《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案

選擇題

單項選擇題

1.以□表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件口為().

(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”；

(B)"甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷“；

(C)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”；

(D)“甲種產(chǎn)品滯銷二

解：設(shè)口'甲種產(chǎn)品暢銷‘，口'乙種產(chǎn)品滯銷'，口

A='BC=~B^C=，甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷工選C。

2.設(shè)口是三個事件，在下列各式中，不成立的是()o

(A)=

(B)=

(C)(AUB)-AB=A^U小；

(D)(AIJ砌一C=(A-C)U(q<)c

解：□DA對。

(A\JB)-B=(A\J=AB=A-BAB不對

(A\JB)-AB=(A-A)=AB\JAB.C對選B.

同理D也對。

3.若當(dāng)事件□同時發(fā)生時，事件□必發(fā)生，則().

(A)P(C)<P(A)+P(B)-};

(B)P(C)>P(A)+P(B)-1：

(C)P(C)=P(AB);

(D)尸(C)=P(AU8).

解：□

/.選B。

4.設(shè)口，則□等于()o

(A)a-b;(B)c-b;(C)a(\-b);(D)b-ao

解：P(AB)=P(A-B)=P(A)~P(AB)=a-P(A)-P(B)+P(AUB)=c-b

選B0

5.設(shè)□是兩個事件，若口，則()0

(A)A,8互不相容；(B)是不可能事件；

(C)P(A)=0或0(8)=0;(D)A3未必是不可能事件。

..解：□...選D.

6.設(shè)事件□滿足口，則下列結(jié)論中肯定正確的是()。

(A)A,月互不相容；(B)A,方相容；

(C)P(/W)=P(A)P(8);(D)P(A-B)=P(A)O

瓦月相容/.A不對。

A=B=A,AB=二.B錯。

J,而□不一定為0□C錯.

..□..........選D.

7.設(shè)口，則()

(A)4,8互不相容;(B)48互為對立；

(C)A8不獨立；(D)A,8相互獨立.

解：口

一(—一)(1一。(/?))+((8)(1—尸(A)—尸(A)+P(A/T))

P(B)-P2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P2(B)

P(AB)=P(A)P(B)選D。

8.下列命題中，正確的是().

(A)若口，則□是不可能事件；

(B)若口，則□互不相容；

(C)若口，則□:

(D)P(A-B)=P(A)-P(B).

解：P(AU3)=尸⑷+P(B)_P(AB)nP(A|JB)-P(AB)=P(A)+P(B)=1

由口，□A.B錯。

....只有當(dāng)口時口，否則不對....選C.

9.設(shè)□為兩個事件，且口，則下列各式中正確的是()0

(A)P(A(JB)=P(A);(B)P(AB)=P(A);

(C)P(B|A)=P(4)；(D)P(B-A)=P(H)-P(A)0

解：口匚選A。

10.設(shè)□是兩個事件，且口；

(A)P(A)=P(A\B);(B)P(B)>0,則有()

(C)P(A)>P(A\B);(D)前三者都不一定成立。

..解：□要與□比較，需加條件..□選D.

11.設(shè)口且口，則下列等式成立的是().

(A)P(AU4I耳)=P(AI亙)+P(AJ巨):

(B)P(43U48)=P(AB)+P(43)；

(c)P(AUA)=P(A|B)+P(A2|B)；

(D)P(8)=P(4)P(81a)+P(&)P(B|A,).

解?：解AU4U)=P(AIB)+P(A2|B)-P(A4|B)=尸(A|B)+P(AIB)

=>P(A,A2IB)=0=>P(AIA2B)=0

P(ABu&B)=尸(A5)+p(4B)-P(A&5)=P(A5)+P(A2B)

：.選B.

解2：由尸{4u416}=P(A|B)+P(A2IB)得

p(A3乂3))(")+「”)

~P(B)--P(B)

?！敢娛?AWU48)=aA3)+P(A2B)

選B.

12.假設(shè)事件□滿足口，則()o

(A)8是必然事件；(B)P(B)=1;

(0P(A-B)=O;(D)AuB。

解：口

=>P(A-B)=O選C。

13.設(shè)□是兩個事件，且口，則下列選項必然成立的是()<>

(A)P(A)<P(AIB)：(B)P(A)<P(A\B);

(C)P(4)>P(A|8);(D)P(A)>P(A|B)o

解：口

AuB=P(A)?P(8)O<P(B)<1/.選B

(或者：AuB,P(A)=P(AB)=P(B)P(41B)<P(A\B))

14.設(shè)□互不相容，則下列各式中不一定正確的是()o

(A)P(44|8)=0;

(B)P(Au4IB)=P(AIB)+P(4IB)；

(C)P(4A|8)=1;

(D)P(A\JA2\B)=\.

解：口

p(4&⑶=^^=o

A對。

p(4U&I3)=P(4⑶+尸(41硝-。(4418)

對。

=P(A|B)+P(A2|B)B

尸(A4?=U4IB)=i-P(AUAIB)

=1-P(A||B)-P(A|B)^1c錯.

p(AU&IB)=P(A4|B)=I—P(A4|8)=I—O=ID對。

.??選c.

15.設(shè)口是三個相互獨立的事件，且口，則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是()0

(A)CUB與C;(B)衣與不；

(C)。一3與吊;(D)而與3。

解：口

=口一(P(A)+P(8)—P(A)P(8))]P(C)=P(7U^)P(C)A對.

P(ACC)=P[(A\JC)C]=P(AC\JCC)=P(AC)+P(C)-P(AC)

=P(C)^P(AC)P(C)衣與「不獨立選B.

16.設(shè)□三個事件兩兩獨立，則□相互獨立的充分必要條件是().

(A)4與BC獨立；(B)與AIJC獨立；

(C)A3與AC獨立；(D)AIJB與AUC獨立。

解：□兩兩獨立，□若□相互獨立則必有

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)：.A與BC獨立。

反之，如A與BC獨立則P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(8)P(C)

...選A.

17.設(shè)口為三個事件且□相互獨立，則以下結(jié)論中不正確的是().

(A)若口，則□與□也獨立；

(B)若口，則口與□也獨立；

(C)若口，則□與□也獨立；

(D)若口，則□與□也獨立.

解：□概率為1的事件與任何事件獨立

AC與BC也獨立。A對.

P[(AU。)nB]=P[(AuC)B]=P(ABUBC)

=P(AB)+P(BC)-P(ABC)=P(AUC)P(B)B對。

P[(A-C)A]=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=P(A)P(AC)

：.C對選D(也可舉反例).

..18.一種零件的加工由兩道工序組成.第一道工序的廢品率為□，第二道工序的廢品率為口，則該零件加

工的成品率為..).

(A)一〃2；(B)1一〃|〃2；

(C)-〃2+〃|〃2；(D)(1|)+(1-〃2).

解:設(shè)□成品零件，□第□道工序為成品口

P(A)=I—PIP(A)=I-P2

P(A)=p(A4)=P(A)p(&)=(I-P])(1-p2)

Pi

選c。

19.設(shè)每次試驗成功的概率為□，現(xiàn)進(jìn)行獨立重復(fù)試驗，則直到第10次試驗才取得第4次成功的概率為

)。

(A)—p)6；(B)C；p4(l—p)6；

(C)C>4(l-p)3;(D)—

解:說明前9次取得了3次成功?,?第10次才取得第4次成功的概率為

C；P3(1-P)6P=C；P』(1-P)6

???選B.

20.設(shè)隨機(jī)變量□的概率分布為口，則()o

(A)4為任意正實數(shù);(B)2=Z?+1;

選C.

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量□的概率密度和分布函數(shù)分別為□和口，則下列各式正確的是().

(A)O</U)<1;(B)P(X=x)=/(x)；

(OP(X=x)=F(x);(D)P(X=x)<F(x).

解:???選D.

22.下列函數(shù)可作為概率密度的是()o

(A)f(x)=e-M,xeR;

⑻73=^77XWR：

x>0,

(C)/(x)=缶7

0,x<0;

1,Ix|<l,

(D)f(x)=<

0,

解:A：□???錯.

B:□

------!——>0xeR

且/?=：.選B.

7r(\+x~)

23.下列函數(shù)中，可作為某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)的是()o

(A)F(x)=-;(B)F(x)=—+—arctanx;

1+r27T

(C)F(?=)x>0

.0，x<0;

(D)口，其中口

解：對A：口，但口不具有單調(diào)非減性且口???A不是。

對B：□J口。

由arctanx是單調(diào)非減的???尸(x)是單調(diào)非減的。

產(chǎn)(—co)=^-+—(-^)=0

F(-i-oo)=—+—?—=!.

2712242

E(x)具有右連續(xù)性。/.選B。

24.設(shè)口是隨機(jī)變量,其分布函數(shù)分別為口，為使□是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)

值中應(yīng)取().

3222

(A)"工b=--;(B)〃=h=-

5533

(C)a=——,Z?=—;(D)67=—,b=—.

2222

解：匚I,□，只有A滿足

選A

25.設(shè)隨機(jī)變量□的概率密度為□，且□是□的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)□有().

(A)/(-a)=T("(x)，a；

(B)F(-;

(C)F(-a)=F(a);

(D)F(-a)=2F(a)-\0

解：

{}

=jyfMdx-J：f(x)dx=\-[^f(x)dx+J：f(x)dx)

由j/(x)公=2/0f{x)dx=\=>Jof{x}dx=jfMdx=-

：.選B。

26.設(shè)隨機(jī)變量口，其分布函數(shù)和概率密度分別為口和口，則對任意實數(shù)口，下列結(jié)論中成立的是

).

(A)F(x)=1-F(-x);

(B)f(x)=f(-x);

(C)F(l-x)=l-F(1+x);

(D)1=l-Ff—L

I2)I2)

解：□以□為對稱軸對稱。

P(X>l+x)=P(X<l-x)

即F(l-x)=l-P(X<l+x)=l-F(l+x)

選C。

27.設(shè)口，設(shè)口，匚],則()。

(A)對任意實數(shù)〃有Pl=〃2；(B)Pl<〃2；

(C)Pl>“2；(D)只對〃的個別值才有P]=

解：口

%=尸~+5)*"<"+5)+,卞卜-中⑴

Pi=p2選A(or利用對稱性)

28.設(shè)口，則隨著口的增大，概率口的值().

(A)單調(diào)增大；(B)單調(diào)減少；

(C)保持不變；(D)增減不定.

解：尸(|X—〃)|<b=P(〃_b<X<〃+b)=cD(l)_(D(_l)=20)(l)_[

???不隨o"變J選C。

29.設(shè)隨機(jī)變量口的分布函數(shù)為口，則□的分布函數(shù)

4(y)為()o

(A)Fx(5y-3);(B)5Fx(y)-3;

(c)G(F)⑻/()，)+3.

解：F(y)-P(Y<y)-P(5X-3<y)-P(X<-(y+3))

Y5

=???選C.

30.設(shè)□的概率密度為口，則口的概率密度為().

(A);(B)—!~7;

萬(1+4曠)乃(4+y)-

22

(C)—(D)—

〃(4+y~)TT(1+y~)

解:、()，)="<)，)=P(2X0)=P(XM)=FXK

乙Iz

fy（y）斗圖=\_1_2

選C.

2萬（］+反）一乃（4+嚴(yán)

4

31.設(shè)隨機(jī)變量□與□相互獨立，其概率分布分別為

X-1IY-11

11

P

22

則下列式子正確的是（）o

（A）X=Y;(B)P(X=Y)=O;

⑹P（x=y）=g；

(D)P(X=Y)=l.

..解:A顯然不對.口

=p(x=-i)尸(y=—i)+p(x=1)P(y=i)=!1+!]=(

22222

???選C。

32.設(shè)口，且□與□相互獨立，則()o

(A)P(X4-/<())=-;(B)P(X+Y<1)=-;

22

(c)p(x-y<o)=1；(D)p(x-r<i)=p

解：□且獨立???□

P(X+Y<1)=P(X+Y>\)=0(0)=-選B。

2

33.設(shè)隨機(jī)變量

f-ion

X,?111,i=l,2

1424J

且滿足口，則口()。

(A)0；(B)1/4；(C)1/2;(D)1o

解：

T°1Pi

0-

4

oOj_

-

4

1d2

10-

40-

A114

--1

42

4

P(X|X2=0)=1=>P(X]X2^0)=0

：.P(X,=X2)=P(X1=X2=-1)+P(X1=x2=0)+P(X,=X2=1)

=04-0+0=0

選A.

34.設(shè)隨機(jī)變量口取非負(fù)整數(shù)值，口，且口，則口的值為（）.

3+百

(A)~r

3土石

(C)(D)1/5.

1

a---------

(1一。)

3-V5

a=----------Z.選Bo

2

35.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量□的分布函數(shù)為

x>1,

F(x)=

0,x<1,

則X的數(shù)學(xué)期望為()o

(A)2：(B)0；(04/3；(D)8/3o

解：□

EX仆*可爭4吟41

...選C........

36.已知口，則二項分布的參數(shù)為().

(A)=4,p=0.6;(B)n=6,/?=0.4；

(C)/?=8,p=0.3;(D)〃=24,p=0.1o

□□

/.選B。

37.已知離散型隨機(jī)變量□的可能值為口，且口，則對應(yīng)于□的概率□為()o

(A)〃[=0.4,p2=0.1,=().5:(B)P[=0.1,p2=0.1,p3=0.5;

(C)〃]=0.5,p2=0.1,py=0.4;(D)P1=0.4,p2=0.5,p3=0.5.

解：EX=0.1=-A+〃3

DX=EX2-(EX)2=>EX2=0.89+(0.1)2=0.9=p,+小

Pi=04

n<p、=0.1選A.

〃3=0.5

38.設(shè)□，且□獨立，記口，則口__________o

(A)N(2,1);(B)NQ1);

(C)N(2,13);(D)N(l,5)o

解：X?N(2,l)Y~N(-1,1)且獨立

EZ=E(3X-2r-6)=2o

DZ=9/)X+407=9+4=13o

又獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量，???Z?NQ,13)

???選C.

39.設(shè)口，則□之值為()o

(A)14;(B)6;(C)12;(D)4O

解：口，

cov(X,Y)=EXY-EXEY=6-4=2

O(X—y)=9+l—2x2=6,

???選B.

40.設(shè)隨機(jī)變量□的方差存在，則()o

(A)(EX)2=EX2;(B)(￡X)2>EX2；

(C)(EX)2>EX2;(D)(EX)2<EX2.

解：□□???選D.

41.設(shè)□相互獨立，且均服從參數(shù)為□的泊松分布，令口，則口的數(shù)學(xué)期望為().

2

(A)-A;(B)萬；(O-2+/1;(D)~^+Ao

333

解：XH2X3獨立~尸(團(tuán)/.(X,+X24-X3)-P(32)

E(X,+X2+X3)=D(X,+X2+X3)=32

叫XI+X?+X3)]=料X|+X2+X,)=(

=EY2-(EY)2=EY2

：.EY2=^+-?,?選C。

3

42.設(shè)□的方差存在，且口，則().

(A)D(XY)=DXDY；(B)D(X+Y)=DX+DY;

(C)X與y獨立；(D)X與丫不獨立。

解：口

=DX+DY+2(EXY-EXEY)=DX+DY???選B。

43.若隨機(jī)變量□滿足口，且口，則必有().

(A)x,y獨立；(B)x,y不相關(guān)；

(C)DY=O;(D)D(XD=Oo

解：□不相關(guān)。

???選B。

44.設(shè)□的方差存在，且不等于0,則□是口()。

(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；

(B)獨立的必要條件，但不是充分條件；

(C)不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；

(D)獨立的充分必要條件.

解：由口與□不相關(guān)

???□是不相關(guān)的充要條件。A.C不對.

由獨立口，反之不成立

???選B。

45.設(shè)□的相關(guān)系數(shù)□，則()

(A)x與y相互獨立；(B)x與y必不相關(guān)；

(O存在常數(shù)。/使尸(y=〃x+〃)=i；

(D)存在常數(shù)。力使p(y=ay2+b)=i。

解：|PXY1=1O存在a,b使P(Y=aX+b)=\

選c.

46.如果存在常數(shù)口，使口，且口，那么□的相關(guān)系數(shù)口為().

(A)1;(B)-1;(C)|p|=l;(D)|p|<l.

解：口

以概率1、cov(X,y)以概率?aDX_a

DY=crDXPxY~4DX>[DY\a\DX~\a\

匚I,以概率1成立。

???選C。

47.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量□的分布律為

X012

00.10.050.25

100.10.2

20.2().10

貝I().

(A)x,y不獨立；(B)x,y獨立；

(c)x,y不相關(guān)；(D)x,y獨立且相關(guān)。

解：□

P(X=0)P(r=0)=(0.1+0.05+0.25)(0.1+0.2)

=0.4x0.3=0.12

尸(x=o,y=o)wp(x=o)p(y=o)

???x與y不獨立。選A.

48.設(shè)□為連續(xù)型隨機(jī)變量，方差存在，則對任意常數(shù)□和口，必有()o

(A)P(\X-Cf>8)=E\X-C\/s；

(B)P(|X-C|>￡)>E\X-C\/e;

(C)P(|X-C|>￡)<E\X-C\/S\

(D)P(|X-C|>￡)<DXIS2.

解：□

<f^^^fix)^=-E\X-C\

J7g￡

選c。

49.設(shè)隨機(jī)變量□的方差為25,則根據(jù)切比雪夫不等式，有口()o

(A)<0.25;(B)<0.75;(C)>0.75;(D)>0.25.

解：□

選C.

50.設(shè)□為獨立隨機(jī)變量序列，且□服從參數(shù)為□的泊松分布，匚］,則（）o

沙.-成

(A)limP---------<x>=6(x);

nA,

(B)當(dāng)□充分大時，口近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布;

（0當(dāng)〃充分大時，gXj近似服從N（〃Z成）；

（D）當(dāng)口充分大時，口。

解：由獨立同分和中心極限定理□近似服從口

選C

設(shè)口為獨立隨機(jī)變量序列，且均服從參數(shù)為口的指數(shù)分布，則（）.

(A)limP\，二中。）；

ll^x>〃/萬

aZXj-n

(B)limP\—―.......<r■=①(x);

n-yx>

z^-4

f1zt,

(C)limP-=----；——<x>=①⑴；

me1/22

(D)limP—-------<x

n

\nn

M：EX.=-DXi不

122

Ex,.---n

由中心極限定理limP,」“]

<x?=limP,—<x=①（X）.

rt-?x

：.選Bo

52.設(shè)□是總體□的樣本，□已知，□未知，則不是統(tǒng)計量的是（）0

(A)X,+5X4;(B)VX._/z.

1=1

(0X,-a;(D)￡X；o

/=1

統(tǒng)計量是不依賴于任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。

???選Co

53.設(shè)總體□為來自□的樣本，則口()。

(A)p;(B)1一〃；

(c)《p"(l-p尸;(D)C*l-

解：□相互獨立且均服從口故口

即nX~B5,p)則P(X=-)=P(nX=k)=C^pk(\-p)n-k

n

：.選C。

54.設(shè)□是總體□的樣本，□和□分別為樣本的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則().

(A)9/S~"〃一I):(B)》~N(O,1);

(C)(?-1)52-72(/?-1);(D)五》~?〃-1)。

解：x=—￡XjEX=0,DX=-n=-/.X?N(0,上)B

n~nn

(n-\)S2

二.^^S2=(H-1)S2-Z207-1)

9

b

????II..............A4皆。

??.選C。

5