14.3角的平分線1.角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫作這個(gè)角的平分線.oBCA122.點(diǎn)到直線距離從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫作點(diǎn)到直線的距離.OPAB線段的長度復(fù)習(xí)提問1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì).2.提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問題的能力；掌握簡單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用.

不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？AOBC再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？對(duì)折

如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？

觀察下面簡易的平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎？BDACE【證明】

在△ACD和△ACB中,

AD=AB（已知）,

DC=BC（已知）,

CA=CA（公共邊）,∴△ACD≌△ACB（SSS）,∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.BDACE

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）尺規(guī)作角的平分線畫法：1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．2.分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部相交于點(diǎn)Ｃ．3.作射線OC．射線OC即為所求．OABNMC證明:連接MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中,

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠ＡＯＢ的平分線.為什么OC是∠AOB的平分線?OABNMC猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？證明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一點(diǎn)（已知），∴∠DＯP=∠BＯP（角平分線定義）.∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知），∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定義）.在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已證），∠ODP=∠OEP（已證），

OP=OP（已知），∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E，求證:PD=PE.PAOBCED12定理：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示為：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.PAOBCED12角的平分線的性質(zhì)如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）s【跟蹤訓(xùn)練】解：設(shè)OD=xm,則由題得=,解得x=0.025m,

即OD=2.5cm.

作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.DCs公路鐵路O已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．思考思考反過來，角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？證明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）．

在Rt△QDO和Rt△QEO中,

QO＝QO（公共邊）,

QD=QE,

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）,

∴∠QOD＝∠QOE,∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE,∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：例如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足分別為D、E、F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）,同理PE=PF,∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等.ABCMNPDEF怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)？例題分析(1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB,∴___________.(________________________________________)(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(________________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等【跟蹤訓(xùn)練】2.如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一層樓！2.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：本節(jié)主要內(nèi)容1.角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上,∴QD＝QE.用數(shù)學(xué)語言表示為：1.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.BAEDCF【解析】根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得DE=DF，再根據(jù)HL證明△BED≌△CFD,從而得到EB=FC.【證明】∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，

，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB＝FC．2.直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處【解析】由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處,在各自夾角的平分線上，即：A、B、C、D各一處.ADCBD3.如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：_______________，并給予證明.BDAEFC【解析】解法一：添加條件：AE＝AF.在△AED與△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）.解法二：添加條件：∠EDA