2024年高考其次輪復(fù)習(xí)(文數(shù))專題十四概率

考點(diǎn)分布考點(diǎn)分頻考綱內(nèi)容考試指導(dǎo)

f--------------------------------------------------------

1事.件與概率備考時(shí).應(yīng)理薪隨機(jī)事件的掇率與頻率

“444

(1)了胡隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和懈的穩(wěn)定的關(guān)系；掌樨古典概型、幾何概型的定

性.了制崛率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.

.隨機(jī)事件的概率、

1義、計(jì)算公式,理解并掌握互斥事件與

古典概型(2)了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式

對(duì)立事件概率的計(jì)算公式；能熟練地將

■5年50考2古.典微型

(1)理解古典旗型及其微率計(jì)算公式.實(shí)際向雄中的概率計(jì)算達(dá)化為與之相應(yīng)

(2)會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件做

的微率模型進(jìn)行il算，熟練掌握用列攆

及事件發(fā)生的概率.

法、列表法等計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)及將

3.隨機(jī)數(shù)與幾何微型

2幾何微型

(1)了第隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率幾何概型轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何度■值的方

(2)了解幾何微型的意義.

■5年11考法,強(qiáng)化數(shù)據(jù)處理能力.

J

考點(diǎn)題組訓(xùn)練

隨機(jī)事件的概率、古典概型m夷第

第步兒試真題

n、/

1.(2024.天津，2,易)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是:，甲獲勝的概

率是/則甲不輸?shù)母怕蕿?)

A.fB.1C.7D.J

6563

1.A［考向3］甲不輸，則甲勝或平,

2.(2024.課標(biāo)I,3,易)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2

種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在

同一花壇的概率是()

2.C［考向2］從紅、黃、白、紫4種花中任取2種有6種取法，分別為紅與黃，

紅與白，紅與紫，黃與白，黃與紫，白與紫，其中紅與紫不在同一花壇有4種狀

42

況，故紅色與紫色不在同一花壇的概率尸

3.(2024.課標(biāo)III,5,易)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，遺忘了開機(jī)密碼的前兩位，只記得

第一位是/,N中的一個(gè)字母，其次位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則

小敏輸入一次密碼能夠勝利開機(jī)的概率是（）

A1±±

A15%RCc15uN,30

3.C［考向2］由題意可知，

共15種可能性，而只有1種是正確的.

，輸入一次密碼能夠勝利開機(jī)的概率為

JLJ

4.（2024?北京，6,中）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率

為（）

1

AR2

250-5=25u25

4.B［考向2］從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，有10種不同結(jié)果，而甲被

選中有4種結(jié)果，故尸=余=看故選B.

1V-ZJ

5.（2024.課標(biāo)I,4,易）假如3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的長，則

稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)

構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）

Q1c-LD-L

AioDB,5JO□,2（）

5.Cr考向21從1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù)，共有1（）種選法，而為勾股數(shù)的

只有3,4,5,故所求概率為*選C.

6.（2024?湖北，2,易）容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表:

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

頻數(shù)234542

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻率為（）

A.（）.35B,0.45C.（）.55D.0.65

2+3+49

6.B［考向1］數(shù)據(jù)落在［10,40）的頻率為,八=萬=0.45,故選B.

7.（2024-廣東，7,中）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5

件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為（）

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

7.B［考向2］首先對(duì)5件產(chǎn)品編號(hào)為1,2,3,4,5.其中1,2兩件為次品，3,

4,5為正品，從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品，全部事務(wù)為：(1,2),(1,3),(1,

4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(gè)事務(wù).

其中恰有一件為次品的事務(wù)為：(1，3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,

5),共6個(gè)事務(wù).

?,.恰有一件次品的概率為。=春=向=0.6,選B.

8.(2024.四川，13,中)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為小b,

則log"為整數(shù)的概率是.

8.［考向2］【解析】由題意得，小人有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,

9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12種取法.

若滿足log疝為整數(shù)，則僅有

〃=2,6=8和4=3,方=9兩種狀況，

21

???log/為整數(shù)的概率為云，

【答案】|

9.(2024?課標(biāo)I,13,中)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成

一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

一行有4A2B,AiBAi,A2A1B,ABAiBA1A2,BA%,共6種狀況.2本數(shù)學(xué)書

2f42

---

相鄰有A1A2B,8442,BA2A1,共4種狀況,63

【答案】彳2

1().(2024?課標(biāo)II,13,中)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏

色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

10.考［向2］【解析】甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員從三種顏色的運(yùn)動(dòng)服中等可能地選擇

一種，全部可能結(jié)果有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)

藍(lán)，共9種，選擇相同顏色的結(jié)果共有3種，所以選擇同種顏色的概率為P=］=

1

3,

【答案】|

11.(2024.山東，16,12分，易)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).

參與活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),

記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).記兩次記錄的數(shù)分別為x,)，.嘉獎(jiǎng)規(guī)則如下：

①若則嘉獎(jiǎng)玩具一個(gè)；

②若與28，則嘉獎(jiǎng)水杯一個(gè)；

③其余狀況嘉獎(jiǎng)飲料一瓶.

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個(gè)區(qū)域劃分勻稱.小亮打算參與此項(xiàng)活動(dòng).|

(1)求小亮獲得玩具的概率；/d

(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.(3

11.［考向2］解：用數(shù)對(duì)y)表示兒童參與活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基

本領(lǐng)件空間。與點(diǎn)集5={(-y)|x￡N,y￡N,l<x<4,1<)<4)---對(duì)應(yīng).

因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4x4=16,

所以基本領(lǐng)件總數(shù)〃=16.

⑴記503”為事務(wù)4

則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個(gè)，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),

所以P(A)=V，即小亮獲得玩具的概率為1

⑵記“沖之8”為事務(wù)8,“3<x)，<8”為事務(wù)C,

則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)共6個(gè)，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以尸(8)=諱=》

事務(wù)。包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個(gè)，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以尸(0=高

因?yàn)殪?主5，

o10

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

12.(2024?課標(biāo)H,18,12分,中)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為單位:元)，接著購買

該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)軼如

下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)~~0~~FT1~2~~~~3~~4>5

保費(fèi)0.856/a1.25?1.5。1.75a2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)狀況，得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

頻數(shù)605()3()30201()

(1)記A為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值；

(2)記R為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的

160%”.求P(8)的估計(jì)值；

(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)的估計(jì)值.

12.［考向1］解：(1)事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為

60+50

200=055,

故P(A)的估計(jì)值為().55.

(2)事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1巨小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)

出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為

30+30

200=03,

故P(B)的估計(jì)值為03

(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費(fèi)0.85。a1.25。1.5a1.75。2a

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為

0.85ax0.30+ax0.25+1.25^x0.15+1.5^x0.15+1.75^x0.104-2^x0.05=1.1925a.

因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a

13.(2024.湖南，16,12分，中)某商場實(shí)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買肯定金額

的商品后即可抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球4,4和1個(gè)白球3的甲箱

與裝有2個(gè)紅球的，位和2個(gè)白球歷，厲的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸

出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).

⑴用球的標(biāo)號(hào)列出全部可能的摸出結(jié)果；

(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，

你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由.

13.［考向2,3］解：(1)全部可能的摸出結(jié)果是{4,s},{4,az},{Ai,小},

{Ai,歷},{Ai,6/i),{A2,ai}>{A2,Z?I},{Az,bi}>{B,a\}>{B,s},{3,

bi］,{8,歷}.

(2)不正確.理由如下：

由(1)知，全部可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為

［4,41},{Al,。2},依2,a\),{Al,42},

共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為今=/不中獎(jiǎng)的概率為1一9胃故這種說法不

正確.

14.(2024.陜西，19,12分，中)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天

氣狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

日期123456789101112131415

天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴

日期161718192021222324252627282930

天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨

(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率;

(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天起先實(shí)行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)

會(huì)期間不下雨的概率.

14.［考向1］解：(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概

13

率，4月份任選一天，西安市在該天不下雨的概玄為

(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如1日與2日,2日與3日等).這樣，在

4月份中，前一天為晴天的“互鄰日期對(duì)”有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，

所以晴天的次日不下雨的頻率為《

O

、7

以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為？

O

15.(2024.山東，16,12分，中)海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,。三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種

商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作

人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.

地區(qū)ABC

數(shù)量5()15()100

(1)求這6件樣品中來自A,B,。各地區(qū)商品的數(shù)量；

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品

來自相同地區(qū)的概率.

15.［考向2］解：(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是而蓋0前=5,

所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是5()x［=1,150x^7=3,100x^7=2.

JV/JVzJL

所以這6件樣品來自4B,C三個(gè)地區(qū)商品的數(shù)量分別為1,3,2.

⑵設(shè)6件來自A,B,。三個(gè)地區(qū)的樣品分別為4Bi,&,&；Ci,Ci.

則抽取的這2件商品構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為{A,Bi},{A,&},{A,網(wǎng)，{A,

Ci},{A,Q},{Bi,&},{Bi,&},{Bi,Ci},{Bi,Q},{&，&}，{&，Ci},

{&,C2),{&,Ci),{Bs,Ci},{Ci,Ci},共15個(gè).

每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.

記事務(wù)D”抽取的這2件商品來自相同地區(qū)“，則事務(wù)。包含的基本領(lǐng)件有{5,

&},{Bi,&},{82,&},{Ci,G},共4個(gè).

44

所以P(0=去，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為去.

JLJJLJ

第?步提能力

隨機(jī)事件的領(lǐng)率與概率

?國砧齦國

通過計(jì)算事務(wù)發(fā)生的頻率去估算事務(wù)的概率是近幾年高考考查概率的熱點(diǎn)，多以

解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬低中檔題，常與

頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計(jì)圖表交匯命題.

在復(fù)習(xí)中，要充分理解頻率與概率的關(guān)系，嫻熟駕馭事務(wù)頻數(shù)的計(jì)算方法，如列

舉法、列表法、樹狀圖法等.

口由阿國1(2024?北京，17,13分)某超市隨機(jī)選取1000名顧客，記錄了他們

購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中T”表示購買，“X”

表示未購買.

商品

顧客彘、甲乙丙T

10()4X7

217X7X7

200Y7qX

300YXqX

85YXXX

98XqXX

⑴估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率:

(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；

(3)假如顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？

【解析】(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了

乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為襦=02

⑵從統(tǒng)計(jì)表中可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、

丁，另有.ZOO位顧客同時(shí)購買甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以

顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為端薩=0.3.

(3)與(1)同理，可得：

顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為勰=0.2,

顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為靈匕搬半=06

顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為懸=0.1,

所以，假如顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.

解題(1)的關(guān)鍵是從表中數(shù)清同時(shí)購買乙和丙的顧客人數(shù)；

解題(2)的關(guān)鍵是從表中數(shù)清在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的顧客人數(shù)；

⑶分別計(jì)算購買了甲商品的顧客中同時(shí)購買乙、丙、丁二種商品中其中一種的

人數(shù)所占的比例，并比較大小.

宿圖圖四,(2024.陜西，19,12分)某保險(xiǎn)公司利用簡潔隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保

車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

賠付金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛J500130100150120

(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率;

(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛

中，車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元

的概率.

解：⑴設(shè)A表示事務(wù)”賠付金額為3()0()元”，B表示事務(wù)”賠付金額為400()元”，

以頻率估計(jì)概率得

尸⑷=7^=815'P(B)=~j^=0.12.

由于投保金額為2800元賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是300()元和400()

元，所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

⑵設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為

新司機(jī)的有0.1x1000=100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司

機(jī)的有120x20%=24(輛).

所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為益=0.24,

由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24.,

用頻率估計(jì)事務(wù)發(fā)生概率的方法

(1)依據(jù)題設(shè)的統(tǒng)計(jì)圖表，選用適當(dāng)?shù)姆椒?，?jì)算出所求事務(wù)發(fā)生的頻數(shù)；

(2)計(jì)算出事務(wù)發(fā)生的頻率；

(3)依據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計(jì)出事務(wù)發(fā)生的概率值.

留意：計(jì)算的關(guān)鍵是計(jì)算此事務(wù)出現(xiàn)的頻數(shù).

2古典概型

古典概型是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際問題或數(shù)學(xué)其他分支的學(xué)問(如統(tǒng)計(jì)等)的材料

為背景考查，屬于低中檔題，以考查古典概型的基本概念、運(yùn)算為主.三種題型

均有可能出現(xiàn).

復(fù)習(xí)中，要理解古典概型的定義，嫻熟駕馭將實(shí)取概率計(jì)算題轉(zhuǎn)化為古典概型概

率計(jì)算的方法；駕馭列舉法、列表法及樹狀圖法求基本領(lǐng)件數(shù)的技巧.

居回國園2(2024?山東，16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參與書法社

團(tuán)和演講社團(tuán)的狀況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)

參與書法社團(tuán)未參與書法社團(tuán)

參與演講社團(tuán)85

未參與演講社團(tuán)230

⑴從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

(2)在既參與書法社團(tuán)又參與演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)4,A2,A3,

4,A5,3名女同學(xué)3,&,B、,現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1

人，求4被選中且囪未被選中的概率.

【解析】(1)記“該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)為事務(wù)A”，

所以該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率為g.

⑵從5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本

領(lǐng)件有：(Ai,Bi),(Ai,a),(Ai,&),(42,Bi),(A2,&),(4,a),(4,Bi),

(A3,B?),(A3,B3),(A4,BI),(4,&),(4,&),(As,Bi),(4,&),(A5,

協(xié))共15個(gè).

依據(jù)題意，這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.

其中4被選中且⑤未被選中的基本領(lǐng)件有(4,52),(Ai,83)共2個(gè).

2

所以4被選中且B\未被選中的概率為

官國因四Y2024.四川，17,12分)一輛小客車有5個(gè)座位，其座位號(hào)為1,2,

3,4,5,乘客P,02,尸3,尸4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們依據(jù)

座位號(hào)從小到大的依次先后上車，乘客Pi因身體緣由沒有坐自己1號(hào)座位，這

時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座：假如自己的座位空著，就只能坐自己的

座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在這5個(gè)座位的剩余空位中隨意選擇座

位.

（1）若乘客Pi坐到了3號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時(shí)共有4種坐法.下

表給出了其中兩種坐法，請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法（將乘客就座的座位號(hào)填入表中空

格處）；

思路點(diǎn)撥：（1）P2定在2處，按先后依次分析P3,P4,P5即可；（2）先支配。2,再

依次支配尸3,尸4,尸5即可，進(jìn)而用古典概型求概率。

解：（1）當(dāng)乘客P坐在3號(hào)位置上，止匕時(shí)P2的位置沒有被占，只能坐在2位置，

P3位置被占，可選剩下的任何一個(gè)座位，即可選1,4,5；

①當(dāng)P3選1位置，尸4位置沒被占，只能選4位置，P5選剩下的，只有一種狀況；

②當(dāng)P3選4位置，尸4可選5位置也可選I位置，P5選剩下的，有兩種狀況；

③當(dāng)P3選5位置，P4只可選4位置，P5選剩下的，有一種狀況，填表如下：

乘客P\Pi尸3尸4尸5

32145

32451

座位號(hào)

32415

32541

（2）若乘客P坐到了2號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則全部可能的坐法可用下

表表示:

乘客PiPi尸3P4尸5

1345

51

4

15

3

座位145

2

號(hào)541

15

43

51

5341

于是，全部可能的坐法共8種.

設(shè)“乘客小坐到5號(hào)座位”為事務(wù)A,則事務(wù)A中的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為4,

41

--

8-2

所以乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是:

⑴的關(guān)鍵是由數(shù)據(jù)表確定該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的基本領(lǐng)件數(shù)；

(2)列舉法是求基本領(lǐng)件數(shù)的牛要方法，同時(shí)肯定按規(guī)律一一列舉，做到不重不

漏.

?國感國圖1

求古典概型概率的步驟

(1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；

(2)推斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事務(wù)；

(3)利用列舉法、列表法或樹狀圖法求出總的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)〃及事務(wù)4中包含

的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)〃7；

(4)計(jì)算事務(wù)A的概率P(A)=藍(lán).

列舉法解決問題的留意事項(xiàng)

⑴盡量按某一依次，以做到不重復(fù)、不遺漏.

（2）是否有依次，有序和無序是有區(qū)分的，可以交換次序來看是否對(duì)結(jié)果造成影

響，有影響就是有序，無影響即無序.

（3）是否允許重復(fù)，即是放回的還是不放回的，放回的取元素是允許重復(fù)的，不

放回的取元素是不允許重復(fù)的.

考向3互斥事件與對(duì)立事件的概率

?日畸限際

互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般不單獨(dú)命題，常與古典概型

等學(xué)問交匯命題將困難事務(wù)的概率計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事務(wù)概率或幾個(gè)彼此

互斥簡潔事務(wù)概率的和，從而優(yōu)化解題過程，常出現(xiàn)在解答題中的關(guān)鍵一問中，

屬低中檔題.

復(fù)習(xí)中，熟記互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算公式及適用的條件，駕馭求困難的

互斥事務(wù)的方法.

國日息3（1）（2024?安徽，5）若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、度中

錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為（）

,2°2

（2）（2024.湖南，170,12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配

一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)（人）X3025y10

結(jié)算時(shí)間（分

11.522.53

鐘/人）

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.

①確定不，的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

②求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）

【解析】（1）從五人中錄用三人，全部可能的狀況有（甲，乙，丙）、（甲，乙，

?。?、（甲，乙，戊）、（甲，丙，?。ⅲ?，丙，戊）、（甲，丁，戊）、（乙，丙，?。?/p>

（乙，丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10種.

方法一（通法）：甲被錄用乙沒被錄用的可能狀況有（甲，丙，丁），（甲，丙，戊）,

(甲，丁，戊)共3種，乙被錄用甲沒被錄用的可能狀況有(乙，丙，丁)，(乙，丙，

戊)，(乙，丁，戊)共3種，甲、乙都被錄用的可能狀況有(甲，乙，丙)，(甲，乙，

丁)，(甲，乙，戊)共3種,

所以所求概率為P=-^—=^

方法二(優(yōu)法)：記事務(wù)A：甲或乙被錄用.則4的對(duì)立事務(wù)A僅有(丙，丁，戊)

I-Q

這一種可能，???P(4)=記即P(A)=1—P(A)=而,選D.

(2)①由已知得25+y+10=100x55%=55,x+30=100x(1—55%)=45,

所以x=15,y=20.

該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體所收集的100位顧客一次購

物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡潔隨機(jī)樣本顧客一次購物的結(jié)

算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為

1x154-1.5x30+2x25+2.5x20+3x10八i

---------------而--------------=1.9(分鐘).

②方法一(通法)：記4表示事務(wù)”一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，

4,4,4分別表示事務(wù)“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購

物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.

將頻率視為概率得

153303251

P(AI)=TOO=2O,P(A2)=1OO=TO,P(A3)=TOO=4,

因?yàn)锳=AIUA2UA3,且AI,A2,A3是互斥事務(wù)，

所以P(A)=P(AiUA2UA3)=P(4)+P(A2)+P(4)

=3+邛J

20十10十410,

7

故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為六.

方法二(優(yōu)法)：記A表示事務(wù)“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，則

4的對(duì)立事務(wù)4為“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘”，

?士》-20+1()3

由表知,P(A)=—|QQ=lo,

-37

所以P(A)=1~P(A)=1-7^=7^.

7

故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為力.

e際圖0

解題(1)時(shí)，關(guān)鍵是求出甲或乙被錄用的可能結(jié)果種類，通法求解狀況較多，可

用優(yōu)法求解，再用古典概型求概率；

解題⑵①時(shí)，關(guān)鍵由已知先確定-)，值，進(jìn)而計(jì)算平均值；解②時(shí)，關(guān)鍵是分

清哪些事務(wù)是彼此互斥并應(yīng)用互斥事務(wù)的概率加法公式分別求解或轉(zhuǎn)化為求其

對(duì)立事務(wù)的概率，用間接法求解。.

宿國圖四,(2024.江西，18,12分)小波以嬉戲方式確定是小丹

，(11,1)4]

去打球、唱歌還是去下棋.嬉戲規(guī)則為：以。為起點(diǎn)，再

⑷________1一

從4,A2,A3,A4,4,4(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別01x

為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X>0

就去打球，若X=()就去唱歌，若X<()就去下棋.

(1)寫出數(shù)量積Y的全部可能取值：

⑵分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解：(1)由題意得X的全部可能取值為-2,-1,0,1.

(2)數(shù)量積為-2的有況2?85,共1種；

數(shù)量積為一1的有81?85,OAI-OAG,82?84,82?86,oAyoA^oAyoAs,

共6種；

數(shù)量積為0的有8I?笈3,8I?84,83?86,況4?。56,共4種；

數(shù)量積為1的有8I?況2,OA2OA^OA4OA5,況5?況6,共4種.故全部可能

的狀況共有1+6+4+4=15(種).

7

所以小波去下棋的概率為P尸占

因?yàn)槿コ璧母怕蕿?=玲，所以小波不去唱歌的概率。=1一02=1一卡=1|

思路點(diǎn)撥：本題(1)的解題關(guān)鍵是依據(jù)向量的坐標(biāo)，求出其數(shù)量積；本題(2)先依

據(jù)(1)的結(jié)果求出各數(shù)量積對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的個(gè)數(shù)，再求概率。

互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)概率的求法

⑴解決此類問題，首先應(yīng)依據(jù)互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義分析是不是互斥事務(wù)

或?qū)α⑹聞?wù)，再選擇概率公式進(jìn)行計(jì)算.

(2)求困難的互斥事務(wù)的概率一般有兩種方法：

①干脆法：將所求事務(wù)的概率分解為一些彼此互斥的事務(wù)的概率的和，運(yùn)用互斥

事務(wù)的概率加法公式計(jì)算；

②間接法：先求此事務(wù)的對(duì)立事務(wù)的概率，再用公式P(4)=1-P(A)求解，即用

正難則反的數(shù)學(xué)思想，特殊是“至多”“至少''型問題，用間接法就顯得較簡便.

第￡1步J過模擬

1.(2024.河南安陽二模，5)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A=(抽到一

等品｝,事務(wù)8=｛抽到二等品｝,事務(wù)C=｛抽到三等品｝,且己知P(A)=0.65,

P(8)=0.2,P(C)=0.1,則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為()

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5

1.C［考向3］“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事務(wù)A是對(duì)立事務(wù)，，所求概率P=1

—P(A)=0.35,故選C.

2.(2024.山東煙臺(tái)一模，6)從集合A=｛-1,1,2)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為％從

集合3=｛-2,1,2｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為4則直線)，=丘+〃不經(jīng)過第三象

限的概率為()

2145

--C--

A.939D.9

2.A［考向2］由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)&￡A=｛—

1,1,2｝,b^B=｛-2,1,2｝得到出。)的取值全部可能的結(jié)果有：(-1,-2),

(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,I),(2,2)共9

種.

［R0,

而當(dāng)L八時(shí)，直線不經(jīng)過第三象限，

1/?>0

符合條件的(2,與有2種結(jié)果，

???直線不經(jīng)過第三象限的概率為

2

-

9

3.(2024.湖北荊州一模，7)己知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈

泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)須要一只卡M燈泡，電工師傅每次從

中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的

是卡口燈泡的概率為()

3277

--C--

A.989

10

3.D［考向2］若第1次抽到的是螺口燈泡，這時(shí)盒子中還有2只螺口燈泡與7

只卡口燈泡，則第2次抽到的是卡口燈泡的概率為7我=卓7故選D.

4.(2024?湖南益陽一模，4)4張卡上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中

隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為()

4.B［考向2］因?yàn)閺?張卡片中任取出2張有(1,2),(1,3),(I,4),(2,3),

(2,4),(3,4)共6種狀況，其中2張卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的有(1,3),(2,4)這

2種狀況，所以2張卡片上的數(shù)字和為偶數(shù)的概電為/故選B.

5.(2024.廣東中山聯(lián)考，12)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在銀行一個(gè)營業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)

等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下：

排隊(duì)人數(shù)01234>5

概率().10.16().3().3().10.04

則該營業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí)至少有2人排隊(duì)的概率是______________________,

5.［考向3］【解析】曰表格可得至少有2人排隊(duì)的概率2=0.3+0.3+0.1+0.04

=0.74.

【答案】0.74

6.(2024.安徽合肥二模，11)采納隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)三天中恰有兩天下雨

的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4表示

下雨，用5,6,7,8,9,()表示不下雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這

三天的下雨?duì)顩r.經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下2()組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.

6.［考向1］【解析】由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)

生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、

932、812、393,共5組隨機(jī)數(shù)，故所求概率為亮=0.25.

【答案】0.25

7.(2024?四川成都一模，17,12分)某地區(qū)從某年起幾年內(nèi)考上高校的人數(shù)及其

中的男生人數(shù)如表：

時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)

考上高校人數(shù)554496071352017190

男生人數(shù)2883497069948892

(1)分別計(jì)算幾年(1年，2年，3年，4年)內(nèi)考上高校的學(xué)生是男生的頻率(保留4

位小數(shù))；

(2)這一地區(qū)考上高校的學(xué)生是男生的概率約是多少？

7.［考向1］解：(1)該地區(qū)考上高校的學(xué)生是男生的頻率：

1年內(nèi)：1^0.5200.

4970

2年內(nèi)：9607^0,5173-

6994

3年內(nèi)：13520"°$173.

QQO7

4年內(nèi)：萬的°5173.

(2)由于(1)中的這些頻率特別接近0.5173.因此這一地區(qū)考上高校的學(xué)生是男生

的概率約為0.5173.

8.(2024.湖南岳陽一模，16,12分)某中學(xué)生物愛好小組在學(xué)校生物園地種植了

一批珍貴樹苗，為了解樹苗的生長狀況，從這批樹苗中隨機(jī)地測量了其中5()棵

樹苗的高度(單位：厘米)，并把這些高度列成了如下的頻數(shù)分布表：

分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)231415124

(1)在這批樹苗中任取--棵，其高度不低于8()厘米的概率是多少?

(2)這批樹苗的平均高度大約是多少？(計(jì)算時(shí)用各組的中間值代替各組數(shù)據(jù)的平

均值)

(3)為了進(jìn)一步獲得探討資料?，若從［40,50)組中移出一棵樹苗，從［90,100］組中

移出兩棵樹苗進(jìn)行試驗(yàn)探討二則［40,50)組中的樹苗A和［90,100］組中的樹苗。

同時(shí)被移出的概率是多少？

8.［考向2］解：(1)???高度不低于80厘米的頻數(shù)是12+4=16,

，高度不低于80厘米的樹苗的概率為弗=言

(2)依據(jù)題意，樣本容量即各組頻數(shù)之和為2+3+14+15+12+4=50,

則樹苗的平均高度為

45x2+55x3+65x14+75x15+85x12+95x43690

x=50=50=73?8(cm).

(3)設(shè)［40,50)組中的樹苗為A、6,［90,100］組中的樹苗為C、。、E、F,

則基本領(lǐng)件總數(shù)為12,它們是ACD.ACE.ACF、ADE.ADF、AEF.BCD、

BCE、BCF、BDE、BDF、BEF,

而滿足A、C同時(shí)被移出的事務(wù)為4cO、ACE.ACT共3種，

31

???樹苗和樹苗同時(shí)被移出的概率為

ACIZ4

思路點(diǎn)撥：(1)依據(jù)題意，由頻率分布表可得高度不低于80厘米的頻數(shù)，進(jìn)而由

等可能事務(wù)的概率公式，計(jì)算可得.

⑵首先計(jì)算出樣本容量，進(jìn)而由平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得.

(3)設(shè)［40,50)組中的樹苗為A、3,［90,100］組中的樹苗為C、。、E、尸，用列

舉法可得移出3棵樹苗的基本領(lǐng)件的數(shù)目與A、。同時(shí)被移出的事務(wù)數(shù)目，由等

可能事務(wù)的概率公式計(jì)算可得.

9.(2024.湖北黃石二模，18,12分)某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張

獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，沒特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，

二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事務(wù)分別為4B,C,

求：

(l)P(A),P(B),P(O；

(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

9.［考向3］解：(1)P(A)=焉，

rw-l000-100,

Pfn=.50_=±

000-20-

故事務(wù)A,B,C的概率分別為了^面，擊，右.

（2）1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).

設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事務(wù)M,則

M=AUBUC.

VA,B,。兩兩互斥,

14-10+5061

???P(M)=P(AU8UC)=P(4)+P(3)+P(C)=-TOOQ-=?000-

故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為瑞J.

（3）設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事務(wù)M由對(duì)立事務(wù)概率公式得

P（N）=I—P（AUB）

-1U000^iooj_1000-

故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為湍.

1I人八1/

幾何概型*小崇女束

第II步試真題

1.（2024?課標(biāo)H,8,易）某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈

持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出

現(xiàn)綠燈的概率為（）

北440-155

LB［考向"=』一萱.

2.（2024.福建,8,易）如圖,矩形ABC力中，點(diǎn)A在x軸上，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）,且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)人工）=

x+1,x>0,

一%+…〈。的圖象上若在矩形反。內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則

此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）

113

-B-C-

A.648

2.B［考向2］由題意可知,如圖，則鳳0,1）,C（l,2）,D（-2,2）,

y

3x1

，所求事務(wù)的概率為p=W4

3.（2024?湖南，5,易）在區(qū)間［-2,3］,隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X則X￡1的概率為（）

4321

A.§B.§C.§D.g

3.B［考向1］這是一個(gè)幾何概型問題，測度是長度，此問題的總長度為5,使

3

得“XS”的長度為3,因此P（XS）=?

4.（2024?遼寧，6,易）若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABC。中，其中

4/?=2,AC=I,則質(zhì)點(diǎn)落在以AK為直徑的半圓內(nèi)的概率是（）

、兀n兀一兀e兀

A-2B4C6D8

C

4.B［考向2］設(shè)“質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)”為事務(wù)A,則%A）=不二=

3氏與形

1

ZX7CX121

f_______7C

1x2=4'

S（2024?湖南9中）已知事務(wù)”在矩形ABC。的邊。上隨機(jī)取一點(diǎn)H使AAPB

的最大邊是W發(fā)生的概率是/則第=（）

A.|B.|C.孚D.（

5.D［考向1］矩形A8c。如圖所示，在點(diǎn)。從。點(diǎn)向。點(diǎn)移動(dòng)過程中，DP在

增大，4P也在增大，而在漸漸減小，當(dāng)點(diǎn)P到P位置時(shí)，BA=BPT,當(dāng)點(diǎn)

產(chǎn)到P2位置時(shí)，AB=AP2f故點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，△斗3尸中邊AB最大，由

1ao

題意可得在中，22222

PIP2=72CDRtABCPiBPJ=TloJCD-\-BC=TIo7AB-1-AD=AB.

即g=看轉(zhuǎn)2,所以翳=乎，故選D.

思路點(diǎn)撥：依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)找尋滿足條件的點(diǎn)P,利用直角三角形的性質(zhì)求

解.

6.（2024?陜西,12,難）設(shè)復(fù)數(shù)z=a-l）+yi（x,y￡R）,若本1,貝Uy女的概率

為（）

3,1?1,1八1111

A3+五*B-2+nC.1方D-2-7T

6.C［考向2］由|本1得（x—1>+聲1,由題意作圖如圖所示，

711

4-211

??.），》的概率為*

7.（2024.福建，13,易）如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有

180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為.

7.［考向2］【解析】由已知可知豆子落到陰影部分的概