/初四數(shù)學(xué)1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動點D從B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運動速度為2cm/s，過點D作DE∥BC交AC于點E，連接BE，設(shè)動點D運動的時間為x（s），AE的長為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？2．已知拋物線y＝﹣x2+2x+3．（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；（2）在給定的坐標系中畫出這條拋物線，設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，求△ABC的面積．3．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB＝36m，D、E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為m．4．如圖，某學(xué)校的校門是一拋物線形狀的建筑物，地面寬度為8m，兩側(cè)距地面6m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為4m，則校門的高度為m．5．某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．6．某市體育館為了讓體育運動的人方便停車，體育館利用一塊矩形空地建了一個停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為58米，寬為22米，陰影部分為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位的面積為700平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）該停車場共有車位70個，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為300元時，可全部租出；當(dāng)每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，那么停車場的月租金收入最大為多少元？7．小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為30元時銷量為200件，每漲1元少賣10件，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．（1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？8．為滿足市場需求，郴州某超市在“中秋節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌月餅，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價提高1元，每天要少賣出20盒．（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？（3）為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種月餅的每盒售價不得高于57元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售月餅多少盒？9．某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元．設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？10．某商店經(jīng)營一種商品，進價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若商店每天銷售這種商品的利潤要達到6000元，則每件商品應(yīng)降價多少元？（3）每件商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大？最大利潤是多少？宏達汽車租賃公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適合市場需求，經(jīng)有關(guān)部門批準，公司準備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每輛汽車的日租金每增加10元，每天出租的汽車相應(yīng)的減少6輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元時，才能使公司的日租金收入最高？這時公司的日租金總收入比提高租金前增加了多少元？12．在一塊等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)要建一個內(nèi)接于Rt△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，AC＝8米，∠ACB＝90°（1）求△ABC中AB邊上的高h；（2）設(shè)DN＝x米，請用x表示NF；（3）設(shè)水池DEFN面積為y（平方米），試確定y與x的函數(shù)表達式；（4）請確定點N在AC什么位置時y最大，最大值是多少？

參考答案與試題解析一．二次函數(shù)的最值（共1小題）1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動點D從B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運動速度為2cm/s，過點D作DE∥BC交AC于點E，連接BE，設(shè)動點D運動的時間為x（s），AE的長為y（cm）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？【解答】解：（1）動點D運動x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．當(dāng)時，S△BDE最大，最大值為6cm2．二．拋物線與x軸的交點（共1小題）2．已知拋物線y＝﹣x2+2x+3．（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；（2）在給定的坐標系中畫出這條拋物線，設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，求△ABC的面積．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點坐標是（1，4），對稱軸是直線x＝1；（2）畫圖象：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）．又∵C（0，3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6．三．二次函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）3．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB＝36m，D、E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為48m．【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標系，x軸在直線DE上，y軸經(jīng)過最高點C．設(shè)AB與y軸交于點H，∵AB＝36m，∴AH＝BH＝18m，由題可知：OH＝7m，CH＝9m，∴OC＝9+7＝16cm，∴C（0，16）、B（18，7）．設(shè)該拋物線的解析式為：y＝ax2+16，將B（18，7）代入得：∴7＝18×18a+16，∴a＝﹣，∴拋物線：y＝﹣x2+16，當(dāng)y＝0時，即：0＝﹣x2+16，∴x＝±24，∴E（24，0），D（﹣24，0），∴OE＝OD＝24m，∴DE＝OD+OE＝24+24＝48m，故答案為：48．4．如圖，某學(xué)校的校門是一拋物線形狀的建筑物，地面寬度為8m，兩側(cè)距地面6m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為4m，則校門的高度為8m．【解答】解：如圖所示：由題意可得，A（8，0），B（2，6），設(shè)二次函數(shù)解析式為：y＝ax（x﹣8），則6＝2a（2﹣8），解得：a＝﹣，故二次函數(shù)解析式為：y＝﹣x（x﹣8）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，則校門的高度為8m．故答案為：8．5．某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．【解答】解：設(shè)矩形雞場與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（47﹣2x+1）m，由題意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，由題意，解得11.5≤x＜24，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝12時，y有最大值為288，當(dāng)x＝12時，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合題意），∴雞場的最大面積為288m2．6．某市體育館為了讓體育運動的人方便停車，體育館利用一塊矩形空地建了一個停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為58米，寬為22米，陰影部分為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位的面積為700平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）該停車場共有車位70個，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為300元時，可全部租出；當(dāng)每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，那么停車場的月租金收入最大為多少元？【解答】解：（1）設(shè)通道的寬為x米，根據(jù)題意得：（58﹣2x）（22﹣2x）＝700，解得：x＝36（舍去）或x＝4，答：通道的寬為4米；（2）設(shè)月租金上漲a元，設(shè)停車場的月租金收入為w元，根據(jù)題意得：w＝（300+a）（70﹣a）＝﹣（a﹣700）（a+300），∵﹣＜0，故w有最大值，當(dāng)a＝×（700﹣300）＝200（元）時，w的最大值為25000（元），答：停車場的月租金收入最大為25000元．7．小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為30元時銷量為200件，每漲1元少賣10件，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．（1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？【解答】解：（1）由題意，得：w＝（x﹣20）?y＝（x﹣20）?（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）；（2）對于函數(shù)w＝﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線．又∵a＝﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當(dāng)20≤x≤32時，W隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝32時，W＝2160答：當(dāng)銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000解這個方程得：x1＝30，x2＝40．∵a＝﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當(dāng)30≤x≤40時，w≥2000．∵20≤x≤32∴當(dāng)30≤x≤32時，w≥2000．設(shè)每月的成本為P（元），由題意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000∵k＝﹣200＜0，∴P隨x的增大而減?。喈?dāng)x＝32時，P的值最小，P最小值＝3600．答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．8．為滿足市場需求，郴州某超市在“中秋節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌月餅，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價提高1元，每天要少賣出20盒．（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？（3）為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種月餅的每盒售價不得高于57元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售月餅多少盒？【解答】解：（1）由題意得：y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600；（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a＝﹣20＜0，∴當(dāng)x＝60時，P最大值＝8000元，即當(dāng)每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P（元）最大，最大利潤是8000元；（3）由題意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，解得x1＝50，x2＝70，∵拋物線P＝﹣20（x﹣60）2+8000的開口向下，∴當(dāng)50≤x≤70時，每天銷售糕點的利潤不低于6000元的利潤，又∵x≤57，∴50≤x≤57．∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝57時，y最小值＝﹣20×57+1600＝460，即超市每天至少銷售糕點460盒．9．某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元．設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）由題意得：y＝80+20×∴函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由題意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合題意，舍去）答：當(dāng)銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元．（3）設(shè)每月獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴當(dāng)x≤65時，w隨x的增大而增大∵30≤x≤60∴當(dāng)x＝60時，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：當(dāng)銷售單價為60元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大，最大利潤是1950元．10．某商店經(jīng)營一種商品，進價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若商店每天銷售這種商品的利潤要達到6000元，則每件商品應(yīng)降價多少元？（3）每件商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）由題意可得，y＝（13.5﹣x﹣2.5）（500+100x）＝﹣100x2+600x+5500，即y與x間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣100x2+600x+5500；（2）當(dāng)y＝6000時，6000＝﹣100x2+600x+5500，解得，x1＝1，x2＝5，即每件商品應(yīng)降價1元或5元；（3）y＝﹣100x2+600x+5500＝﹣100（x﹣3）2+6400，∴x＝3時，y取得最大值，此時y＝6400，即每件商品銷售價是3元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大，最大利潤是6400元．四．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）11．宏達汽車租賃公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適合市場需求，經(jīng)有關(guān)部門批準，公司準備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每輛汽車的日租金每增加10元，每天出租的汽車相應(yīng)的減少6輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元時，才能使公司的日租金收入最高？這時公司的日租金總收入比提高租金前增加了