第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1二項(xiàng)分布考點(diǎn)2超幾何分布0102考點(diǎn)3正態(tài)分布03課時(shí)作業(yè)第三部分1．了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2．了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3．了解正態(tài)分布的概念和特征，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含____可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為______________．教材回扣兩個(gè)n重伯努利試驗(yàn)X～B(n，p)(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝__，D(X)＝____________．②若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝______________．pp(1－p)npnp(1－p)3．正態(tài)分布(1)定義X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝__，D(X)＝__．μσ21．兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．2．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理．3．在實(shí)際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為n重伯努利試驗(yàn)，進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布．教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了20次，是n重伯努利試驗(yàn)．(

)(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．(

)(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．(

)(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)√√×2．（人教B版選擇性必修第二冊(cè)P83T4改編）已知離散型隨機(jī)變量X～B(10，0.2)，則E(X)＝(

)A．8 B．2C．1.6 D．0.8解析：因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故選B.B3．（人教A版選擇性必修第三冊(cè)P87習(xí)題7.5T2改編）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，則P(X>0)＝(

)A．0.10 B．0.40C．0.80 D．0.90解析：根據(jù)題意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，則P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)＝1－P(X<0)＝0.90.故選D.D4．（人教A版選擇性必修第三冊(cè)P78例5改編）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件數(shù)，則P(X＝1)＝(

)D互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1二項(xiàng)分布【例1】

（2024·河北承德二模）某市為了促進(jìn)市民學(xué)習(xí)黨史，舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到了1000人的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：成績(jī)區(qū)間[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)201802002802208020(1)求上表數(shù)據(jù)的平均值（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法，用頻率估計(jì)概率，從該市隨機(jī)抽取3人參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，記他們之中不低于60分的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．規(guī)律總結(jié)二項(xiàng)分布問(wèn)題的解題關(guān)鍵(1)定性①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

（2024·陜西西安二模）某校組織學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，以每分鐘跳繩個(gè)數(shù)作為比賽成績(jī)（單位：個(gè)）.為了解參賽學(xué)生的比賽成績(jī)，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的比賽成績(jī)作為樣本，整理數(shù)據(jù)并按比賽成績(jī)分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]這6組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計(jì)該校學(xué)生跳繩比賽成績(jī)的中位數(shù)；解：因?yàn)?0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)在[100，120）內(nèi)．設(shè)該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)為m個(gè)，則(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，解得m＝111.25，即估計(jì)該校學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)為111.25個(gè)．(2)若跳繩比賽成績(jī)不低于140分的為優(yōu)秀，以這50名學(xué)生跳繩比賽成績(jī)的頻率作為概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的比賽成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列與期望．解：由頻率分布直方圖可知比賽成績(jī)優(yōu)秀的頻率為(0.002＋0.008)×20＝0.2，則從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的學(xué)生比賽成績(jī)優(yōu)秀的概率是0.2.由題意可知X～B(3，0.2)，考點(diǎn)2超幾何分布【例2】某班為了慶祝我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同．每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回．若摸出的球中有X個(gè)紅球，則分得X個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目．(1)求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．規(guī)律總結(jié)1．超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列．2．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

（2024·陜西西安三模）每個(gè)國(guó)家對(duì)退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國(guó)關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機(jī)選取100人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段/歲[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]被調(diào)查的人數(shù)101520m255贊成的人數(shù)612n20122(2)若從年齡在[45，55）的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進(jìn)行比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取10人參與某項(xiàng)調(diào)查，然后再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人參加座談會(huì)，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)3正態(tài)分布A．σ1<σ2B．σ1＝σ2C．對(duì)任意實(shí)數(shù)m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N*，則k1<k2AC【解析】因?yàn)棣以叫D象越瘦高，所以σ1<σ2，故A正確，B錯(cuò)誤；由題圖可知，當(dāng)m>μ時(shí)，P(X>m)<P(Y>m)，所以P(X≤m)＝1－P(X>m)>P(Y≤m)＝1－P(Y>m)，故C正確；當(dāng)k1＝2時(shí)，P(μ－2σ1≤X≤μ＋2σ1)≈0.9545，當(dāng)k2＝1時(shí)，P(μ－σ2≤Y≤μ＋σ2)≈0.6827，故D錯(cuò)誤．故選AC.BC【解析】依題意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).對(duì)于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8＋2×0.1＝μ＋2σ，則P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.8413＝0.1587，A錯(cuò)誤；P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，B正確；對(duì)于Y～N(2.1，0.12)，由于2＝2.1－0.1＝μ－σ，則P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正確；P(Y>2)＝P(Y>μ－σ)＝P(Y<μ＋σ)≈0.8413>0.8，D錯(cuò)誤．故選BC.規(guī)律總結(jié)解決正態(tài)分布問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸為直線x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間．由μ，σ利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為直線x＝0.ACDA．乙同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績(jī)B．甲同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績(jī)C．甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)更集中于平均值附近D．若σ1＝5，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為0.1587(2)（多選）（2025·山東聊城一模）在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，某市高一全體學(xué)生的成績(jī)X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于60分者為及格，不低于120分者為優(yōu)秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，則(

)A.μ＝80，σ＝400BCD解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A錯(cuò)誤；由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，則μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)課時(shí)作業(yè)74第分部三1．（5分）（2024·湖南益陽(yáng)三模）某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品A的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A．1 B．3C．4 D．9解析：因?yàn)閄～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.故選B.BCBD5．（5分）（2024·湖北荊州三模）上周聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，負(fù)責(zé)命題的王老師考后隨機(jī)抽取了10個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，設(shè)這10個(gè)學(xué)生中得分在[70，110]的人數(shù)為Y，則隨機(jī)變量Y的方差為(

)A．2 B．2.1C．2.4 D．3解析：由正態(tài)分布知，學(xué)生得分在[70，110]的概率為1－0.2×2＝0.6，抽取的10個(gè)學(xué)生中得分在[70，110]的人數(shù)Y服從二項(xiàng)分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故選C.C6．（5分）如圖分別是甲、乙、丙三種品牌手表日走時(shí)誤差（分別用X甲、X乙、X丙表示）分布的正態(tài)密度曲線，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等B．P（－1≤X乙≤0）<P（0≤X丙≤2）C．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙D．三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好B解析：根據(jù)正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可得，三種品牌的手表日走時(shí)誤差對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸都是y軸，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等，故A正確；乙品牌手表日走時(shí)誤差對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線在區(qū)間[－1，0]之間與x軸圍成的面積與丙品牌手表日走時(shí)誤差對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線在區(qū)間[0，2]之間與x軸圍成的面積相等，故B不正確；由正態(tài)密度曲線的形狀，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙，故C正確；由三種品牌手表日走時(shí)的誤差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲種品牌的手表走時(shí)準(zhǔn)且最穩(wěn)定，質(zhì)量最好，故D正確．故選B.BCD8．（6分）（多選）袋中有8個(gè)大小相同的球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出3個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是(

)BCD9．（5分）（2024·廣東梅州二模）某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測(cè)試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(150，σ2)，已知成績(jī)大于170次的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130～150次之間的人數(shù)約為______．45010．（5分）（2024·安徽六安模擬）一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回到原點(diǎn)處的概率是_____．(1)若從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，求該生肥胖的概率；(2)現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記X表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修學(xué)習(xí)情況，評(píng)選研修先進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用“學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不低于80小時(shí)的教師評(píng)為“研修先進(jìn)個(gè)人”．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽