浙江省麗水市蓮都區(qū)三年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)植樹(shù)問(wèn)題（兩端都不栽）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)在直線上植樹(shù)的兩種情況：兩端都栽時(shí)，棵數(shù)=段數(shù)+1；只栽一端時(shí)，棵數(shù)=段數(shù)。今天我們要深入研究第三種情況——兩端都不栽的植樹(shù)問(wèn)題。這種問(wèn)題在我們的生活中同樣常見(jiàn)，比如在兩座建筑物之間種樹(shù)、在馬路的非路口段安裝路燈等。讓我們通過(guò)生活中的實(shí)際場(chǎng)景來(lái)探索其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。一、概念解析與規(guī)律推導(dǎo)1.1認(rèn)識(shí)"兩端都不栽"的場(chǎng)景請(qǐng)想象這樣的畫面：在蓮都區(qū)的中山街旁有一條100米長(zhǎng)的人行道，人行道的起點(diǎn)是一家超市，終點(diǎn)是一個(gè)公交站臺(tái)?，F(xiàn)在要在超市和公交站臺(tái)之間的人行道旁種樹(shù)，每隔5米種一棵，超市門口和公交站臺(tái)附近都不能種樹(shù)。這種情況下，我們就遇到了"兩端都不栽"的植樹(shù)問(wèn)題。這里的"兩端"就是超市和公交站臺(tái)所在的位置，由于實(shí)際條件限制無(wú)法種樹(shù)，所以需要特殊考慮。1.2動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律讓我們用畫圖的方法來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上畫一條線段表示10米長(zhǎng)的小路，假設(shè)每隔2米種一棵樹(shù)，兩端都不栽。我們可以這樣操作：先確定小路的總長(zhǎng)度：10米計(jì)算間隔長(zhǎng)度：2米用豎線表示樹(shù)的位置，在線段兩端留出空位數(shù)一數(shù)樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)通過(guò)畫圖我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：10米長(zhǎng)的小路，每隔2米種一棵，兩端都不栽時(shí)，一共種了4棵樹(shù)，形成了5個(gè)間隔。這時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)=段數(shù)-1。這里的"段數(shù)"就是總長(zhǎng)度除以間隔長(zhǎng)度得到的商，也就是10÷2=5（段），而棵數(shù)比段數(shù)少1，即5-1=4（棵）。1.3公式推導(dǎo)與理解根據(jù)上面的操作，我們可以推導(dǎo)出兩端都不栽的植樹(shù)問(wèn)題的基本公式：段數(shù)=總長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)度棵數(shù)=段數(shù)-1為什么棵數(shù)會(huì)比段數(shù)少1呢？我們可以這樣理解：當(dāng)兩端都不栽樹(shù)時(shí)，第一棵樹(shù)要從第一個(gè)間隔的末端開(kāi)始種，最后一棵樹(shù)要在倒數(shù)第二個(gè)間隔的末端結(jié)束，所以自然就比間隔數(shù)少了1棵。就像我們站隊(duì)時(shí)，如果兩端都不站人，那么站的人數(shù)一定比間隔數(shù)少1。二、基礎(chǔ)題型與解題步驟2.1已知總長(zhǎng)度和間隔長(zhǎng)度，求棵數(shù)例題1：蓮都區(qū)某小學(xué)要在長(zhǎng)80米的教學(xué)樓走廊一側(cè)擺放花盆，走廊兩端是樓梯口不能擺放，每隔4米擺一盆。一共需要多少盆花？解題步驟：確定總長(zhǎng)度：80米確定間隔長(zhǎng)度：4米計(jì)算段數(shù)：80÷4=20（段）根據(jù)"兩端都不栽"的規(guī)律計(jì)算棵數(shù)：20-1=19（盆）答：一共需要19盆花。思路解析：這道題中，走廊的兩端是樓梯口，對(duì)應(yīng)"兩端都不栽"的情況。我們先算出80米里面有多少個(gè)4米的間隔，得到20個(gè)間隔，再根據(jù)規(guī)律"棵數(shù)=段數(shù)-1"，得出需要19盆花。2.2已知間隔長(zhǎng)度和棵數(shù)，求總長(zhǎng)度例題2：在兩座教學(xué)樓之間每隔3米種一棵桂花樹(shù)，一共種了18棵，兩座教學(xué)樓之間相距多少米？解題步驟：確定棵數(shù)：18棵確定間隔長(zhǎng)度：3米根據(jù)"兩端都不栽"的規(guī)律計(jì)算段數(shù)：18+1=19（段）計(jì)算總長(zhǎng)度：19×3=57（米）答：兩座教學(xué)樓之間相距57米。思路解析：兩座教學(xué)樓之間種樹(shù)，教學(xué)樓所在的位置就是"兩端"，所以屬于"兩端都不栽"的情況。已知種了18棵樹(shù)，根據(jù)規(guī)律"段數(shù)=棵數(shù)+1"，可以算出有19個(gè)間隔，每個(gè)間隔3米，總長(zhǎng)度就是19×3=57米。2.3已知總長(zhǎng)度和棵數(shù)，求間隔長(zhǎng)度例題3：蓮都區(qū)綠化工人要在一條長(zhǎng)63米的小河兩岸栽柳樹(shù)，兩端都不栽，一共栽了12棵。平均每?jī)煽脴?shù)之間的距離是多少米？解題步驟：確定總長(zhǎng)度：63米確定棵數(shù)：12棵（注意是兩岸，先算一側(cè)）計(jì)算一側(cè)的棵數(shù)：12÷2=6（棵）根據(jù)"兩端都不栽"的規(guī)律計(jì)算一側(cè)的段數(shù)：6+1=7（段）計(jì)算間隔長(zhǎng)度：63÷7=9（米）答：平均每?jī)煽脴?shù)之間的距離是9米。思路解析：這道題需要注意"兩岸"這個(gè)關(guān)鍵詞，我們要先算出一側(cè)栽了多少棵樹(shù)，即12÷2=6棵。然后根據(jù)"段數(shù)=棵數(shù)+1"，得到一側(cè)有7個(gè)間隔，最后用總長(zhǎng)度除以段數(shù)，得到間隔長(zhǎng)度是9米。三、易錯(cuò)點(diǎn)分析與解決策略3.1混淆不同植樹(shù)情況的公式常見(jiàn)錯(cuò)誤：把"兩端都不栽"的公式和"兩端都栽"的公式混淆，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。比如在計(jì)算"兩端都不栽"的棵數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤地使用了"段數(shù)+1"的公式。解決策略：我們可以用自己的手指來(lái)記憶這三種情況：伸出5根手指，代表5棵樹(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)有4個(gè)間隔，這是"兩端都栽"（棵數(shù)=段數(shù)+1）收起大拇指，剩下4根手指，代表4棵樹(shù)，有4個(gè)間隔，這是"只栽一端"（棵數(shù)=段數(shù)）再收起小拇指，剩下3根手指，代表3棵樹(shù)，有4個(gè)間隔，這是"兩端都不栽"（棵數(shù)=段數(shù)-1）通過(guò)手指記憶法，我們可以快速區(qū)分三種情況的公式，避免混淆。3.2忽略"兩側(cè)"與"一側(cè)"的區(qū)別常見(jiàn)錯(cuò)誤：題目中明明說(shuō)的是"在道路兩側(cè)種樹(shù)"，卻只計(jì)算了一側(cè)的棵數(shù)。解決策略：在做題時(shí)，首先要圈出題目中的關(guān)鍵詞，如"兩側(cè)"、"兩旁"、"兩邊"等，提醒自己這道題需要計(jì)算兩側(cè)的總棵數(shù)。計(jì)算時(shí)，可以先算出一側(cè)的棵數(shù)，再乘以2得到兩側(cè)的總棵數(shù)。3.3單位不統(tǒng)一導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤常見(jiàn)錯(cuò)誤：題目中總長(zhǎng)度的單位是米，而間隔長(zhǎng)度的單位是厘米，沒(méi)有統(tǒng)一單位就直接計(jì)算。解決策略：做題第一步要檢查單位是否統(tǒng)一，如果不統(tǒng)一，要先進(jìn)行單位換算。比如1米=100厘米，1千米=1000米，確保單位統(tǒng)一后再進(jìn)行計(jì)算。四、生活中的應(yīng)用與拓展4.1安裝路燈問(wèn)題蓮都區(qū)市政部門要在長(zhǎng)2千米的碧湖大道安裝路燈，兩端是隧道入口不需要安裝，每隔50米安裝一盞。一共需要安裝多少盞路燈？解答：首先統(tǒng)一單位，2千米=2000米。然后計(jì)算段數(shù)：2000÷50=40（段）。根據(jù)"兩端都不栽"的規(guī)律，路燈盞數(shù)=段數(shù)-1=40-1=39（盞）。所以一共需要安裝39盞路燈。4.2鋸木頭問(wèn)題一根木頭長(zhǎng)10米，要把它鋸成每段2米的小段，每鋸一次需要3分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼姡拷獯穑哼@道題看似和植樹(shù)問(wèn)題無(wú)關(guān)，其實(shí)本質(zhì)上是"兩端都不栽"的情況。我們可以把鋸的次數(shù)看作"棵數(shù)"，把木頭的段數(shù)看作"段數(shù)"。首先計(jì)算段數(shù)：10÷2=5（段）。根據(jù)"兩端都不栽"的規(guī)律，鋸的次數(shù)=段數(shù)-1=5-1=4（次）。所以全部鋸?fù)晷枰?×3=12（分鐘）。4.3排隊(duì)問(wèn)題三年級(jí)（1）班的同學(xué)排成一隊(duì)去參觀博物館，隊(duì)伍兩端是老師，學(xué)生每?jī)扇酥g相距50厘米，共有30名學(xué)生。這支隊(duì)伍長(zhǎng)多少米？解答：這道題中，學(xué)生的排列屬于"兩端都不栽"的情況，因?yàn)閮啥耸抢蠋?，不是學(xué)生。首先確定學(xué)生人數(shù)（棵數(shù)）：30名。計(jì)算段數(shù)：30+1=31（段）。每段距離是50厘米，所以隊(duì)伍長(zhǎng)度=31×50=1550（厘米）=15.5（米）。因此，這支隊(duì)伍長(zhǎng)15.5米。4.4敲鐘問(wèn)題一個(gè)時(shí)鐘3點(diǎn)鐘敲3下，用了4秒鐘，那么6點(diǎn)鐘敲6下，需要多少秒鐘？解答：這也是一個(gè)典型的"兩端都不栽"的問(wèn)題。時(shí)鐘敲3下，中間有2個(gè)間隔，用了4秒鐘，所以每個(gè)間隔是4÷2=2（秒）。敲6下時(shí)，中間有5個(gè)間隔，所以需要5×2=10（秒）。五、綜合練習(xí)與思維訓(xùn)練5.1基礎(chǔ)鞏固題在一條長(zhǎng)120米的小路一側(cè)栽樹(shù)，兩端都不栽，每隔6米栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？解答：段數(shù)=120÷6=20（段），棵數(shù)=20-1=19（棵），一共要栽19棵樹(shù)。在兩座房子之間每隔4米插一面彩旗，一共插了12面，兩座房子之間相距多少米？解答：段數(shù)=12+1=13（段），距離=13×4=52（米），兩座房子之間相距52米。5.2提高應(yīng)用題蓮都區(qū)要在長(zhǎng)800米的防洪堤上安裝警示牌，兩端是橋頭不需要安裝，每隔20米安裝一塊，每塊警示牌寬1米。從第一塊警示牌到最后一塊警示牌之間的距離是多少米？解答：首先計(jì)算警示牌的數(shù)量：段數(shù)=800÷20=40（段），警示牌數(shù)=40-1=39（塊）。39塊警示牌的總寬度是39×1=39（米）。警示牌之間的間隔總長(zhǎng)度是（39+1）×（20-1）=40×19=760（米）。所以從第一塊到最后一塊的距離是39+760=799（米）。一根木頭要鋸成8段，每鋸一次需要2分鐘，全部鋸?fù)晷枰嗌俜昼?？如果每段長(zhǎng)1.5米，這根木頭原來(lái)長(zhǎng)多少米？解答：鋸的次數(shù)=8-1=7（次），時(shí)間=7×2=14（分鐘）。木頭原長(zhǎng)=8×1.5=12（米）。全部鋸?fù)晷枰?4分鐘，木頭原來(lái)長(zhǎng)12米。5.3拓展挑戰(zhàn)題三年級(jí)學(xué)生在一個(gè)周長(zhǎng)為200米的正方形操場(chǎng)四周上體育課，四個(gè)角都有老師，學(xué)生每隔5米站一名，一共需要多少名學(xué)生？解答：這道題需要注意，在封閉圖形上的植樹(shù)問(wèn)題，棵數(shù)=段數(shù)。但這里四個(gè)角都有老師，學(xué)生不能站在角上，所以屬于封閉圖形中的"兩端都不栽"情況。首先計(jì)算每條邊的長(zhǎng)度：200÷4=50（米）。每條邊上的段數(shù)=50÷5=10（段）。每條邊上的學(xué)生數(shù)=10-1=9（名）。四條邊的學(xué)生總數(shù)=9×4=36（名）。所以一共需要36名學(xué)生。在一條長(zhǎng)100米的小路兩側(cè)栽樹(shù)，兩端都不栽，一共栽了38棵樹(shù)。每?jī)煽脴?shù)之間的距離是多少米？解答：首先計(jì)算一側(cè)的棵數(shù)=38÷2=19（棵）。段數(shù)=19+1=20（段）。間隔距離=100÷20=5（米）。每?jī)煽脴?shù)之間的