數(shù)學(xué)2.3生活實(shí)踐情境的數(shù)學(xué)抽象生活實(shí)踐情境來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界,它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)信息.數(shù)學(xué)抽象方法的一個(gè)直接應(yīng)用就是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的抽象建?！ㄟ^(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究、解決問(wèn)題.生活實(shí)踐情境問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象一般步驟如下:(1)分析問(wèn)題:把情境問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出問(wèn)題的主要關(guān)系.(2)抽象問(wèn)題:對(duì)問(wèn)題合理簡(jiǎn)化,取主舍次,進(jìn)而理想化、數(shù)學(xué)化,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表示各種量的關(guān)系,并抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題.(3)解決問(wèn)題:把數(shù)學(xué)問(wèn)題化為常規(guī)問(wèn)題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.例1

(2020全國(guó)Ⅰ卷,理5)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點(diǎn)圖:由此散點(diǎn)圖,在10℃至40℃之間,下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是(

)A.y=a+bx

B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx[思維路徑][解題過(guò)程]

結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖象的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+bln

x.[答案]D學(xué)友聊齋

[思維路徑]

學(xué)友聊齋例3

(2023上海卷,11)公園修建斜坡,假設(shè)斜坡起點(diǎn)在水平面上,斜坡與水平面的夾角為θ,斜坡終點(diǎn)距離水平面的垂直高度為4米,游客每走一米消耗的體能為(1.025-cosθ),要使游客從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少,則θ=

.

[思維路徑]

學(xué)友聊齋能

力訓(xùn)

練A組

基礎(chǔ)性題組題號(hào)選題理由12實(shí)際問(wèn)題中的解三角形3在實(shí)際問(wèn)題中考查分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4

2.☆☆☆(2025湖北八校三統(tǒng)聯(lián)考)鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法,在如圖所示的模型中,已知人眼距離地面高度h=1.5m,某建筑物高h(yuǎn)1=4.5m,將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置,測(cè)量人與鏡子間的距離a1=1.2m,將鏡子后移am,重復(fù)前面的操作,測(cè)量人與鏡子間的距離a2=3.2m,則a=(

A

)A.6 B.5

C.4

D.3

B組

綜合性題組題號(hào)選題理由1實(shí)際問(wèn)題中抽象成數(shù)列問(wèn)題,先根據(jù)已知得出a1,a9,再結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解即可2在實(shí)際問(wèn)題中考查分步乘法計(jì)數(shù)原理可得3實(shí)際問(wèn)題中的立體幾何問(wèn)題,由題設(shè)可得球的半徑為r=3,結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其外接球半徑與棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的關(guān)系得6h=l2,進(jìn)而得到紀(jì)念碑體積關(guān)于l的表達(dá)式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最大值,并確定對(duì)應(yīng)的側(cè)棱長(zhǎng)4實(shí)際生活中超市里的獎(jiǎng)勵(lì)問(wèn)題,利用排列數(shù)計(jì)算概率,再利用期望公式計(jì)算期望

C組

應(yīng)用性題組題號(hào)選題理由1實(shí)際問(wèn)題中排列組合數(shù)的問(wèn)題2將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,將側(cè)面ABB1A1和BCC1B1展開(kāi)到同一個(gè)平面,利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求解即可3在雙曲線(xiàn)電瓶新聞燈的實(shí)際問(wèn)題中,利用雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及正弦定理,求解離心率4在實(shí)際問(wèn)題中,利用三垂線(xiàn)定理逆定理得出二面角的平面角,轉(zhuǎn)化為解三角形1.☆☆(2025四川高三適應(yīng)性考試第三次聯(lián)考)甲、乙等6人參加某次會(huì)議,會(huì)議安排其前后兩排入座,每排3人(如圖所示),其中甲坐后排,乙與甲前后、左右均不相鄰,則不同的坐法種數(shù)共有(

C

)A.144種 B.168種C.192種 D.216種

[解題過(guò)程]

如圖1,設(shè)燈帶經(jīng)過(guò)側(cè)棱BB1上的點(diǎn)E.如圖2,連接A1B,將側(cè)面ABB1A1和BCC1B1展開(kāi)到同一個(gè)平面,圖1圖2

D組

創(chuàng)新性題組題號(hào)選題理由1以物理學(xué)、天文學(xué)為背景,考查分式函數(shù)的化簡(jiǎn)及三角函數(shù)的有界性2集合與概率相結(jié)合,綜合性較高,考查學(xué)生的邏輯思維及運(yùn)算能力3借助春晚背景,利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、乘法公式計(jì)算概率4考查數(shù)列中的累乘法、作差法求通項(xiàng)公式,列舉法、反證法在數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用,考查學(xué)生計(jì)算能力5概率中的創(chuàng)新,解決本題的關(guān)鍵是深入理解游戲得分的規(guī)則,找出累計(jì)得分n+1分與n分,n-1分之間的概率遞推關(guān)系,從而得到G(n+1)與G(n),G(n-1)的關(guān)系式

4.☆☆☆(2025重慶九龍坡三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若無(wú)窮的非常數(shù)數(shù)列{Tn}同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)性質(zhì):①對(duì)于{Tn}中任意兩項(xiàng)Ti,Tj(i>j),在{Tn}中都存在一項(xiàng)Tm,使得2Ti-Tj=Tm;②對(duì)于{Tn}中任意一項(xiàng)Tn(n≥3),在{Tn}中都存在兩項(xiàng)Tk,Tl(k>l),使得Tn=2Tk-Tl.則稱(chēng)數(shù)列{Tn}為T(mén)數(shù)列.(ⅰ)判斷數(shù)列{an}是否為T(mén)數(shù)列,并說(shuō)明理由;(ⅱ)若數(shù)列{bn}是T數(shù)列且為單調(diào)遞增數(shù)列,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.

(2)(ⅰ)∵?i,j∈N*,i>j,2ai-aj=2×2i-2j=2(2i-j),∴2ai-aj=a2i-j,∴{an}具有性質(zhì)①.∵?n∈N*,n≥3,?k=n-1,l=n-2,2ak-al=4(n-1)-2(n-2)=2n=an,∴{an}具有性質(zhì)②.∴數(shù)列{an}是T數(shù)列.(ⅱ)證明:∵{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,首先利用性質(zhì)②,取n=3,此時(shí)b3=2bk-bl=bk+(bk-bl)(k>l).由數(shù)列的單調(diào)性可知bk>bl,∴b3=bk+(bk-bl)>bk,故k<3,此時(shí)必有k=2,l=1,即b3=2b2-b1,即b1,b2,b3成等差數(shù)列,不妨設(shè)b2=b1+d,b3=b1+2d(d>0).利用性質(zhì)①,取i=3,j=2,則bm=2b3-b2=2(b1+2d)-(b1+d)=b1+3d,即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為b1+3d.下面證明b4=b1+3d,若b4≠b1+3d,則由數(shù)列的單調(diào)性可知b4<b1+3d.在性質(zhì)②中,取n=4,則b4=2bk-bl=bk+(bk-bl)>bk,從而k<4,則{k,l}?{1,2,3}(k>l).若k=3,l=2,則b4=2b3-b2=b1+3d,與假設(shè)矛盾;若k=3,l=1,則b4=2b3-b1=b1+4d,與假設(shè)矛盾;若k=2,l=1,則b4=2b