第25頁(yè)（共25頁(yè)）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之排列與組合（2025年11月）一．選擇題（共6小題）1．已知﹣4≤xi≤9（i＝1，2，…，10），x1+x2+…+x10＝50，則當(dāng)x12+x22+?+x102取得最大值時(shí)，在x1、x2A．1 B．2 C．3 D．42．在學(xué)校的書(shū)畫(huà)展板上，將3幅書(shū)法作品，3幅美術(shù)作品按一圓形排列，要求美術(shù)作品不相鄰，則不同排列方法有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種3．如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語(yǔ)進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．144種4．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，直線(xiàn)Ax+By+C＝0中的A，B，C是取自集合M中的三個(gè)不同元素，并且該直線(xiàn)的傾斜角為銳角，符合以上所有條件的直線(xiàn)的條數(shù)為（）A．40 B．32 C．24 D．235．2025年春節(jié)期間，有《封神》《哪吒》《射雕英雄傳》《熊出沒(méi)》《唐探1900》五部電影上映，小李和另外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種6．若{x1，x2，x3，x4，x5，x6}＝{1，2，3，4，5，6}，則（x1+x2）（x3+x4）（x5+x6）為偶數(shù)的排列的個(gè)數(shù)為（）A．144 B．288 C．432 D．576二．多選題（共1小題）（多選）7．小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，記事件A為“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”，事件B為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）A．這四人不同的旅游方案共有64種 B．“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種 C．P(D．“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是14三．填空題（共4小題）8．給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如圖所示：由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有種（結(jié)果用數(shù)值表示）．9．某校安排甲，乙，丙，丁共4位教師分別去高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)任教，其中每個(gè)年級(jí)至少安排一位教師，若甲，乙不去高三年級(jí)但能去其他兩個(gè)年級(jí)，丙，丁都能去三個(gè)年級(jí)，則不同的安排方案的種數(shù)為．（用數(shù)字作答）10．將9個(gè)互不相同的向量ai→=（xi，yi），xi，yi∈{1，2，4}，i＝1，2，…，9填入如圖所示3×3的方格中，每個(gè)方格填一個(gè)向量，使得每行、每列的三個(gè)向量之間兩兩都不共線(xiàn)，則不同的填法種數(shù)是11．已知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，若實(shí)數(shù)b1，b2，b3，b4滿(mǎn)足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，則有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有個(gè)．四．解答題（共4小題）12．組合恒等式是一類(lèi)含有組合數(shù)的恒等式，其結(jié)構(gòu)工整精美，是數(shù)學(xué)園林中的一組瑰寶．其證明方法有很多，有構(gòu)造計(jì)數(shù)模型法（算兩次），構(gòu)造函數(shù)法及數(shù)學(xué)歸納法等等．請(qǐng)根據(jù)條件解決以下問(wèn)題：（1）求證：Cn（2）設(shè)i≤n，求證：j=（3）求證：Cm0+3Cm+11+5（提示：證明過(guò)程中，可能會(huì)用到以下公式：an﹣bn＝（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…bn﹣1），a，b∈R，n∈N*）．13．規(guī)定Cxm=x(x-1)?(x-m+1)m!，其中x∈R，（1）求C-（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①Cnm=Cnn-m，②Cn（3）①已知k為正整數(shù)，x∈R，求證：kC②已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，14．（1）請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)組合恒等式中選擇一個(gè)證明（如果兩個(gè)都選，則按第①個(gè)計(jì)分）；①Cn②Cn0+（2）某同學(xué)在研究組合問(wèn)題時(shí)解決了如下問(wèn)題：從全班50名同學(xué)中選取8人組成班委團(tuán)隊(duì)，并選舉1人擔(dān)任班長(zhǎng)，共有多少種不同的選舉方法？一方面，可以首先從50名同學(xué)中選取8人組成班委團(tuán)隊(duì)，再?gòu)?人中選取1人做班長(zhǎng)，則共有8C508種選舉方法；另一方面，也可以首先從50名同學(xué)中選取1人做班長(zhǎng)，再在余下的49名同學(xué)中選取7人做其余的班委，則共有50C497．所以：8C50（3）化簡(jiǎn)：C202315．甲乙丙丁戊五個(gè)同學(xué)（1）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同的排列方法？（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同排列方法？（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，共有多少種不同游覽方法？（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之排列與組合（2025年11月）參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案CACDDC二．多選題（共1小題）題號(hào)7答案CD一．選擇題（共6小題）1．已知﹣4≤xi≤9（i＝1，2，…，10），x1+x2+…+x10＝50，則當(dāng)x12+x22+?+x102取得最大值時(shí)，在x1、x2A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得要使平方和x12+x22+?+【解答】解：要使平方和x12+x22+?+因?yàn)槎它c(diǎn)處的平方值更大，且數(shù)之間差距越大平方和越大．假設(shè)k個(gè)數(shù)取﹣4，10﹣k個(gè)數(shù)取9，則總和為：﹣4k+9（10﹣k）＝90﹣13k＝50，解得k=4013≈3.07，非整數(shù)，說(shuō)明無(wú)法全取端點(diǎn)，需調(diào)整1個(gè)數(shù)為中間值t（﹣4＜t＜設(shè)k個(gè)數(shù)取﹣4，9﹣k個(gè)數(shù)取9，1個(gè)數(shù)取t，則﹣4k+9（9﹣k）+t＝50，所以t＝13k﹣31，由﹣4＜t＜9，得﹣4＜13k﹣31＜9，所以27＜13k＜40，所以k＝3，此時(shí)t＝13×3﹣31＝8，符合條件．故取﹣4的數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的綜合應(yīng)用，屬中檔題．2．在學(xué)校的書(shū)畫(huà)展板上，將3幅書(shū)法作品，3幅美術(shù)作品按一圓形排列，要求美術(shù)作品不相鄰，則不同排列方法有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用插空法可求不同的排列方法總數(shù)．【解答】解：先排列3幅書(shū)法作品有A2再將3幅美術(shù)作品插入3幅書(shū)法作品形成的3個(gè)空中，有A3所以不同排列方法有2×6＝12種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了插空法，屬中檔題．3．如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語(yǔ)進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．144種【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】常規(guī)題型；計(jì)算題；分類(lèi)討論；數(shù)學(xué)模型法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用分步相乘計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：因?yàn)槊總€(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，所以A墻面有4種涂法，B墻面有3種涂法，C墻面有3種涂法，這3種涂法中，分兩類(lèi)，一類(lèi)和B墻面相同，一類(lèi)和B墻面不同，當(dāng)B墻面和C墻面涂色相同時(shí)，D墻面有2種涂法，當(dāng)和當(dāng)B墻面和C墻面涂色不相同時(shí)，D墻面有2種涂法，所以一共有4×3×（1×2+2×1）＝48．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．4．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，直線(xiàn)Ax+By+C＝0中的A，B，C是取自集合M中的三個(gè)不同元素，并且該直線(xiàn)的傾斜角為銳角，符合以上所有條件的直線(xiàn)的條數(shù)為（）A．40 B．32 C．24 D．23【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意按照順序分別將A，B，C的選法種類(lèi)逐一確定，再除去不合題意的即可．【解答】解：已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，直線(xiàn)Ax+By+C＝0中的A，B，C是取自集合M中的三個(gè)不同元素，由直線(xiàn)的傾斜角為銳角可知斜率一定存在，可得B≠0，且k=-AB＞從集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，3}中任取三個(gè)不同元素，且A，B異號(hào)，易知A有4種選法，B有2種選法，C有3種選法，共有4×2×3＝24種，又因?yàn)楫?dāng)A＝1，B＝﹣1，C＝0和A＝﹣1，B＝1，C＝0時(shí)，都表示直線(xiàn)x﹣y＝0，所以符合條件的直線(xiàn)的條數(shù)為24﹣1＝23種．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．5．2025年春節(jié)期間，有《封神》《哪吒》《射雕英雄傳》《熊出沒(méi)》《唐探1900》五部電影上映，小李和另外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】對(duì)4人中恰有兩人看同一部電影，分2種情況討論：①有兩人看《哪吒》，②只有小李看《哪吒》電影，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意若小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影，分2種情況討論：①有兩人看《哪吒》，則有C31②只有小李看《哪吒》電影，則有C32則符合題意的觀看方案有36+36＝72種方案．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題．6．若{x1，x2，x3，x4，x5，x6}＝{1，2，3，4，5，6}，則（x1+x2）（x3+x4）（x5+x6）為偶數(shù)的排列的個(gè)數(shù)為（）A．144 B．288 C．432 D．576【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用逆向思維，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（x1+x2）（x3+x4）（x5+x6）為偶數(shù)必有至少一個(gè)偶數(shù)，當(dāng)3個(gè)括號(hào)的和值都是奇數(shù)時(shí)，乘積是奇數(shù)，故滿(mǎn)足題意的排列的個(gè)數(shù)為：A66故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．二．多選題（共1小題）（多選）7．小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，記事件A為“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”，事件B為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）A．這四人不同的旅游方案共有64種 B．“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種 C．P(D．“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是14【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式；條件概率．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯思維．【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出答案；B選項(xiàng)，根據(jù)部分平均分組方法計(jì)算出答案；C選項(xiàng)，利用排列組合知識(shí)得到n（A）＝36，n（AB）＝6，利用條件概率公式求出答案；D選項(xiàng)，求出四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率．【解答】解：A選項(xiàng)，每個(gè)人都有3種選擇，故共有34＝81種旅游方案，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，每個(gè)景點(diǎn)都有人去，則必有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，故有C42CC選項(xiàng)，恰有兩人所去景點(diǎn)相同，即有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，由B選項(xiàng)可知，n（A）＝36，又事件AB，即小張去甲景點(diǎn)，另外3人有兩人去了同一個(gè)景點(diǎn)，其余1人去另一個(gè)景點(diǎn)，故n(所以P(B|D選項(xiàng)，“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”，分為2種情況，第一，有3人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外一個(gè)去另外一個(gè)景點(diǎn)，則有C4第二，2人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外2人去了另一個(gè)景點(diǎn)，故有C4由A選項(xiàng)可知，這四人不同的旅游方案共有81種，故“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率為24+1881=14故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．三．填空題（共4小題）8．給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案如圖所示：由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有21種（結(jié)果用數(shù)值表示）．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】21．【分析】可以通過(guò)一一列舉或通過(guò)規(guī)律得解．【解答】解：先觀察當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相連的著色方案，可知黑色正方形互不相連，故當(dāng)n＝1時(shí)，有全黑或全白2種，當(dāng)n＝2時(shí)，有白黑、黑白、全白3＝1+2種，當(dāng)n＝3時(shí)，有黑白黑、白白黑、白黑白、黑白白、全白共5＝2+3種，當(dāng)n＝4時(shí)，有白黑白黑、黑白黑白、黑白白黑、白白白黑、白白黑白、白黑白白、黑白白白、全白共8＝3+5種，當(dāng)n＝5時(shí)，有黑白黑白黑、黑白白白黑、黑白白黑白、黑白黑白白、白黑白白黑、白黑白黑白、白白黑白黑、黑白白白白、白黑白白白、白白黑白白、白白白黑白、白白白白黑、全白共13＝5+8種，故當(dāng)n＝6時(shí)，有黑白黑白黑白、黑白黑白白黑、黑白白黑白黑、白黑白黑白黑、黑白白白白黑、黑白白白黑白、黑白白黑白白、黑白黑白白白、白黑白白白黑、白黑白白黑白、白黑白黑白白、白白黑白白黑、白白黑白黑白、白白白黑白黑、黑白白白白白、白黑白白白白、白白黑白白白、白白白黑白白、白白白白黑白、白白白白白黑、全白共21＝13+8種．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．9．某校安排甲，乙，丙，丁共4位教師分別去高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)任教，其中每個(gè)年級(jí)至少安排一位教師，若甲，乙不去高三年級(jí)但能去其他兩個(gè)年級(jí)，丙，丁都能去三個(gè)年級(jí)，則不同的安排方案的種數(shù)為14．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】14．【分析】利用分類(lèi)討論思想，求解即可．【解答】解：甲，乙去同一個(gè)學(xué)校，可得C21甲，乙不去同一個(gè)學(xué)校，丙，丁在同一個(gè)學(xué)校，有A22甲，乙不去同一個(gè)學(xué)校，丙，丁不在同一個(gè)學(xué)校，有A22共有4+2+8＝14．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，是中檔題．10．將9個(gè)互不相同的向量ai→=（xi，yi），xi，yi∈{1，2，4}，i＝1，2，…，9填入如圖所示3×3的方格中，每個(gè)方格填一個(gè)向量，使得每行、每列的三個(gè)向量之間兩兩都不共線(xiàn)，則不同的填法種數(shù)是10368【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】10368．【分析】先分析共線(xiàn)的向量，再分步排入九宮格中，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：由題意xi，yi∈{1，2，4}，因此每個(gè)分量有3種選擇，所以共有9個(gè)不同的向量，所有可能的向量為：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4），其中（1，1），（2，2），（4，4）三個(gè)共線(xiàn)；（1，2），（2，4）兩個(gè)共線(xiàn)；（2，1），（4，2）兩個(gè)共線(xiàn)；第一步排（1，1），（2，2），（4，4），第一個(gè)放入有9種方案，一旦放入，該行該列不能再放其他兩個(gè)，則第二個(gè)放入有4種方案，第三個(gè)放入有1種方案，則第一步共有9×4×1＝36種；第二步排（1，2），（2，4），第一步結(jié)束后，每行每列都有一個(gè)向量，則第一個(gè)放入有6種方案，第二個(gè)放入有3種方案，則第二步共有6×3＝18種；第三步排（2，1），（4，2），排位第一、第二步后剩余4個(gè)宮格，剩余的宮格排布主要有三種情況，情況1，4312按序號(hào)排入共有4×2!＝8種，情況2，3412按序號(hào)排入共有4×2!＝8種，情況3，2341按序號(hào)排入共有4×2!＝8種，所以第三步共有8種；第四步排（1，4），（4，1）共有2種；綜上，共有36×18×8×2＝10368種．故答案為：10368．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及向量共線(xiàn)的判斷，屬于中檔題．11．已知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，若實(shí)數(shù)b1，b2，b3，b4滿(mǎn)足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，則有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有48個(gè)．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】48．【分析】先確定{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{5，10，13，17，20，25}，再結(jié)合{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，設(shè)b1＜b2＜b3＜b4，可得到b1+b2＝5，b1+b3＝10，b2+b4＝20，b3+b4＝25，再結(jié)合分類(lèi)討論進(jìn)而求出這四個(gè)數(shù)，從而求得答案．【解答】解：由題意知{ai+aj|5，10，13，17，20，25}，不妨設(shè)b1＜b2＜b3＜b4，則必有b1+b2＝5，b1+b3＝10，b2+b4＝20，b3+b4＝25，若b2+b3＝13，b1+b4＝17，解得b1＝1，b2＝4，b3＝9，b4＝16；若b2+b3＝17，b1+b4＝13，解得b1＝﹣1，b2＝6，b3＝11，b4＝14，由此可知此時(shí)有2種情況，結(jié)合任意b1，b2，b3，b4∈R，共有2A4故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，先確定實(shí)數(shù)b1，b2，b3，b4的可能取值再求解，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）12．組合恒等式是一類(lèi)含有組合數(shù)的恒等式，其結(jié)構(gòu)工整精美，是數(shù)學(xué)園林中的一組瑰寶．其證明方法有很多，有構(gòu)造計(jì)數(shù)模型法（算兩次），構(gòu)造函數(shù)法及數(shù)學(xué)歸納法等等．請(qǐng)根據(jù)條件解決以下問(wèn)題：（1）求證：Cn（2）設(shè)i≤n，求證：j=（3）求證：Cm0+3Cm+11+5（提示：證明過(guò)程中，可能會(huì)用到以下公式：an﹣bn＝（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…bn﹣1），a，b∈R，n∈N*）．【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；歸納法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】證明：（1）因?yàn)镃=n=n=(所以Cn（2）因?yàn)镃=n=n即Cn則j=令t＝j(luò)﹣i，則t＝0，1，2，…，n﹣i，可得Cn所以j=（3）設(shè)S(利用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式，過(guò)程如下：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊為Cm右邊為(2m假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈N*時(shí)，等式成立，即S(當(dāng)n＝k+1時(shí)，則S（k+1）＝S（k）+（2k+3）C＝（2m+1）Cm+k+1m+2+因?yàn)镃m+k則S（k+1）＝（2m+1）（Cm+k+2m+2-C=(2m=(2m＝（2m+1）Cm+k+2m+2+Cm+k+3m又因?yàn)?=(可得S(綜上所述：對(duì)任意n∈N*均有S(所以Cm【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)公式分析證明即可；（2）整理可得Cn（3）利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)（1）中的結(jié)論以及(k【解答】證明：（1）因?yàn)镃=n=n=(所以Cn（2）因?yàn)镃=n=n即Cn則j=令t＝j(luò)﹣i，則t＝0，1，2，…，n﹣i，可得Cn所以j=（3）設(shè)S(利用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式，過(guò)程如下：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊為Cm右邊為(2m假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈N*時(shí)，等式成立，即S(當(dāng)n＝k+1時(shí)，則S（k+1）＝S（k）+（2k+3）C＝（2m+1）Cm+k+1m+2+因?yàn)镃m+k則S（k+1）＝（2m+1）（Cm+k+2m+2-C=(2m=(2m＝（2m+1）Cm+k+2m+2+Cm+k+3m又因?yàn)?=(可得S(綜上所述：對(duì)任意n∈N*均有S(所以Cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)公式的證明、組合數(shù)的性質(zhì)等，采用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．13．規(guī)定Cxm=x(x-1)?(x-m+1)m!，其中x∈R，（1）求C-（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①Cnm=Cnn-m，②Cn（3）①已知k為正整數(shù)，x∈R，求證：kC②已知組合數(shù)Cnm是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解；新定義類(lèi)．【答案】（1）54264；（2）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng)x=2時(shí)，C2性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是：Cxm+Cxm-證明：當(dāng)m＝1時(shí)，有Cx當(dāng)m≥2時(shí)，C=x=x（3）證明：當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)Cx當(dāng)0≤x＜m時(shí)，Cx當(dāng)x＜0時(shí)，由x﹣m+1＜0，可知﹣x+m﹣1＞0，所以Cx因?yàn)榻M合數(shù)Cnm是正整數(shù)，所以【分析】（1）按題中定義計(jì)算即可；（2）由定義可知m是正整數(shù)，所以只需要判斷①Cnm=Cnn-m②Cnm+（3）分類(lèi)討論x≥m、0≤x＜m、x＜0三種情況，其中當(dāng)x＜0時(shí)，可將Cx【解答】解：（1）C-16（2）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng)x=2時(shí)，C2性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是：Cxm+Cxm-證明：當(dāng)m＝1時(shí)，有Cx當(dāng)m≥2時(shí)，C=x=x（3）證明：當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)Cx當(dāng)0≤x＜m時(shí)，Cx當(dāng)x＜0時(shí)，由x﹣m+1＜0，可知﹣x+m﹣1＞0，所以Cx因?yàn)榻M合數(shù)Cnm是正整數(shù)，所以【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，考查組合數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（1）請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)組合恒等式中選擇一個(gè)證明（如果兩個(gè)都選，則按第①個(gè)計(jì)分）；①Cn②Cn0+（2）某同學(xué)在研究組合問(wèn)題時(shí)解決了如下問(wèn)題：從全班50名同學(xué)中選取8人組成班委團(tuán)隊(duì)，并選舉1人擔(dān)任班長(zhǎng)，共有多少種不同的選舉方法？一方面，可以首先從50名同學(xué)中選取8人組成班委團(tuán)隊(duì)，再?gòu)?人中選取1人做班長(zhǎng)，則共有8C508種選舉方法；另一方面，也可以首先從50名同學(xué)中選取1人做班長(zhǎng)，再在余下的49名同學(xué)中選取7人做其余的班委，則共有50C497．所以：8C50（3）化簡(jiǎn)：C2023【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）mC（3）22024【分析】（1）①將Cnm和Cnm-1的計(jì)算公式分別列出來(lái)，通分即可；（2）令50為n，8為m，代入即可；（3）先根據(jù)Cnm和Cnn-【解答】解：（1）①證明：Cn②證明：Cn（2）令50為n，8為m，由8C508證明：mC（3）C2023由（2）得mCnm原式==2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合數(shù)相關(guān)的化簡(jiǎn)計(jì)算．15．甲乙丙丁戊五個(gè)同學(xué)（1）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同的排列方法？（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同排列方法？（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，共有多少種不同游覽方法？（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）72；（2）78；（3）243；（4）150．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用不相鄰問(wèn)題插空法列式計(jì)算即得．（2）求出無(wú)限制條件的排列數(shù)，去掉甲在首位或者乙在末位的排列數(shù)即可．（3）根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得．（4）把5人按1：1：3或2：2：1分組，再把每一種分組方法安排到三個(gè)城市即可得解．【解答】解：（1）排成一排，甲乙不相鄰，先將丙丁戊排成一列有A33種方法，再將甲乙插空隙中，有所以共有不同排法數(shù)為A3（2）排成一排，無(wú)限制條件的排列有A55，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有則甲不在首位，乙不在末位的不同排法有A5（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，因此每個(gè)人都有3種選擇，所以不同游覽方法有35＝243（種）．（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，則先把5人按1：1：3分組，有C5按2：2：1分組，有C52C再把每一種分組安排到三個(gè)城市，有A3所以不同分配方法種數(shù)是(C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬中檔題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體稱(chēng)為集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集．元素一般用小寫(xiě)字母a，b，c表示，集合一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意．分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．2．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱(chēng)這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿(mǎn)足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱(chēng)為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P4．部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問(wèn)題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問(wèn)題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先對(duì)有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對(duì)剩余元素進(jìn)行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．﹣對(duì)于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類(lèi)討論，并對(duì)每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算．【命題方向】﹣?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問(wèn)題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式．5．部分元素不相鄰的排列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分元素