第五章

DIWUZHANG平面向量、復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

考試要求1.了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的

含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.

掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運

算的性質(zhì)及其幾何意義.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

(I)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時有向線段的

方向就是向量的方向晌量部的大小就是向量的悵度(或稱模)，記作曲.

(2)零向量：長度為。的向量,記作0.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,力平行，記作〃〃》.

規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長度相等R方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

C

(1)交換律：

A，B

求兩個向量和a'〃+〃=b+a.

加法三角形法則

的運算(2)結(jié)合律：

K9ac

(〃+方)+。="+e+c)

OA

平行四邊形法則

求兩個向量差

減法勺。一〃=〃+(一萬)

的運算

三角賬法則

規(guī)定實數(shù)1與

⑴1詞=蛔；

向量a的積是

(2)當2>0時，2a的方向

一個向量，這

數(shù)乘與。的方向相同;當/IV0(2+4)a=Za+ua；

種運算叫做向

時，腦的方向與a的方向

量的數(shù)乘，記

相反;當2=0時，ia=0

作腦

3.共線向量定理

向量Q(〃WO)與〃共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)九使

常用結(jié)論

1.中點公式的向量形式:若P為線段A8的中點，。為平面內(nèi)任一點，則辦=<(①

4

+的.

2.勿1=2訪+〃沆(九〃為實數(shù))，若點A,B,。共線，則7+"=1.

3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考

慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)⑷與同是否相等和〃，力的方向無關(guān).()

(2)若〃〃力，b//c,貝ija〃c.()

(3)向量初與向量金是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線上.()

(4)當兩個非零向量0,方共線時，一定有》=加，反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)J

解析(2)若方=0,則。與。不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,D四點不一定在

一條直線上.

2.(多選)(2022?威海月考)下列說法正確的是()

A.非零向量。與b同向是a=b的必要不充分條件

B.若防與反:共線，則A,B,C三點在同一條直線上

C.”與b是非零向量，若〃與b同向，則〃與一方反向

D.設(shè)，"為實數(shù),若〃=砂,則。與b共線

答案ABC

解析根據(jù)向量的有關(guān)概念可知ABC正確，對于D,當2=n=（）時，。與b不

一定共線，故D錯誤.

3.（2021?長沙調(diào)研）已知點O為△43C的外接圓的圓心，且次+協(xié)+左＞=0,則

△ABC的內(nèi)角4等于（）

A.30°B.450C.60°D.90°

答案A

解析由函+麗+函=0,得為+防=詼，又。為△ABC的外接圓的圓心，

根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OAC8為菱形，且NCAO=60。，因此NCA8=30。.

4.（易錯題）下列四個命題中，正確的是（）

A.若〃〃4則

B.若⑷=|加則

C若⑷=|叫則右〃b

D.若。=4則⑷=網(wǎng)

答案D

解析A中，a//b,則a=油,故A不正確；

B、C中，由于向量陰〃的大小相等，但其方向不確定，故B、C都不正確；D

顯然正確.

5.在△A5C中，AO為BC邊上的中線，石為AD的中點，則訪=（）

3一1一1一3一

A.-^AB-^ACB.pB—薩。

C翔+松D.拗+泣

答案A

rtrititiirA

解析法一如圖所示，詼=互）+麗=5病+5為=5X5（油

BD

+AC）4-1（A&-AC）=1AB—^Ac,故選A.

法二^=AB-AE=AB-^AD=AB-^X^AB-\-AC）=^AB-^ACt故選A.

乙乙乙4*

6.設(shè)。與》是兩個不共線向量，且向量。+乃與一（8—2°）共線，則2=.

答案得

解析由已知2a—bWO,依題意知向量〃+油與2a—〃共線，設(shè)a+2b=k（2“一

b）,則有（1—2火）a+（Z+2）b=O,因為〃，。是兩個不共線向量，故〃與力均不為

零向量，所以《，」1「解得攵=5，2=—5?

[4+2=0,22

I考點突破,題型剖析

考點一平面向量的概念

1.（多選）下列命題中正確的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.G與。同向，且|〃|>網(wǎng)，?|Ja>b

D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件

答案AD

解析由平行向量和共線向量可知，A正確；

因為相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，所以B是錯誤的；

因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C

是錯誤的；

因為兩個向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等，則這兩個向量平行，

因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D是正確.

2.設(shè)°,力都是非零向量，下列四個條件中，使啟=由成立的充分條件是（）

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.a〃b且⑷=|例

答案C

解析因為向量尚的方向與向量。方向相同，向量微的方向與向量力方向相同，

且￡春所以向量〃與向量。方向相同，故可排除A,B,D.

當a=2b時，而=時=而，故。=26是而=而成立的充分條件,

3.(多選)下列命題正確的有()

A.方向相反的兩個非零向量一定共線

B.單位向量都相等

C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

D.“若4,B,C,。是不共線的四點，且檢=脫?”o"四邊形A8CO是平行四

邊形”

答案AD

解析方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共

線，故A正確；

單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯誤；

兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相

同的起點和終點，故C錯誤；

A,B,C,。是不共線的點，油=反，即模相等且方向相同，即平行四邊形A8CO

對邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函

數(shù)圖象的平移混淆.

(4)非零向量。與含的關(guān)系：卷是與a同方向的單位向量.

\U\

考點三向量的線性運算

角度1平面向量的加、減運算的幾何意義

例1(1)已知兩個非零向量a,8滿足|a+臼=|a—臼，則下列結(jié)論正確的是()

A.a//bB.a_L5

C.|a|=|b|V).a-\~b=a—b

答案B

解析由已知明方不共線，在口A8c。中，設(shè)刀^=〃，AD=b,由|〃+力|=|〃一切,

知|而=|加從而@4BCQ為矩形，即AB_LAO,故。_1_兒

⑵若|麴|=|就1=|第一段|=2,則|成+位?|=.

答案2小

解析因為|施|=|危|=|魂—屐1=2,

所以aABC是邊長為2的正三角形，

所以|曲+而為△ABC的邊BC上的高的2倍,

所以|部十m=24.

角度2向量的線性運算

例2（1）（多選）如圖所示，在△ABC中，Q是A8的中點，下列

關(guān)于向量⑸表示正確的是（）

A.CD=CA+DB

B.CD=BC-hDA

fJ「

C.CD=^AB-\-AC

D.cb-

答案AD

解析對于A,因為。是AB的中點，所以病=協(xié)，因為⑦=0+病，所以而

=C4+DB,所以A正確；

對于B,由三角形法則得，CD=CB-\-Bb=CB-\-DA=-BC-\-DA,所以B不正

確；

對于C,Cb=G\+AD=^AB-AC,所以C不正確；

對于D,因為。是A3的中點，所以詼=）出+；宓，所以D正確.

乙L

（2）如圖，在直角梯形A4C。中，DC=^AB,BE=2EC,且能=

/

A^~---------'B

rAB+sAD,貝ij2〃+3s=（）

A.lB.2C.3D.4

答案C

解析法一由題圖可得

2

AE=AB-\-BE=AB-\-TBC

9

=筋+］（或+崩+及7）

=|AB+1（AD+DC）

=^AB-\-^Ab.

12

因為展=泊自+病，所以廠=，S=Q,

55JJ

則2r+3s=1+2=3.

法二因為旗=2比，

所以立一前=2（慶一說，

整理，得病=；病+；危=；牯+永/內(nèi)+證）=;前+翔）,

以下同法一.

法三如圖，建立平面直角坐標系人力），，

依題意可設(shè)點8（4加，0）,D（3m,3力）,E（4m,2/?）,其中〃z>0,

A>0.

由崩=,防+sAb,

得（4，〃，2〃）=44小，0）+s（3"z,3/?）,

2-

4/?=4/nr+3/w5,

所以V解得2

-

2/7=3/25,3

所以2r+3s=1+2=3.

感悟提升1.（1）解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相

等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)叱.

⑵在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、

三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，

把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.

2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角

形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

訓(xùn)練1（1）（2021?昆明二模）己知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且成+彷+無=

0,則（）

A.^=—+|BC

B.^4=|BA+|BC

C.B4=麗—|5C

D.或—g肚

答案D

解析由題意，/一位=麗，B4+AC=PC,而成+而+1=0,

，3或一函+危=0,又加=反?一旗，即3中一2或+反?=0,

（2）在正六邊形ABC。環(huán)中，對角線8D,C/相交于點P.若辦=八屆+）酢，則x

+

廣

57

入2-C3-

2D.2

客

案

解析如圖，記正六邊形A8CDE尸的中心為點0.連接08,

0D,易證四邊形。BCD為菱形，且P恰為其中心，

因為存=A■筋+)酢,

35

--

22

r考點三共線向量定理的應(yīng)用

例3設(shè)兩向量〃與力入共線.

(1)若油=a+b,反：=2a+8力，a)=3(4—力).求證：A,B,。三點共線；

(2)試確定實數(shù)&，使阮+力和〃+劭共線.

(1)證明???施=〃+瓦病=2a+8b,CD=3(a-b).

，冊=/+函=2a+8b+3(a—b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5屈.

???福，麗共線，又它們有公共點8,

???A,B,。三點共線.

(2)解???履+〃與。+必共線，

???存在實數(shù)3

使履+6=2(。+姑)，即ka+b=/a+akb,

(k—X)a=(kk—1)b.

???〃，6是不共線的兩人向量，

??/-2=獨一1=(),???公一1=(),：.k=±\.

感悟提升利用共線向量定理解題的策略

(l)a//關(guān)0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思

想的運用.

(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共發(fā)，即A,B,。三點共線o油,

危共線.

⑶若a與b不共線且加=4d則7="=().

⑷次=7訪+〃沆(晨〃為實數(shù))，若A,B,。三點共線，則Z+〃=l.

訓(xùn)練2(1)已知m方是不共線的向量，B=癡+〃，比=a+〃僅九〃￡R),若A,

B,C三點共線，則2,〃的關(guān)系一定成立的是()

A."=lB.2〃=—1

C.A—〃=D.A+//=2

答案A

解析,??油與危有公共點A,???若A,B,。三點共線，則存在一個實數(shù)，使油

=tACt即貝'消去參數(shù)f得2"=1；

U"=1,

反之，當川=1時，篇=%+),此時存在實數(shù)力吏筋=)乙故筋和危共線.

??,施與危有公共點4,??.A,B,C三點共線.故選A.

(2)(2022?石家莊模擬)設(shè)ei與62是兩個不共線向量，牯=3ei+2e2,CB=ke\-^ei,

CD=3e\-2kei,若A,&。三點共線，則攵的值為.

答案一3

解析由題意，A,B,。三點共線，故必存在一個實數(shù)九使得牯=，防.

又AB=3ei+2e2,CB=kei-be2tCD=3ei—2te,

所以BD=CD—CB=3e\—2kei—(ke\+。2)

=(3—k)e\—(2k+1)(,

所以3ei+2e2=%(3—k]e\—4(22+1)e2,

又為與02不共線,

3=4(3T),9

所以解得火=一不

.2=—2⑵+1)

(3)如圖所示，在△ABC中，點。是8c的中點，過點。的直線

分別交AB,AC所在直線于不同的兩點M,N,若靠=〃?屆，AC

=〃俞，則ni-\-n的值為.

答案2

解析連接A。，則而斗油+危)

因為M,O,N三點共線，

所以1+,=1,所以機+〃=2.

I分層訓(xùn)練,鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.已知。是兩個非零向量，且|。+加=同+|加，則下列說法正確的是（）

A.?+Z>=0

B.a=b

C.a與b共線反向

D.存在正實數(shù)九使〃=動

答案D

解析因為“，。是兩個非零向量，且=—|b|,所以。與力共線同向，故

D正確.

2.已知筋=。+5力，脛=-3。+64CD=4a-b,則（）

A.A,B,。三點共線B.4,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

答案A

解析由題意得應(yīng)）=比+⑦=。+5）=前，又就，麓有公共點'所以A,B,

。三點共線.

DE

3.如圖所示，在正六邊形中，病+&>+而噂于（）廠

A.OB.BEC（>

C.ADD.CFBA

答案D

解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，

易得，麗+濟+辦=或+#+前=臍+旗=中.

4.矩形的對角線相交于點O,七為40的中點，若無=//而+從國）（九〃為

實數(shù)），則；2+/=（）

515

A.7o7B4.TC.lD.iVo7

答案A

解析DE=AE-AD=^AC-Ab

斗筋+能）_布=；誦—汕,

3195

-A

6

4-168-

5.（2022.廣州一模）在△ABC中，點M為4c上的點，且屐7=領(lǐng)7,若成=2麗+

曲,則的值是（）

A.1B.lC.；D.T

4JJ

答案C

解析由贏/=：該7,得就;=1病，

11n1

所以說二旗+啟;環(huán)+/三旗+,能一旗尸不應(yīng)+?^，又因為詼=7旗

.2]]

+從BC,所以（=§,4=§,故4一〃=§.

6.（多選）設(shè)點M是△A6C所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）

A.若能=；筋+領(lǐng)?，則點M是邊BC的中點

B.若巍=2初一撫，則點M在邊BC的延長線上

C.若然/=一麗7—&力，則點M是3c的重心

D.若屐7=入腦+），而，且x+y=；,則△MBC的面積是△ABC面積的日

乙乙

答案ACD

解析若贏=；麴+；屐?，則點M是邊8C的中點，故A正確；

若麻=2籥一危，即有贏一篇=藤一公，即腸=宿，則點M在邊CB的延

長線上，故B錯誤；

若前=一而一加，即筋/+麗+&力=0,則點M是△ABC的重心，故C正確;

如圖，AM=xAB+yAC,且x+y=J,A

可得2俞=2入浦+2)比，設(shè)病=2篇，則M為AN的中點，

BNC

則△MBC的面積是△ABC面積的;，故D正確.

7.設(shè)向最°,力不平行，向量〃+力與。+2b平行，則實數(shù)丸=.

答案\

解析:向量。，力不平行，，〃+2bW0,又向量%+方與。+2b平行，則存在

6=〃，

唯一的實數(shù)〃，使施+力="(°+20)成立，即加+8=〃a+2〃。，則得，-解

U=2〃，

得z=/z=2-

8.在銳角△ABC中，3M反AM=xAB+yAC{xf)，￡R),則;=.

答案3

解析由題設(shè)可得

CA-\-AM=3(AR-AM),

即4而=3麗+屐:，即贏/=汕+&2

31

則--

尸

龍=

甲4

線=3.

9.已知。，E,E分別為△ABC的邊5C,CA,AB的中點，且肚=a,CA=bf

給出下列命題：①由)=%—力；②麗=Q+；。；③亦=—5+于；@AD-\-BE-\-CF

=0.其中正確命題有.

答案②③④

解析BC=a,CA=b,Ab=^AB+1AC=|(AC-|-CB)+^AC=1c^+AC=—

-b,故①錯；

BE=BC+1c4=?+1z>,故②正確；

次=:(3+或)=:(—〃+〃)=—；a+5，故③正確；

AD~\~BE~\~CF=—b—/+4+加+加—5。=0,故④正確.

乙乙乙乙

10.已知m。不共線，OA=a,OB=bfOC=c,OD=d,OE=e,設(shè)f￡R,如

果3a=c,2b=d,e=K“+R,是否存在實數(shù)“吏C,D,E三點在一條直線上?

若存在，求出實數(shù)，的值；若不存在，請說明理由.

解由題設(shè)知，CD=d—c=2b—3a,CE=e—c=(t—3)。+/。,

C,D,E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)A,使得麗=A&),

即。-3)〃+必=-3①+2姑，

整理得“-3+3k)a=(2k-t)b.

因為〃，力不共線,

t—3+3%=0,

所以有解得

.2J=0,

故存在實數(shù)再使C,D,E三點在一條直線上.

11.如圖，在aABC中，。為8C的四等分點，且靠近8點，E,

產(chǎn)分別為AC,A。的三等分點，且分別靠近A,O兩點，設(shè)麴

=〃，AC=b.

(1)試用“，力表示肚，病，BE；

(2)證明：B,E,廣三點共線.

(1)解在△43C中，因為踮=〃，AC=bf

所以比=/一卷=力_4,

Ab=AB+BD=AB^BC

131

=。+7萬一。)=心+1從

BE=BA-{-AE=-ABH-|AC=

(2)證明因為或：=—〃+gb,

BF=BA-^AF=-AB^AD

所以濟=；巫，濟與巫共線，

且有公共點8,

所以3,E,尸三點共線.

B級能力提升

12.（多選）（2022?武漢模擬）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》

一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心

和重心間的距離是垂心和重心間的距