微專題一不等式的證明數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點(diǎn)1移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)或直接利用函數(shù)的最值證明不等式考點(diǎn)2將不等式拆分為兩個(gè)函數(shù)證明不等式010203課時(shí)作業(yè)第三部分考點(diǎn)3利用放縮法證明不等式能利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，掌握證明不等式的常用方法，如構(gòu)造法、雙函數(shù)最值法、放縮法等，了解一些基本的構(gòu)造方法和常用的放縮公式．互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部一考點(diǎn)1移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)或直接利用函數(shù)的最值證明不等式【例1】

（2024·河北保定三模）已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx，x＝1為f(x)的極值點(diǎn)．(1)求a的值；(2)求證：f(x)≤2x2－4x.【解】證明：由(1)可知，f(x)＝x2－3x＋lnx，要證f(x)＝x2－3x＋lnx≤2x2－4x，即證x2－x－lnx≥0.所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得極小值，也是最小值．因?yàn)間(1)＝0，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≤2x2－4x.規(guī)律總結(jié)1．若待證不等式的一邊含有自變量，另一邊為常數(shù)，可根據(jù)含自變量的一邊構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最值，利用最值證明不等式．2．若待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對(duì)復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．考點(diǎn)2將不等式拆分為兩個(gè)函數(shù)證明不等式【例2】已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時(shí)，求證：xf(x)－ex＋2ex≤0.規(guī)律總結(jié)1．若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或兩次求導(dǎo)都不能判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的．2．等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后能簡(jiǎn)單地找到極值點(diǎn)，一般地，ex與lnx要分離，常構(gòu)造xn與lnx，xn與ex的積、商的形式，便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn)．再令φ(x)＝ex－ex，則φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.考點(diǎn)3利用放縮法證明不等式【例3】

（2024·內(nèi)蒙古赤峰三模）已知x∈(0，2).(1)比較sinx，x的大小，并證明；【解】x>sinx，x∈(0，2).證明如下：令g(x)＝x－sinx，x∈(0，2)，則g′(x)＝1－cosx>0，∴g(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)＝0，即x∈(0，2)時(shí)，x>sinx.【解】證明：由(1)得x∈(0，2)時(shí)，esinx<ex，令f(x)＝ex(2－x)－(2＋x)，x∈(0，2)，則f′(x)＝ex(1－x)－1.令g(x)＝ex(1－x)－1，則g′(x)＝－xex.∵x∈(0，2)，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，∴g(x)<g(0)＝0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，∴f(x)<f(0)＝0，∴ex(2－x)－(2＋x)<0，規(guī)律總結(jié)1．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，若所證明的不等式中含有ex，lnx，sinx，cosx，tanx或其他多項(xiàng)式函數(shù)中的兩種或兩種以上，可考慮先利用不等式進(jìn)行放縮，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明．2．常見的放縮(2)切線放縮：ex≥x＋1>x－1≥lnx．利用切線放縮可以把指數(shù)式、對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為一次式，有利于后續(xù)的求解．考教銜接不等式“ex≥x＋1>,x－1≥lnx”的推廣及應(yīng)用1．教材母題：（人教A版選擇性必修第二冊(cè)P99T12）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：(1)ex>1＋x，x≠0；(2)lnx<x<ex，x>0.推廣可得不等式ex≥x＋1>x－1≥lnx.2．教材母題：（人教A版選擇性必修第二冊(cè)P89例4）3．應(yīng)用上述不等式推廣可得【典例】

（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；【解】因?yàn)閒(x)＝a(ex＋a)－x，定義域?yàn)镽，所以f′(x)＝aex－1.當(dāng)a≤0時(shí)，由于ex>0，則aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，當(dāng)x<－lna時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>－lna時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．【解】證明：證法一由(1)得，f(x)min＝f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna.證法二令h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1，由于y＝ex在R上單調(diào)遞增，所以h′(x)＝ex－1在R上單調(diào)遞增．又h′(0)＝e0－1＝0，所以當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)≥h(0)＝0，則ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋lna＋a2－x≥x＋lna＋1＋a2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lna＝0，即x＝－lna時(shí)，等號(hào)成立，所以要證f(x)>2ln【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

（2024·全國(guó)甲卷文）已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a≤2時(shí)，求證：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<ex-1恒成立．所以h(x)＝g′(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，g′(x)>g′(1)＝0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)＝0，所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<ex-1恒成立．課時(shí)作業(yè)21第分部二1．（15分）（2024·陜西漢中二模）已知函數(shù)f(x)＝mlnx＋1－x.(1)求證：當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)≤0恒成立；(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝2時(shí)，求證：f(x)≤x2＋x－1.3．（15分）（20