前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的一般概念、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，基本按照“背景——概念——圖象與性質(zhì)——應(yīng)用”路徑進(jìn)行探究。

今天我們繼續(xù)按照研究函數(shù)的一般套路來(lái)展開(kāi)探究。我們知道，函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。如：直線運(yùn)動(dòng)-----一次函數(shù)；拋物運(yùn)動(dòng)-----二次函數(shù)；

指數(shù)爆炸-----指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)-----對(duì)數(shù)函數(shù)；那么圓周運(yùn)動(dòng)-----用什么函數(shù)模型刻畫(huà)呢？提出問(wèn)題，引導(dǎo)探索生活中，處處可見(jiàn)實(shí)際生活中“周而復(fù)始’’現(xiàn)象.地球自轉(zhuǎn)四季變化公轉(zhuǎn)生活中的圓周運(yùn)動(dòng)日出日落，潮汐變化，轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪上游客倉(cāng)P、轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)針針尖M，行駛中的汽車(chē)輪子上的輻條端點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)等，這些都是實(shí)際生活中“周而復(fù)始’’現(xiàn)象，怎樣用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待它們呢？PNMPO如何刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況呢？

終邊始邊從幾何角度看：隨著角POA的變化，動(dòng)點(diǎn)P在半徑為r的圓上作圓周運(yùn)動(dòng)。那么如何從函數(shù)的角度來(lái)刻畫(huà)它呢？5.2.1三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義；2.能初步運(yùn)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；3.根據(jù)定義認(rèn)識(shí)函數(shù)值的符號(hào)，理解誘導(dǎo)公式一；4.體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.如圖，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，

以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，P(x,y).

射線OA從x軸非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

如圖，單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，現(xiàn)在的任務(wù)是：建立一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況.在弧度制下，我們已經(jīng)把角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).不失一般性，先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

探究新知方法：過(guò)點(diǎn)P向x軸做垂線，得到直角三角形OPM，可以用銳角三角函數(shù)求點(diǎn)P；

P探究：1、已知，如何求角的終邊與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)？探究：2、計(jì)算：當(dāng)∠α變化的時(shí)候，點(diǎn)P的坐標(biāo)情況α0π.....P點(diǎn)橫坐標(biāo)x.......點(diǎn)P縱坐標(biāo)y.......π6π4π32π37π611π4π2α0π......P點(diǎn)橫坐標(biāo)x1......點(diǎn)P縱坐標(biāo)y010......π6π4π32π37π611π4π2

任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？當(dāng)角∠α確定時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是唯一確定的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y是關(guān)于∠α的函數(shù)嗎？探究：2、計(jì)算：當(dāng)∠α變化的時(shí)候，點(diǎn)P的坐標(biāo)情況當(dāng)角∠α確定時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是唯一確定的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是關(guān)于∠α的函數(shù)怎樣命名此類(lèi)關(guān)于角∠α的函數(shù)呢？1、單位圓上一點(diǎn)的三角函數(shù)定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做∠α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做∠α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα

學(xué)習(xí)新知1注意：無(wú)論角a是第幾象限角，它的三角函數(shù)的定義都是一樣。我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).

OabMPcxsinx=cosx=tanx=

應(yīng)用新知1歸納：利用單位圓求任意角三角函數(shù)值的一般步驟①把角放在平面直角坐標(biāo)系中②畫(huà)出直角三角形③求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)④利用定義來(lái)確定三角函數(shù)的值練習(xí)（第179頁(yè)）OPMxy練習(xí)（第179頁(yè)）αsinαcosαtanα00000011-1-10不存在不存在α0πsinαcosαtanαπ2π6π4π32π33π45π6牢記常見(jiàn)的三角函數(shù)值，解決問(wèn)題事半功倍！常見(jiàn)特殊角的三角函數(shù)值

無(wú)

π2

例2、如圖，∠α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r；求證：證明設(shè)∠α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0（x0，y0），分別過(guò)點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則：由此可知,只要知道∠α終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo),就可以求得∠α的三個(gè)三角函數(shù)值。α終邊上任一點(diǎn)三角函數(shù)定義：歸納練習(xí)（第179頁(yè)）解由題意可得習(xí)題5.2（第184頁(yè)）練習(xí)（第179頁(yè)）4．已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s．求2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置．以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心O，OP所在直線為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置記為Q．因?yàn)辄c(diǎn)P是在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s．

如圖，以圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(r,0)，P(x,y).

射線OA從x軸非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP.圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，可以建立一個(gè)三角函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況.即:

xy學(xué)習(xí)新知2探究根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入表5.2-1，再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖5.2-6中的括號(hào).三角函數(shù)定義域值域RR學(xué)習(xí)了三角函數(shù)定義,接下來(lái)研究他們的一些性質(zhì)。[-1,1]R[-1,1]既然我們是在直角坐標(biāo)系內(nèi)給三角函數(shù)下了定義，我們知道，點(diǎn)的坐標(biāo)在每個(gè)象限內(nèi)正負(fù)會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)思考，那么在每個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么變化？yxo()()()()yxo()()()()yxo()()()()學(xué)習(xí)新知2探究根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入表5.2-1，再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖5.2-6中的括號(hào).Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦應(yīng)用新知2必要性:顯然成立。

負(fù)負(fù)正0應(yīng)用新知2判斷三角函數(shù)值符號(hào)的兩個(gè)步驟(1)定象限：確定角α所在的象限.(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦”來(lái)判斷.練習(xí)（第182頁(yè)）練習(xí)（第182頁(yè)）①③或①⑤或③⑤①④或①⑥或④⑥②④或②⑤或④⑤②③或②⑥或③⑥習(xí)題5.2（第185頁(yè)）由三角函數(shù)的定義，可以知道：終