數(shù)學2.2表達的規(guī)范性數(shù)學表達是將數(shù)學概念和思想用恰當?shù)臄?shù)學語言具體表示和傳達的過程.它包括準確的數(shù)學符號和術(shù)語、清晰的邏輯結(jié)構(gòu)、有效的數(shù)學符號和公式使用.遵循規(guī)范的數(shù)學語言和表達,能夠提高數(shù)學學習效果,促進數(shù)學研究和創(chuàng)新,同時也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和邏輯推理能力.例1

(2025北京卷,18)有一道選擇題考查了一個知識點,甲、乙兩校各隨機抽取100人,甲校有80人答對,乙校有75人答對,用頻率估計概率.(1)從甲校隨機抽取1人,求這個人做對該題目的概率;(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人,設(shè)X為做對的人數(shù),求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學期望;(3)若甲校同學掌握這個知識點,則有100%的概率做對該題目,乙校同學掌握這個知識點,則有85%的概率做對該題目,未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個,設(shè)甲校學生掌握該知識點的概率為p1,乙校學生掌握該知識點的概率為p2,試比較p1與p2的大小(結(jié)論不要求證明).[思維路徑]

X012P0.050.350.6故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55.

學友聊齋例2

(2025天津卷,19)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,a1=b1=2,

a2=b2+1,a3=b3.(1)求{an},{bn}的通項公式;(2)?n∈N*,I∈{0,1},有Tn={p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn|p1,p2,…,

pn-1,pn∈I},(ⅰ)求證:對任意實數(shù)t∈Tn,均有t<an+1bn+1;(ⅱ)求Tn所有元素之和.[思維路徑]

[思維路徑]

能

力訓

練A組

基礎(chǔ)性題組題號選題理由1考查圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)化,要注意表達的規(guī)范性2考查雙曲線的焦點三角形,注意雙曲線標準方程的規(guī)范表達3考查函數(shù)的公切線問題,注意導數(shù)的幾何意義應(yīng)規(guī)范表達為切點處切線的斜率4考查導數(shù)的綜合應(yīng)用,注意解答過程中數(shù)學語言表達的規(guī)范性5考查立體幾何中的線線垂直和二面角的應(yīng)用,注意規(guī)范建立空間直角坐標系進而利用向量求解1.(☆)(2022北京卷,7)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.下列結(jié)論正確的是(

D

)A.當T=220,P=1026時,二氧化碳處于液態(tài)B.當T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)C.當T=300,P=9987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)[解題過程]

對于選項A,lg

P=lg

1

026>3,T=220,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于固態(tài);對于選項B,lg

P=lg

128>2,T=270,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于液態(tài);對于選項C,lg

P=lg

9

987≈3.999,T=300,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于固態(tài);對于選項D,lg

P=lg

729>2,T=360,根據(jù)圖象可知二氧化碳處于超臨界狀態(tài).故選D.

(3)證明:設(shè)函數(shù)F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).因為t>0,所以x+t>x>0.因為g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x+t)>g(x),即g(x+t)-g(x)>0,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因為s>0,所以F(s)>F(0),即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).

B組

綜合性題組題號選題理由1考查三角恒等變換和三角函數(shù)圖象和性質(zhì),要注意推理的規(guī)范性2考查數(shù)列中Sn與an的關(guān)系、求通項、求和及數(shù)列與不等式問題的綜合應(yīng)用,要注意求解過程的規(guī)范表達3考查待定系數(shù)法求橢圓方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵在于規(guī)范表達△OAB的面積和|AB|以及準確的數(shù)學計算4考查獨立事件與互斥事件的概率求解以及隨機變量的分布列,注意求解過程的規(guī)范性5考查橢圓的標準方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,注意點的坐標和證明結(jié)論的規(guī)范表達

X123…k…P……

C組

應(yīng)用性題組題號選題理由1考查回歸分析與殘差分析,求解的關(guān)鍵是對殘差的規(guī)范表達2考查對數(shù)的實際應(yīng)用,求解中注意對數(shù)不等式的規(guī)范求解3本題的解決關(guān)鍵是如何將已知條件與所求問題用恰當?shù)臄?shù)學符號規(guī)范表達4考查圓臺的體積,注意圓臺高的準確表達5考查獨立性檢驗和全概率公式,注意各事件概率的規(guī)范表達

3.(☆☆☆)(2025浙江溫州第二次適應(yīng)性考試,多選題)甲、乙兩人用動漫卡牌玩游戲.游戲開局時桌上有n盒動漫卡牌,每個盒子上都標有盒內(nèi)卡牌的數(shù)量,每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組(a1,a2,…,an),游戲規(guī)則如下:兩人輪流抽牌,每人每次只能選擇其中一盒并抽走至少一張卡牌,若輪到某人時無卡可抽,則該人輸?shù)粲螒?現(xiàn)由甲先抽,則下列開局中,能確保甲有必勝策略的是(

ACD

)A.(1,3) B.(1,2,3)C.(3,3,6) D.(3,4,5)

甲乙

(1)食堂對A套餐的菜品種類與品質(zhì)等方面進行了改善后,對員工對于A套餐的滿意程度進行了調(diào)查,統(tǒng)計了120名員工的數(shù)據(jù),如下表(單位:人).套餐A滿意度A套餐改善前A套餐改善后合計滿意204060不滿意303060合計5070120

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)若A套餐擬提供2種品類的素菜,n(n≥3,n∈N+)種品類的葷菜,員工小李從這些菜品中選擇3種菜品,記選擇素菜的種數(shù)為X,求P(X=1)的最大值,并求此時n的值.(3)設(shè)員工小李第n天選擇B套餐的概率為Pn,求Pn.

D組

創(chuàng)新性題組題號選題理由1考查正態(tài)分布和函數(shù)的對稱性,注意函數(shù)對稱性的規(guī)范表達2以集合和向量為背景考查新定義問題和隨機變量的分布列和期望,要注意所求對象的規(guī)范表達3以“格點”“3格曲線”為情境,考查橢圓的離心率、古典概型以及直線與橢圓的綜合問題,求解中注意對新定義的規(guī)范表達4以集合中元素個數(shù)構(gòu)造數(shù)列,考查等差、等比數(shù)列的綜合問題,解題中注意數(shù)學符號的規(guī)范使用

[解題過程](1)設(shè)c=(c1,c2,c3,c4),ci∈{0,1},i∈{1,2,3,4},因為a=(0,1,1,1),b=(1,1,0,1),a·c=b·c=2,所以c2+c3+c4=2,c1+c2+c4=2,所以c1=c3.若c1=c3=0,則c2=c4=1,若c1=c3=1,則c2=1,c4=0或c2=0,c4=1,所以滿足a·c=b·c=2的c為(1,1,1,0),(1,0,1,1),(0,1,0,1).

所以隨機變量X的分布列為

XP0123……n-1

所以隨機變量X的分布列為

XP0123……n-1

4.(☆☆☆)(2025