課題點(diǎn)估計(jì)

課時(shí)2課時(shí)(90min)

知識(shí)技能目標(biāo)：

(1)理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的概念

(2)掌握矩估計(jì)法及極大似然估計(jì)法

教學(xué)目標(biāo)

素質(zhì)目標(biāo)：

(1)幫助學(xué)生掌握具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系

(2)培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀

教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的概念，矩估計(jì)法

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)：極大似然估計(jì)法

教學(xué)方法講練結(jié)合法、問答法、討論法

教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟

【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過APP或其他學(xué)習(xí)軟件，搜集并了解參

課前任務(wù)數(shù)估計(jì)和點(diǎn)估計(jì)的相關(guān)知識(shí)

【學(xué)生】完成課前任務(wù)

考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到

【學(xué)生】按照老師要求簽到

【教師】提出問題：

互動(dòng)導(dǎo)入什么是參數(shù)估計(jì)

【學(xué)生】思考、討論、回答

【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解參數(shù)估計(jì)和點(diǎn)估計(jì)的相關(guān)知識(shí)

【教師】介紹參數(shù)估計(jì)的概念

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問題就是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)總體的分布或分布的數(shù)字特征等做出統(tǒng)計(jì)推斷.本章

所要探討的是這樣一類問題，即在總體所服從的分布類型已知的條件下，估計(jì)某些未知的參數(shù)，如數(shù)學(xué)期望、

方差等.這類問題稱為參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)的方式有兩種，一種是參數(shù)的值估計(jì)(點(diǎn)估計(jì))，另一種是參數(shù)的

范圍估計(jì)(區(qū)間估計(jì)).對(duì)于這類問題，關(guān)鍵是構(gòu)造合理的方法將這些未知參數(shù)估計(jì)出來.

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

傳授新知

用一個(gè)數(shù)值來估計(jì)某個(gè)參數(shù)，這種估計(jì)就是點(diǎn)估計(jì).例如，要考察某城市擁有汽車的家庭所占的比例，抽

查了1000個(gè)家庭，然后估計(jì)出這個(gè)比例值為0.28,這個(gè)值就是"比例"這個(gè)未知數(shù)的點(diǎn)估計(jì).

【教師】提出點(diǎn)估計(jì)的定義

AA

定義1設(shè)夕為總體X的待估計(jì)參數(shù)用樣本X|，X2，的T統(tǒng)計(jì)量x2,'X“)來

A

估計(jì)'，則稱伏％'、2，'X”)是夕的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量，對(duì)應(yīng)于樣本觀測(cè)值M'W',稱

A

/"，毛，'％)為?的點(diǎn)估計(jì)值.

在不至于混淆的情況下，統(tǒng)稱估計(jì)量和估計(jì)值為估計(jì).

那么，如何構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量'X“）作為0的估計(jì)量呢？對(duì)于點(diǎn)估計(jì)問題，關(guān)鍵是找一個(gè)合適

的統(tǒng)計(jì)量，所謂合適是指既有合理性，又有計(jì)算上的方便性.這里只介紹兩種常用的點(diǎn)估計(jì)方法：矩估計(jì)法和

極大似然估計(jì)法.

一、矩估計(jì)法

樣本取自總體，根據(jù)大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映了總體矩的特征，因而很自然想到用樣本矩來估

計(jì)與之相應(yīng)的總體矩，由此得到的參數(shù)估計(jì)稱為矩估計(jì)法.

矩估計(jì)是一種簡(jiǎn)單、直觀的估計(jì)方法，是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜在19世紀(jì)末引進(jìn)的

【教師】提出矩估計(jì)法的定義

定義2設(shè)總體X的分布函數(shù)為"X，a'4’’4）,其中，4，幻'4是待估計(jì)的k個(gè)未知參數(shù)，

X^X?''X“是來自總體X的n個(gè)樣本，％，/，'X，，是樣本觀察值，假設(shè)X的l~k階原點(diǎn)矩都存在，

則有

M=E（x，）=〃,（q，4，,q）（i=i,2,,k）

取樣本的i階原點(diǎn)矩4作為總體i階原點(diǎn)矩從的估計(jì)量，即

得方程組

〃（a，a，,4）=自

t

解得

。尸以X「X『.、Xn）

t

稱a為Q的矩法估計(jì)量，簡(jiǎn)稱矩估計(jì).

【教師】通過例題，介紹矩估計(jì)法的應(yīng)用

2

砂S5o<x<e,

fx（x）=,

0,其他'參數(shù)e未知，X，X2,‘X”是來自X

例I設(shè)總體X具有概率密度

的樣本，求°的矩法估計(jì)量.

例2設(shè)總體X~,p）,其中m已知，求p的矩估計(jì)量.

例3設(shè)總體X~,其中〃‘是未知參數(shù).試求〃'"的矩估計(jì)量.

……（解析詳見教材）

二、極大似然估計(jì)法

在隨機(jī)試驗(yàn)中，許多事件都有可能發(fā)生，概率大的事件發(fā)生的可能性也大，若在一次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)

生了，則有理由認(rèn)為事件AI：匕其他事件發(fā)生的概率大，這就是所謂的極大似然原理，極大似然估計(jì)法就是依據(jù)

這一原理得到的一種參數(shù)估計(jì)方法.

極大似然估計(jì)法是費(fèi)歇（R.A.Fisher）在1912年提出來的，是一種重要的點(diǎn)估計(jì)方法，所求的估計(jì)量有許

多優(yōu)良性質(zhì).下面先介紹似然函數(shù)的概念.

1.似然函數(shù)

【教師】提出似然函數(shù)的定義

定義3設(shè)總體X的分布律或概率密度為/（代仍/=（4'名'4）是未知參數(shù)，％'、2，'X’,是

總體x的樣本,則稱Xi，'x”的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)

L5,x2,；。）=n/（%；°）

"（7-2）

為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為3.

2.極大似然估計(jì)法

例4設(shè)在一個(gè)箱子中裝有若干個(gè)白色和黃色乒乓球，且已知兩種球的數(shù)目之比為1:3但不知是白球多還

是黃球多.現(xiàn)從中有放回地任取3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)白球.問：白球所占的比例是多少？

……（解析詳見教材）

【教師】提出極大似然估計(jì)法的定義

定義4如果樣本似然函數(shù)''"）在?（芭，七，,外處達(dá)到最大值，則稱

AA

a（%,當(dāng)，，%）（，=i,2'」）為參數(shù)e的極大似然估計(jì)值，而稱相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量a&，X?,'x"）為參

數(shù)"的極大似然估計(jì)量.

由定義可知，求參數(shù)的極大似然估計(jì)問題，其實(shí)就是求似然函數(shù)L的最大值問題.一般情況下，似然函數(shù)L

的最大值點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，但直接對(duì)似然函數(shù)L求偏導(dǎo)，計(jì)算量比較大.我們知道，Mx是x的單調(diào)上升

函數(shù)，因此，InL與L有相同的最大值點(diǎn),故只需求InL的最大值點(diǎn)即可.因此，求極大似然估計(jì)量的一般步

驟如下：

（1）根據(jù)總體X的分布律或概率密度⑶，由式（7-2）得出似然函數(shù)

〃夕）=口/（乙；夕）

/=|?

（2）對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)

ln〃6)=lnf[fa；。)

1=1

（3）寫出似然方程

------=0

（1。

人AA

若方程有解，則求出〃°）的最大值點(diǎn)9=/內(nèi)，々，，王），于是夕=e（x「X2，，x“）即為夕的極

A

大似然估計(jì)量.設(shè)％‘七''X”為樣本的觀測(cè)值，則/外‘/''X"）為夕的極大似然估計(jì)值.

【教師】通過例題，介紹極大似然估計(jì)法的應(yīng)用

例5設(shè)X，，，X”是總體X的一個(gè)樣本，豆“2，?‘X”為相應(yīng)的樣本值.總體X的概率密度函數(shù)

fX」

r.\-ye'，x>0,

為[0'其他'°v0<8,求參數(shù)°的極大似然估計(jì)量和估計(jì)值.

例6設(shè)總體X服從參數(shù)為丸的泊松分布，石，看，'￡為樣本取值，求參數(shù)4的極大似然估計(jì).

例7設(shè)X】，'X”為取自正態(tài)總體X~，不)的樣本求參數(shù)〃'b的極大似然估計(jì).

……(解析詳見教材)

【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶

【教師】給出題目，組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行解題

1.從某一正態(tài)總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本，樣本值