基本圈箭圖的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)剖析與分類研究一、引言1.1研究背景Hopf代數(shù)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一類極為重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，自誕生以來便在數(shù)學(xué)和物理的多個分支領(lǐng)域展現(xiàn)出了深刻且廣泛的應(yīng)用。它最初起源于上世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家HeinzHopf對代數(shù)拓?fù)涞难芯?，?jīng)過幾十年的發(fā)展，特別是20世紀(jì)80年代以來，隨著量子群這一特殊Hopf代數(shù)的發(fā)現(xiàn)，Hopf代數(shù)迅速成為代數(shù)學(xué)的核心研究領(lǐng)域之一。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它與代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何等多個分支緊密相連。例如在算子代數(shù)中，Hopf代數(shù)能夠作為某些擴(kuò)張的不變量，為研究算子代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供關(guān)鍵的視角；李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)和群代數(shù)本質(zhì)上都是Hopf代數(shù)的具體表現(xiàn)形式，這使得Hopf代數(shù)成為理解李代數(shù)和群代數(shù)相關(guān)理論的有力工具。在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域，Hopf代數(shù)同樣扮演著不可或缺的角色。物理學(xué)家Drinfeld和Jimbo利用Hopf代數(shù)的方法成功提供了量子Yang-Baxter方程的解，這一成果不僅在理論物理領(lǐng)域引發(fā)了巨大的反響，也使得Hopf代數(shù)在數(shù)學(xué)物理中的地位得到了進(jìn)一步的提升，他們也因這一杰出貢獻(xiàn)而獲得國際數(shù)學(xué)沃爾夫獎。這一事件充分彰顯了Hopf代數(shù)在解決量子物理中關(guān)鍵問題時的強(qiáng)大能力，也吸引了更多的數(shù)學(xué)和物理研究者投身于Hopf代數(shù)的研究中。由于Hopf代數(shù)能夠刻畫量子空間的對稱性，所以它也被形象地稱為量子群。對稱性在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中都具有核心地位，對量子空間對稱性的深入理解有助于我們更好地認(rèn)識微觀世界的物理規(guī)律以及解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。同群論一樣，對于Hopf代數(shù)而言，分類是一個首要且關(guān)鍵的問題。通過對Hopf代數(shù)進(jìn)行合理分類，我們可以更系統(tǒng)地研究其性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，揭示不同類型Hopf代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。目前，學(xué)者們已經(jīng)從多個角度對Hopf代數(shù)進(jìn)行了分類研究，例如根據(jù)結(jié)構(gòu)的類型，Hopf代數(shù)可以根據(jù)它們的環(huán)或體結(jié)構(gòu)來分類，其中環(huán)或體代表了Hopf代數(shù)上的加法或乘法；根據(jù)其復(fù)合結(jié)構(gòu)，可分為純代數(shù)Hopf代數(shù)（僅僅只有一個二元復(fù)合，加法和協(xié)同乘法并不相互配對）、群Hopf代數(shù)（二元復(fù)合通過群乘積進(jìn)行定義）以及代數(shù)-對稱代數(shù)Hopf代數(shù)（二元復(fù)合完全由代數(shù)和對稱代數(shù)幺元的產(chǎn)生進(jìn)行定義）；還可以根據(jù)它們的生成元進(jìn)行分類，單性質(zhì)的生成元導(dǎo)致簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而多性質(zhì)的生成元導(dǎo)致更復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)。此外，還有一些特殊類型的Hopf代數(shù)分類，如AbelHopf代數(shù)（加法是可交換的，乘法是非交換的）、β-Hopf代數(shù)（一種特殊的純代數(shù)Hopf代數(shù)，其中β是一個非零元）。在眾多研究Hopf代數(shù)的方法中，箭圖方法以其獨特的組合視角為Hopf代數(shù)的研究開辟了新的路徑。箭圖作為一種由頂點和有向邊組成的組合結(jié)構(gòu)，能夠直觀地表示代數(shù)結(jié)構(gòu)中的一些關(guān)鍵信息，如生成元和關(guān)系等。通過將Hopf代數(shù)與箭圖相結(jié)合，我們可以利用箭圖的組合性質(zhì)來研究Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)和分類問題。例如，通過考察箭圖的路代數(shù)和路余代數(shù)上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，能夠深入了解Hopf代數(shù)的一些內(nèi)在性質(zhì)。在有限箭圖中，路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的形式與Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，研究這些自同態(tài)和自同構(gòu)有助于確定Hopf代數(shù)的具體形式和分類?；救龍D作為一種特殊的箭圖，具有自身獨特的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。研究基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，不僅能夠豐富我們對Hopf代數(shù)分類的認(rèn)識，還可以為解決其他相關(guān)數(shù)學(xué)和物理問題提供新的思路和方法。例如，在量子場論中，一些量子系統(tǒng)的對稱性可能與基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)存在關(guān)聯(lián)，深入研究這種關(guān)聯(lián)有助于我們更好地理解量子場論中的相關(guān)現(xiàn)象和理論。同時，從數(shù)學(xué)角度來看，對基本圈箭圖上Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究也能夠推動代數(shù)表示論、非交換代數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。1.2研究目的與意義本研究聚焦于基本圈上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，旨在通過深入剖析基本圈箭圖的特性，結(jié)合表示論的組合方法，尤其是箭圖方法，確定有限箭圖上路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的一般形式，并在此基礎(chǔ)上考察與路余代數(shù)協(xié)調(diào)的乘法結(jié)構(gòu)，給出基本圈上構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件，從而完成基本圈上Hopf代數(shù)的分類。這一研究對于完善Hopf代數(shù)的分類理論具有重要意義，能夠進(jìn)一步豐富我們對Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)多樣性的認(rèn)識。在理論層面，Hopf代數(shù)理論體系的完善離不開對各種特殊情形下Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的深入研究?；救龍D作為一種具有獨特性質(zhì)的箭圖，其Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究是對Hopf代數(shù)理論的深化和拓展。通過確定基本圈上Hopf代數(shù)的具體形式和分類，能夠填補(bǔ)這一特定領(lǐng)域的研究空白，為Hopf代數(shù)理論提供更為細(xì)致和全面的內(nèi)容。例如，對有限箭圖上路余代數(shù)自同態(tài)與自同構(gòu)形式的確定，有助于我們從更微觀的角度理解Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律，為進(jìn)一步研究Hopf代數(shù)的同態(tài)、同構(gòu)等性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。在應(yīng)用方面，Hopf代數(shù)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用使得對其結(jié)構(gòu)的深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。量子場論中的一些量子系統(tǒng)，其對稱性的描述可能涉及到基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。通過本研究，能夠為這些量子系統(tǒng)的理論分析提供堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幫助物理學(xué)家更好地理解量子系統(tǒng)的內(nèi)在機(jī)制和行為規(guī)律。例如，在研究量子系統(tǒng)的相互作用和量子態(tài)的變換時，Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)信息可以為構(gòu)建相關(guān)的數(shù)學(xué)模型提供關(guān)鍵的依據(jù)，從而推動量子場論等相關(guān)理論的發(fā)展。1.3研究方法與創(chuàng)新點本研究采用表示論的組合方法，尤其是箭圖方法來探索基本圈上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。通過將Hopf代數(shù)的研究與箭圖相結(jié)合，利用箭圖的直觀性和組合性質(zhì)來分析Hopf代數(shù)的相關(guān)問題。具體而言，我們首先確定有限箭圖上路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的一般形式。路余代數(shù)作為箭圖相關(guān)的重要代數(shù)結(jié)構(gòu)，其自同態(tài)與自同構(gòu)的形式對于理解Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)具有關(guān)鍵作用。我們運用數(shù)學(xué)歸納法和線性代數(shù)的相關(guān)理論，對箭圖的頂點和邊進(jìn)行逐步分析，從而確定其自同態(tài)與自同構(gòu)的一般形式。在此基礎(chǔ)上，考察與路余代數(shù)協(xié)調(diào)的乘法結(jié)構(gòu)，給出構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件。我們從Hopf代數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合路余代數(shù)的性質(zhì)，通過對乘法結(jié)構(gòu)中各元素之間關(guān)系的深入研究，運用代數(shù)運算和邏輯推導(dǎo)，得出構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件。例如，在研究乘法結(jié)構(gòu)與余代數(shù)結(jié)構(gòu)的兼容性時，通過對余乘法和乘法的運算規(guī)則進(jìn)行細(xì)致分析，找出滿足兼容性的條件，進(jìn)而得到構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下兩個方面。一方面，在研究視角上，從基本圈箭圖這一獨特的角度出發(fā)研究Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，不同于以往對一般箭圖或其他代數(shù)結(jié)構(gòu)上Hopf代數(shù)的研究，為Hopf代數(shù)的分類提供了新的思路和方向。基本圈箭圖具有自身獨特的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，其Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究能夠豐富我們對Hopf代數(shù)多樣性的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)一些在一般情況下不易察覺的性質(zhì)和規(guī)律。另一方面，在研究方法的結(jié)合上具有創(chuàng)新性，將箭圖方法與表示論的組合方法緊密結(jié)合，充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢。箭圖方法能夠直觀地展示代數(shù)結(jié)構(gòu)中的信息，而表示論的組合方法則為研究代數(shù)結(jié)構(gòu)提供了豐富的工具和技巧，兩者的結(jié)合使得我們能夠更深入、全面地研究基本圈上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，這在以往的相關(guān)研究中較少見。二、Hopf代數(shù)與箭圖的基礎(chǔ)理論2.1Hopf代數(shù)的基本概念與性質(zhì)2.1.1Hopf代數(shù)的定義在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，Hopf代數(shù)是一種極為重要且具有豐富結(jié)構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)，它巧妙地融合了代數(shù)結(jié)構(gòu)與余代數(shù)結(jié)構(gòu)，并且滿足特定的相容條件。為了更深入、準(zhǔn)確地理解Hopf代數(shù)的定義，我們將從多個角度進(jìn)行詳細(xì)闡述。設(shè)H是域k上的向量空間，若H同時具備以下結(jié)構(gòu)，則稱H為域k上的Hopf代數(shù)：代數(shù)結(jié)構(gòu)：乘法運算：存在一個k-線性映射\mu:H\otimesH\toH，對于任意的a,b\inH，通常將\mu(a\otimesb)簡記為ab。這個乘法運算必須滿足結(jié)合律，即對于任意的a,b,c\inH，都有(ab)c=a(bc)。結(jié)合律保證了在進(jìn)行多次乘法運算時，運算順序的改變不會影響最終結(jié)果，這是代數(shù)結(jié)構(gòu)中乘法運算的一個基本且重要的性質(zhì)。例如，在普通的整數(shù)乘法中，(2\times3)\times4=2\times(3\times4)，這體現(xiàn)了結(jié)合律的特性。在Hopf代數(shù)中，這種結(jié)合律同樣起著關(guān)鍵作用，它使得代數(shù)運算具有良好的規(guī)律性和一致性。單位元：存在一個k-線性映射\eta:k\toH，記\eta(1)=1_{H}，這里的1_{H}被稱為H的單位元。單位元在乘法運算中具有特殊的地位，對于任意的a\inH，都有a1_{H}=1_{H}a=a。以實數(shù)域上的乘法為例，1就是乘法運算的單位元，任何實數(shù)乘以1都等于其本身。在Hopf代數(shù)中，單位元1_{H}也扮演著類似的角色，它是乘法運算的“中性元素”，保證了乘法運算的完整性和封閉性。余代數(shù)結(jié)構(gòu)：余乘法運算：存在一個k-線性映射\Delta:H\toH\otimesH，它被稱為余乘法。余乘法需要滿足余結(jié)合律，即(\Delta\otimesid)\Delta=(id\otimes\Delta)\Delta。這里的id表示恒等映射。余結(jié)合律是余代數(shù)結(jié)構(gòu)中的核心性質(zhì)之一，它類似于代數(shù)結(jié)構(gòu)中的結(jié)合律，但從對偶的角度來定義。余結(jié)合律確保了在對元素進(jìn)行余乘法運算時，不同的運算順序不會影響結(jié)果的一致性。例如，在一些具體的余代數(shù)模型中，對于元素x，無論先對\Delta(x)中的一部分進(jìn)行進(jìn)一步的余乘法運算，還是先對另一部分進(jìn)行運算，最終得到的結(jié)果都是相同的。余單位元：存在一個k-線性映射\epsilon:H\tok，被稱為余單位元。余單位元滿足(\epsilon\otimesid)\Delta=id=(id\otimes\epsilon)\Delta。余單位元在余代數(shù)結(jié)構(gòu)中起著類似于單位元在代數(shù)結(jié)構(gòu)中的作用，它為余乘法運算提供了一個“基準(zhǔn)”。例如，在某些情況下，通過余單位元可以將余乘法運算后的結(jié)果與原元素建立起聯(lián)系，使得余代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)更加完整和清晰。兼容性條件：乘法運算\mu和余乘法運算\Delta必須滿足兼容性條件，即\Delta(ab)=\Delta(a)\Delta(b)，這里\Delta(a)\Delta(b)是在H\otimesH上定義的乘法，對于a=\sum_{i}a_{i}\otimesb_{i}，b=\sum_{j}c_{j}\otimesd_{j}，有ab=\sum_{i,j}(a_{i}c_{j})\otimes(b_{i}d_{j})。這個兼容性條件是Hopf代數(shù)中代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)相互關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵紐帶，它使得兩個結(jié)構(gòu)能夠協(xié)同工作，共同構(gòu)成Hopf代數(shù)豐富而獨特的性質(zhì)。對極映射：還存在一個k-線性映射S:H\toH，稱為對極映射。對極映射滿足\mu(S\otimesid)\Delta(a)=\eta\epsilon(a)=\mu(id\otimesS)\Delta(a)，對于任意的a\inH。對極映射是Hopf代數(shù)定義中的一個重要組成部分，它在Hopf代數(shù)的理論研究和應(yīng)用中都具有特殊的意義。例如，在一些與量子群相關(guān)的研究中，對極映射與量子系統(tǒng)的某些對稱性和守恒量有著密切的聯(lián)系。從范疇論的角度來看，Hopf代數(shù)可以被視為一種特殊的雙代數(shù)，它在代數(shù)范疇和余代數(shù)范疇之間建立了一種獨特的聯(lián)系。這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的兼容性，還體現(xiàn)在態(tài)射的性質(zhì)上。Hopf代數(shù)同態(tài)作為保持Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的映射，在范疇論中扮演著重要的角色，它使得我們可以從更抽象的層面來研究Hopf代數(shù)之間的關(guān)系和性質(zhì)。2.1.2Hopf代數(shù)的重要性質(zhì)Hopf代數(shù)除了上述定義中所蘊含的基本結(jié)構(gòu)和條件外，還具有一系列重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)進(jìn)一步豐富和深化了我們對Hopf代數(shù)的理解，使其在數(shù)學(xué)和物理等多個領(lǐng)域展現(xiàn)出強(qiáng)大的理論價值和應(yīng)用潛力。對極映射的性質(zhì)：對極映射S是Hopf代數(shù)中一個具有特殊性質(zhì)的映射，它在許多理論和應(yīng)用中都起著關(guān)鍵作用。對極映射S是反代數(shù)同態(tài)和反余代數(shù)同態(tài)。這意味著對于任意的a,b\inH，有S(ab)=S(b)S(a)，這體現(xiàn)了對極映射在代數(shù)結(jié)構(gòu)上的反向乘法性質(zhì)。同時，\Delta(S(a))=(S\otimesS)\Delta^{op}(a)，這里\Delta^{op}(a)=\tau\Delta(a)，\tau是H\otimesH上的翻轉(zhuǎn)映射，即\tau(a\otimesb)=b\otimesa，這展示了對極映射在余代數(shù)結(jié)構(gòu)上的反向余乘法性質(zhì)。在一些具體的Hopf代數(shù)模型中，如群代數(shù)kG（G為群），對極映射S的反代數(shù)同態(tài)和反余代數(shù)同態(tài)性質(zhì)可以通過群元素的運算規(guī)則得到直觀的驗證。對于群元素g,h\inG，在群代數(shù)kG中，S(gh)=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}=S(h)S(g)，體現(xiàn)了反代數(shù)同態(tài)性質(zhì)；而對于余乘法\Delta(g)=g\otimesg，\Delta(S(g))=\Delta(g^{-1})=g^{-1}\otimesg^{-1}=(S\otimesS)\Delta^{op}(g)，體現(xiàn)了反余代數(shù)同態(tài)性質(zhì)。此外，當(dāng)H是有限維Hopf代數(shù)時，對極映射S是雙射。這一性質(zhì)在有限維Hopf代數(shù)的研究中具有重要意義，它使得我們可以利用對極映射的逆映射來進(jìn)行一些相關(guān)的運算和證明。例如，在研究有限維Hopf代數(shù)的表示理論時，對極映射的雙射性質(zhì)可以幫助我們建立不同表示之間的聯(lián)系，從而更好地理解Hopf代數(shù)的表示結(jié)構(gòu)。余乘法的結(jié)合性：余乘法\Delta的結(jié)合性是Hopf代數(shù)余代數(shù)結(jié)構(gòu)的核心性質(zhì)之一。前面已經(jīng)提到余結(jié)合律(\Delta\otimesid)\Delta=(id\otimes\Delta)\Delta，它確保了在對元素進(jìn)行多次余乘法運算時，運算順序的改變不會影響最終結(jié)果。從幾何直觀的角度來理解，我們可以將余乘法看作是對元素的一種“分解”操作，余結(jié)合律保證了這種分解操作的一致性和穩(wěn)定性。例如，在一些與量子空間相關(guān)的模型中，余乘法的結(jié)合性可以與量子態(tài)的疊加原理相關(guān)聯(lián)，不同的分解順序?qū)?yīng)著不同的測量方式，但最終得到的關(guān)于量子態(tài)的信息是一致的。在代數(shù)運算中，余結(jié)合律使得我們可以對余乘法進(jìn)行合理的運算和推導(dǎo)，為研究Hopf代數(shù)的其他性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。余單位元的性質(zhì)：余單位元\epsilon在Hopf代數(shù)中也具有獨特的性質(zhì)。對于任意的a\inH，(\epsilon\otimesid)\Delta(a)=a=(id\otimes\epsilon)\Delta(a)。這個性質(zhì)表明余單位元在余乘法運算中起到了類似于單位元在乘法運算中的作用，它可以將余乘法運算后的結(jié)果還原為原元素。從信息論的角度來看，余單位元可以被看作是一種“信息提取”的操作，它從余乘法運算所產(chǎn)生的信息中提取出與原元素相關(guān)的關(guān)鍵信息，使得我們在處理Hopf代數(shù)中的元素時，能夠始終保持與原元素的聯(lián)系。例如，在一些與量子信息處理相關(guān)的研究中，余單位元的這種性質(zhì)可以用于量子態(tài)的測量和信息提取，為量子信息的處理和傳輸提供了理論支持。二、Hopf代數(shù)與箭圖的基礎(chǔ)理論2.2箭圖及其相關(guān)代數(shù)結(jié)構(gòu)2.2.1箭圖的定義與基本術(shù)語箭圖作為一種重要的組合數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在代數(shù)表示論等領(lǐng)域有著廣泛且深入的應(yīng)用，為研究代數(shù)結(jié)構(gòu)提供了直觀且有效的工具。箭圖是一個四元組Q=(Q_0,Q_1,s,t)，其中Q_0是頂點集，Q_1是箭向集，s,t:Q_1\rightarrowQ_0分別是源點映射和終點映射。對于任意的\alpha\inQ_1，s(\alpha)表示箭向\alpha的起點，t(\alpha)表示箭向\alpha的終點。例如，給定一個簡單的箭圖Q，其頂點集Q_0=\{v_1,v_2\}，箭向集Q_1=\{\alpha\}，源點映射s(\alpha)=v_1，終點映射t(\alpha)=v_2，這就表示從頂點v_1到頂點v_2有一條有向邊\alpha。在箭圖中，還有一些重要的概念。從頂點i到頂點j長度為n的路是一個箭向序列p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}，滿足s(\alpha_{1})=i，t(\alpha_{n})=j，且t(\alpha_{k})=s(\alpha_{k+1})，k=1,2,\cdots,n-1。例如，在一個具有頂點v_1,v_2,v_3和箭向\alpha:v_1\rightarrowv_2，\beta:v_2\rightarrowv_3的箭圖中，p=\alpha\beta就是從頂點v_1到頂點v_3長度為2的路。特別地，對于每個頂點i\inQ_0，存在長度為0的路，記為e_i，它表示在頂點i處的“靜止”狀態(tài)，其源點和終點都是i，即s(e_i)=t(e_i)=i。路的乘法定義如下：設(shè)p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}是從頂點i到頂點j的路，q=\beta_{1}\beta_{2}\cdots\beta_{m}是從頂點j到頂點k的路，那么它們的乘積pq=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}\beta_{1}\beta_{2}\cdots\beta_{m}是從頂點i到頂點k的路。例如，若有從頂點v_1到頂點v_2的路p=\alpha，從頂點v_2到頂點v_3的路q=\beta，則pq=\alpha\beta是從頂點v_1到頂點v_3的路。若兩條路無法按照上述方式連接，即前一條路的終點與后一條路的起點不相同，則它們的乘積定義為0。2.2.2路代數(shù)與路余代數(shù)路代數(shù)和路余代數(shù)是與箭圖緊密相關(guān)的兩種重要代數(shù)結(jié)構(gòu)，它們從不同角度反映了箭圖的代數(shù)性質(zhì)，并且相互之間存在著深刻的聯(lián)系。路代數(shù)：設(shè)Q是一個箭圖，k是一個域。以Q中所有有限長路（包括長度為0的路）為k-基張成的k-向量空間，記為kQ。在kQ上定義乘法，使得路的乘法與前面定義的箭圖中讓路的乘法一致，并且線性擴(kuò)張到整個向量空間kQ上，即對于\sum_{i}a_{i}p_{i},\sum_{j}b_{j}q_{j}\inkQ（其中a_{i},b_{j}\ink，p_{i},q_{j}是路），有(\sum_{i}a_{i}p_{i})(\sum_{j}b_{j}q_{j})=\sum_{i,j}a_{i}b_{j}(p_{i}q_{j})。這樣得到的k-代數(shù)kQ就稱為箭圖Q的路代數(shù)。例如，對于前面提到的具有頂點v_1,v_2,v_3和箭向\alpha:v_1\rightarrowv_2，\beta:v_2\rightarrowv_3的箭圖，路代數(shù)kQ中的元素可以表示為k線性組合ae_{v_1}+be_{v_2}+ce_{v_3}+d\alpha+e\beta+f\alpha\beta（a,b,c,d,e,f\ink），其乘法運算根據(jù)路的乘法規(guī)則進(jìn)行，如(d\alpha)(e\beta)=de\alpha\beta。路代數(shù)kQ具有單位元，它是所有頂點處長度為0的路的和，即1_{kQ}=\sum_{i\inQ_0}e_i。這是因為對于任意的路p，若p的起點為i，則e_ip=p；若p的終點為j，則pe_j=p，所以\sum_{i\inQ_0}e_i與任意路相乘都等于該路本身，滿足單位元的定義。路代數(shù)kQ是結(jié)合代數(shù)，這是由于箭圖中讓路的乘法滿足結(jié)合律，而路代數(shù)中的乘法是基于路的乘法線性擴(kuò)張得到的，所以路代數(shù)的乘法也滿足結(jié)合律。路余代數(shù)：同樣設(shè)Q是箭圖，k是域。以Q中所有有限長路為k-基張成的k-向量空間，記為kQ^c。定義余乘法\Delta:kQ^c\rightarrowkQ^c\otimeskQ^c如下：對于任意的路p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}，\Delta(p)=\sum_{i=0}^{n}p_{(1,i)}\otimesp_{(2,n-i)}，其中p_{(1,i)}=\alpha_{1}\cdots\alpha_{i}（當(dāng)i=0時，p_{(1,0)}=e_{s(p)}），p_{(2,n-i)}=\alpha_{i+1}\cdots\alpha_{n}（當(dāng)i=n時，p_{(2,0)}=e_{t(p)}）。例如，對于路p=\alpha\beta（從頂點v_1經(jīng)\alpha到v_2，再經(jīng)\beta到v_3），\Delta(p)=e_{v_1}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{v_3}。定義余單位元\epsilon:kQ^c\rightarrowk為：\epsilon(p)=1，當(dāng)p是長度為0的路（即p=e_i，i\inQ_0）；\epsilon(p)=0，當(dāng)p是長度大于0的路。這樣定義的(kQ^c,\Delta,\epsilon)構(gòu)成了一個余代數(shù)，稱為箭圖Q的路余代數(shù)。路代數(shù)與路余代數(shù)的關(guān)系：路代數(shù)和路余代數(shù)在一定程度上是相互對偶的結(jié)構(gòu)。從向量空間的角度看，它們都是以箭圖的有限長路為基張成的向量空間，但在代數(shù)運算上，一個側(cè)重于乘法運算形成代數(shù)結(jié)構(gòu)，另一個側(cè)重于余乘法運算形成余代數(shù)結(jié)構(gòu)。在研究Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)時，路代數(shù)和路余代數(shù)的性質(zhì)相互影響。例如，在考察基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)時，路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的形式會對與路余代數(shù)協(xié)調(diào)的乘法結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的確定。2.3基本圈箭圖的特點2.3.1基本圈箭圖的定義基本圈箭圖作為一種特殊的箭圖，在研究Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)中具有獨特的地位。它是指具有特定結(jié)構(gòu)的箭圖，其頂點集和箭向集滿足一定的條件，且在圈的構(gòu)成上與一般箭圖存在明顯區(qū)別。具體而言，基本圈箭圖是一個箭圖Q=(Q_0,Q_1,s,t)，其中存在一個由箭向組成的圈，這個圈遍歷了部分或全部頂點，且圈上的箭向順序是固定的。與一般箭圖相比，一般箭圖可能包含多個不相連的子圖、不同長度和結(jié)構(gòu)的路徑以及復(fù)雜的箭向關(guān)系，而基本圈箭圖的結(jié)構(gòu)相對簡潔，其核心特征在于圈的存在和特定的箭向構(gòu)成。例如，對于一個具有n個頂點的基本圈箭圖，可能存在一條由n個箭向依次連接這n個頂點的圈，形成一個封閉的路徑。這種特殊的結(jié)構(gòu)使得基本圈箭圖在代數(shù)表示論中具有獨特的性質(zhì)，能夠為研究Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)提供特定的視角和方法。在研究路余代數(shù)和路代數(shù)的性質(zhì)時，基本圈箭圖的圈結(jié)構(gòu)會對路的定義、乘法運算以及余乘法運算產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的確定。2.3.2基本圈箭圖的特殊性質(zhì)頂點性質(zhì)：在基本圈箭圖中，頂點具有特殊的連接關(guān)系和地位。由于存在圈結(jié)構(gòu)，每個頂點至少與圈上的兩個箭向相關(guān)聯(lián)，即每個頂點至少是一個箭向的起點和另一個箭向的終點。這種連接方式使得頂點在路的構(gòu)成中具有重要作用。例如，在一個簡單的三角形基本圈箭圖中，每個頂點都與兩條箭向相連，從任意一個頂點出發(fā)，通過圈上的箭向可以到達(dá)其他所有頂點，這與一般箭圖中頂點的連接方式和可達(dá)性有明顯區(qū)別。在一般箭圖中，可能存在孤立頂點或者某些頂點之間無法通過直接路徑到達(dá)。箭向性質(zhì)：基本圈箭圖的箭向構(gòu)成了一個封閉的圈，這是其最顯著的特征之一。箭向的方向和順序是固定的，沿著圈的方向可以形成唯一的循環(huán)路徑。例如，在一個具有順時針方向箭向的基本圈箭圖中，從圈上的任意一個箭向出發(fā)，按照順時針方向依次經(jīng)過其他箭向，最終會回到起始箭向的起點。這種箭向的固定性和循環(huán)性對路的定義和乘法運算產(chǎn)生了重要影響。在定義路時，圈上的箭向順序決定了路的方向和長度，不同方向的路在基本圈箭圖中具有不同的性質(zhì)。在路的乘法運算中，由于箭向的固定性，只有滿足箭向連接條件的路才能進(jìn)行乘法運算，這與一般箭圖中箭向關(guān)系較為靈活的情況不同。路的構(gòu)成性質(zhì)：基本圈箭圖上路的構(gòu)成具有獨特的規(guī)律。除了長度為0的路（即頂點處的靜止路）外，長度大于0的路主要由圈上的箭向組成。從某個頂點出發(fā)，沿著圈的方向可以形成不同長度的路，這些路的長度與圈的周長以及箭向的數(shù)量有關(guān)。例如，在一個周長為m的基本圈箭圖中，從某頂點出發(fā)，長度為k（1\leqk\leqm）的路就是由圈上連續(xù)的k個箭向組成。而且，由于圈的存在，對于長度大于圈周長的路，可以通過圈的循環(huán)來理解和表示。例如，長度為m+n（n\geq1）的路，可以看作是先沿著圈完整地走n圈，再加上長度為m的路。這種路的構(gòu)成性質(zhì)與一般箭圖中復(fù)雜多樣的路的構(gòu)成方式不同，使得基本圈箭圖在研究路余代數(shù)和路代數(shù)的性質(zhì)時具有獨特的方法和結(jié)論。三、基本圈上路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)3.1自同態(tài)與自同構(gòu)的一般形式推導(dǎo)3.1.1基于線性變換的分析從線性變換的角度出發(fā)，設(shè)Q為基本圈箭圖，kQ^c是其路余代數(shù)。對于kQ^c上的線性變換\varphi:kQ^c\rightarrowkQ^c，由于kQ^c是以Q中所有有限長路為k-基張成的k-向量空間，所以\varphi完全由它在這些基元素（即路）上的作用所確定。對于長度為0的路，即頂點e_i（i\inQ_0），\varphi(e_i)可以表示為kQ^c中基元素的線性組合，即\varphi(e_i)=\sum_{j\inQ_0}a_{ij}e_j+\sum_{p\inQ^c_{>0}}b_{ip}p，其中a_{ij},b_{ip}\ink，Q^c_{>0}表示長度大于0的路的集合。對于長度大于0的路p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}，\varphi(p)同樣可以表示為kQ^c中基元素的線性組合\varphi(p)=\sum_{q\inQ^c}c_{pq}q，c_{pq}\ink?？紤]到自同態(tài)需要保持路余代數(shù)的結(jié)構(gòu)，對于余乘法\Delta:kQ^c\rightarrowkQ^c\otimeskQ^c，有\(zhòng)varphi\otimes\varphi\circ\Delta=\Delta\circ\varphi。以長度為1的路\alpha為例，\Delta(\alpha)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{t(\alpha)}，則(\varphi\otimes\varphi)\Delta(\alpha)=\varphi(e_{s(\alpha)})\otimes\varphi(\alpha)+\varphi(\alpha)\otimes\varphi(e_{t(\alpha)})，\Delta\varphi(\alpha)=\sum_{q\inQ^c}c_{\alphaq}\Delta(q)。通過比較這兩個式子中基元素的系數(shù)，可以得到關(guān)于c_{\alphaq}以及\varphi(e_{s(\alpha)})和\varphi(e_{t(\alpha)})中系數(shù)的一些等式關(guān)系。3.1.2結(jié)合箭圖結(jié)構(gòu)的確定結(jié)合基本圈箭圖的結(jié)構(gòu)特點，由于基本圈箭圖存在一個由箭向組成的圈，圈上的頂點和箭向具有特殊的連接關(guān)系。對于圈上的頂點i，長度為0的路e_i在自同態(tài)\varphi下的像\varphi(e_i)，根據(jù)基本圈箭圖的對稱性和路余代數(shù)的性質(zhì)，\varphi(e_i)只能是與i在圈上具有相同“地位”的頂點對應(yīng)的長度為0的路的線性組合，即\varphi(e_i)=\sum_{j\inC}a_{ij}e_j，其中C是圈上頂點的集合。對于圈上的路p，設(shè)圈的長度為m，路p的長度為n（1\leqn\leqm）。由于圈的循環(huán)性，自同構(gòu)\varphi對路p的作用可以通過圈的旋轉(zhuǎn)和縮放來實現(xiàn)。例如，當(dāng)\varphi是自同構(gòu)時，\varphi(p)也是圈上的一條路，且長度與p相同或者是p在圈上經(jīng)過若干次循環(huán)后的路。具體來說，存在一個整數(shù)k（0\leqk\leqm-1），使得\varphi(p)是從p的起點沿著圈移動k個箭向后得到的路。通過以上對基本圈箭圖結(jié)構(gòu)特點的分析，并結(jié)合路余代數(shù)的自同態(tài)和自同構(gòu)需要滿足的條件，可以確定基本圈箭圖上路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的最終一般形式。對于自同態(tài)\varphi，在長度為0的路上，\varphi(e_i)=\sum_{j\inC}a_{ij}e_j；在長度大于0的路上，\varphi(p)是由p在圈上經(jīng)過一定的變換（如旋轉(zhuǎn)、縮放等）后得到的路的線性組合。對于自同構(gòu)\varphi，除了滿足自同態(tài)的條件外，還要求\varphi是雙射，即存在逆映射\varphi^{-1}，且\varphi^{-1}也滿足自同構(gòu)的條件，這進(jìn)一步限制了\varphi在路余代數(shù)上的作用形式。3.2自同態(tài)與自同構(gòu)的性質(zhì)研究3.2.1運算性質(zhì)在基本圈箭圖Q的路余代數(shù)kQ^c中，自同態(tài)和自同構(gòu)在復(fù)合運算下表現(xiàn)出特定的性質(zhì)。設(shè)\varphi,\psi是kQ^c的自同態(tài)，對于任意的路p\inkQ^c，復(fù)合運算\varphi\circ\psi同樣是kQ^c的自同態(tài)。這是因為對于余乘法\Delta，有(\varphi\circ\psi)\otimes(\varphi\circ\psi)\circ\Delta=(\varphi\otimes\varphi)\circ(\psi\otimes\psi)\circ\Delta=(\varphi\otimes\varphi)\circ\Delta\circ\psi=\Delta\circ(\varphi\circ\psi)，滿足自同態(tài)保持余乘法結(jié)構(gòu)的條件。例如，若\varphi將路p映射為\sum_{i}a_{i}q_{i}，\psi將路q_{i}映射為\sum_{j}b_{ij}r_{j}，則\varphi\circ\psi(p)=\sum_{i}a_{i}\sum_{j}b_{ij}r_{j}，且在余乘法下的運算關(guān)系依然成立。對于加法運算，若\varphi,\psi是kQ^c的自同態(tài)，\varphi+\psi（定義為(\varphi+\psi)(p)=\varphi(p)+\psi(p)，p\inkQ^c）不一定是自同態(tài)。因為(\varphi+\psi)\otimes(\varphi+\psi)\circ\Delta展開后為\varphi\otimes\varphi\circ\Delta+\varphi\otimes\psi\circ\Delta+\psi\otimes\varphi\circ\Delta+\psi\otimes\psi\circ\Delta，而\Delta\circ(\varphi+\psi)=\Delta\circ\varphi+\Delta\circ\psi，一般情況下\varphi\otimes\psi\circ\Delta+\psi\otimes\varphi\circ\Delta\neq0，所以\varphi+\psi不滿足自同態(tài)保持余乘法結(jié)構(gòu)的條件。只有在特殊情況下，如\varphi和\psi滿足一定的交換關(guān)系時，\varphi+\psi才可能是自同態(tài)。對于自同構(gòu)\varphi,\psi，它們的復(fù)合\varphi\circ\psi也是自同構(gòu)。這是因為自同構(gòu)是雙射，且保持路余代數(shù)的結(jié)構(gòu)，復(fù)合后的映射依然是雙射且保持結(jié)構(gòu)。其逆映射為(\varphi\circ\psi)^{-1}=\psi^{-1}\circ\varphi^{-1}，這可以通過驗證(\varphi\circ\psi)\circ(\psi^{-1}\circ\varphi^{-1})=id和(\psi^{-1}\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\psi)=id得到，其中id是kQ^c上的恒等映射。3.2.2與路余代數(shù)結(jié)構(gòu)的兼容性自同態(tài)和自同構(gòu)與路余代數(shù)的余乘法和余單位具有緊密的兼容性。對于自同態(tài)\varphi和余乘法\Delta，前面已經(jīng)提到\varphi\otimes\varphi\circ\Delta=\Delta\circ\varphi，這表明自同態(tài)在對元素進(jìn)行映射時，保持了元素的余乘法結(jié)構(gòu)。例如，對于長度為2的路p=\alpha\beta（\alpha,\beta是箭向），\Delta(p)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\beta)}，\varphi(\Delta(p))=\varphi(e_{s(\alpha)})\otimes\varphi(\alpha\beta)+\varphi(\alpha)\otimes\varphi(\beta)+\varphi(\alpha\beta)\otimes\varphi(e_{t(\beta)})，\Delta(\varphi(p))經(jīng)過計算也得到相同的結(jié)果，體現(xiàn)了自同態(tài)與余乘法的兼容性。對于余單位\epsilon，自同態(tài)\varphi滿足\epsilon\circ\varphi=\epsilon。這是因為余單位\epsilon的作用是將長度為0的路（即頂點）映射為1，將長度大于0的路映射為0，而自同態(tài)\varphi在保持路余代數(shù)結(jié)構(gòu)的同時，對于長度為0的路的映射依然保持其在余單位下的性質(zhì)，對于長度大于0的路也保持其在余單位下映射為0的性質(zhì)。例如，若e_i是長度為0的路，\varphi(e_i)=\sum_{j\inQ_0}a_{ij}e_j，則\epsilon(\varphi(e_i))=\sum_{j\inQ_0}a_{ij}\epsilon(e_j)=a_{ii}=1=\epsilon(e_i)；若p是長度大于0的路，\varphi(p)是長度大于0的路的線性組合，所以\epsilon(\varphi(p))=0=\epsilon(p)。自同構(gòu)作為特殊的自同態(tài)，同樣滿足與余乘法和余單位的兼容性條件。并且由于自同構(gòu)是雙射，它在保持路余代數(shù)結(jié)構(gòu)的同時，還能夠通過逆映射將改變后的結(jié)構(gòu)還原，進(jìn)一步體現(xiàn)了其與路余代數(shù)結(jié)構(gòu)的緊密聯(lián)系和良好的兼容性。四、與路余代數(shù)協(xié)調(diào)的乘法結(jié)構(gòu)4.1乘法結(jié)構(gòu)的初步探討4.1.1可能的乘法形式設(shè)想基于路余代數(shù)的特性，我們對可能的乘法形式展開深入設(shè)想。由于路余代數(shù)是以箭圖的有限長路為基張成的向量空間，其乘法結(jié)構(gòu)需要與路的性質(zhì)相契合。一種可能的乘法形式是基于路的連接操作?？紤]到箭圖中不同長度的路，對于兩條路p和q，若它們的連接滿足箭圖的結(jié)構(gòu)規(guī)則，即p的終點與q的起點相同，我們可以定義它們的乘積pq為從p的起點出發(fā)，依次經(jīng)過p和q所形成的新的路。例如，在一個具有頂點v_1,v_2,v_3和箭向\alpha:v_1\rightarrowv_2，\beta:v_2\rightarrowv_3的箭圖中，若p=\alpha，q=\beta，則pq=\alpha\beta，這與箭圖中讓路的乘法定義一致。從結(jié)合律的角度來看，這種基于路連接的乘法形式需要滿足結(jié)合律。對于三條路p,q,r，若p的終點與q的起點相同，q的終點與r的起點相同，那么(pq)r和p(qr)都應(yīng)該表示從p的起點出發(fā)，依次經(jīng)過p,q,r所形成的路。例如，若存在路r:\beta\rightarrowv_4，則(\alpha\beta)r=\alpha(\betar)=\alpha\betar，這表明這種乘法形式在滿足路的連接條件下，結(jié)合律是成立的。在單位元的設(shè)想方面，根據(jù)代數(shù)結(jié)構(gòu)中單位元的定義，對于任意路p，單位元e應(yīng)滿足pe=ep=p。在路余代數(shù)中，長度為0的路（即頂點處的靜止路）e_i（i\inQ_0）具有類似單位元的性質(zhì)。對于從頂點i出發(fā)的路p，pe_i=p；對于以頂點i為終點的路p，e_ip=p。因此，我們可以設(shè)想所有頂點處長度為0的路的和\sum_{i\inQ_0}e_i作為路余代數(shù)乘法結(jié)構(gòu)中的單位元。例如，在一個包含頂點v_1,v_2的箭圖中，對于從v_1出發(fā)的路p，p(e_{v_1}+e_{v_2})=pe_{v_1}+pe_{v_2}=p+0=p；對于以v_2為終點的路p，(e_{v_1}+e_{v_2})p=e_{v_1}p+e_{v_2}p=0+p=p，這驗證了\sum_{i\inQ_0}e_i作為單位元的合理性。4.1.2與路余代數(shù)的初步協(xié)調(diào)分析接下來，我們對上述設(shè)想的乘法形式與路余代數(shù)結(jié)構(gòu)的初步協(xié)調(diào)情況進(jìn)行深入分析。首先，考慮乘法與余乘法的相互作用。對于路余代數(shù)中的余乘法\Delta:kQ^c\rightarrowkQ^c\otimeskQ^c，對于路p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}，\Delta(p)=\sum_{i=0}^{n}p_{(1,i)}\otimesp_{(2,n-i)}。當(dāng)我們考慮乘法pq（p,q為路）時，根據(jù)余乘法的性質(zhì)，\Delta(pq)與\Delta(p)和\Delta(q)之間應(yīng)該存在某種協(xié)調(diào)關(guān)系。假設(shè)p和q滿足連接條件，即t(p)=s(q)。我們來分析\Delta(pq)與\Delta(p)\Delta(q)（這里\Delta(p)\Delta(q)是在kQ^c\otimeskQ^c上定義的乘法）的關(guān)系。\Delta(pq)=\sum_{j=0}^{n+m}(pq)_{(1,j)}\otimes(pq)_{(2,n+m-j)}，其中n,m分別為p,q的長度。而\Delta(p)\Delta(q)=(\sum_{i=0}^{n}p_{(1,i)}\otimesp_{(2,n-i)})(\sum_{k=0}^{m}q_{(1,k)}\otimesq_{(2,m-k)})。通過展開并比較兩者中基元素的系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)p和q的余乘法滿足一定的分配規(guī)則時，\Delta(pq)=\Delta(p)\Delta(q)。具體來說，對于\Delta(p)\Delta(q)展開式中的每一項p_{(1,i)}\otimesp_{(2,n-i)}q_{(1,k)}\otimesq_{(2,m-k)}，當(dāng)p_{(2,n-i)}和q_{(1,k)}能夠連接時，它們的連接結(jié)果應(yīng)與(pq)_{(1,i+k)}和(pq)_{(2,n+m-(i+k))}相對應(yīng)。例如，若p=\alpha，q=\beta，\Delta(\alpha)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{t(\alpha)}，\Delta(\beta)=e_{s(\beta)}\otimes\beta+\beta\otimese_{t(\beta)}，\Delta(\alpha\beta)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\beta)}，\Delta(\alpha)\Delta(\beta)=(e_{s(\alpha)}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{t(\alpha)})(e_{s(\beta)}\otimes\beta+\beta\otimese_{t(\beta)})，展開后只有當(dāng)e_{t(\alpha)}=e_{s(\beta)}（即\alpha和\beta能夠連接）時，\Delta(\alpha)\Delta(\beta)中對應(yīng)項的連接結(jié)果才能與\Delta(\alpha\beta)一致。對于余單位\epsilon:kQ^c\rightarrowk，乘法結(jié)構(gòu)也需要與之協(xié)調(diào)。根據(jù)余單位的性質(zhì)，對于長度為0的路e_i，\epsilon(e_i)=1；對于長度大于0的路p，\epsilon(p)=0。對于乘法pq，若pq的長度為0，則\epsilon(pq)=1，此時要求p和q都為長度為0的路，且\epsilon(p)\epsilon(q)=1\times1=1，滿足協(xié)調(diào)條件；若pq的長度大于0，則\epsilon(pq)=0，此時p和q至少有一個長度大于0，那么\epsilon(p)\epsilon(q)=0\times1=0或1\times0=0或0\times0=0，也滿足協(xié)調(diào)條件。這表明在余單位方面，設(shè)想的乘法結(jié)構(gòu)與路余代數(shù)是初步協(xié)調(diào)的。4.2構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件分析4.2.1充分條件的推導(dǎo)從乘法與余乘法的關(guān)系出發(fā)，若對于基本圈箭圖Q的路余代數(shù)kQ^c上的乘法\mu和余乘法\Delta，滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)（對于任意的路p,q\inkQ^c），這是構(gòu)成Hopf代數(shù)的一個關(guān)鍵條件。以長度為1的路\alpha和\beta為例（假設(shè)\alpha的終點與\beta的起點相同，使得\alpha\beta有定義），\Delta(\alpha)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{t(\alpha)}，\Delta(\beta)=e_{s(\beta)}\otimes\beta+\beta\otimese_{t(\beta)}，\Delta(\alpha\beta)=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\beta)}。若要滿足\Delta(\alpha\beta)=\Delta(\alpha)\Delta(\beta)，則\Delta(\alpha)\Delta(\beta)=(e_{s(\alpha)}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{t(\alpha)})(e_{s(\beta)}\otimes\beta+\beta\otimese_{t(\beta)})展開后應(yīng)與\Delta(\alpha\beta)一致。展開\Delta(\alpha)\Delta(\beta)得到e_{s(\alpha)}e_{s(\beta)}\otimes\alpha\beta+e_{s(\alpha)}\beta\otimes\alphae_{t(\beta)}+\alphae_{s(\beta)}\otimese_{t(\alpha)}\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\alpha)}e_{t(\beta)}。由于e_{t(\alpha)}=e_{s(\beta)}（根據(jù)路的連接條件），所以e_{s(\alpha)}e_{s(\beta)}\otimes\alpha\beta+e_{s(\alpha)}\beta\otimes\alphae_{t(\beta)}+\alphae_{s(\beta)}\otimese_{t(\alpha)}\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\alpha)}e_{t(\beta)}=e_{s(\alpha)}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{t(\beta)}=\Delta(\alpha\beta)，這表明當(dāng)乘法和余乘法滿足這種關(guān)系時，在路的層面上保持了結(jié)構(gòu)的一致性。對于對極映射S，若滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)（對于任意的路p\inkQ^c），則進(jìn)一步滿足Hopf代數(shù)的條件。對于長度為0的路e_i，\epsilon(e_i)=1，\eta(1)=e_i（這里\eta是單位元映射），\Delta(e_i)=e_i\otimese_i，則\mu(S\otimesid)\Delta(e_i)=\mu(S(e_i)\otimese_i)=S(e_i)e_i，\mu(id\otimesS)\Delta(e_i)=\mu(e_i\otimesS(e_i))=e_iS(e_i)，要使\mu(S\otimesid)\Delta(e_i)=\eta\epsilon(e_i)=e_i，則S(e_i)=e_i。對于長度大于0的路p=\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}，通過對\Delta(p)的展開和對極映射的作用進(jìn)行分析，若能滿足上述等式關(guān)系，則表明對極映射與乘法、余乘法以及余單位元之間具有良好的協(xié)調(diào)性。綜上所述，當(dāng)乘法與余乘法滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)，對極映射S滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)時，基本圈箭圖的路余代數(shù)上的結(jié)構(gòu)滿足Hopf代數(shù)的定義，是構(gòu)成Hopf代數(shù)的充分條件。4.2.2必要條件的論證采用反證法來論證這些條件對于構(gòu)成Hopf代數(shù)的必要性。假設(shè)存在一個基本圈箭圖Q，其路余代數(shù)kQ^c上的結(jié)構(gòu)構(gòu)成Hopf代數(shù)，但不滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)。設(shè)存在路p和q，使得\Delta(\mu(p\otimesq))\neq\Delta(p)\Delta(q)。從Hopf代數(shù)的定義來看，乘法和余乘法的兼容性是其重要特征之一。若不滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)，則在余乘法對乘法結(jié)果的作用上出現(xiàn)了不一致性。例如，在研究Hopf代數(shù)的表示理論時，這種不一致性會導(dǎo)致在構(gòu)造表示空間和表示映射時出現(xiàn)矛盾。因為在Hopf代數(shù)的表示中，乘法和余乘法的兼容性是保證表示的合理性和一致性的基礎(chǔ)。若\Delta(\mu(p\otimesq))\neq\Delta(p)\Delta(q)，那么對于同一個元素在不同的運算順序下會得到不同的結(jié)果，這與Hopf代數(shù)的理論體系相矛盾，無法構(gòu)建出符合Hopf代數(shù)性質(zhì)的表示。再假設(shè)對極映射S不滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)。Hopf代數(shù)的對極映射在許多重要性質(zhì)中起著關(guān)鍵作用，如在證明Hopf代數(shù)的一些同構(gòu)定理和結(jié)構(gòu)定理時，對極映射的這個性質(zhì)是不可或缺的。若不滿足該條件，在證明這些定理時會出現(xiàn)邏輯漏洞。例如，在證明Hopf代數(shù)的對極映射的雙射性與Hopf代數(shù)的其他結(jié)構(gòu)性質(zhì)之間的關(guān)系時，若對極映射不滿足上述條件，就無法從Hopf代數(shù)的定義和已知性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出對極映射的雙射性，進(jìn)而影響到對Hopf代數(shù)整體結(jié)構(gòu)的理解和研究。所以，滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)以及對極映射S滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)是基本圈箭圖的路余代數(shù)上的結(jié)構(gòu)構(gòu)成Hopf代數(shù)的必要條件。五、基本圈上Hopf代數(shù)的分類5.1分類的依據(jù)與方法5.1.1基于充要條件的分類思路在對基本圈上的Hopf代數(shù)進(jìn)行分類時，我們主要依據(jù)前面所推導(dǎo)得出的構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件。充分條件要求乘法與余乘法滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)，這確保了乘法和余乘法在運算過程中的一致性和協(xié)調(diào)性，使得代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)能夠相互兼容。例如，對于基本圈箭圖中的路p和q，當(dāng)它們進(jìn)行乘法運算\mu(p\otimesq)后，再對結(jié)果進(jìn)行余乘法\Delta操作，其結(jié)果應(yīng)與分別對p和q進(jìn)行余乘法后再進(jìn)行乘法運算\Delta(p)\Delta(q)的結(jié)果相同。這一條件從代數(shù)運算的角度，保證了Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的完整性和合理性。對極映射S滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)，這是充分條件的另一個重要方面。對極映射在Hopf代數(shù)中具有特殊的作用，它與乘法、余乘法以及余單位元之間的這種關(guān)系，使得Hopf代數(shù)在各種運算下保持特定的性質(zhì)。以\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)為例，它表明對極映射S與乘法\mu、余乘法\Delta以及余單位元\epsilon相互作用時，能夠產(chǎn)生與單位元映射\eta相關(guān)的特定結(jié)果，從而體現(xiàn)了對極映射在Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵地位。必要條件的論證采用反證法，假設(shè)不滿足這些條件會導(dǎo)致與Hopf代數(shù)定義相矛盾的結(jié)果。若不滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)，在Hopf代數(shù)的表示理論中，會出現(xiàn)同一個元素在不同運算順序下得到不同結(jié)果的情況，這與Hopf代數(shù)的理論體系相矛盾，無法構(gòu)建出符合Hopf代數(shù)性質(zhì)的表示。因為在表示理論中，元素的運算結(jié)果應(yīng)該是唯一確定的，且滿足Hopf代數(shù)的各種結(jié)構(gòu)性質(zhì)，而這種不一致性破壞了表示的合理性和一致性。從這些充要條件出發(fā)，我們可以對基本圈上的Hopf代數(shù)進(jìn)行分類。對于滿足上述充要條件的不同形式的乘法結(jié)構(gòu)、余乘法結(jié)構(gòu)以及對極映射，我們可以將其歸為一類Hopf代數(shù)。通過分析不同基本圈箭圖的結(jié)構(gòu)特點，以及在這些箭圖上的路余代數(shù)和路代數(shù)的性質(zhì)，確定不同的乘法、余乘法和對極映射的組合形式，從而實現(xiàn)對基本圈上Hopf代數(shù)的分類。例如，對于具有不同頂點數(shù)和箭向數(shù)的基本圈箭圖，其路余代數(shù)和路代數(shù)的運算規(guī)則會有所不同，進(jìn)而導(dǎo)致滿足充要條件的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)也不同，我們可以根據(jù)這些差異進(jìn)行分類。5.1.2結(jié)合表示型的分類方法為了更深入地對基本圈上的Hopf代數(shù)進(jìn)行分類，我們引入表示型的概念。表示型是有限維代數(shù)表示理論中的一個重要概念，它反映了代數(shù)表示的一些本質(zhì)特征。對于基本圈上的Hopf代數(shù)，我們通過為每一個基本Hopf代數(shù)H配備一個被稱為表示型數(shù)的數(shù)n_H來確定其表示型。當(dāng)n_H=0或n_H=1時，H是有限型。有限型的Hopf代數(shù)在表示上具有相對簡單的結(jié)構(gòu)，其不可分解表示的數(shù)量是有限的。例如，在一些簡單的基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)，如果其表示型數(shù)滿足n_H=0或n_H=1，那么它的不可分解表示可能只包含幾個特定的形式，這些表示之間的關(guān)系也相對清晰。若n_H=2，則H是Tame型。Tame型的Hopf代數(shù)在表示上比有限型更為復(fù)雜，但其不可分解表示可以通過一些參數(shù)化的族來描述。對于基本圈上的Tame型Hopf代數(shù)，其不可分解表示可能依賴于一些參數(shù)，通過對這些參數(shù)的研究，可以了解其表示的多樣性和變化規(guī)律。當(dāng)n_H\geq3時，H是Wild型。Wild型的Hopf代數(shù)表示最為復(fù)雜，其不可分解表示的分類是一個非常困難的問題。在基本圈上的Wild型Hopf代數(shù)中，不可分解表示的形式繁多，且相互之間的關(guān)系復(fù)雜，目前對其完整分類還存在很大的挑戰(zhàn)。結(jié)合表示型對基本圈上的Hopf代數(shù)進(jìn)行分類，我們可以將具有相同表示型的Hopf代數(shù)歸為一類。對于有限型的基本圈上Hopf代數(shù)，根據(jù)其是否半單以及基礎(chǔ)域的特征進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)分。如果H是半單的，則H同構(gòu)于一個群代數(shù)的對偶；如果H是非半單的并且基礎(chǔ)域的特征是0，則H同構(gòu)于一個所謂Andruskiewitsch-Schneider代數(shù)與一個群代數(shù)交差積的對偶；如果H是非半單的并且基礎(chǔ)域的特征不是0，則H同構(gòu)于某個特定代數(shù)與一個群代數(shù)交差積的對偶。對于Tame型的基本圈上Hopf代數(shù)，我們可以給出根分次情形的結(jié)構(gòu)定理，根據(jù)根分次的不同情況進(jìn)行分類，根分次的情形至多只有五類。通過這種結(jié)合表示型的分類方法，我們能夠更系統(tǒng)、全面地對基本圈上的Hopf代數(shù)進(jìn)行分類，揭示不同類型Hopf代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。5.2具體分類結(jié)果呈現(xiàn)5.2.1不同類型的Hopf代數(shù)列舉有限型：在基本圈上的有限型Hopf代數(shù)中，若H是半單的，則H同構(gòu)于一個群代數(shù)的對偶。設(shè)G是一個有限群，群代數(shù)kG的對偶(kG)^*就是一個半單的有限型Hopf代數(shù)的例子。對于群代數(shù)kG，其基元素為群G中的元素g\inG，乘法定義為群乘法的線性擴(kuò)張，即(\sum_{g\inG}a_gg)(\sum_{h\inG}b_hh)=\sum_{g,h\inG}a_gb_h(gh)。其對偶(kG)^*以G上的函數(shù)為基元素，對于f_1,f_2\in(kG)^*，乘法定義為(f_1f_2)(g)=\sum_{h\inG}f_1(h)f_2(h^{-1}g)，余乘法\Delta(f)(g,h)=f(gh)，余單位元\epsilon(f)=f(e)（e為群G的單位元），對極映射S(f)(g)=f(g^{-1})。若H是非半單的且基礎(chǔ)域的特征是0，則H同構(gòu)于一個所謂Andruskiewitsch-Schneider代數(shù)與一個群代數(shù)交差積的對偶。Andruskiewitsch-Schneider代數(shù)是通過特定的生成元和關(guān)系定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它與群代數(shù)的交差積構(gòu)造出的對偶代數(shù)具有獨特的性質(zhì)。若H是非半單的且基礎(chǔ)域的特征不是0，則H同構(gòu)于某個特定代數(shù)與一個群代數(shù)交差積的對偶，這個特定代數(shù)是根據(jù)基礎(chǔ)域的特征和一些代數(shù)構(gòu)造規(guī)則得到的，與群代數(shù)的交差積形成了非半單且特征非0情況下的有限型Hopf代數(shù)。Tame型：Tame型的基本圈上Hopf代數(shù)在根分次情形下具有特定的結(jié)構(gòu)。根據(jù)根分次的不同，可分為至多五類。例如，其中一類可能具有特定的根分次結(jié)構(gòu)，使得其不可分解表示可以通過一些參數(shù)化的族來描述。假設(shè)基本圈箭圖Q具有n個頂點和m條箭向，在Tame型Hopf代數(shù)中，其根分次可能與箭圖的頂點和箭向的某些性質(zhì)相關(guān)。對于某個根分次情形下的Tame型Hopf代數(shù)，其不可分解表示可能依賴于一個參數(shù)\lambda，通過改變\lambda的值，可以得到不同的不可分解表示，這些表示之間通過一些特定的態(tài)射相互關(guān)聯(lián)。Wild型：當(dāng)n_H\geq3時，H是Wild型。Wild型的基本圈上Hopf代數(shù)表示極為復(fù)雜，目前對其完整分類仍然是一個極具挑戰(zhàn)性的問題。例如，在某些具有多個頂點和復(fù)雜箭向關(guān)系的基本圈箭圖上的Hopf代數(shù)，其不可分解表示的形式繁多，且相互之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜。不可分解表示可能涉及到多個參數(shù)，這些參數(shù)之間的相互作用使得表示的分類變得極為困難。而且，Wild型Hopf代數(shù)的表示可能與一些高深的數(shù)學(xué)理論，如代數(shù)幾何中的某些概念相關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步增加了研究的難度。5.2.2各類型的特征分析有限型：有限型Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)相對較為簡單，其不可分解表示的數(shù)量是有限的。在半單的情況下，同構(gòu)于群代數(shù)對偶的有限型Hopf代數(shù)，繼承了群代數(shù)的一些性質(zhì)。群代數(shù)的對偶具有良好的對稱性，其表示可以通過群的表示理論來理解。對于非半單且基礎(chǔ)域特征為0或非0的情況，與Andruskiewitsch-Schneider代數(shù)或特定代數(shù)和群代數(shù)交差積對偶的有限型Hopf代數(shù)，雖然結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，但由于不可分解表示有限，其表示理論相對較為清晰。在研究其表示時，可以通過分析交差積的性質(zhì)以及Andruskiewitsch-Schneider代數(shù)或特定代數(shù)的結(jié)構(gòu)來深入探討。Tame型：Tame型Hopf代數(shù)的不可分解表示可以通過參數(shù)化的族來描述，這使得其表示具有一定的規(guī)律性。根分次情形下的結(jié)構(gòu)定理為研究Tame型Hopf代數(shù)提供了重要的依據(jù)。不同的根分次情形對應(yīng)著不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特點，通過對根分次的分析，可以了解Tame型Hopf代數(shù)的一些重要性質(zhì)。在表示理論方面，由于不可分解表示依賴于參數(shù)，研究參數(shù)的變化對表示的影響成為了關(guān)鍵?？梢酝ㄟ^建立參數(shù)與表示之間的函數(shù)關(guān)系，來分析表示的變化規(guī)律，以及不同表示之間的同構(gòu)關(guān)系。Wild型：Wild型Hopf代數(shù)表示的復(fù)雜性體現(xiàn)在不可分解表示的多樣性和相互關(guān)系的復(fù)雜性上。由于不可分解表示的分類困難，目前對Wild型Hopf代數(shù)的研究主要集中在一些特殊情況和相關(guān)性質(zhì)的探討上。在研究其與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)Wild型Hopf代數(shù)的表示可能與代數(shù)幾何中的某些對象存在關(guān)聯(lián)，這為研究Wild型Hopf代數(shù)提供了新的思路?？梢試L試運用代數(shù)幾何的方法，如研究代數(shù)簇上的層結(jié)構(gòu)等，來理解Wild型Hopf代數(shù)的表示，雖然這仍然是一個充滿挑戰(zhàn)的研究方向，但為解決Wild型Hopf代數(shù)表示分類問題提供了潛在的途徑。六、案例分析6.1選取典型案例6.1.1具有代表性的基本圈Hopf代數(shù)實例考慮一個具有3個頂點v_1,v_2,v_3的基本圈箭圖Q，箭向分別為\alpha:v_1\rightarrowv_2，\beta:v_2\rightarrowv_3，\gamma:v_3\rightarrowv_1。其路余代數(shù)kQ^c以所有有限長路為基，包括長度為0的路e_{v_1},e_{v_2},e_{v_3}，長度為1的路\alpha,\beta,\gamma，長度為2的路\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha以及長度為3的路\alpha\beta\gamma,\beta\gamma\alpha,\gamma\alpha\beta等。在這個路余代數(shù)上，我們定義乘法結(jié)構(gòu)。對于路的乘法，按照箭圖中讓路的連接規(guī)則進(jìn)行，例如(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)=\alpha\beta\gamma。單位元為e_{v_1}+e_{v_2}+e_{v_3}，對于任意路p，若p從頂點v_i出發(fā)，則p(e_{v_1}+e_{v_2}+e_{v_3})=pe_{v_i}=p；若p以頂點v_j為終點，則(e_{v_1}+e_{v_2}+e_{v_3})p=e_{v_j}p=p。余乘法\Delta定義為：對于長度為0的路e_{v_i}，\Delta(e_{v_i})=e_{v_i}\otimese_{v_i}；對于長度為1的路\alpha，\Delta(\alpha)=e_{v_1}\otimes\alpha+\alpha\otimese_{v_2}；對于長度為2的路\alpha\beta，\Delta(\alpha\beta)=e_{v_1}\otimes\alpha\beta+\alpha\otimes\beta+\alpha\beta\otimese_{v_3}，以此類推。余單位元\epsilon定義為：\epsilon(e_{v_i})=1，\epsilon(p)=0（p為長度大于0的路）。對極映射S定義為：S(e_{v_i})=e_{v_i}，S(\alpha)=\gamma，S(\beta)=\alpha，S(\gamma)=\beta，對于長度大于1的路，例如S(\alpha\beta)=S(\beta)S(\alpha)=\alpha\gamma，滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)，從而構(gòu)成了一個基本圈上的Hopf代數(shù)實例。6.1.2案例的背景與意義說明選取這個具有3個頂點的基本圈Hopf代數(shù)實例具有多方面的背景和重要意義。從背景來看，在代數(shù)表示論的研究中，對于簡單且具有代表性的箭圖結(jié)構(gòu)上的Hopf代數(shù)進(jìn)行深入分析，是理解復(fù)雜箭圖和一般Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這個3頂點的基本圈箭圖結(jié)構(gòu)相對簡單，但其所蘊含的代數(shù)性質(zhì)和Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建方式，能夠體現(xiàn)出基本圈箭圖的一些共性和特性，便于我們進(jìn)行詳細(xì)的研究和分析。在研究基本圈Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)方面，該案例具有重要意義。它為驗證前面所推導(dǎo)的理論提供了具體的模型。通過對這個實例中乘法結(jié)構(gòu)、余乘法結(jié)構(gòu)以及對極映射的具體分析，可以檢驗構(gòu)成Hopf代數(shù)的充要條件是否成立。例如，驗證乘法與余乘法是否滿足\Delta(\mu(p\otimesq))=\Delta(p)\Delta(q)，對極映射是否滿足\mu(S\otimesid)\Delta(p)=\eta\epsilon(p)=\mu(id\otimesS)\Delta(p)。同時，通過對這個實例的研究，能夠深入理解基本圈箭圖上路余代數(shù)的自同態(tài)與自同構(gòu)的一般形式在具體情況下的表現(xiàn)，以及它們?nèi)绾斡绊慔opf代數(shù)結(jié)構(gòu)的確定。此外，這個案例還可以為研究其他更復(fù)雜的基本圈Hopf代數(shù)提供方法和思路，通過類比和推廣，有助于我們對不同類型的基本圈Hopf代數(shù)進(jìn)行分類和深入研究。6.2案例中的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)分析6.2.1自同態(tài)與自同構(gòu)的具體形式在這個具有3個頂點的基本圈箭圖的Hopf代數(shù)案例中，路余代數(shù)kQ^c的自同態(tài)與自同構(gòu)具有特定的形式。對于自同態(tài)\varphi，考慮長度為0的路，\varphi(e_{v_1})=a_{11}e_{v_1}+a_{12}e_{v_2}+a_{13}e_{v_3}，\varphi(e_{v_2})=a_{21}e_{v_1}+a_{22}e_{v_2}+a_{23}e_{v_3}，\varphi(e_{v_3})=a_{31}e_{v_1}+a_{32}e_{v_2}+a_{33}e_{v_3}，其中a_{ij}\ink。由于基本圈箭圖的對稱性，\varphi對長度為0的路的作用應(yīng)保持圈上頂點的“地位”相對不變，所以a_{ij}的值會受到一定限制。例如，若\varphi保持圈的旋轉(zhuǎn)對稱性，那么a_{11}=a_{22}=a_{33}，a_{12}=a_{23}=a_{31}，a_{21}=a_{32}=a_{13}。對于長度為1的路，以\alpha為例，\varphi(\alpha)可以表示為\varphi(\alpha)=b_{1}\alpha+b_{2}\beta+b_{3}\gamma，其中b_{1},b_{2},b_{3}\ink。同樣基于基本圈箭圖的結(jié)構(gòu)特點，\varphi對長度為1的路的作用也需滿足一定的規(guī)則。由于圈的存在，\varphi(\alpha)與\beta和\gamma之間的線性組合關(guān)系應(yīng)與圈的性質(zhì)相關(guān)。若\varphi保持路在圈上的方向和長度關(guān)系，那么b_{1},b_{2},b_{3}的值會有特定的約束。例如，若\varphi是一個保持圈上順序的自同態(tài)，那么b_{1}可能與保持\alpha方向不變有關(guān)，b_{2}和b_{3}則與\alpha在圈上的旋轉(zhuǎn)和變形有關(guān)。對于自同構(gòu)\psi，它不僅是自同態(tài)，還是雙射。在長度為0的路上，\psi(e_{v_i})同樣是e_{v_1},e_{v_2},e_{v_3}的線性組合，但由于雙射性，其系數(shù)矩陣(a_{ij})是可逆的。在長度為1的路上，以\alpha為例，\psi(\alpha)也可表示為\psi(\alpha)=c_{1}\alpha+c_{2}\beta+c_{3}\gamma，其中(c_{1},c_{2},c_{3})所構(gòu)成的向量與自同態(tài)時有所不同，因為要滿足雙射性，所以c_{1},c_{2},c_{3}之間的關(guān)系更加嚴(yán)格。例如，若\psi是一個將圈旋轉(zhuǎn)120^{\circ}的自同構(gòu)，那么\psi(\alpha)=\beta，\psi(\beta)=\gamma，\psi(\gamma)=\alpha，此時c_{1}=0,c_{2}=1,c_{3}=0。6.2.2乘法結(jié)構(gòu)與Hopf代數(shù)條件驗證該案例中的乘法結(jié)構(gòu)需要驗證是否滿足