第3講拋體運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)

高頻考向一運(yùn)動(dòng)的合成與分解

?三模型圖解

一、小船渡河模型

方式圖不說(shuō)明

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃

了

渡河

當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短

￡；'

時(shí)間〃船aa

深時(shí)間Uin=-

最短V船

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

//〃〃〃/〃〃/〃〃〃〃〃/〃〃/

1

當(dāng)V水＜V船時(shí)，如果滿足V水-V船cos0

。船0,

f

=0,渡河位移最短，Xmin=d

渡河

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

位移

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

當(dāng)V水〉V船時(shí),如果船頭方1可與臺(tái)速度

最短/;

/、、'

，、/a

%；、）士小K—3日Ldv水

方向垂直，渡河位移取短，Xmin-

V船

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

二、繩（或桿）端速度分解模型

◎提醒：當(dāng)繩（或桿）斜拉著物體或物體斜拉著繩（或桿）運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩（或

桿）兩端連接的物體速度不同，但物體的速度沿繩（或桿）方向的分速度

大小相等。

?三典題突破”

I命題角度小船渡河模型

【典例1】一船在靜水中的速度大小恒定為VI,水流速度的方向沿著

河岸向右且大小恒定為V2,且VI>V2,河岸寬度恒定為d。小船從O

點(diǎn)開(kāi)始渡河，圖中OB垂直于河岸，AB=BC=L。已知當(dāng)小船劃行

方向垂直于河岸時(shí)小船正好航行到C點(diǎn)。下列說(shuō)法中正確的是（）

ABC

.viL

A9=d

B.若小船改變劃行方向，最終到達(dá)對(duì)岸A點(diǎn)，則從0點(diǎn)到A點(diǎn)所

用時(shí)間等于小船航行到C點(diǎn)所用時(shí)間

C.若小船的劃行方向沿OA方向,則小船最終會(huì)航行到BC之間的

某一點(diǎn)

D.若小船改變劃行方向，最終到達(dá)對(duì)岸B點(diǎn)，則從O點(diǎn)到B點(diǎn)所

用時(shí)間為I，,

\Vf+V2

【解析】選C。小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡為OC,即速度方向沿OC方向,

所以根據(jù)幾何知識(shí)可得吃=r，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；如圖甲所示，小船航

V?L

行到A點(diǎn)的合速度和小船航行到C點(diǎn)的合速度不同，但是位移大小

相同，所以時(shí)間不同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若小船沿OA方向劃船，與垂直

到達(dá)河岸方向的夾角為。，則tan。）=A>

W77dL2

冊(cè),說(shuō)明當(dāng)垂直對(duì)岸到達(dá)B點(diǎn)時(shí)船頭和0B之間的夾角大于/

AOB,因此沿0A方向劃船不會(huì)垂直到達(dá)B點(diǎn),會(huì)航行到BC之間的

某一點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；若小船改變劃行方向，最終到達(dá)對(duì)岸B點(diǎn)，

則合速度指向B,如圖乙所示，從0點(diǎn)到B點(diǎn)所用時(shí)間為t=

d

，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

-v2

只名師點(diǎn)睛“三模型、兩方案”解決小船渡河問(wèn)題

渡河時(shí)間最短，

船頭垂直河岸時(shí),

渡河位移最小

（，船＞小的情況）快哪

、一渡河位移最小

（，船V，水的'情況）

正交分解（沿河岸、垂直于河岸）

M方號(hào)一［矢量三角形（常用于分析最值）

I命題角度2＞繩（桿）端速度分解模型

【典例2］（多選）（2021.淄博三模）如圖，汽車從靜止開(kāi)始通過(guò)纜繩將

質(zhì)量為m的貨物從A處沿光滑斜面拉到B處，此過(guò)程中貨物上升高

度為h,到B處時(shí)定滑輪右側(cè)纜繩與水平方向間夾角為0,左側(cè)纜繩

與斜面間夾角為20,汽車的速度大小為v,已知重力加速度為g，則

A.此時(shí)貨物的速度大小為瑞v

B.此時(shí)貨物的速度大小為嚼v

VOo\J

C.此過(guò)程中纜繩對(duì)貨物做的功為專需

D.此過(guò)程中纜繩對(duì)貨物做的功為嗯符+mgh

【解析】選A、D。把繩子左端點(diǎn)的實(shí)際速度分解為沿繩和垂直繩兩

v繩

個(gè)方向，有V貨二寶而，把繩子右端點(diǎn)的實(shí)際速度分解為沿繩和垂

CCSA

直繩兩個(gè)方向，有Y==，聯(lián)立可得V貨二腎去V,選項(xiàng)A正確，

B錯(cuò)誤；根據(jù)功能關(guān)系，纜繩對(duì)貨物做的功轉(zhuǎn)化成貨物的動(dòng)能和增加

的重力勢(shì)能，有W繩二;m噫+mgh,代入數(shù)據(jù)，可得此過(guò)程中纜

繩對(duì)貨物做的功為嘗翁+mgh,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

教師專用＜名師點(diǎn)睛速度分解類處理思路

?三類題特訓(xùn)”

1.如圖所示，快艇在靜水中的航行速度大小為I3m/s,某河流的水流

速度大小為5m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短時(shí)間為12s。若

快艇以最短路程渡河，則渡河的時(shí)間為（）

A.13sB.15sC.18sD.20s

【解析】選A?？焱б^(guò)河時(shí)間最短，船頭方向需垂直河岸方向，最

短渡河時(shí)間：t二￡,則有，河寬為d=V/二13m/sxl2s=156m；由

Vc

于靜水速大于水流速，以最短路程渡河時(shí)，如圖所示，快艇的合速度

大小為：v=^Vc-Vs=AJ132-52m/s=12m/s,以最短路程渡河

時(shí)，所需的時(shí)間t'A二號(hào)s=13s,選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

5

2.疫情居家期間，某人為鍛煉身體設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置,在水平地

面上豎直固定直桿A和B。將重物套在桿A上，在桿B的頂端固定

一輕滑輪，繩子的一端連接重物，跨過(guò)定滑輪后另一端系在腰上。開(kāi)

始時(shí)，重物在水平地面上，人以恒定的速度vo向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子與

桿A的夾角0=60。時(shí)重物的速度為v,加速度為a,規(guī)定向上為重物

速度、加速度正方向。下列說(shuō)法正確的是()

V-近

A.v=2voBR.v-2

C.a>0D.a<0

【解析】選Ce重物沿桿A向上運(yùn)動(dòng)，沿繩子方向的分速度等于vo,

即vcos8=Vo,所以v二-^77，當(dāng)e=60。時(shí)v=2V0,選項(xiàng)A、B錯(cuò)

誤；重物沿桿A向上運(yùn)動(dòng)，繩子與桿A的夾角。增大，由v二福

VOoV

可知重物運(yùn)動(dòng)的速度增大，所以重物做加速運(yùn)動(dòng)，a>0，選項(xiàng)C正確,

D錯(cuò)誤。

專用【加固訓(xùn)練】

1.如圖所示，某河流中水流速度大小恒為VIzA處的下游C處有個(gè)

漩渦,漩渦與河岸相切于B點(diǎn)，漩渦的半徑為r,AB=#r。為使

小船從A點(diǎn)出發(fā)以恒定的速度安全到達(dá)對(duì)岸，小船航行時(shí)在靜水中

速度的最小值為（）

一廠標(biāo)

/二、/

___/、一/

AB

I

A.2viB?3viC?2viD.，5Vl

【解析】選Co如圖所示，當(dāng)小船在靜水中的速度V2與其在河流中的

速度V垂直時(shí)，小船在靜水中的速度V2最小，故有：V2=Visin0,由

于漩渦的半徑為r,AB=5r,依據(jù)幾何關(guān)系，則有0=60。，因此

V2二坐VI,選項(xiàng)C正確,A、B、D錯(cuò)誤。

2.（多選）如圖所示，有一個(gè)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的半徑為R的

半圓柱體，半圓柱面上擱著只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的豎直桿，在豎直桿

未達(dá)到半圓柱體的最高點(diǎn)之前（）

A.半圓柱體向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直桿向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

B.半圓柱體向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直桿向上做減速直線運(yùn)動(dòng)

C.半圓柱體以速度vo向右勻速運(yùn)動(dòng)，豎直桿同半圓柱體接觸點(diǎn)和柱

心的連線與豎直方向的夾角為6時(shí)，豎直桿向上的運(yùn)動(dòng)速度為votan0

D.半圓柱體以速度V。向右勻速運(yùn)動(dòng)，豎直桿同半圓柱體接觸點(diǎn)和柱

心的連線與豎直方向的夾角為0時(shí)，豎直桿向上的運(yùn)動(dòng)速度為vosin0

【解析】選B、C。豎直桿的實(shí)際速度是接觸點(diǎn)沿切線方向的速度與

半圓柱速度的合速度，如圖所示，根據(jù)速度的合成，運(yùn)用平行四邊形

定則，得v桿=votan0o豎直桿向上運(yùn)動(dòng)，0角減小，tan0減小,v桿

=votan0減小，但豎直桿不做勻減速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；根

據(jù)速度的合成有v桿二votan9,選項(xiàng)C正確,D錯(cuò)誤。

高頻考向二拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及應(yīng)用

?旦模型圖解

一、斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)

圖小運(yùn)動(dòng)分解

水平方向：X=vot,勻速直線運(yùn)動(dòng)；

8

豎直方向：y二;gt2,自由落體運(yùn)

動(dòng)；位移x合二42+y2;

技工i:分解位移使十解題V

tan0=

X

水平方向：Vx=Vo，勻速直線運(yùn)動(dòng)；

“

豎直方向：Vy二gt,自由落體運(yùn)動(dòng)；

速度v=q-+逮；

當(dāng)物體垂直打在斜面上時(shí)有［an0

技巧：分解速度便于1擇題

_Vx

一V、

。提醒：平拋運(yùn)動(dòng)中，某時(shí)刻速度、位移與初速度方向的夾角8、a

的關(guān)系為tan0=2tana,而不要誤記為0=2a。

二、斜面上的類平拋運(yùn)動(dòng)

圖小

+

情景

特物體所受合外力為恒力，且與初速度方向

空間存在方向向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)

點(diǎn)垂直

運(yùn)物體在垂直于斜面方向沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，物體沿小球受到重力和電場(chǎng)力作用，合

動(dòng)斜面方向上的曲線運(yùn)動(dòng)可分解為水平方力豎直向下。帶電小球的初速度

分向上初速度為V。的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿斜方1可與小球所受合力方向垂直，

解面向下初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)做類平拋運(yùn)動(dòng)

網(wǎng)劃磔提酉1:類平拋運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的區(qū)別

運(yùn)動(dòng)平面初速度方向加速度

F

類平拋運(yùn)動(dòng)任總平面任意方向a=-，與初速度方向垂直

平拋運(yùn)動(dòng)豎直平面水平方問(wèn)重力加速度g,豎直向下

<?三典題突破2

I命題角度1>斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)

【典例3】（多選）（2021.漳州二模）隨著北京冬奧會(huì)的臨近,滑雪項(xiàng)目

成為了人們非常喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。如圖，質(zhì)量為m的運(yùn)動(dòng)員從高為H

的A點(diǎn)由靜止滑下，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)以速度vo水平飛出，經(jīng)一段時(shí)間后

落到傾角為0的長(zhǎng)直滑道上C點(diǎn)，重力加速度大小為g,不計(jì)空氣阻

力，則運(yùn)動(dòng)員（）

A.落到斜面上C點(diǎn)時(shí)的速度vc=及、

B.在空中平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t二力tanO

&

C.從B點(diǎn)經(jīng)I=干tan。時(shí)，與斜面垂直距離最大

0

D.從A到B的過(guò)程中克服阻力所做的功W克二mgH-；m相

【解析】選C、D。從B點(diǎn)飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上有x

二vot,在豎直方向上有y=1gt\落到C點(diǎn)時(shí),水平和豎直位移滿足

1gt2。

tan9=^=—=聶，解得t=乎tan0,從B點(diǎn)到C點(diǎn)，只有重

入V01，V。片

力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgy=1mvc-|mvo,解得vc=

2

v0^4tane+1,選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；當(dāng)與斜面垂直距離最大時(shí)，速度

方向平行于斜面，故有tan9弋二常,解得F二『an。，選項(xiàng)C正

確；從A到B的過(guò)程中重力和阻力做功,根據(jù)動(dòng)能定理可得mgH-

W克二;m宕，解得W克二mgH-|mvor選項(xiàng)D正確。

4變式拓展

若彎曲滑道AB的高H加倍,運(yùn)動(dòng)員仍落在斜面上,則（）

A.運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)水平飛出的速度加倍

B.運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)飛出后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間加倍

C.運(yùn)動(dòng)員落到斜面上的速度大小不變

D.運(yùn)動(dòng)員落到斜面上的速度方向不變

【解析】選D。根據(jù)mgH=gmv2可得運(yùn)動(dòng)員水平飛出的速度v=

V2gH,若H加倍，則水平飛出的速度v變?yōu)橐脖?，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則tan0二〒度st，解得t二

空器=2tan,若H加倍，則在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t變?yōu)橐?/p>

倍，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員落到斜面上的速度方向與水平方向夾角a

的正切值是位移方向與水平方向夾角9正切值的2倍，若H加倍，

則運(yùn)動(dòng)員落到斜面上的速度方向不變，其落到斜面上的速度大小U

二式7。不變?nèi)鬑加倍則運(yùn)動(dòng)員落到斜面上的速度大小變?yōu)檠?/p>

倍，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

國(guó)名師點(diǎn)睛處理平拋運(yùn)動(dòng)“一、二、三，，

尸、^根據(jù)題意，對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解.

判斷是分解速度還是分解位移

I

I

I

用邊角關(guān)系

^回用平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論

I命題角度2＞類平拋運(yùn)動(dòng)

【典例4］如圖所示，傾角0=45。、長(zhǎng)為L(zhǎng)的斜面處在豎直向下的勻

強(qiáng)電場(chǎng)中。第一次將一不帶電的小球從斜面頂端以速度vo水平向右

拋出，小球恰好落在斜面底端；第二次使小球帶上+q的電量，仍以

速度vo從斜面頂端水平向右拋出，小球恰落在斜面的中點(diǎn)處；若把

電場(chǎng)方向改為水平向左（場(chǎng)強(qiáng)大小不變），將小球第三次以速度vo從斜

面頂端水平向右拋出，小球也落在斜面上。不計(jì)空氣阻力，則小球在

第三次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.小球距離斜面的最遠(yuǎn)距離為專

B.小球的落點(diǎn)與斜面頂端的距離為華

C.小球落在斜面上時(shí)的速度仍為vo

D.小球受到的電場(chǎng)力大小是其重力大小的2倍

【解析】選C。第一次不帶電小球平拋：豎直方向Lsin9=1gt|z

水平方向Lcos0=voti,解得ti二穹；所以水平位移Lcos45°=voti

to

=vo?，解得3邛L；第二次帶電小球做類平拋，豎直方向;L

sin0=1（g+臂）t2，水平方向;Lcos0=vot2,聯(lián)立得qE=mg,第

三次小球的加速度a=&g,當(dāng)小球垂直斜面方向上速度減為0時(shí)離

(TV0)2@[

斜面最遠(yuǎn)d=2a二求=16，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；豎直

方向Usin0=|gti,水平方向Lios0=vot3-|,解得t3=

則Lsin9=|g(?A,Usin0=|g譚)2,可得U=號(hào)，末態(tài)水平方

向的速度為Vx=VO-gt3=0,豎直方向的速度為Vy=gt3=VO,因此此

時(shí)物體的速度為豎直向下為VO,選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確。

旦名師點(diǎn)睛類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法

常規(guī)分解將類平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂

法直于初速度方向（即沿合外力7邪］）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

對(duì)于有些問(wèn)題，可以對(duì)拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將

特殊分解

加速度a分解為ax、ay,初速度vo分解為vXxvyr然后分

法

別在x、y方向上列方程求解

“三類題特訓(xùn)1

1.（2021濱州二模）如圖所示,O點(diǎn)為正四面體OABC的頂點(diǎn),ABC

處在水平面上，D點(diǎn)為AB邊的中點(diǎn)。在。點(diǎn)沿不同方向水平拋出兩

個(gè)小球，甲球恰好落在A點(diǎn)，乙球恰好落在D點(diǎn)，空氣阻力不計(jì)。

則甲球和乙球平拋初速度大小的比為（）

A.2：1B.3：1C.3：2D.72：1

【解析】選A。設(shè)O在面ABC的投影點(diǎn)為O"由幾何知識(shí)可知加

Iv甲to'A

=2,由h/gt2可知兩球豎直位移相同，t相同，則有——二疏二

v乙t

V甲

2：1,可得一二2：1,A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

v乙

2.（多選）如圖所示，質(zhì)量相同的小球1、2從同一位置分別以初速度

VI、V2正對(duì)傾角為6的斜面水平拋出，已知小球1垂直撞在斜面上，

小球2到達(dá)斜面的位移最小。下列說(shuō)法正確的是（）

A.小球1、2的飛行時(shí)間之比為V1:2V2

B.小球1、2的飛行時(shí)間之比為vi：2^2V2

C小球1、2落至斜面時(shí)速度與水平方向夾角的正切值之比為1：V2

D.小球1、2落至斜面時(shí)速度與水平方向夾角的正切值之比為1:2

【解析】選A、D。小球1恰好垂直撞在斜面上，其速度與水平向的

夾角為（90。-0）,則tan（90°叫二田，小球2撞在斜面上，其位移

與水平方向的夾角為（90。-0）,其速度與水平方向的夾角為a,根據(jù)

位偏角正切值的二倍等于速度偏角的正切值，則tana=2tan（90°-0）

二獸，聯(lián)立解得段二毛；，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；小球1、2落至斜

tan（90°-9）

面時(shí)速度與水平方向夾角的正切值之比為一—7一二

tan(90°-9)二;，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

2tan(90°-0)

教師

專用【加固訓(xùn)練】

I.(2021.唐山一模)如圖所示，水平地面固定半徑為5m的四分之一

圓弧ABC,O為圓心。在圓心O右側(cè)同一水平線上某點(diǎn)水平向左拋

出一個(gè)小球，可視為質(zhì)點(diǎn)，恰好垂直擊中圓弧上的D點(diǎn)，D點(diǎn)到水

平地面的高度為2m,g取10m/s2,則小球的拋出速度大小是()

A.羋/s

mB.m/s

J,

C普m/sn皿/

D.—m/s

【解析】選C。小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則豎直分速度vy

"2ghED=AJ2X1()X(5-2)m/s=2^15m/s,垂直擊中D點(diǎn)，

速度反向延長(zhǎng)線過(guò)圓心，如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系，則有sin0=^，解得0=37。，則在D點(diǎn)分解

KJ

速度可得vo==“皆m/s,選項(xiàng)C正確。

2.如圖所示，半球形容器固定在水平地面上，開(kāi)口向上，AD為球

的水平直徑，O是球心，B是AO的中點(diǎn)，C是OD的中點(diǎn)。讓一個(gè)

小球先后從A、B、0、C四點(diǎn)沿AD方向水平向右拋出，則小球從

哪一點(diǎn)拋出可能垂直打在容器內(nèi)壁上（)

A.從A點(diǎn)拋出B.從B點(diǎn)拋出

C.從0點(diǎn)拋出D.從C點(diǎn)拋出

【解析】選B。如果小球拋出后能垂直打在容器內(nèi)壁上，則打在容器

內(nèi)壁上時(shí)小球速度的反向延長(zhǎng)線必過(guò)0點(diǎn)、且過(guò)水平位移的中點(diǎn)，

因此小球不可能從A、O、C點(diǎn)拋出，只可能從B點(diǎn)拋出,故B正確,

A、C、D錯(cuò)誤。

3.如圖所示，質(zhì)量為m帶電量為q的小物塊置于傾角為37。的長(zhǎng)為

L絕緣光滑斜面上,當(dāng)整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，小物

塊恰好靜止在斜面頂端。（重力加速度大小為g,sin37。=0.6,cos37°

=0.8）

⑴請(qǐng)判斷小物塊帶正電還是帶負(fù)電。

⑵請(qǐng)求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

⑶現(xiàn)將電場(chǎng)方向突然改為水平向右，而場(chǎng)強(qiáng)大小不變，請(qǐng)求出小物

塊到達(dá)斜面底端的時(shí)間。

【解析】（1）因?yàn)殡妶?chǎng)力方向向上與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反，所以小物塊

中貝電。

⑵平衡時(shí)重力等于電場(chǎng)力則有mg=Eq,

解得E二詈。

⑶改變電場(chǎng)方向后對(duì)小物塊受力分析，則在沿著斜面向下方向上

mgsin37°+qEcos37°=ma,

答案：（1）帶負(fù)電（2道（3）10L

高頻考向三圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律及應(yīng)用

?旦模型圖解

一、水平面上的圓周運(yùn)動(dòng)模型

圖例特點(diǎn)

年一申①豎直方向：受重力和支持力，_力

受力平衡，合力為零

②水平方向：受靜摩擦力（或靜摩擦

力、拉力的合力）的作用，且靜摩擦力

（或靜摩擦力、拉力的合力）提供物體做

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

〃4/〃人

具有相同的錐度角e,擺長(zhǎng)不同

力/、、、......…、

1

11\

\、//

…….一一一

具有相同的擺高、不同的擺長(zhǎng)和不同

的錐度角

◎提醒：向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、彈力、摩擦

力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分

析中要避免再另外添加一個(gè)向心力。

二、豎直平面上的圓周運(yùn)動(dòng)模型

項(xiàng)目最局）點(diǎn)無(wú)支撐最局）點(diǎn)有支撐

圖例

最局J

重力mg，彈力F彈向下或重力mg,彈力F彈向下、

點(diǎn)受

等十零向上或等十零

力

向心

V2V2

mg+F彈二m記mg±F彈=

力

恰好

F彈=0,v=dgR,在最mg=F彈，v=0,在最高

過(guò)最

高點(diǎn)速度不能為零點(diǎn)速度可為零

局J點(diǎn)

◎提醒：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般是變速圓周運(yùn)動(dòng)，只有重力做功

的豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒。

“三典題突破2

命題角度1＞水平面上的圓周運(yùn)動(dòng)

【典例5】（2021.濟(jì)南一模）小球a、b分別通過(guò)長(zhǎng)度相等的輕繩拴在O

點(diǎn)，給a、b恰當(dāng)速度，使兩小球分別在不同水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，已知兩小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終在同一以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，0a

與豎直面夾角為601Ob與豎直面夾角為30°,則a做圓周運(yùn)動(dòng)的周

期與b做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為（）

【解析】選C。對(duì)球受力分析如圖，

4兀2/4.jr~Lcos9

根據(jù)牛頓第二定律mgtan0=m翁Lsin0,解得T二寸?！?/p>

n5/12S602座

Tb\]cos30°\13,C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

縣名師點(diǎn)睛水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型解題流程

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和

圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)列方程

命題角度2＞豎直平面上的圓周運(yùn)動(dòng)

【典例6］（多選）如圖所示，帶有支架總質(zhì)量為M的小車靜止在水平

面上，質(zhì)量為m的小球通過(guò)輕質(zhì)細(xì)繩靜止懸掛在支架上的O點(diǎn),繩

長(zhǎng)為L(zhǎng),現(xiàn)給小球一初速度vo讓小球在豎直平面內(nèi)以0點(diǎn)為圓心做

圓周三動(dòng)，小球恰能通過(guò)最局）點(diǎn)A,其中A、C為圓周運(yùn)動(dòng)的最局點(diǎn)

和最低點(diǎn)，B、D與圓心。等高。小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車始終保持靜

止，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為go則下列說(shuō)法正確的是（）

o=V3gL

B.小球通過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)，地面對(duì)小車支持力大小為Mg+6mg

C.小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，小車受地面向左的摩擦力大小為2mg

D.小球通過(guò)D點(diǎn)時(shí)，小球處于失重狀態(tài)

【解析】選B、D。由題意小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)知A點(diǎn)速度Vi=VgL,

1

-mV2

A到C根據(jù)機(jī)械能守恒可得mgx2L二Tmvo21,解得C點(diǎn)速

度為vo=-\/5gL，小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)根據(jù)牛頓第二定律有F-mg=

,解得此時(shí)繩子拉力為6mg,通過(guò)對(duì)小車受力分析可得此時(shí)地

面支持力大小為Mg+6mg,選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；A點(diǎn)到B點(diǎn)，根

1

-mV2

據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgL=2mv221,解得B點(diǎn)速度為V2

=V3gL，小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，繩子拉力大小為3mg,所以小車受到向

左的摩擦力大小為3mg,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球通過(guò)D點(diǎn)時(shí)，小球有向

下的加速度，故小球處于失重狀態(tài)，選項(xiàng)D正確。

囪教3師專用毛?）0名師點(diǎn)睛豎直平面上的圓周運(yùn)動(dòng)模型解題流程

r——判斷是輕繩模型還是輕桿模

定模型一?

------型

對(duì)輕繩模型來(lái)說(shuō)小繩=Tgr

田上?是能否通過(guò)最高點(diǎn)的臨界

*確7>C臨t界點(diǎn)一

點(diǎn)；而對(duì)輕桿模型來(lái)說(shuō),FN

=0是臨界點(diǎn)

“通常情況下豎直平面內(nèi)的圓

研究狀態(tài)I一周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

、，對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)

受力分析|一進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第

二定律列出方程，F(xiàn)合=/向

v應(yīng)用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒

過(guò)程分析I一定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系

起來(lái)列方程

?三類題特訓(xùn)》

1.（多選）如圖所示,細(xì)繩的一端系著質(zhì)量為m的物體B,B上放一

質(zhì)量也為m的物體A,A和B一起放在表面光滑的轉(zhuǎn)盤上，細(xì)繩另

一端通過(guò)轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量仍為m的小球C,A、B、

C可看作質(zhì)點(diǎn)，A和B到。點(diǎn)的距離為R。，當(dāng)物體B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

為30時(shí)，A和B剛好沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

o

cO

A.A和B間的靜摩擦力為gmg

B.物體B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度30二就

C.若3o減小，當(dāng)系統(tǒng)再次穩(wěn)定后，A和B間的摩擦力大小不變

D.若3。減小，當(dāng)系統(tǒng)再次穩(wěn)定后，A和B間的摩擦力變大

【解析】選A、B、C。C物體平衡，繩的拉力F=mg,對(duì)A和B整

體用牛頓第二定律F=2ma，由于A和B剛好沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)

A運(yùn)用牛頓第二定律Ffm=ma,解得Ff,n=|mg,選項(xiàng)A正確；對(duì)A

和B有卜'=2m3]Ko,解得3。=Y金，選項(xiàng)B正確；若3（）減小，

系統(tǒng)再次穩(wěn)定時(shí)，繩的拉力不變，A和B間的摩擦力大小不變，選項(xiàng)

C正確，D錯(cuò)誤。

2.如圖（俯視圖），用自然長(zhǎng)度為lo,勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，將質(zhì)

量都是m的兩個(gè)小物塊P、Q連接在一起，放置在能繞O點(diǎn)在水平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，物塊P、Q和O點(diǎn)恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為21。的正

三角形。已知小物塊P、Q和圓盤間的最大靜摩擦力均為kloe現(xiàn)

使圓盤帶動(dòng)兩個(gè)物塊以不同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（）

B

E

.堂

S

S/

呂Q

A.當(dāng)物塊P、Q剛要滑動(dòng)時(shí),圓盤的角速度為3二弋而

B.當(dāng)圓盤的角速度為①二~篇時(shí)，圓盤對(duì)P的摩擦力最小

C.當(dāng)圓盤的角速度為3二'醫(yī)時(shí)，物塊Q受到的合力大小為孚

\lL111L

D.當(dāng)圓盤的角速度為⑴=、/罪時(shí)，圓盤對(duì)Q的摩擦力的大小等于

彈簧彈力的大小

【解析】選B。P、Q間的距離為210,而彈簧的原長(zhǎng)為10,故彈簧的

彈力為Fk二kx二kl“當(dāng)0)=\用時(shí),可得物塊隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)需要的

向心力為Fn二m①Di。=klo＜小klo，也為物體所受的合力,此時(shí)物體

和圓盤還未相對(duì)滑動(dòng)，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；當(dāng)3二'焉時(shí)，可得物塊

隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力為Fn=mco2-210=y，根據(jù)合力與分力構(gòu)成

的矢量三角形如圖所示，

Fk

-、S

此時(shí)靜摩擦力具有最小值為fmin=Fk-cos30°二2klo,選項(xiàng)B正確；

時(shí)，可得物塊隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力為Fn=m①2.21。

二竽，由力的三角形可知靜摩擦力不等于彈簧的彈力，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤。

3.如圖（甲）所示，一長(zhǎng)為1的輕繩，一端穿在過(guò)O點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上,

另一端固定一質(zhì)量未知的小球，整個(gè)裝置繞O