簡潔實(shí)用高效第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.2排列與組合數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1排列問題考點(diǎn)2組合問題0102考點(diǎn)3排列、組合的綜合應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分高考創(chuàng)新方向創(chuàng)新考法041．理解排列、組合的概念，掌握排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．2．能利用排列、組合解決簡單的實(shí)際問題．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．排列與組合(1)排列：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)____．(2)排列數(shù)教材回扣定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)____表示全排列的概念把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列排列n！n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)(3)組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)____．(4)組合數(shù)組合組合數(shù)1．判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(

)(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.(

)基礎(chǔ)檢測(cè)×××√2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P38T8改編)小明和妹妹跟著父母一家四口到游樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排家長，則這4個(gè)人的入園順序的種數(shù)是(

)A．4 B．6C．12 D．24AA4．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P38T3(2)改編)五一小長假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A，B，C，D，E，F(xiàn)中選出4輛分別開往紫蒙湖、美林谷、黃崗梁、烏蘭布統(tǒng)四個(gè)景區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開往一個(gè)景區(qū)，且這6輛大巴中A，B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有(

)A．360種 B．240種C．216種 D．168種解析：這6輛旅游大巴中A，B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有CA＝240(種).故選B.B互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1排列問題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(4)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定．規(guī)律總結(jié)排列應(yīng)用問題的分類與解法對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法．D(2)(2024·江西九江三模)考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置．若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為(

)A．24 B．36C．72 D．144D(3)(2024·安徽蕪湖三模)已知A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同排法的種數(shù)為(

)A．186 B．264C．284 D．336D考點(diǎn)2組合問題【例2】在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各1名，現(xiàn)要從這10人中挑選5人組成醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法？(1)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；(2)至少有1名主任參加；(3)既有主任，又有外科醫(yī)生．規(guī)律總結(jié)組合問題常見的兩類題型(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

(1)(2024·天津和平區(qū)二模)為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀．活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A．30種 B．60種C．120種 D．240種B(2)(2024·安徽馬鞍山模擬)數(shù)列{an}共有9項(xiàng)，且a1＝1，a9＝9，|an＋1－an|＝2，則這樣的數(shù)列{an}有(

)A．28個(gè) B．36個(gè)C．45個(gè) D．56個(gè)A考點(diǎn)3排列、組合的綜合應(yīng)用命題角度1相鄰與相間問題【例3】

(1)(2024·山東濱州二模)某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有(

)A．42種 B．40種C．36種 D．30種B(2)(2024·浙江杭州三模)已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對(duì)身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數(shù)為(

)A．12 B．14C．16 D．18B【解析】依據(jù)題意，分兩種情況討論，情況一：高低高低高依次對(duì)應(yīng)1～5號(hào)位置，假設(shè)甲在2號(hào)位，則乙在1號(hào)位或4號(hào)位，而甲、丁不相鄰，若乙在1號(hào)位，此時(shí)有乙甲戊丙丁，共1種，若乙在4號(hào)位，此時(shí)有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2種，易得倒序排列和正序排列種數(shù)相同，故本情況共6種排法；情況二：低高低高低依次對(duì)應(yīng)1～5號(hào)位置，假設(shè)戊在2號(hào)位，則丁在1號(hào)位或4號(hào)位，若丁在1號(hào)位，此時(shí)有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2種，若丁在4號(hào)位，此時(shí)有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2種，易得倒序排列和正序排列種數(shù)相同，故本情況共8種排法．故符合題意的排法有8＋6＝14(種).故選B.命題角度2分組分配問題【例4】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．規(guī)律總結(jié)1．相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．2．對(duì)于分堆與分配問題應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)處理分配問題要注意先分堆再分配．(2)被分配的元素是不同的．(3)分堆時(shí)要注意是否均勻．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)(2024·浙江金華三模)在義烏，婺劇深受民眾喜愛．某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法種數(shù)是(

)A．36 B．48C．60 D．72C(2)(2024·遼寧葫蘆島二模)某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有(

)A．20種 B．14種C．10種 D．7種B高考創(chuàng)新方向創(chuàng)新考法330創(chuàng)新解讀本題以高等數(shù)學(xué)的泰勒展開式為載體，把導(dǎo)數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算交匯命題，綜合性較強(qiáng)，命題角度新穎，解答本題需先求函數(shù)f(x)＝ex的n階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)泰勒多項(xiàng)式求T3(x)，求f(x)＝－\f(1,x))的1階至10階導(dǎo)數(shù)，求出其10次泰勒多項(xiàng)式，再根據(jù)二項(xiàng)式定理求x3的系數(shù)化簡求其值．課時(shí)作業(yè)69第分部三1．（5分）（2024·河北保定三模）某地下雪導(dǎo)致路面積雪，現(xiàn)安排9名男志愿者，5名女志愿者參與掃雪和鏟雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者參與掃雪工作，其余志愿者參與鏟雪工作，則不同的安排方法共有(

)A．240種 B．360種C．720種 D．2002種解析：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法共有CC＝360（種）.故選B.B2．（5分）甲、乙、丙、丁4名男子短跑運(yùn)動(dòng)員參加男子4×100m接力比賽，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，那么參賽方法共有(

)A．10種 B．12種C．14種 D．18種C3．（5分）（2024·湖南岳陽三模）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相鄰的兩天，乙、丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法共有(

)A．96種 B．60種C．48種 D．36種D4．（5分）（2024·黑龍江哈爾濱三模）3男3女站成一排拍照，左、右兩端恰好是一男一女，則不同的排法種數(shù)為(

)A．240 B．720C．432 D．216C5．（5分）（2024·河北邯鄲二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為(

)A．12

B．18C．20

D．60C6．（5分）（2024·浙江金華三模）從數(shù)字1，2，3，4中選出3個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)個(gè)數(shù)為(

)A．36 B．54C．60 D．72D7．（5分）（2024·河北秦皇島三模）三人被邀請(qǐng)參加同一個(gè)時(shí)間段的兩個(gè)晚會(huì)，若兩個(gè)晚會(huì)都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個(gè)晚會(huì)，則不同的去法有(

)A．8種 B．12種C．16種 D．24種B8．（5分）（2024·安徽安慶三模）A，B，C，D，E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同的選擇方法共有(

)A．36種 B．42種C．48種 D．60種B9．（6分）（多選）下列關(guān)于排列數(shù)、組合數(shù)的等式中成立的是(

)ACD10．（6分）（多選）（2024·山西晉中模擬）某中學(xué)的3名男生和2名女生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，比賽結(jié)束后，這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是(

)A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學(xué)共有24種排法C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種排法D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學(xué)共有72種排法ACD11．（6分）（多選）現(xiàn)有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)球，則(

)A．全部放入4個(gè)不同的盒子里，共有45種放法B．放入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有4種放法C．將其中的4個(gè)球放入4個(gè)不同的盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不放入），共有20種放法D．全部放入3個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有140種不同的放法AC5或713．（6分）（2025·安徽合肥一模）北京時(shí)間2024年10月30日12時(shí)51分，神舟十八號(hào)航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十九號(hào)航天員乘組（蔡旭哲、宋令東、王浩澤3人）入駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共