6/15解答題空間向量與立體幾何根據(jù)近幾年的高考情況，空間向量與立體幾何仍然是是高考必考點(diǎn)。雖然九省聯(lián)考中調(diào)整了試題順序，但今年高考仍有可能在解答中考查這部分內(nèi)容。在高考中，主要從選擇題和解答題兩方面出題，解答題以空間向量的應(yīng)用為主，主要考察空間夾角，體積和距離問題，是高考中的必拿分。題型1立體幾何種平行關(guān)系的證明1．（24-25高一下·湖南長沙·期末）如圖，正四棱臺(tái)中，上底面邊長為，下底面邊長為，E為的中點(diǎn)，側(cè)棱長為6.(1)證明：平面；(2)求該正四棱臺(tái)的表面積.此類題型通常通過以下步驟證明：①在平面內(nèi)找到或作出一條與已知直線平行的直線（常見方法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)、線段成比例利用相似的性質(zhì)）；②證明已知直線平行于找到(作出的)直線；③由判定定理得出結(jié)論從而得證。1．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上確定一點(diǎn)M，使得平面；(2)若，且，求多面體的體積.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面將四棱錐分成體積為和的兩部分（其中），求的值．題型2：立體幾何中垂直關(guān)系的證明1．（25-26高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上.

(1)證明：平面；(2)已知四點(diǎn)均在球的球面上.（i）證明：三點(diǎn)共線；（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求.2．（2025·寧夏吳忠·一模）如圖，在四棱錐中，底面.(1)求證：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，且；（i）求證：四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，并求該球的半徑；（ii）求二面角的正弦值.1線面垂直.判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言線線垂直線面垂直如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_______直線垂直，那么該直線與此平面垂直2.線面垂直性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言線面垂直線線垂直一條直線垂直于一個(gè)平面，它就和平面內(nèi)的_______一條直線垂直線面垂直線線平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_______.3.面面垂直判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言線面垂直面面垂直如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_______，那么這兩個(gè)平面垂直4.面面垂直性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言面面垂直線面垂直兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的_______，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直在垂直問題中，通常通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，利用垂直本身的性質(zhì)或者利用三垂線定理得到垂直的直線，從而得證。1．（24-25高二上·上海靜安·期中）如圖，在正三棱柱中，已知，、分別是、的中點(diǎn).(1)求正三棱柱的表面積；(2)求證：平面平面；(3)求證：直線平面.2．（2025·廣東·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，.(1)證明：；(2)若四棱錐的外接球的表面積為，求二面角的余弦值.題型3：立體幾何中的線線角1．（2025·廣西·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的下底面為菱形，，是上底面內(nèi)兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若為正方體，為上底面的中心，求異面直線與所成角的余弦值；(2)若恰好是二面角的平面角．證明：在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積保持不變．立體幾何中異面直線所成的夾角：1.平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．2.向量法：設(shè)異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①②1．（2025·廣西·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的下底面為菱形，，是上底面內(nèi)兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若為正方體，為上底面的中心，求異面直線與所成角的余弦值；(2)若恰好是二面角的平面角．證明：在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積保持不變．2．（2025·海南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺(tái)中，底面，與都是等腰直角三角形，，、分別為、的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求異面直線與夾角的余弦值．題型4：立體幾何中的線面角1．（2025·湖南長沙·三模）如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，.(1)求證:三棱錐是正三棱錐；(2)若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.立體幾何中的線面角：定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．范圍：常見求法：1.常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；2.向量法：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．1．（2025·山東德州·三模）建筑學(xué)中常用體形系數(shù)表示建筑物與室外大氣接觸的外表面積與其所包圍的體積的比值，即，為建筑物暴露在空氣中的外表面積（不包括地面的面積），為建筑物所包圍的體積．某圓臺(tái)形建筑如圖所示，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于，的點(diǎn)，且．(1)若，求圓臺(tái)形建筑的高；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．2．（2025·山東·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，與所在的平面垂直，，是上的一動(dòng)點(diǎn)（不同于），為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．

(1)求證：(2)當(dāng)時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．3．（2025·山西·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的正方體中，分別是棱上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且．(1)證明：與相交且交點(diǎn)在直線上．(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．4．（2025·福建三明·模擬預(yù)測）如圖，等腰梯形中，，，，垂足為，將沿翻折，得到四棱錐．在四棱錐中，點(diǎn)，分別在線段，上，且．

(1)求證：平面；(2)若二面角為120°，求直線與平面所成角的余弦值．題型5：立體幾何中的面面角1．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）如圖，矩形是圓柱的軸截面，，點(diǎn)分別是上、下底面圓周上的點(diǎn)，且.

(1)求證：；(2)若四邊形為正方形，求平面與平面夾角的正弦值.2．（2025·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，且為正三角形，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面．(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．求立體幾何中的面面角的求法：1.定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．2.垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角．3.向量法設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）4.三垂線法在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；②過點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；③計(jì)算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖35.射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大??；6.補(bǔ)棱法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，也可直接用射影面積法解題．1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面BCD，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱AC上，且.(1)求證：；(2)若是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.2．（25-26高三上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)，若點(diǎn)均在球的球面上且點(diǎn)在平面內(nèi)．（i）求四棱錐的體積；（ii）求平面與平面的夾角的余弦值．3．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖所示在直三棱柱中，，，M是的中點(diǎn)，(1)求證：平面，(2)試問在棱上是否存在點(diǎn)，使得與與所成角為?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由，(3)在（2）題設(shè)條件下，試求平面與平面所成角的余弦值.題型6：立體幾何中點(diǎn)到線的距離1．（2024·青?！ひ荒＃┤鐖D，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)F在底面圓O上，，點(diǎn)G在線段BF上運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面DAF時(shí)，求線段的長度；(2)設(shè)，當(dāng)與平面DAF所成角的正弦值為時(shí)，求的值．求立體幾何中點(diǎn)到線的距離:已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.

(1)證明：；(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為．求：(1)點(diǎn)到直線的距離；(2)二面角的余弦值．題型7：立體幾何中線到面的距離1．（2025·上海楊浦·三模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為PD，AB，AC的中點(diǎn).(1)求證：平面平面PBC；(2)若，（i）求點(diǎn)F到平面AEG的距離.（ii）畫出四邊形ABCD的斜二測直觀圖，并求斜二測直觀圖面積求立體幾何中線到面的距離：如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.1．（2025·上海楊浦·三模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為PD，AB，AC的中點(diǎn).(1)求證：平面平面PBC；(2)若，（i）求點(diǎn)F到平面AEG的距離.（ii）畫出四邊形ABCD的斜二測直觀圖，并求斜二測直觀圖面積2．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，且，.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.3．（2025·福建泉州·一模）如圖，四棱臺(tái)中，底面是邊長為4的菱形，，．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若該四棱臺(tái)的體積等于，且，求直線到平面的距離．題型8：立體幾何中的體積問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面，，，是等邊三角形，O，M分別為線段AB，PB的中點(diǎn)，且，．

(1)求證：平面；(2)求多面體的體積．2．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)，M分別在線段PC，PB上，且，，.(1)證明：多面體為四棱錐；(2)作出四棱錐的底面所在平面與平面的交線，寫出畫法，不必證明；(3)若，平面，且，求四棱錐的體積.立體幾何中常見的求體積的方法：公式法割補(bǔ)法等體積法1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在四棱柱中，平面平面，，底面為菱形，，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，求三棱錐的表面積．2．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，且，.

(1)證明：；(2)記三棱錐與四棱錐的體積分別為，，求；(3)若，求直線與平面所成角的正弦值.題型9：立體幾何中的存在性問題1．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，二面角的大小為．(1)求線段的長．(2)若，且，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線BE與平面PDC所成的角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．在立體幾何中的存在性問題中常假設(shè)存在，通過1．（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足平面?若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)平面交棱于點(diǎn)T，平面將四棱臺(tái)分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.2．（24-25高三下·廣東·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.(1)證明：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型10：立體幾何中的截面問題1．（2025·湖南婁底·二模）如圖，長方體中，，，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)．

(1)過點(diǎn)C，E，F(xiàn)的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長；(2)設(shè)T為線段上一點(diǎn)，當(dāng)平面平面時(shí)，求平面TCF與平面CEF夾角的余弦值．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時(shí)垂直于平面與平面．(1)求(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長．作截面的幾種方法1.直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程。2.延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)。3.平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖在正方體中，是所在棱上的中點(diǎn).(1)求平面與平面夾角的余弦值(2)補(bǔ)全截面2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖所示，在長方體中，，，為棱的中點(diǎn)．(1)若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，試探究：是否為定值？若是，求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由．(2)過作該長方體外接球的截面，求截面面積的取值范圍．3．（2025·陜西西安·一模）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求過點(diǎn)且與垂直的平面截正方體的截面面積.題型11：立體幾何中的最值問題1．（2025·遼寧·三模）如圖，在高為6的直三棱柱中，底面的周長為分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn).(1)若，證明：平面.(2)求的最小值.(3)若，求平面與底面夾角的余弦值的最大值.1．（2025·湖南邵陽·三模）如圖，圓臺(tái)的下底面的內(nèi)接正方形的邊長為4，是上底面圓周上的一點(diǎn)，且滿足，．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的外接球的表面積；(3)是的中點(diǎn)，是上底面圓周上的一點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值的最大值．2．（2025·遼寧·三模）如圖，四棱錐中，．(1)當(dāng)為正三角形時(shí)，（i）若，證明：直線平面PBC；（ii）若A，B，D，P四點(diǎn)在以為半徑的球面上，則四棱錐的體積是多少？(2)當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，且，求二面角的余弦值的最小值．3．（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)設(shè)，（i）證明：平面；（ii）求三棱錐的外接球體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.1．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為的正方形中，，分別為邊，上的點(diǎn)，連接，，，將沿著折線翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，連接，形成三棱錐.(1)若，分別為邊，上的中點(diǎn)，，求此時(shí)三棱錐外接球的表面積；(2)若，是的中點(diǎn).（ⅰ）求的大??；（ⅱ）若正方形邊長為，當(dāng)取最小值，取最大值時(shí)，求此時(shí)直線與平面所成角的正弦值.2．（2024·上海·一模）如圖，在四棱錐中，.為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成角的大小為.(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2024·上海嘉定·一模）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，點(diǎn)分別為梭和的中點(diǎn).(1)若底面為邊長為2的正三角形，且，側(cè)棱與底面所成的角為，求三棱柱的體積；(2)求證：平面.4．（24-25高三上·上海黃浦·期末）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線DE與平面ABCD所成角的大?。?．（2024·浙江金華·一模）如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.6．（24-25高