專題21.15一元二次方程（直通中考）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·四川自貢·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根2．（2024·四川南充·中考真題）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．或0 B．0或1 C．或 D．或13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國(guó)許多著名建筑為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形是黃金矩形．，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．05．（2023·西藏·中考真題）已知一元二次方程的兩個(gè)根為、，則的值為（

）A．－3 B． C．1 D．6．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）若實(shí)數(shù)，是一元二次方程的兩個(gè)根，且，則點(diǎn)所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023·遼寧錦州·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且8．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．9．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬(wàn)輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬(wàn)輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（

）A． B．C． D．10．（2023·四川巴中·中考真題）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

當(dāng)代數(shù)式的值為1時(shí)，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·四川瀘州·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．12．（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．13．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為．14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則m的值為．15．（2024·重慶·中考真題）隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬(wàn)元，2023年繳稅48.4萬(wàn)元，該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是．16．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則．17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）方程的解為．18．（2023·江蘇連云港·中考真題）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·青海西寧·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，是方程的兩個(gè)根．20．（8分）（2024·四川南充·中考真題）已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍．（2）若，且，，都是整數(shù)，求的值．21．（10分）（2024·四川遂寧·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值．22．（10分）（2023·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640的羊圈？（2）羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（10分）（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：（1）應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則___________，___________；（2）類比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足且，求的值．24．（12分）（2023·湖北宜昌·中考真題）為紀(jì)念愛(ài)國(guó)詩(shī)人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購(gòu)買豆沙粽10個(gè)，肉粽12個(gè)，共付款136元，已知肉粽單價(jià)是豆沙粽的2倍．（1）求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；（2）超市為了促銷，購(gòu)買粽子達(dá)20個(gè)及以上時(shí)實(shí)行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂(lè)媽媽的購(gòu)買數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂(lè)媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)；②為進(jìn)一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個(gè)粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷售價(jià)格按其中每個(gè)粽子優(yōu)惠后的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別有m個(gè)豆沙粽，m個(gè)肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過(guò)肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷售總額為17280元．求m的值．參考答案：1．A【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．【詳解】解：△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．2．A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及解一元二次方程，分兩種情況，當(dāng)時(shí)和當(dāng)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于m的一元二次方程，求解即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)即時(shí)，一次函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，即，整理得：解得：或（舍去）當(dāng)即時(shí)，一次函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，即，整理得：解得：或（舍去）綜上，或，故選：A3．C【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后兩邊同時(shí)加上，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)加上，即∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結(jié)合，然后根據(jù)判別式的符號(hào)即可確定有幾個(gè)解，由此得解．【詳解】解：如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)，且，則，在中，，在中，，，，即，整理得，，又，即，，，，，方程無(wú)解，即點(diǎn)不存在．故選：D．5．D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．【詳解】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．6．B【分析】根據(jù)一元二次方程的解法求出，的值，根據(jù)各象限點(diǎn)的特征即可求得．【詳解】∵實(shí)數(shù)，是一元二次方程的兩個(gè)根，且，∴,∴為，∴在第二象限，故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程的解法以及各象限點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法．7．D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．【詳解】解：∵為一元二次方程，∴，∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴且，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0．8．A【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得判別式，由此可得，據(jù)此可對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴判別式，整理得：，∴，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．9．D【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年銷量為20萬(wàn)輛，到2022年銷量增加了萬(wàn)輛列方程即可．【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問(wèn)題，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．【詳解】解：由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．11．【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形求值．對(duì)于一元二次方程，若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則，．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，．故答案為：．12．7【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開，利用替換項(xiàng)，整理后得到，再將代入即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，則∴故答案為：713．【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個(gè)根，可得出，再化簡(jiǎn)代數(shù)式，整體代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，故答案為：．14．5【分析】：把代入方程，求出關(guān)于m的方程的解即可．【詳解】把代入方程，得，解得．故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．15．【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）；故答案為：．16．6【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．【詳解】解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．17．【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以得，，，，，或．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故舍去．原方程的解為：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況．18．【分析】運(yùn)用配方法將變形為，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可．【詳解】解：===∵為實(shí)數(shù)，∴∴的最小值為,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意配方的步驟，注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．19．，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出

，代入化簡(jiǎn)結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式

∵，是方程的兩個(gè)根∴

∴原式.【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，則，得出關(guān)于的不等式求解即可；（2）根據(jù)，結(jié)合（1）所求的取值范圍，得出整數(shù)的值有，，，分別計(jì)算討論整數(shù)的不同取值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否符合都是整數(shù)，選擇符合情況的整數(shù)的值即可．【詳解】（1）解：∵，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，解得：；（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整數(shù)的值有，，，當(dāng)時(shí)，方程為，解得：，（都是整數(shù)，此情況符合題意）；當(dāng)時(shí)，方程為，解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；當(dāng)時(shí)，方程為，解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；綜上所述，的值為．21．(1)證明見解析；(2)或．【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；（2）由題意可得，，，進(jìn)行變形后代入即可求解．【詳解】（1）證明：，∵無(wú)論取何值，，恒成立，∴無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，解得：或．22．(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈；(2)不能，理由見解析．【分析】（1）設(shè)矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無(wú)實(shí)根即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊．根據(jù)題意，得．化簡(jiǎn)，得．解得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由題意，得．化簡(jiǎn)，得．∵，∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．(1)，(2)(3)的值為或．【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后