《第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)》章節(jié)訓(xùn)練習(xí)題

第1講函數(shù)及其表示

［基礎(chǔ)題組練］

1.y=qg，一log2(4—f)的定義域是(

)

A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0]U(1,2)

C.(-2,0)U[1,2)D.[-2,0]U[1,2]

x—1

解析：選C.要使函數(shù)有意義，則〈，一八解得(-2,0)U[1,2),

X~r~09

A-x>0t

即函數(shù)的定義域是（一2.0）U［1,2）.

2.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A.f(x)=eb,\g[x)=x

大一4

B.f^x}='.,g(x)=x—2

x+2

/、sin2x/、

**x)=病式*)=5Sx

D.f(x)=|x|,屋

解析：選D.A,B,C的定義域不同，所以答案為D.

x+—x>2,

x—2則”HD)=()

{f+2,xW2,

1

A.~~B.2

乙

C.4D.11

解析：選C.因?yàn)閒（l）=「+2=3,所以f（《））=F（3）=3+占=4.故選

C.

4.己知函數(shù)/'(x)=‘'"'4’

則f(l+log25)的值為()

f(x~\~1),%<4,

<nl+log5

1B?目2

A-4

1

D，20

解析：選D.因?yàn)?Vlog25V3,所以3Vl+log25V4,則4V2+log25V5,

rn2+log25i11

則Al+log⑸=A1+1+log5)=A2+log5)=一又一=—，故選

224520

D.

5.已知—1=2x—5,且f(a)=6,則a等于()

7

A-4B--4

c1D

l)--I

解析：選A.令貝iJx=2t+2,/.(力=2(2t+2)—5=4Ll,則4a

乙

7

1=6,解得4=7

V

6.己知函數(shù)1)=干,則函數(shù)f(x)的解析式為()

儀、x+1..X

A.B,=T+T

/、x~1/、1

C.F(x)=——D.f(x)F

x

解析：選A.令入一1=X，則x=f+l,所以即/*(x)=g1.故

選A.

p,x>0,

7.設(shè)x￡R,定義符號(hào)函數(shù)sgnx=|。，x=0,則()

l-l,A<0,

A.IA|—A|sgnxB.Ix\—^rsgn|x\

C.\x\=\x\sgnxD.|x\=xsgnx

解析：選D.當(dāng)xVO時(shí),\x\=—x,x\sgnx\=xfxsgn|x=x,Ix\sgnx=

(—x)?(—1)—x,排除A,B,C,故選D.

8.己知函數(shù)f(x)滿足/.(2x)=2/tr),且當(dāng)1WXV2時(shí)，/〈x)=上則/Q)

=()

99

A-8B-4

9

C.-D.9

乙

解析：選C.因?yàn)閒(2x)=2f(x),且當(dāng)1WXV2時(shí)，f(x)=r,所以/'(3)=

9

=2'

9.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=l,爪-1)=5,且圖象過原點(diǎn)，則&(x)=

解析：設(shè)g(x)=a/+8x+c(aW0),

因?yàn)間(l)=l,g(—1)=5,且圖象過原點(diǎn)，

(a+b+c=l,(a=3,

所以Ja—6+c=5,解得2,所以g(x)=3V—2*

[c=O,lc=O,

答案：3x~2x

10.已知函數(shù)F(知=4/〃V+(加一3)x+1的值域是[0,+8),則實(shí)數(shù)加的

取值范圍是.

解析：當(dāng)勿=0時(shí)，函數(shù)-(彳)=9-3x+l的值域是[0,+8),顯然成立；

當(dāng)加>0時(shí)，/=(/〃一3尸一4/〃20,解得0V6W1或/〃29.顯然/ff<0時(shí)不合題

意.綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[0,1]U[9,+-).

答案：[0,1]U[9,4-oo)

11.已知尸(x)的定義域?yàn)閧x|x#0},且3F(x)則函數(shù)P(x)

的解析式為.

解析:用g代替3f(才)+5向=：+1中的必得B/gj+SMx)=3x+l,

故0=—Hx)‘滿足題意.

綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.故選A.

2.(創(chuàng)新型)設(shè)/V),g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(F?g)⑺：

x,x>0,e\xWO,

R,(f?g)3=F(g(x)).若f(x)=\…。，則()

A.(F?/)(x)=Kx)B.(f?g)(x)=f(x)

C.(g?力(x)=g：x)D.(g?g)(x)=g(x)

fF(x),fQx)>0,

解析：選A.對(duì)于A,(/?7)(x)=f(f(x))=￡,、m當(dāng)x>。

〔U2(x),f(x)WO,

時(shí)，F(xiàn)(x)=x>0,(F?4(x)=f(x)=>；當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(M=/>0,"?/)(x)=f(x)

=V；當(dāng)x=0時(shí)，(F?/)(x)=尸("=0=0二，因此對(duì)任意的x￡R,有(f?/)(x)

=F(x),故A正確，選A.

3.已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的xER都有《+,+/年—，=2成立，則

用+源卜…+陽=--------

解析：由夠+[+(，)=2,得6)+旗=2,4+制=2,制+

卜2,又用TXW+制=￡2=1,

所以梅+榔=2X3+1=7.

答案：7

(］_2^)x+3axV］

4.(應(yīng)用型)已知函數(shù)/*(x)=］'的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)

Inx,在1

a的取值范圍是.

解析：由題意知y=Inx(x21)的值域?yàn)椋?,+-),故要使F(x)的值域?yàn)?/p>

R,則必有y=(l-2a)x+3a為增函數(shù)，且l—2a+3d20,所以1一2心0,且

a2一1,解得一lWaV4.

乙

答案：［—1,1)

第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

［基礎(chǔ)題組練］

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+8)內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A.y=--xB.y=^~x

X

C.y=lnx—xD.y=e-x

解析：選A.對(duì)于A,%=,在(0,+3)內(nèi)是減函數(shù)，%=x在(0,十3)內(nèi)是

增函數(shù)，則/=!—X在(0,+8)內(nèi)是減函數(shù)；B,C選項(xiàng)中的函數(shù)在(0,+8)上

X

均不單調(diào)；選項(xiàng)D中，=e"—1,而當(dāng)/￡(0,+8)時(shí)，y'>0,所以函數(shù)y

=e'—x在(0,+8)上是增函數(shù).

2.函數(shù)/(x)=ln(V—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

解析：選D.由V—2x—8>0,得尤>4或xV-2.因此，函數(shù)F(x)=ln(V—

2入-8)的定義域是(-8,-2)U(4,4-oo),注意到函數(shù)y=f-2x-8在(4,+

8)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)=ln(V-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間

是(4,+00).

3.函數(shù)y=|x|(l—x)在區(qū)間力上是增函數(shù)，那么區(qū)間力是()

A.(—8,0)B.0,；

乙

C.[0,+8)D.g+°°

x(1—,彳20,—x-\-x,x20,

解析：選…-v。函數(shù)的

,x-xtxVO

草圖如圖所示.

由圖易知原函數(shù)在0,J上單調(diào)遞增.故選B.

乙

4.若函數(shù)F(x)=>+a|x|+2,x￡R在區(qū)間［3,+8)和[—2,一1]上均為

增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

111

A.一彳，-3B.1r—6,—4]

O

C.[—3,-2^2]D.[—4,—3]

解析：選B.由于7*(x)為R上的偶函數(shù)，因此只需考慮函數(shù)f(x)在(0,+8)

上的單調(diào)性即可.由題意知函數(shù)Mx)在[3,+8)上為增函數(shù)，在[1,2]上為減

函數(shù)，故一募￡[2,3],即46[—6,-4].

乙

(1、

5.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f-Vf(l)的實(shí)數(shù)x的取值范

\xJ

圍是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-8,-1)u(1,+8)

解析：選C.由f(x)為R上的減函數(shù)且得]1>1'即

xWO,

?所以一lVx<0或OVxVl.故選C.

“WO.

6.函數(shù)f{x)=：4—x—^x+2的值域?yàn)開______.

4—0,

解析：因?yàn)獒?co所以一2W后4,

x+2N0,

所以函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋?2,4］.

又必=’心，必=-q定在區(qū)間［-2,4］上均為減函數(shù)，

所以f(x)='4-x-'x+2在I-2,4］上為減函數(shù)，

所以，4)<F(x)Wf(-2).

即一乖〈季.

答案：【一乖,鄧】

m-\-x,|x|21,

7.設(shè)函數(shù)f(x)=.,的圖象過點(diǎn)(1,1),函數(shù)g(x)是二次函

1^1<1n

數(shù)，若函數(shù)F(g(M)的值域是［0,4-00),則函數(shù)g(x)的值域是.

〃H~。，|彳2i,\F/

解析：因?yàn)楹瘮?shù)八x)=(w<］的組象過點(diǎn)(1,\/

(x,|x|2,_—/---；

1),所以〃=解得勿=0,所以f(x)={畫出

x,|x|Vl.I

函數(shù)y=F(x)的大致圖象如圖所示，觀察圖象可知，當(dāng)縱坐標(biāo)在［0,+8)上時(shí)，

橫坐標(biāo)在(-8,-1］J［0,+8)上變化.

而f(x)的值域?yàn)椋郇DL+8),F(g(x))的值域?yàn)椋?,+°°),

因?yàn)間(x)是二次函數(shù)，

所以g(x)的值域是［0,+8).

答案：［0,+8)

8.若/'(x)={是定義在R上的減函數(shù)，則a的取

,—2XfX31

值范圍是.

1

aVg,

(3a—IVO,

解析：由題意知，{(3a—1)X1+4心一品

L>o,4,

所以I，

小口g案:bri3n；

ri,x>o,

9.設(shè)函數(shù)/tr)={o,x=O,g(x)=VF(x—l),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)詞是

[—1,KO,

x2,x>l,

0,x=l,函數(shù)圖象如圖所示，其

{—x,XI.

遞減區(qū)間是［0,1）.

答案：［0,I）

X

10.己知/'(X)=——(xWa).

x—a

（1）若。=-2,試證f（x）在（-8,—2）上單調(diào)遞增；

（2）若。>0且汽力在（1,+8）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

解：（1）證明：設(shè)2V-2,

?〃\_旬、乂是_______2（小一二）

人nl」“?。?，（加一小+2為+2-（*+2）（a+2）.

因?yàn)椋▉V+2）（蒞+2）>0,乂一至V0,

所以r（xi）—r（A2）<o,即r（^）<r（x2）,

所以/'（*）在（-8,—2）上單調(diào)遞增.

⑵設(shè)IVxV小

Xix_______a(而一由)

則￡（汨）—八及）2

x{—ax2—a(*—a)(x2—a)

因?yàn)閍>0,及一X>0,所以要使F（*）—f（及）>0,

只需（x—a）（必一a）>0恒成立，

所以aWl.綜上所述，OVaWl.

11.己知函數(shù)/,(x)=x?+a|x—21—4.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)在［0,3］上的最大值和最小值；

(2)若/.(?在區(qū)間［―1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x-\-2x—8,xN2

解：⑴當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=夕+2x—2|—4=彳

x2~2x,x<2

(x+1)~—9,x22

.(x—1)2-1,xV2‘

當(dāng)x￡［0,2］時(shí)，-1WFC0W0,當(dāng)x￡［2,3］時(shí),0WF(x)W7,

所以f(x)在［0,3］上的最大值為7,最小值為-1.

V+ax-2d-4,x>2

(2)因?yàn)?*(/)=.

V-ax+2d-4,xW2’

又t(x)在區(qū)間［-1,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則一^W2,即32—4.

乙

當(dāng)一IV后2時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則會(huì)T.

即aW-2,且4+2a-2a-424-2a+2a-4恒成立,

故a的取值范圍為［-4,-2］.

［綜合題組練］

1.(應(yīng)用型)已知函數(shù)/'(x)=log2x+Tr^，若乂￡(1,2),也￡(2,+8),

則()

A.A^XO,<0B.A^XO,AX2)>0

C.rU)>0,D.〃用)>0,AX2)>0

解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=log4+4在(1,+8)上為增函數(shù)，且f(2)

1X

=0,所以當(dāng)xy(L2)時(shí),/UXA2)=0；

當(dāng)而￡(2,+8)時(shí)，〃而)>/、(2)=0,

即f(xj<0,/,(尼)>0.故選B.

r(x—a)2,xWO,

2.設(shè)，(x)=4J?A若AO)是人才)的最小值，則a的取值范

x+;+a,x>0.

圍為()

A.[-1,2]B.[-1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

解析：選D.因?yàn)楫?dāng)xWO時(shí)，F(xiàn)(力=析一由2,f(O)是F(x)的最小值，所以

當(dāng)x>0時(shí)，/Q)=x+'+d22+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取.要滿足

x

f(0)是F(x)的最小值，需2+a2F(0)=，，即才一3—2<0,解得一lWaW2,

所以d的取值范圍是0WaW2.故選D.

3.已知函數(shù)尸log2(ax-l)在(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)J的取值范圍是

()

A.(0,1]B.[1,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

解析：選C.要使y=log2(ax—1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則a>0且a—120,

所以故選C.

f(%)

4.(創(chuàng)新型)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間/上是增函數(shù)，且函數(shù)-在區(qū)

X

間/上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做

“緩增區(qū)間”.若函數(shù)F(x)=tx2—x+5是區(qū)間j上的“緩增函數(shù)”，則“緩增

乙乙

區(qū)間”/為()

A.[1,+oo)B.[0,信

C.[0,1]D.[1,小]

1Q

解析：選因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為所以函數(shù)

D.乙乙x=l,

在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù)，又當(dāng)心1時(shí)，二^-=9一1+機(jī)，令g(x)=jx

X乙乙X/

3/、、\13f—3

—1+—(%^1),貝MI」g(x)=不一

由g'(x)WO得即函數(shù)——=5*—1+或在區(qū)間［1,第］上單

X乙乙X

調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”/為［1,p.

5.(應(yīng)用型)用min{&b,c}表示&b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，則函數(shù)f(x)

=min{4x+l,x+4,—x+8}的最大值是

解析：在同一直向坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)尸4x+l,

y=x+4,y=—x+8的圖象后，取位于下方的部分得到函

數(shù)/'(x)=min{4x+l,x+4,—x+8}的圖象，如圖所示，

不難看出函數(shù)/(%)在《=2處取得最大值6.

答案：6

6.已知函數(shù)f(x)=lg(x+￡—2),其中a是大于0的常數(shù).

X

(1)當(dāng)ae(l,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在［2,十8)上的最小值；

(2)若對(duì)任意不￡［2,+8)恒有〃才)>0,試確定己的取值范圍.

解：(1)設(shè)式X)=十+4一2,當(dāng)—4),［2,+8)時(shí),/(X)=1一

a廠一久八

7=-F>0-

因此g(x)在［2,-8)上是增函數(shù)，

所以F(x)在［2,-8)上是增函數(shù).則f(x)nm=F(2)=ln

乙

(2)對(duì)任意x￡［2,+~),恒有F(x)>0.

即x+'-2>1對(duì)［2,+8)恒成立.

x

所以a>3x—V.

令力(x)=3x-/,x￡［2,+8).

由于力(x)=—x—|)+,在［2,+8)上是減函數(shù)，所以力(才)噸=力(2)=2.

故於2時(shí)，恒有f(x)>0.

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+8).

第3講函數(shù)的奇偶性及周期性

[基礎(chǔ)題組練]

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞增的是(：

1

A.y=~B.y=\x\—l

X

c.y=lgXD.

解析：選B.尸：為奇函數(shù)；y=lgX的定義域?yàn)?0,+8),不具備奇偶性；

X

在(0，+8)上為減函數(shù)；y=|*|—l在(0,+8)上為增函數(shù)，且在定

義域上為偶函數(shù).

2.設(shè)函數(shù)F(x)=ln(l+x)—ln(l—x),則人才)是()

A.奇函數(shù)，且在：0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在：0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在：0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在：0,1)上是減函數(shù)

解析：選A.易知函數(shù)定義域?yàn)?-1,1),F(—x)=ln(l—x)—ln(l+x)=—

F(x),故函數(shù)F(x)為奇函數(shù)，又/'(x)=ln1+丁2一),由復(fù)合函數(shù)單

調(diào)性判斷方法知，Hx；在(0,1)上是增函數(shù)，故選A.

[log2(1—x)(KO),

3.設(shè)函數(shù)/Xx)=,、,、八、若Hx)是奇函數(shù)，則g(3)的值是

[g(x)+1(x>0),

()

A.1B.3

C.-3D.—1

log2(1—x)(XO),

解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)&x)=,、一，，(>)是奇函數(shù)，所以

[g(x)+1(J>0),

f(—3)=—f(3),所以log2(l+3)=-[g(3)+1],則g(3)=-3.故選C.

4.函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且滿足：Mx)是偶函數(shù)，F(xiàn)(x—1)是奇函數(shù)，若

AO.5)=9,則f(8.5)等于()

A.-9B.9

C.-3D.0

解析：選B.因?yàn)閒(x—1)是奇函數(shù),所以F(—x—1)=—f(x—1),即F(一

x)=-f(x—2).又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以/U)=-/U-2)=/U-4),故

f(x)的周期為4,所以A0.5)=f(8.5)=9.故選B.

5.定義在R上的偶函數(shù)/'(x)滿足f(x+3)=F(x).若F(2)>1,f(7)=a,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-8,-3)B.(3,+8)

C.(-8,-1)D.(1,+8)

解析：選D.因?yàn)?(>+3)=F(x),所以F(x)是定義在R上的以3為周期的

函數(shù)，所以f(7)=八7—9)=f(—2).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，

所以&-2)=/(2),所以f(7)=-2)>1,

所以a>l,即+°°).故選D.

6.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上單調(diào)遞

減，設(shè)a=F(—2.8),力=?(一1.6),c=f(0.5),則外方，。的大小關(guān)系是()

A.a>6>cB.c>a>b

C.b>c>aD.a>c>b

解析：選D.因?yàn)榕己瘮?shù)/'(x)滿足F(x+2)=F(x),所以函數(shù)的周期為2.

所以a=f(-2.8)=f(-0.8),6)=f(0.4)=f(-0.4),c=/(0.5)

=A-0.5).

因?yàn)?0.8<-0.5<-0.4,且函數(shù)f(x)在［-1,0］上單調(diào)遞減,所以於c〉6,

故選D.

7.若函數(shù)為偶函數(shù)，則/=.

解析：因?yàn)閒(力為偶函數(shù)，

所以〃一力一〃9=0恒成立，

所以一xln(一才+江+卜)—才1口(才+5+―)=0恒成立，所以xln1a=0恒

成立，所以Ina=0,即a=L

答案：1

8.己知/'(x)是奇函數(shù)，且(0,+“)時(shí)的解析式是F(x)/十2乂若

x￡(—8,0),則F(X)=.

解析：由題意知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XW(—8,0)時(shí)，一x￡(0,

+8),所以f(—x)=—(―x)?+2X(―x)=-V—2x=—f(x),所以f(x)=x

+2x.

答案：f+2x

9.已知偶函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,+s)上單調(diào)遞增，則滿足的

w

X的取值范圍是.

解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以F(x)=/.(￡］)，所以F(|2x-又

119

F(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以解得］〈求勺.

答案：仁(\，32、J

10.已知，(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x+3)=一下當(dāng)

/(x)

JIx

時(shí)，f{x}=cos則f(2017)=.

J

解析：由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)

:-f(x+3)=1N"，

一f(x)

故函數(shù)Ax)的周期為6.

所以f(2017)=/(6X336+l)=/*(l).

因?yàn)镕(x)為偶函數(shù)，所以f(l)=F(—1),

而F(T+3)=_1,

/(—1)

所以f(l)=F(_1)=--^7=2.

cosT

所以f(2017)=2.

答案：2

(一片+2Mx>0,

11.己知函數(shù)/。)={0,才=0,是奇函數(shù).

〔/+勿3%<0

(1)求實(shí)數(shù)勿的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［―1,a—2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：⑴設(shè)xVO,則一x>0,

所以八一才)=一(一刀)2+2(一十)=一/-2*

又f(x)為奇函數(shù)，

所以f\—x)=—f\x),

于是xVO時(shí)，f(D+2x=V+勿x,所以m=2.

(2)由(1)知/*(x)在［-1,1］上是增函數(shù)，要使f(x)在［-1,5—2］上單調(diào)遞

結(jié)合Ax)的圖象知

石一2W1,

所以1V/W3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3］.

12.設(shè)/>(工)是(8,十8)上的奇函數(shù)，/?J+2)=f(x),當(dāng)OWxWl時(shí),

f(x)=x.

(1)求/冗)的值;

(2)當(dāng)一4Wx<4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積.

解：(1)由f(x+2)=—f(x),得Hx+4)=F((x+2)+2)=—f(x+2)=f(x),

所以Ax)是以4為周期的周期函數(shù).

所以f(冗)=f(-1X4+IT)=f(冗—4)

(2)由F(x)是奇函數(shù)與F(x+2)=-F(x),

得F((x—1)+2)=—F(x—1)=f(一(x—1)),

即r(i+x)=rd-A).

從而可知函數(shù)y=「(x)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱.

又當(dāng)OWxWl時(shí)，f16=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的

圖象如圖所示.

設(shè)當(dāng)一4<x<4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S八曲:

ri)

4X(jX2XlJ=4.

［綜合題組練］

1.設(shè)函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,滿足F(x+l)=2F(x),且當(dāng)x￡(o,1］時(shí)，

O

〃才)=x(x—1),若對(duì)任意x￡(—M,屈,都有F(x)2—6，則/〃的取值范圍是

/7-

r

l-8--

B.\3

D.-

z8-

f

l-8--

\3

_

解析：選B.當(dāng)一1〈人0時(shí)，(Kx+lWl,貝ijf(x)=J/(x+l)=J(X+1)K；當(dāng)

1<A<2時(shí)，O〈x—1W1,貝ijF(x)=2F(x-l)=2(x-l)(刀一2)；當(dāng)2<瘧3時(shí)，0<%

—2W1,則尸(x)=2/(刀-1)=2y(x—2)=21x—2)(x—3),.......由此可得

〃…

￡(x+1)x,—l〈xW0,

乙

f(x)=〈X(十-1),0<A<1,由此作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所

2(x—1)(X—2),KxW2,

2'2(x—2)(*一3),2G<3,

???

O

示.由圖可知當(dāng)2K3時(shí)，令2"才一2)?5—3)=一不整理，得(3萬-7)(3工一

78

8)=0,解得彳=鼻或?qū)⑦@兩個(gè)值標(biāo)注在圖中.要使對(duì)任意工￡(-8,4都

JJ

877

有f(x)2—G，必有力Wq,即實(shí)數(shù)/〃的取值范圍是一8,-,故選B.

y15Ij

75

--

32

8

-

9

2.己知定義在R上的奇函數(shù)4)滿足(《葉5、5卜4)=0,當(dāng)一5產(chǎn)出。時(shí)，

f(x)=2'+&則f(16)=

由彳x+|)+f(x)=°，得由X)=一彳犬+胃=/'(刀+5),所以函數(shù)/.(X)

解析:

是以5為周期的周期函數(shù)，則/'(16)=F(3X5+l)=f(l).又F(x)是定義在R上

的奇函數(shù)，所以/'(0)=0,即1+日=0,￡?=—1,所以當(dāng)一時(shí)，f(x)=2'

—1,所以/'(—1)=一則F(l)=—F(—1)=],故/'(16)=g.

1

答案：5

乙

3.(應(yīng)用型)設(shè)函數(shù)f3=ln(l+|x|)—￡,則使得f(x)>f(2x—1)成立

的彳的取值范圍是_______.

解析：由題意知I,f(x)是偶函數(shù)，且在[0,+8)上是增函數(shù)，所以fgfQx

—1)<=>/(|)>/(I|)oIx|>111

x\2x-X2x~J

答案：&I]

4.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x￡R滿足/tr)+f(—x)=0,f(x—1)=F(x+l),

若當(dāng)[0,1)時(shí)，F(xiàn)(x)=a"+6(a>0且aKl),且/e=g,

(1)求實(shí)數(shù)ab的值；

(2)求函數(shù)g(x)=d(x)+F(x)的值域.

解：(1)因?yàn)閒(x)+/'(—x)=0,

所以F(—x)=-f(x),即f(x)是奇函數(shù).

因?yàn)閒(x—1)=f(x+1),所以f(x+2)=f\x),

即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

所以/<0)=0,即。=-1.

解得

(2)當(dāng)x￡［0,1)時(shí)，f(x)=a'+A=|jJ—彳，0

由f(x)為奇函數(shù)知，

(3、

當(dāng)才￡(一1,0)時(shí)，f(x)q。，-j,

又因?yàn)閒(x)是周期為2的周期函數(shù)，

所以當(dāng)x￡R時(shí)，彳，-J,

(33、

設(shè)t=f\x)el--J,

(i、2i

所以g(x)=/2(x)+f(x)=/+，=

,n2i「i2n

即-產(chǎn)Hw

-121、

故函數(shù)g(x)=f(x)+F(x)的值域?yàn)橐?，T7.

_4I。/

第4講二次函數(shù)與塞函數(shù)

［基礎(chǔ)題組練］

1.鼎函數(shù)尸產(chǎn)”(〃，￡Z)的圖象如圖所示，則勿的值為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選C.因?yàn)槭a(chǎn)…①￡Z)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，所以序一4成0,

即0＜正4.

又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于P軸對(duì)稱，且加￡Z,

所以病一4勿為偶數(shù)，因此勿=2.

2.已知基函數(shù)f(x)=(萬+2〃-2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在

(0,+8)上是減函數(shù)，則〃的值為()

A.-3B.1

C.2D.1或2

解析：選B.由于f(x)為曷函數(shù)，所以萬+2〃-2=1,解得〃=1或〃=—3,

當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)F(x)=/2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且F(x)在(0,十

8)上是減函數(shù)，所以〃=1滿足題意；當(dāng)〃=—3時(shí)，函數(shù)Ax)=/為偶函數(shù),

其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而/.(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，所以〃=—3不滿足題

意，舍去.故選B.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,ix(z?＞0且a#1)與二次函數(shù)y=(a—1)V一才在同一坐標(biāo)

系內(nèi)的圖象可能是()

解析：選A.當(dāng)0＜水1時(shí)，y=log.x為減函數(shù)，y=(召一l)f—x開口向下，

其對(duì)稱軸為戶2(L)(°'排除。，D；當(dāng)血時(shí)，尸log/為增函數(shù)，尸(，

—l)f—x開口向上，其對(duì)稱軸為?>0,排除B.故選A.

2(a—1)

4.若二次函數(shù)4x+2在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)力的

取值范圍為()

A.［2,+8)B.(2,+8)

C.(一8,0)D.(一8,2)

2

解析：選A.二次函數(shù)尸加一4x+2的對(duì)稱軸為彳=不當(dāng)力0時(shí)，要使函

2

數(shù)/=依一4x+2在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，只需7WI,解得422.

K

當(dāng)衣0時(shí)，!<0,比時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間［1,2］的左側(cè)，該函數(shù)尸政

一4x+2在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，不符合要求.綜上可得實(shí)數(shù)4的取值范圍是

［2,+8).

5.已知函數(shù)Ax)=aV+8x+c(aW0),且2是f{x}的一個(gè)零點(diǎn)，一1是/(>)

的一個(gè)極小值點(diǎn)，那么不等式，5)>0的解集是()

A.(—4,2)

B.(-2,4)

C.(—8,—4)U(2,+8)

D.(—8,—2)U(4,+8)

解析：選C.依題意，a>)圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為X=-1,方

程df+Z?x+c=0的一個(gè)根是2,另一個(gè)根是一4.因此F(x)=a(x+4)(x—

2)(a〉0),于是f(x)〉0,解得x>2或水一4.

6.已知點(diǎn)(勿,8)在黑函數(shù)點(diǎn)X)=(勿一1)父的圖象上,設(shè)a=f-9,b=f(ln

\\?))

n),則&b,。的大小關(guān)系為()

A.Ka<bB.水叢。

C.b<c<aD.Ka<c

解析：選A.根據(jù)題意，加一1=1,

所以ni=2,所以211=8,

所以〃=3,所以f(x)=/

因?yàn)閒\x)是定義在R上的增函數(shù),

又4°<({MF=kln*

所以c<a<b.

7.已知a,b,cER,函數(shù)f\x)=ax+bx-\-c.若/(I)=f(3)>/'(4)，則()

A.a>0,4a+〃=0B.水0,4a+6=0

C.a>0,2a+0=0D.水0,2a+Z?=0

解析：選B.若a=0,f(x)不滿足題意，所以aWO,f(x)為二次函數(shù).

因?yàn)閒(l)=f(3),則x=2為對(duì)稱軸，故一媼=2,

2a

則4a+b=Q,

又/'(3)>f(4),在(2,+8)上a⑼為減函數(shù)，所以開口向下，水0.

故選B.

8.己知轅函數(shù)f(x)=x2若f(a+l)〈f(10—2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是

1_

解析：因?yàn)閒(x)=x],易知xE(0,十8)時(shí)fj)為減函數(shù),

又f(a+l)<f(10—2a),

%+1>0,fa>—1,

所以<10—2a>0,解得《水5,

、a+l>10—2a,la>3,

所以3〈水5.

答案：(3,5)

9.已知二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=3,與y軸交于

點(diǎn)(0,3),則它的解析式為.

解析：由題意知，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為尸a(x—3尸，乂圖象與y軸交

于點(diǎn)(0,3),

所以3=9a,即

J

所以尸;(x—3)2=；x2—2x+3.

oJ

答案：2x+3

10.若/Q)=-1+2g與在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)

XI1

d的取值范圍是.

解析：因?yàn)?*(x)=-f+2dx在［1,2］上是減函數(shù)，所以aWl,又因?yàn)間(x)

=一±在［1,2］上是減函數(shù)，所以a0,所以

答案：(0,1］

11.已知函數(shù)/'(力=bf—2dx+d(a,6CR)的圖象過點(diǎn)(j,工.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=logj_f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

2

(2)當(dāng)dVO時(shí)，求使函數(shù)Hx)的定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)椋?2,2］的a

值.

解：因?yàn)閒(x)=以一2ax+d的圖象過點(diǎn)自

所以b=1,

(1)當(dāng)司=2時(shí)，尺⑼—4x+2,

令r(x)>0可得，

所以/'(x)在(2+m，+8)上單調(diào)遞增，在(一8,2—/)上單調(diào)遞減，

y=log!￡在(0,—8)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知

2

函數(shù)y=log^f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,2—4).

2

(2)當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)/'(x)—2ax+d的對(duì)稱軸X=EV0,

①aW-l時(shí)，函數(shù)F(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

當(dāng)才=一1時(shí)，函數(shù)有最小值￡(-1)=1+3E=-2,

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值f(l)=l—a=2,

解得a=-1,

②0>d>—1時(shí)，函數(shù)在［-1,1］上先減后增，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有最小值

/(a)=a—，=-2,

解得，3=2(舍)或a=—1(舍),

綜上可得，^=一：.

12.已知函數(shù)/'(力=V+(2d—1)x—3.

(1)當(dāng)a=2,2,3］時(shí)，求函數(shù)尸(x)的值域；

(2)若函數(shù)f(x)在［―1,3］上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.

解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)(x)=/+3萬—3,2,3］,

3

對(duì)稱軸=［］

x5乙u2,3>

…/3199—21

所以rt-￥)inin=/f-22T,

F(x)0=f(3)=15,

所以函數(shù)Hx)的值域?yàn)橐蝗眨?5.

9o—1

(2)對(duì)稱軸為x=一

乙

2H—11

①當(dāng)一即一時(shí)，

乙乙