第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2.11函數(shù)模型及其應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1利用函數(shù)圖象刻畫變化過程考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題0102考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題03課時(shí)作業(yè)第三部分1．在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律．2．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等不同函數(shù)類型增長的含義．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．六種常見的函數(shù)模型教材回扣2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較項(xiàng)目y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性__________________增長速度________________隨n值變化而不同圖象的變化隨x值增大，圖象與____接近平行隨x值增大，圖象與____接近平行隨n值變化而不同增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)越來越快越來越慢y軸x軸1．“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越?。?．充分理解題意并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性．教材拓展1．判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利．(

)(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(

)(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>1)的增長速度．(

)基礎(chǔ)檢測×××√2．(人教A版必修第一冊P155T9改編)已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢如圖所示．假設(shè)某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì)).如果他在t4時(shí)刻已經(jīng)賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(

)A．40萬元 B．60萬元C．80萬元 D．120萬元D解析：當(dāng)甲商品的價(jià)格為6元時(shí)，該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20×2＝40(萬元)；當(dāng)乙商品的價(jià)格為4元時(shí)，該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40×2＝80(萬元).故該商人共獲利40＋80＝120(萬元).故選D.3．(人教A版必修第一冊P119T5改編)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是(

)A．y＝2x+1－1 B．y＝x3C．y＝2log2x D．y＝x2－1解析：將各點(diǎn)(x，y)分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y＝x2－1.故選D.x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04D4．(人教B版必修第二冊P43例2改編)從盛滿10L純硫酸的容器里倒出1L，然后用水填滿，這樣繼續(xù)下去，第三次填滿后的硫酸濃度為(

)A．70.4% B．67.2%C．81% D．72.9%D互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1利用函數(shù)圖象刻畫變化過程【例1】

(2024·內(nèi)蒙古赤峰一模)在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O，P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是(

)D【解析】對于A，點(diǎn)P在第一條邊上時(shí)，y＝x，但點(diǎn)P在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y是隨x的增大先減小(減到最小時(shí)y即為三角形的第二條邊上的高的長度)，再增大，對比圖象可知，A錯(cuò)誤；對于B，y與x的函數(shù)圖象一定不是對稱的，B錯(cuò)誤；對于C，一開始y與x的關(guān)系不是線性的，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)圖象左右對稱，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為a，點(diǎn)P在第一條邊上時(shí)(即0≤x≤a時(shí))，y＝x，點(diǎn)P在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)(即a≤x≤2a時(shí))，規(guī)律總結(jié)判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程是否吻合的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】如圖是一個(gè)無水游泳池，ABCD--A′B′C′D′是一個(gè)四棱柱，游泳池是由一個(gè)長方體切掉一個(gè)三棱柱得到的．現(xiàn)在向泳池注水，如果進(jìn)水速度是均勻的(單位時(shí)間內(nèi)注入的水量不變)，水面與AB的交點(diǎn)為M，則AM的高度h隨時(shí)間t變化的圖象可能是(

)A解析：由題意可知，當(dāng)往游泳池內(nèi)注水時(shí)，游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀，且直棱柱的高不變，剛開始水面面積逐漸增大，水的高度增長得越來越慢，當(dāng)水面經(jīng)過D點(diǎn)后，水面的面積為定值，水的高度勻速增長，故符合條件的函數(shù)圖象為A中的圖象．故選A.考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題A．n1<n2B．n1>n2C．若S<1，則n1<n2；若S>1，則n1>n2D．若S<1，則n1>n2；若S>1，則n1<n2C(2)(2024·廣東茂名一模)Gompertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有代謝預(yù)測、腫瘤生長預(yù)測、有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測、工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為f(x)＝kab－x(其中k>0，b>0，a為參數(shù)).某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a＝e(e為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)).若x＝1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年(x＝2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么b的值為(

)A規(guī)律總結(jié)求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)的值．【對點(diǎn)訓(xùn)練2】

(1)(2024·四川德陽三模)如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝eax＋b(a，b為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過(

)A．14℃ B．15℃C．13℃ D．16℃A(2)(2024·湖南長沙三模)地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯·里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中M表示某地地震的里氏震級，A表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，A0表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅．假設(shè)在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3)(

)A．6.3級 B．6.4級C．7.4級 D．7.6級B考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千輛時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由．【解】當(dāng)0<x≤2時(shí)，f(x)＝10x＋340，則當(dāng)0<x≤2時(shí)，f(x)≤f(2)＝360；當(dāng)2<x≤6時(shí)，f(x)＝－2x2＋20x＋330＝－2(x－5)2＋380，即x＝5時(shí)，f(x)max＝380.∵360<380，∴f(x)的最大值為380，故當(dāng)年產(chǎn)量為5千輛時(shí)，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是380萬元．規(guī)律總結(jié)應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的答案．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)(2024·湖南益陽三模)二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%，從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價(jià)格不超過8萬元．根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是m(m∈N)萬元，則m＝(

)A．13

B．14C．15

D．16CC課時(shí)作業(yè)16第分部三DC2．(5分)某農(nóng)業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)R與可見葉片數(shù)x進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可以用函數(shù)R＝15eax(a為常數(shù))表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln5.5≈1.7)(

)A．15

B．16C．17

D．18解析：由題意知30＝15e7a，∴e7a＝2，則等式兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得7a＝ln2≈0.7，∴a≈0.1，∴R＝15e0.1x.∵82.5＝15e0.1x，∴e0.1x＝5.5，∴0.1x＝ln5.5≈1.7，∴x≈17.故選C.3．(5分)(2024·四川涼山州三模)工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量y(單位：mg/L)與過濾時(shí)間t(單位：h)的關(guān)系為y＝y(tǒng)0e－at(y0，a均為正的常數(shù)).已知前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，那么污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過(最終結(jié)果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

)A．43h B．38hC．33h D．28hDA．若C不變，則P比原來提高不超過30%B．若C不變，則P比原來提高超過40%C．為使P不變，則C比原來降低不超過30%D．為使P不變，則C比原來降低超過40%C5．(5分)(2024·北京豐臺區(qū)一模)按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)：②將Ai(i＝0，1，…，9)紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為A(i＋1)規(guī)格紙張(如圖).某班級進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張．共需A4規(guī)格紙張40張，A2規(guī)格紙張10張，A1規(guī)格紙張5張．為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格紙張的張數(shù)為(

)A．6 B．7C．8 D．9C6．(5分)(2024·廣東韶關(guān)二模)在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W(單位：平方米)的計(jì)算公式是W＝(長＋4)×(寬＋4)，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用(單位：元)是(

)A．10000 B．10480C．10816 D．10818CA．乙的速度為300米/分鐘B．25分鐘后甲的速度為400米/分鐘C．乙比甲晚14分鐘到達(dá)B地D．A，B兩地之間的路程為29400米ABD8．(6分)(多選)(2024·河南鄭州一模)溶液酸堿度是通過pH來計(jì)量的．pH的計(jì)算公式為pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．例如純凈水中氫離子的濃度為10-7摩爾/升，則純凈水的pH是7.當(dāng)pH<7時(shí)，溶液呈酸性，當(dāng)pH>7時(shí)，溶液呈堿性，當(dāng)pH＝7(例如：純凈水)時(shí)，溶液呈中性．我國規(guī)定飲用水的pH值在6.5～8.5之間，則下列選項(xiàng)正確的是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3)(

)A．若蘇打水的pH是8，則蘇打水中的氫離子濃度為10-8摩爾/升B．若胃酸中氫離子的濃度為2.5×10-2摩爾/升，則胃酸的pH約為1.6C．若海水的氫離子濃度是純凈水的10-1.6倍，則海水的pH是8.6D．若某種水中氫離子的濃度為4×10-7摩爾/升，則該種水適合飲用ABC解析：對于A，若蘇打水的pH是8，即pH＝－lg[H＋]＝8，所以[H＋]＝10-8，即蘇打水中的氫離子濃度為10-8摩爾/升，所以A正確；對于B，若胃酸中氫離子的濃度為2.5×10-2摩爾/升，則pH＝－lg(2.5×10-2)＝－lg2.5－lg10-2＝2－(lg10－lg4)＝1＋2lg2≈1.6，所以B正確；對于C，若海水的氫離子濃度是純凈水的10-1.6倍，則海水的氫離子濃度是10-1.6·10-7＝10-8.6，因此pH＝－lg10-8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，所以C正確；對于D，若某種水中氫離子的濃度為4×10-7摩爾/升，則pH＝－lg(4×10-7)＝－lg4－lg10-7＝7－2lg2≈6.4，而6.4不在6.5～8.5范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，所以D錯(cuò)誤．故選ABC.9．(5分)(2024·廣東廣州模擬)“阿托秒”是一種時(shí)間的國際單位，“阿托秒”等于10-18秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時(shí)間可用“阿托秒”表示．《莊子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過____天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離．(參考數(shù)據(jù)：光速為3×108米/秒，lg2≈0.3，lg3≈0.48)314211．(15分)某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過20萬元時(shí)，按銷售利潤的10%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷售利潤超過20萬元時(shí)，若超出A萬元，則超出部分按2log2(A＋5)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，記獎(jiǎng)金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元).(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式；解：根據(jù)題意可知，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，y＝0.1x；當(dāng)x>20時(shí)，y＝0.1×20＋2log2(x－20＋5)＝2＋2log2(x－15).(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得10萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解：易知當(dāng)0≤x≤20時(shí)，獎(jiǎng)金不可能為10萬元，所以令2＋2log2(x－15)＝10，即log2(x－15)＝4，解得x＝31.即業(yè)務(wù)員老江的銷售利潤是31萬元．(1)求2025年該旅游公司開發(fā)的游玩項(xiàng)目的利潤L(x)(單位：萬元)關(guān)于人數(shù)x(單位：萬人)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤＝收入－成本)(2)當(dāng)2025年的游客為多少時(shí)，該游玩項(xiàng)目所