第十六章整式的乘法知識點(diǎn)一同底數(shù)冪的乘法1.同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，，指數(shù).2.同底數(shù)冪的乘法的逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)，它們的指數(shù)等于原來的.即（都是正整數(shù)）.知識點(diǎn)二冪的乘方1.冪的乘方法則：(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)，指數(shù).2.冪的乘方法則逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.知識點(diǎn)三積的乘方1.積的乘方法則：(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別，再把所得的冪.2.積的乘方法則逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡便.知識點(diǎn)四整式的乘法1.單項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的.2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的.即（a+b+c)m=am+bm+cm3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的，再把所得的積.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知識點(diǎn)五同底數(shù)冪的除法1.(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相除，底數(shù)，指數(shù).2.零指數(shù)冪：（a≠0）負(fù)指數(shù)冪：（a≠0，p是正整數(shù)）知識點(diǎn)六乘法公式1.平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的,等于這兩個(gè)數(shù)的.即(a+b)(a-b)=a2-b22.完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的,加(減)它們積的.易錯(cuò)點(diǎn)1冪的混合運(yùn)算易錯(cuò)1.符號規(guī)則易混淆負(fù)數(shù)的冪運(yùn)算需先定符號：當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正；指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)。注意-an與(-a)n區(qū)別：前者是an的相反數(shù)，后者是a的n次冪。2.運(yùn)算法則易混用先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號內(nèi)，不可顛倒順序。同底數(shù)冪相乘（am*an=am+n）、相除（am÷an=am-n）與冪的乘方（(am)n=amn）法則勿混淆。例1．（24-25八年級上·福建泉州·期中）計(jì)算：易錯(cuò)點(diǎn)2含零指數(shù)運(yùn)算易錯(cuò)1.底數(shù)取值易忽略限制零指數(shù)冪的核心前提是底數(shù)不為0，即a0=1（a≠0）。若忽略此條件，直接計(jì)算00，結(jié)果無意義，這是最常見錯(cuò)誤，需先判斷底數(shù)是否為0，再進(jìn)行運(yùn)算。2.符號與底數(shù)界定易混淆當(dāng)?shù)讛?shù)含負(fù)號時(shí)，需先明確底數(shù)范圍，如(-2)0=1（底數(shù)-2≠0，符合條件），但-20=-1（此時(shí)底數(shù)是2，先算20=1，再取相反數(shù)），勿將負(fù)號歸為底數(shù)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例2．（24-25七年級上·湖南長沙·期末）計(jì)算：．易錯(cuò)點(diǎn)3利用冪的運(yùn)算求代數(shù)式的值易錯(cuò)1.法則逆用易忽略指數(shù)關(guān)系逆用同底數(shù)冪乘法（am+n=am×an）、冪的乘方（amn=(am)n）時(shí)，常忽略指數(shù)拆解合理性。如已知a2=3，求a6，需拆為(a2)3，而非錯(cuò)誤拆成a4×a2（未知a4），需先觀察所求指數(shù)與已知指數(shù)的倍數(shù)或和差關(guān)系。2.符號與整體代換易出錯(cuò)若底數(shù)含負(fù)號，代換時(shí)需保留符號，如(-a)3=-a3，勿漏負(fù)號；整體代換（如求(a2)3-(a3)2）時(shí)，需先分別運(yùn)算再相減，避免直接合并指數(shù)導(dǎo)致計(jì)算失誤，確保每步遵循運(yùn)算法則。例3．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）（1）已知，求的值．（2）已知n為正整數(shù)，且，求的值．易錯(cuò)點(diǎn)4求完全平方式中的字母系數(shù)易錯(cuò)1.忽略“±”符號致漏解完全平方式有兩種形式：(a±b)2=a2±2ab+b22.誤判“a”“b”對應(yīng)關(guān)系當(dāng)式子含字母系數(shù)的平方項(xiàng)時(shí)，易混淆a、b。例4．（24-25八年級下·甘肅張掖·期末）如果是一個(gè)完全平方式，那么的值為．易錯(cuò)點(diǎn)4利用乘法公式簡便運(yùn)算易錯(cuò)1.公式選擇與適用條件易混淆需先判斷運(yùn)算類型匹配公式：如遇兩數(shù)和（差）的平方用完全平方公式，遇兩數(shù)和乘差用平方差公式，勿混淆。2.符號與系數(shù)計(jì)算易失誤用完全平方公式時(shí)，勿漏中間項(xiàng)符號或系數(shù)的2倍；用平方差公式時(shí)，確保兩數(shù)“一同一反”，若為(3-2a)(2a-3)，需先變形為-(2a-3)^2，再計(jì)算，避免符號錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。例5．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)；(2)；(3)．易錯(cuò)點(diǎn)5整式運(yùn)算中的無關(guān)問題易錯(cuò)1.忽略“合并同類項(xiàng)”步驟致誤解決與某字母無關(guān)的問題，核心是讓該字母的系數(shù)為0。常因未徹底合并同類項(xiàng)，直接判斷系數(shù)。如化簡3x^2+(m+2)x-5-mx^2，需先合并x^2項(xiàng)得(3-m)x^2、x項(xiàng)得2x，再令3-m=0求m，若漏合并直接分析，會得出錯(cuò)誤結(jié)果。2.混淆“無關(guān)字母”與“常數(shù)項(xiàng)”易誤將不含無關(guān)字母的項(xiàng)當(dāng)作需消去的部分。例如“式子與x無關(guān)”，只需消去所有含x的項(xiàng)（讓其系數(shù)為0），常數(shù)項(xiàng)無需處理。如式子(2k-1)x+3與x無關(guān)，僅需2k-1=0，勿錯(cuò)誤地讓常數(shù)項(xiàng)3也為0，導(dǎo)致求解偏差。例5．（24-25七年級上·湖南株洲·期末）定義，如．(1)若，求x的值；(2)若的值與x無關(guān)，求值．易錯(cuò)點(diǎn)6整式運(yùn)算的中的新定義型問題易錯(cuò)1.未吃透新定義規(guī)則致錯(cuò)解新定義問題需先逐字分析規(guī)則，明確運(yùn)算符號、優(yōu)先級及限制條件，忌憑經(jīng)驗(yàn)套用舊公式。如定義“a※b=2a^2-3ab”，計(jì)算“3※(-2)”時(shí)，需將a=3、b=-2完整代入，勿漏2a^2的系數(shù)2或錯(cuò)算-3ab的符號，避免因規(guī)則理解不全導(dǎo)致運(yùn)算偏差。2.忽略整式性質(zhì)與新定義結(jié)合新定義運(yùn)算常需結(jié)合整式化簡、同類項(xiàng)合并等知識，易忽略二者銜接。如定義“A△B=(A-B)+2A”，化簡“(2x^2)△(x^2-1)”時(shí)，需先按定義展開得(2x^2-x^2+1)+4x^2，再合并同類項(xiàng)，勿直接省略化簡步驟，導(dǎo)致結(jié)果未達(dá)最簡或出錯(cuò)。例6．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）新定義：如果，那么我們稱是關(guān)于的“圓滿數(shù)”．(1)是______關(guān)于的“圓滿數(shù)”；是______關(guān)于的“圓滿數(shù)”(用含的代數(shù)式表示)；(2)若，，判斷是否是關(guān)于的“圓滿數(shù)”，并說明理由．易錯(cuò)點(diǎn)7利用乘法公式求解幾何圖形問題易錯(cuò)1.幾何量與公式對應(yīng)易混淆需先明確圖形邊長、面積等幾何量，再匹配乘法公式。如求正方形面積，若邊長為a+b，用完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，勿錯(cuò)用平方差公式；求長方形面積，若長、寬為x+y和x-y，才用平方差公式，避免因幾何量與公式不匹配導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。2.忽略圖形關(guān)系致條件遺漏解題時(shí)需先分析圖形間的和差、倍數(shù)關(guān)系，再代入公式。如兩個(gè)正方形邊長差為2、面積差為24，需設(shè)邊長為a和a-2，用平方差公式a^2-(a-2)^2=24求解，勿漏邊長關(guān)系直接套用公式，確保先建立幾何量聯(lián)系，再用公式計(jì)算。例7．（24-25七年級下·內(nèi)蒙古包頭·期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______．(2)應(yīng)用你（1）中得出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計(jì)算：．9．（21-22八年級上·廣東東莞·期末）如圖1是一個(gè)長為，寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)如圖1，面積為______；如圖2，陰影部分的面積為________；(2)觀察圖2請你寫出之間的等量關(guān)系是______；(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，解決問題：若，，求的值；(4)變式應(yīng)用：若，求．一、單選題1．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）下列四個(gè)算式中正確的有（

）①；②；③；④．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）若的展開式中不含x項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．0 C．3 D．63．（25-26八年級上·全國·單元測試）如果可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，那么常數(shù)k的值是（

）A．7 B． C．14 D．二、填空題4．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·期末）若是完全平方式，則m的值是．5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）若，，m，n為正整數(shù)，則的值等于．6．（2024七年級下·河南鄭州·競賽）已知的乘積中不含項(xiàng)與項(xiàng)，則．三、解答題7．（23-24七年級下·江西九江·期中）利用公式計(jì)算：(1)(2)8．（24-25七年級下·安徽安慶·期末）定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：．例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．9．（24-25七年級下·貴州銅仁·階段練習(xí)）關(guān)于x的代數(shù)式化簡后不含的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．(1)分別求m、n的值；(2)求的值．10．（24-25七年級下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；(3)若，，用含x的代數(shù)式表示y（結(jié)果需要化簡）．11．（24-25八年級上·全國·期末）定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則運(yùn)算得到一個(gè)新數(shù)c，稱c為a，b的“和方差數(shù)”．(1)求的“和方差數(shù)”．(2)若兩個(gè)非零數(shù)a，b的積是a，b的“和方差數(shù)”，求的值．(3)若，求a，b的“和方差數(shù)”c．12．（24-25八年級上·廣東東莞·期末）如圖①所示，邊長為的正方形中有一個(gè)邊長為的小正方形，如圖②所示是由圖①中的陰影部分拼成的一個(gè)長方形．(1)設(shè)圖①中陰影部分的面積為，圖②中陰影部分的面積為，請直接用含，的式子表示，；并寫出上述過程所揭示的公式；(2)拓展提升：試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：(3)遷移應(yīng)用：計(jì)算13．（24-25七年級下·四川雅安·階段練習(xí)）所謂完全平方式，就是對于一個(gè)整式A，如果存在另一個(gè)整式B，使，則稱A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．請解決下列問題：(1)已知，，則_______；(2)如果是一個(gè)完全平方式，則k的值為_______；(3)若x滿足，求的值．14．（22-2