同色，共有種不同的涂法.綜上所述，根據(jù)分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同涂法.故選：C2．（24-25高二下·江蘇南京·期中）用n種不同的顏色為下面的廣告牌圖則，要求在①②③④這四個(gè)區(qū)域中相鄰的區(qū)域（有公共邊界）涂不同的顏色，若涂色共有840種不同的方法，則n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】由每塊區(qū)域都與其他三塊區(qū)域有公共邊，故用分步乘法計(jì)算即可.【詳解】區(qū)域①有n種，區(qū)域②有種，區(qū)域③有種，區(qū)域④有種，舍去，得(負(fù)數(shù)解舍去).故選：C.3．（24-25高二下·海南海口·期末）如圖，現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)海口市的4個(gè)區(qū)地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的2個(gè)區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．72 D．120【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題【分析】先選擇秀英區(qū)與龍華區(qū)，然后分別對(duì)瓊山區(qū)，美蘭區(qū)與秀英區(qū)是否同色進(jìn)行討論，然后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】秀英區(qū)有4種選擇，龍華區(qū)有3種選擇，當(dāng)瓊山區(qū)與秀英區(qū)同色，則美蘭區(qū)有2種選擇；當(dāng)瓊山區(qū)與秀英區(qū)不同色，美蘭區(qū)與秀英區(qū)同色，瓊山區(qū)有2種選擇；當(dāng)瓊山區(qū)與秀英區(qū)不同色，美蘭區(qū)與秀英區(qū)不同色，瓊山區(qū)有2種選擇，美蘭區(qū)有1種選擇；所以不同的著色方法的種數(shù)為.故選：C4．（24-25高二下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）某社區(qū)廣場(chǎng)有一個(gè)如圖所示的花壇，花壇有四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種植同一種花卉，中間圓圈區(qū)域不種植花卉，則該花壇的花卉種植方案共有（

）A．210種 B．420種 C．180種 D．260種【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】分區(qū)域1與區(qū)域3種同種花卉和不同花卉兩種情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】當(dāng)區(qū)域1與區(qū)域3種植同一種花卉時(shí)，先種1、3，再種2、4，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，該花壇種植方案共有種；當(dāng)區(qū)域1與區(qū)域3不種植同一種花卉時(shí)，先種1、3，再種2、4，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，該花壇種植方案共有種.故該花壇的花卉種植方案共有種.故選：D5．（24-25高二下·安徽池州·期中）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色給池州市4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，且青陽(yáng)與東至不能使用同一種顏色，共有（

）種不同的著色方法.A．180 B．120 C．60 D．240【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求解.【詳解】給青陽(yáng)著色有5種不同的方法，給貴池著色有4種不同的方法，給石臺(tái)著色有3種不同的方法，因?yàn)榍嚓?yáng)與東至不能使用同一種顏色，故給東至著色有2種不同的方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理有.故選：B.6．（24-25高二下·天津·階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．144種 B．120種 C．108種 D．96種【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，按照順序去考慮涂色，注意區(qū)域1和區(qū)域3同色和不同色的問(wèn)題即可.【詳解】先涂區(qū)域1和區(qū)域2，有種涂色方法，再涂區(qū)域3，這時(shí)有兩類(lèi)：若區(qū)域1和區(qū)域3同色，則涂區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法，若區(qū)域1和區(qū)域3不同色，則涂區(qū)域3，區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法，所以不同的涂色種數(shù)有種涂色方法.故選：A.7．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某停車(chē)場(chǎng)有2行4列共8個(gè)停車(chē)位，現(xiàn)有2輛紅色汽車(chē)和2輛黑色汽車(chē)要停車(chē)，則相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的概率為.

【答案】/【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題、元素（位置）有限制的排列問(wèn)題、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率【分析】首先根據(jù)分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況，再結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】先計(jì)算相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況種數(shù).第一步：停紅色汽車(chē)，第一輛紅色汽車(chē)在第一行選一個(gè)位置有四個(gè)位置可選，第二輛紅色汽車(chē)在第二行有三個(gè)位置可選，由于兩輛紅色汽車(chē)可以互換，故有種；第二步：停黑色汽車(chē)，分成兩種情況：若第一輛黑色汽車(chē)停在第一行且與紅色汽車(chē)同列，則另一輛黑色汽車(chē)有3種停法，若第一輛黑色汽車(chē)停在第一行且與紅色汽車(chē)不同列有2種停法，此時(shí)另一輛黑色汽車(chē)有2種停法，由于兩輛黑色汽車(chē)可以互換，故有種.因此，相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的情況種數(shù)共有24×14種，8個(gè)車(chē)位停入4輛車(chē)的試驗(yàn)共有種情況，所以相同顏色的車(chē)輛不停在同一行也不停在同一列的概率為.故答案為：8．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種．【答案】630【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、涂色問(wèn)題【分析】由題知只需考慮區(qū)域1，2，3，4的顏色即可，不妨先涂區(qū)域1、區(qū)域2，再分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同及相同兩種情況考慮即可求解.【詳解】涂色問(wèn)題

根據(jù)題意，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色情況．先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有5種選擇．故不同的涂色方案有（種）．故答案為：630.題型九：其它計(jì)數(shù)模型1．如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱(chēng)a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（

）A．50 B．51 C．52 D．