4.2.1等差數(shù)列的

前n項(xiàng)和公式(1)復(fù)習(xí)回顧設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=a1+(n-1)d,an

=am+(n-m)d,性質(zhì)2

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aqm,n,k∈N*，若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak情景導(dǎo)入1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都作出了杰出貢獻(xiàn).200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋???＋100=？當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，高斯10歲的時(shí)候很快就解決了這個(gè)問題，你知道高斯是怎樣算出來的嗎？情景導(dǎo)入不同數(shù)的求和相同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化下面再來看高斯的算法.這里用到了數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.新知探究思考1

你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎？方式1（拿出末項(xiàng)，再首尾配對）

原式=(1+2+3+…+100)+101=5151方式2（先湊成偶數(shù)項(xiàng)，再配對）

原式=(1+2+3+…+101+102)-102

原式=0+1+2+3+…+100+101結(jié)論：當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，“首尾配對”不太方便.新知探究思考2

你能用高斯的方法求1+2+3+…+n嗎？

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，有于是有

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，有

∴對任意正整數(shù)n，都有

在求前n個(gè)正整數(shù)的和時(shí)，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免分類討論?①②新知探究

在求前n個(gè)正整數(shù)的和時(shí)，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免分類討論?設(shè)

S100=1+2+3+…+98+99+100反序

S100=100+99+98+…+3+2+1+

++++++多少個(gè)101?100個(gè)1012S100=101+101+101+…+101+101+101//

////\\

\\

\\\\作加法

S100=(101×100)÷2=5050新知探究

在求前n個(gè)正整數(shù)的和時(shí)，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免分類討論?設(shè)

S101=1+2+3+…+99+100+101反序

S101=101+100+99+…+3+2+1+

++++++多少個(gè)102?101個(gè)1022S101=102+102+102+…+102+102+102//

////\\

\\

\\\\作加法

S101=(101×102)÷2=5151新知探究因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+

an=

a2+

an-1=

a3+

an-3=···，倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到這個(gè)數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.①②即新知探究新知獲得

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式：(1)(首相＋末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2將

an=a1+(n-1)d代入公式(1)，可得(2)新知獲得

公式記憶：結(jié)合梯形的面積公式來記等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.na1ana1(n-1)dna1an新知獲得公式功能：(1)功能：已知Sn，n，a1

和an中任意3個(gè)，求第4個(gè).（知三求一）

例6：在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.解：新知獲得公式功能：功能：已知Sn，n，a1

和d中任意3個(gè)，求第4個(gè).（知三求一）

例6：在等差數(shù)列{an}中，a1＝

，d＝

，Sn＝－5，求n.解：將a1＝

，d＝

，Sn＝－5代入公式(2)得整理，得

，解得n＝12或n＝?5.因?yàn)?，所以n＝12.(2)新知獲得公式功能：功能：已知Sn，n，a1

和d中任意3個(gè)，求第4個(gè).（知三求一）

解：例6：在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝

，求S10.(2)新知獲得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式(1)(2)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式在等差數(shù)列{an}中，已知五個(gè)元素a1,an,n,d,Sn

中的任意三個(gè),求出其余兩個(gè).（知三求二）

練習(xí)1.根據(jù)下列條件，求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.(1)

a1＝5,an＝95,n＝10；(2)

a1＝100,d＝－2,n＝50；(3)

a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)

a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.書P22練習(xí)1.根據(jù)下列條件，求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.(3)

a1＝－4,a8＝－18,n＝10;(4)

a1＝14.5,d＝0.7,an＝32.書P22例題分析例7已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn.分析：S10S20Sna1，a10a1，a20a1，da1，da1，ana1，d書P21例題分析例7已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn.書P21解：根據(jù)公式

，得解方程組得所以方法總結(jié)2個(gè)相互獨(dú)立的方程等差數(shù)列任意問題a1，d等差數(shù)列任意2個(gè)相互獨(dú)立的條件基本量法4a1+6d=68a1+28d=203.在等差數(shù)列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解：根據(jù)公式

，得解方程組得所以書P22練習(xí)2.等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？解：由已知可得：a1=-10，d=4所以數(shù)列前9項(xiàng)的和是54.書P22練習(xí)4.在等差數(shù)列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.書P22練習(xí)補(bǔ)充練1.在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a5=40，求S7.解：2.已知一個(gè)共有n項(xiàng)的等差數(shù)列前4項(xiàng)之和為26，末四項(xiàng)之和為110，且所