第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年江蘇省南京師大附中宿遷分校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AD＝AB，連接AC，BD，若∠EAB＝30°，AB＝2（）A．6 B．4 C． D．22．（3分）如圖，A，B為4×4方格紙（每個小正方形邊長為1）中格點上的兩點，在方格中取一點C（C在格點上），使得△ABC為等腰三角形（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C43．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝5，△ABC的面積為10，點P是AB上一動點（不與點A，B重合），BC的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)（）A．4 B．5 C．10 D．隨著點P位置的變化而變化4．（3分）過點（2，﹣1）且平行于y軸的直線上任意一點的（）A．橫坐標都是2 B．縱坐標都是2 C．橫坐標都是﹣1 D．縱坐標都是﹣15．（3分）如圖，點C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，BD．若∠EAB＝α，∠DBE＝β（）A．a(chǎn)＝β B．α+β＝90° C．α+β＝60° D．α+β＝60°6．（3分）已知點A（a，3）和點B（4，b）關(guān)于y軸對稱（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣77．（3分）如圖，在△ABC中，，BC＝14，D是線段BC上的動點（不含端點B、C）．若線段AD長為正整數(shù)（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．（3分）在平面直角坐標系xOy中，M（0，a），N（3，3），P（2a﹣1，0），0＜a＜3，若MN＝NP（）A．1 B． C．1或 D．1或2二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分．9．（3分）的算術(shù)平方根是．10．（3分）如圖，有一根長2.4米的晾衣桿斜靠在陽臺一側(cè)的墻上，此時晾衣桿EF的傾斜角為65°．如果晾衣桿底端不動，此時晾衣桿EF′的傾斜角為55°，那么FF′的長是米．11．（3分）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點A恰好落在邊BC的中點F處，則BD：AD＝．12．（3分）若點A（a+2，a﹣4）在第四象限，且到x軸和y軸距離相等．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，0），線段A1A2＝1，A2A1⊥OA1垂足為A1；線段A2A3＝1，A3A2⊥A1A2垂足為A2；線段A3A4＝1，A4A3⊥A2A3，垂足為A3，…，按此規(guī)律，點A2025的坐標為．14．（3分）如圖，∠ABC＝30°，點D在BC上，，以BP為邊作等邊△BPE，M是EP的中點．若．15．（3分）若a﹣b＝1，則代數(shù)式a2﹣b2﹣2b的值為．16．（3分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P是CA延長線上一點，連接CQ，若PC＝7．17．（3分）若點M（a﹣3，a+4）在x軸上，將M向左平移2個單位，則N的坐標為．18．（3分）如圖，矩形ABCD中，BC＝2，如果將該矩形沿對角線BD折疊，使點C落在點F處．三、計算題：本大題共1小題，共8分．19．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）．四、解答題：本題共9小題，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．20．（9分）如圖，一架長2.5米的梯子AB斜靠在與地面垂直的墻AO上（垂足為O），此時AO為2米．（1）求梯子底端到墻的距離BO的長；（2）如果梯子的頂端點A向下移動0.5米至點C處，那么梯子的底端向右移動的距離BD是多少米？21．（9分）已知，如圖，∠CAB＝90°，點O在線段AE上，過點O作直線MN，分別交AC，BC于點M，N（1）請借助直尺和圓規(guī)確定點O與直線MN的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）的條件下，若AB＝6，△CMN的周長為．22．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD，BE是△ABC的角平分線，PG⊥AC，PH⊥BC，H．（1）求∠DPE的度數(shù)；（2）求證：EG＝DH；（3）若PG＝1，則CE+CD的長為．23．（9分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DH⊥BC，BC＝5，DH＝224．（9分）小麗在物理實驗課上利用如圖所示“光的反射演示器”直觀呈現(xiàn)了光的反射原理．她用激光筆從量角器左邊邊緣點A處發(fā)出光線，經(jīng)量角器圓心O處（此處放置平面鏡）反射后（C也在量角器的邊緣上，O為量角器的中心，C、O、B三點共線，AB⊥BC，CE⊥BC）．小麗在實驗中還記錄下了AB＝6cm，BC＝12cm．依據(jù)記錄的數(shù)據(jù)25．（9分）如圖，，AM＝1，BM＝2，．（1）求證：△ABM是直角三角形；（2）求證：∠B+∠C＝45°．26．（9分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，過點B作BD⊥AE于點D，交AC延長線于點F．（1）求證：△ACE≌△BCF；（2）連接CD，求∠ADC的度數(shù)；（3）若CE+DF＝AD，求的值．27．（9分）如圖，琪琪在離水面高度5m的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸（1）開始時，小船距岸A的距離為m；（2）若琪琪收繩5m后，船到達D處，求小船向岸A移動的距離BD的長．28．（16分）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC中，以AB為邊向外作等邊三角形ABD，連接CD，為了證明這一結(jié)論，小明決定延長BC到M，連接AM，通過證明△ACD≌△AMB【深入探究】（2）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，連接CD，則AC、BC、CD滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖4，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，點E，F(xiàn)在邊AB上2+AE2＝EF2，在射線CE上取一點P使得CP＝CF，直接寫出DP2的最小值．

2025-2026學(xué)年江蘇省南京師大附中宿遷分校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDAAABCC一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AD＝AB，連接AC，BD，若∠EAB＝30°，AB＝2（）A．6 B．4 C． D．2【解答】解：∵AD＝AB，CD＝CB，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∴AE⊥BD，又∠EAB＝30°，AB＝2，∴BE＝1，在Rt△AEB中，根據(jù)勾股定理AE＝，故答案為：C．2．（3分）如圖，A，B為4×4方格紙（每個小正方形邊長為1）中格點上的兩點，在方格中取一點C（C在格點上），使得△ABC為等腰三角形（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C4【解答】解：A、△ABC1是以AB為底的等腰三角形，故此選項不符合題意；B、△ABC2是以AB為腰的等腰三角形，故此選項不符合題意；C、△ABC4是以AB為腰的等腰三角形，故此選項不符合題意；D、△ABC4不是等腰三角形，故此選項符合題意；故選：D．3．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝5，△ABC的面積為10，點P是AB上一動點（不與點A，B重合），BC的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)（）A．4 B．5 C．10 D．隨著點P位置的變化而變化【解答】解：如圖，連接CP，由題意可知，PE⊥AC，∵S△ACP+S△BCP＝S△ABC，∴AC?PE+，即×5×PE+，∴5（PE+PF）＝20，∴PE+PF＝4，即PE+PF的值是2，故選：A．4．（3分）過點（2，﹣1）且平行于y軸的直線上任意一點的（）A．橫坐標都是2 B．縱坐標都是2 C．橫坐標都是﹣1 D．縱坐標都是﹣1【解答】解：過點（2，﹣1）且平行于y軸的直線上所有點的橫坐標都等于﹣8，故選：A．5．（3分）如圖，點C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，BD．若∠EAB＝α，∠DBE＝β（）A．a(chǎn)＝β B．α+β＝90° C．α+β＝60° D．α+β＝60°【解答】解：∵△ACD和△BCE為等邊三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠DCB＝∠DCE+∠ECB，∴∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠AEC＝∠DBC＝∠CBE﹣∠DBE＝60°﹣β，∵∠CAE+∠AEC＝∠ECB，即α+60°﹣β＝60°，∴a＝β，故選：A．6．（3分）已知點A（a，3）和點B（4，b）關(guān)于y軸對稱（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【解答】解：∵點A（a，3）和點B（4，∴a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝﹣4+6＝﹣1．故選：B．7．（3分）如圖，在△ABC中，，BC＝14，D是線段BC上的動點（不含端點B、C）．若線段AD長為正整數(shù)（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【解答】解：過點A作AE⊥BC，如圖，∵∠B＝45°，∴BE＝AE＝＝8，∴CE＝8，AC＝，∴8≤AD＜8，∵線段AD長為正整數(shù)，∴AD＝7或9或10或11，∴根據(jù)對稱性AD可以是8，6，10，9，故選：C．8．（3分）在平面直角坐標系xOy中，M（0，a），N（3，3），P（2a﹣1，0），0＜a＜3，若MN＝NP（）A．1 B． C．1或 D．1或2【解答】解：如圖，過點N作NJ⊥y軸于點J．∵∠NJM＝∠NKP＝90°，NJ＝NK，∴Rt△MJN≌Rt△NKP（HL），∴JM＝PK，∵M（0，a），3），8），∴3﹣a＝3﹣（3a﹣1）或3﹣a＝2a﹣1﹣3，解得a＝8或．故選：C．二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分．9．（3分）的算術(shù)平方根是2．【解答】解：＝4，故答案為：2．10．（3分）如圖，有一根長2.4米的晾衣桿斜靠在陽臺一側(cè)的墻上，此時晾衣桿EF的傾斜角為65°．如果晾衣桿底端不動，此時晾衣桿EF′的傾斜角為55°，那么FF′的長是2.4米．【解答】解：如圖，∠FEF′＝180°﹣65°﹣55°＝60°，∵EF＝EF′，∴△FEF′是等邊三角形，∴FF′＝EF＝2.4米，故答案為：2.4．11．（3分）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點A恰好落在邊BC的中點F處，則BD：AD＝2：1．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得S△ADC＝S△DFC，∵點F是BC的中點，∴S△BDF＝S△DFC，∴S△BDF＝S△DFC＝S△ADC，∵△ABC的面積為18，∴S△BDF＝S△DFC＝S△ADC＝6，∴S△BCD＝12，∴BD：AD＝S△BDC：S△ADC＝12：6＝4：1；故答案為：2：7．12．（3分）若點A（a+2，a﹣4）在第四象限，且到x軸和y軸距離相等1．【解答】解：∵點A（a+2，a﹣4）在第四象限，∴a+2＝﹣（a﹣4），解得a＝1，故答案為：7．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，0），線段A1A2＝1，A2A1⊥OA1垂足為A1；線段A2A3＝1，A3A2⊥A1A2垂足為A2；線段A3A4＝1，A4A3⊥A2A3，垂足為A3，…，按此規(guī)律，點A2025的坐標為（1013，1012）．【解答】解：∵點A1的坐標為（1，4），點A2的坐標為（1，6），點A3的坐標為（2，2），點A4的坐標為（2，7），點A5的坐標為（3，4），..．∴點A2025的坐標為：（1013，1012），故答案為：（1013，1012）．14．（3分）如圖，∠ABC＝30°，點D在BC上，，以BP為邊作等邊△BPE，M是EP的中點．若2或6．【解答】解：連接BM，延長EP交BC于Q，∵△BEP為等邊三角形，∴∠BEP＝∠EBP＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°，∠EQB＝30°，∵M是PE中點，∴BM⊥EP，∴DF∥EQ，∴∠BDF＝30°，∵BD＝4，∴BF＝5，DF＝6，∴FM＝＝，∴BM＝BF±FM＝2或，∴BP＝BM＝6或4．故答案為：2或6．15．（3分）若a﹣b＝1，則代數(shù)式a2﹣b2﹣2b的值為1．【解答】解：因為a﹣b＝1，a2﹣b4﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣7b＝a﹣b＝1，故答案為：1．16．（3分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P是CA延長線上一點，連接CQ，若PC＝75．【解答】解：∵△ABC和△BPQ均為等邊三角形，∴AB＝BC，PB＝BQ，∴∠ABC+∠PBA＝∠PBQ+∠PBA，即∠PBA＝∠QBC．在△PAB和△QCB中，，∴△PAB≌△QCB（SAS），∴PA＝CQ，∵PC＝PA+AC，∴PA＝PC﹣AC＝7﹣2＝7，∴CQ＝5．故答案為：5．17．（3分）若點M（a﹣3，a+4）在x軸上，將M向左平移2個單位，則N的坐標為（﹣9，1）．【解答】解：由題知，因為點M在x軸上，則a+4＝0，解得a＝﹣2，則a﹣3＝﹣7，所以點M坐標為（﹣2，0），則﹣7﹣7＝﹣9，0+6＝1，所以將M向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到點N的坐標為（﹣9．故答案為：（﹣9，7）．18．（3分）如圖，矩形ABCD中，BC＝2，如果將該矩形沿對角線BD折疊，使點C落在點F處．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由折疊的性質(zhì)，可得BF＝BC＝AD＝2，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝EF，設(shè)AE＝x，則EF＝x∵ED2＝DF8+EF2，即（2﹣x）6＝12+x8，解得x＝，∴S△DEF＝?EF?DF＝＝．故答案為：．三、計算題：本大題共1小題，共8分．19．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）．【解答】解：（1）移項得4x2＝25，兩邊都除以6得x2＝，由平方根的定義得x＝；（2）兩邊都乘以2得（x+5）3＝﹣8，由立方根的定義得x+2＝﹣2，解得x＝﹣5．四、解答題：本題共9小題，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．20．（9分）如圖，一架長2.5米的梯子AB斜靠在與地面垂直的墻AO上（垂足為O），此時AO為2米．（1）求梯子底端到墻的距離BO的長；（2）如果梯子的頂端點A向下移動0.5米至點C處，那么梯子的底端向右移動的距離BD是多少米？【解答】解：（1）在Rt△ABO中，AB＝2.5米，根據(jù)勾股定理得：BO＝＝＝1.5（米），答：梯子底端到墻的距離BO的長為2.5米；（2）在Rt△COD中，CD＝2.4米，根據(jù)勾股定理得：OD＝＝＝7（米），∴BD＝OD﹣BO＝2﹣1.5＝0.5（米）．答：梯子的底端向右移動的距離BD是2.5米．21．（9分）已知，如圖，∠CAB＝90°，點O在線段AE上，過點O作直線MN，分別交AC，BC于點M，N（1）請借助直尺和圓規(guī)確定點O與直線MN的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）的條件下，若AB＝6，△CMN的周長為18．【解答】解：（1）如圖，點O和MN為所作；（2）∵∠CAB＝90°，AB＝6，∴BC＝＝10，∵MN∥AB，∴∠OAB＝∠AOM，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠OAB＝∠OAM，∴∠OAM＝∠AOM，∴AM＝OM，∴△CMN的周長＝CM+MN+CN＝CM+OM+ON+CN＝CM+AM+BN+CN＝AB+BC＝2+10＝18．故答案為：18．22．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD，BE是△ABC的角平分線，PG⊥AC，PH⊥BC，H．（1）求∠DPE的度數(shù)；（2）求證：EG＝DH；（3）若PG＝1，則CE+CD的長為2．【解答】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵AD，BE是△ABC的角平分線，∴∠CBE＝∠ABE＝45°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∴∠ADB＝∠CEB＝75°，∵PH⊥BC，∴∠DPH＝15°，∠BPH＝45°，∴∠DPB＝∠DPH+∠BPH＝60°，∴∠DPE＝180°﹣∠DPB＝120°，即∠DPE的度數(shù)為120°；（2）證明：過點P作PF⊥AB于點F，∵AD，BE是△ABC的角平分線，PH⊥BC，∴PF＝PG，PF＝PH，∴PG＝PH，∵PG⊥AC，PH⊥BC，∴∠PHD＝∠PGE＝90°，∵∠ADB＝∠CEB，∴△PGE≌△PHD（AAS），∴EG＝DH；（3）解：連接CP，∵∠ACB＝60°，PG＝PH，PH⊥BC，∴∠PCG＝∠PCH＝30°，∵PG＝1，∴PC＝2，∴CG＝，在Rt△PCG和Rt△PCH中，，∴Rt△PCG≌Rt△PCH，∴CG＝CH，∴CE+CD＝CG+EG+CH﹣DH＝CG+CH＝8CG＝2．故答案為：3．23．（9分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DH⊥BC，BC＝5，DH＝2【解答】解：作DF⊥AB于點F，∵BD是△ABC的角平分線，∴BD平分∠ABC，∵點D在∠ABC的平分線上，且DF⊥AB于點F，∴DF＝DH＝2，∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC＝15，且BC＝5，∴×2AB+，解得AB＝10，∴AB的長為10．24．（9分）小麗在物理實驗課上利用如圖所示“光的反射演示器”直觀呈現(xiàn)了光的反射原理．她用激光筆從量角器左邊邊緣點A處發(fā)出光線，經(jīng)量角器圓心O處（此處放置平面鏡）反射后（C也在量角器的邊緣上，O為量角器的中心，C、O、B三點共線，AB⊥BC，CE⊥BC）．小麗在實驗中還記錄下了AB＝6cm，BC＝12cm．依據(jù)記錄的數(shù)據(jù)【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，設(shè)OA＝OC＝xcm，∵BC＝12cm，∴BO＝BC﹣OC＝（12﹣x）cm，在Rt△ABO中，AB＝6cm，∴AB2+OB6＝OA2，∴36+（12﹣x）2＝x5，解得：x＝7.5，∴OA＝OC＝3.5cm，∴量角器的半徑OC長為7.3cm．25．（9分）如圖，，AM＝1，BM＝2，．（1）求證：△ABM是直角三角形；（2）求證：∠B+∠C＝45°．【解答】證明：（1）∵，AM＝1，∴AM4+BM2＝1+6＝5＝（）3＝AB2，∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形；（2）設(shè)BM的中點為N，連接AN，∴MN＝BN＝BM＝1，∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，∴△AMN為等腰直角三角形，∴∠ANM＝45°，∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°，在△ABN和△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（SSS），∴∠C＝∠BAN，∴∠B+∠C＝45°．26．（9分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，過點B作BD⊥AE于點D，交AC延長線于點F．（1）求證：△ACE≌△BCF；（2）連接CD，求∠ADC的度數(shù)；（3）若CE+DF＝AD，求的值．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠BCF＝90°，AC＝BC，∴∠DAF+∠F＝∠CBF+∠F＝90°，∴∠CAE＝∠CBF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）；（2）解：如圖1，在AE上取點G，連接CG，過點C作CH⊥AE，∴∠CHG＝∠CPF＝90°，∵△ACE≌△BCF，∴∠AEC＝∠F，CE＝CF．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE＝∠F，CG＝CF，在△CHG和△CPF中，，∴△CHG≌△CPF（AAS），∴CH＝CP．∵CD＝CD，∴Rt△CDH≌Rt△CDP（HL），∴；（3）解：如圖2，在AD上取一點I，連接CI，由（2）得：∠IDC＝∠FDC＝45°，CD＝CD，∴△IDC≌△FDC（SAS），∴CI＝CF＝CE．∵CE+DF＝AD＝AI+DI，∴AI＝CI＝CE，∴∠CAI＝∠ACI，∠CIE＝∠CEI．∵∠CIE是△ACI的外角，∴∠CIE＝∠CEI＝∠CAI+∠ACI＝2∠CAI，∴∠CAI+∠CEI＝∠CAI+8∠CAI＝90°，解得：∠CAI＝30°．在Rt△ADF中，∠CAI＝30°，∴，即．27．（9分）如圖，琪琪在離水面高度5m的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸（1）開始時，小船距岸A的距離為12m；（2）若琪琪收繩5m后，船到達D處，求小船向岸A移動的距離BD的長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，故答案為：12；（2）∵琪琪收繩5m后，船到達D處，∴CD＝13﹣5＝7（m），∴，∴．28．（16分）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC中，以AB為邊向外作等邊三角形ABD，連接CD，為了證明這一結(jié)論，小明決定延長BC到M，連