H專題突破

專題五概率與統(tǒng)計(jì)

第4講概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型（新高考專用）

【真題自測】2

【考點(diǎn)突破】2

【考點(diǎn)一】概率和數(shù)列的綜合問題2

【考點(diǎn)二】概率和函數(shù)的綜合問題4

【C題精練】…….6

考情分析:

概率與統(tǒng)計(jì)問題在近幾年的高考由背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的閱

讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、

各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解.

真題自測

一、解答題

1.（2023?全國?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若

末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為

0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第/次投籃的人是甲的概率；

，n\fi

⑶已知：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（Xj=l）=l—P（X,=0）=分i=l,2,…則EZX=?.記

kM）r=l

前"次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求日了）.

2.（2021?全國?必考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,

經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代......，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相

同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X=/）=pj（/=0,l,2,3）.

（1）已知％=0.4,P]=0.3,p?=0.2,“3=。/，求E（X）；

（2）設(shè)〃表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，〃是關(guān)于x的方程：〃0+〃/+〃/2+〃亞3=]的

一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）W1時(shí)，p=l,當(dāng)E（X）>1時(shí)，〃<1；

（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)一】概率和數(shù)列的綜合問題

一、單選題

1.（2024?山東聊城三模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和S“滿足25。=d+4,￡：表示從〃個(gè)不同元素中任取〃2

10

個(gè)元素的組合數(shù)，則Z&C：o=（）

t=l

A.512B.1024C.5120D.10240

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛?！埃灿?項(xiàng)，％=1,%+%=2%，且滿足：

d+d-w-3%+2=0（2K〃K9,〃eN），則符合條件的數(shù)列｛q｝共有（）個(gè).

A.16B.40C.70D.80

二、多選題

3.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）甲乙兩個(gè)口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一

個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行，次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X“，恰有1個(gè)黑球的概

率為2,下列說法正確的是（）

A.沼B.P（X.=2）=1

C.數(shù)列,一|｝是等比數(shù)列D.X”的數(shù)學(xué)期望E（X”）=1

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

X123???n

???

P6P262

若數(shù)列優(yōu)｝是等差數(shù)列，則（）

A.若〃為奇數(shù)，則尸=LB.匕=上也

k2Jnn

C.若數(shù)列代｝單調(diào)遞增，則叫<1D.E（X）=（〃+.0一叫）

6

三、填空題

5.（2024?江西-模）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契

（Leonard。Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列〃，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：

%=1,6=IM”=>2,muN"）,人=｛q,/，…，~24｝，8工A且3工0中，則8中所有元素之和為奇數(shù)

的概率為—.

四、解答題

6.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知有窮數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=〃（〃wN,）,將數(shù)列｛%｝中各項(xiàng)重新排列

構(gòu)成新數(shù)列血｝,則稱數(shù)列｛〃｝是｛4｝的"重排數(shù)列";若數(shù)列他｝各項(xiàng)均滿足2工％,則稱數(shù)列也｝是｛4｝

的“完全重排數(shù)列〃，記項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛4｝的“完全重排數(shù)列〃的個(gè)數(shù)為D..

⑴計(jì)算a,A,A；

⑵寫出。向和2，2T(〃之2)之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列論―“。7｝(〃之2)是等比數(shù)列；

⑶若從數(shù)列｛4｝及其所有“重排數(shù)列〃中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列｛qj,記數(shù)列｛7｝是幾｝的"完全重排數(shù)歹曠的概率

IV2丫3r"

為匕，證明：當(dāng)〃無窮大時(shí)，月趨近于一.(參考公式：e=\—+—+-+—+……)

e+x+2!3!加

規(guī)律方法：

榻率問題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：

(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率P”或均值七(X〃)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出

通項(xiàng)公式.

(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、整項(xiàng)相消法求和.

(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.

【考點(diǎn)二】概率和函數(shù)的綜合問題

一、單選題

1.(2024?浙江?三模)定義函數(shù)集

A=｛〃(x)|〃(x)=/(r)位〃(x),14/iy4//eN+,且iwj,其中③為加、減、乘、除四種運(yùn)算｝.已知函數(shù)

l

/(x)=x,f2(x)=~,/,(x)=V2e,f4(x)=\f2\nx.若函數(shù)g(#)wA,則在g(x)為奇函數(shù)的條件下,g(x)

X

存在單調(diào)遞減區(qū)間的概率為()

23八31

A.-B.-C.—D.—

38166

2.(2024?河南?三模)有以下6個(gè)函數(shù)：①公)=G—4+7？7?；②/(x)=L③/(x)=siiu；(4)

X

/(X)=COS2A-；⑤八力=?；⑥〃x)=2x+3.記事件M：從中任取1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；事件N：從中

任取1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，事件MW的對立事件分別為后,N,則()

A.P（M）=P（M+N）-?（N）

B.P（WV）=P（M）P（iV）

c.P（M+N）=P（A?）+P（N）

D.P（MN）=P（A7|N）

二、填空題

3.(23-24高三上?河北邢臺?開學(xué)考試)歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到

歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)。(〃)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃，且與〃互素(兩個(gè)數(shù)只有

公約數(shù)1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：夕⑴=1,夕（4）=2.現(xiàn)從祝1）,9⑵，奴3）,…，公10）中任選兩個(gè)數(shù),則這

兩個(gè)數(shù)相同的概率是.

4.（23-24高二上?福建泉州?階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子〃

的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù)y=b］（xeR）稱為高斯函

2024"+2024A

數(shù)，其中卜］表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)S-X則S除以2023的余數(shù)是

(-1)*2023

三、解答題

5.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過對血清甲胎蛋白進(jìn)行檢驗(yàn)，

篩查出該種疾病攜帶者.

⑴若該檢測方法可能出錯(cuò)，具體是：患病但檢測顯示正常的概率為091，未患病但檢測顯示患病的概率為

0.05.

①求檢測結(jié)果顯示患有該疾病的概率；

②求檢測顯示患有該疾病的居民確實(shí)患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）

⑵若該檢測方法不可能出錯(cuò)，采用混合化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按A人一組分組,然后將女個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，

如果混合血樣呈陰性，說明這k人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，就需要對每個(gè)人再分別化戰(zhàn)一次（每一

小組都要按要求獨(dú)M完成），k取何值時(shí)，總化驗(yàn)次數(shù)最少？

說明：函數(shù)/（幻=！-。.98,3>0）先減后增.

X

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

6.（2024?廣東?一模）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒"，焊接是否成功直接導(dǎo)

致產(chǎn)品"合格〃與“不合格〃，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有

明顯差異，得到如下的“不合格〃產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

個(gè)頻率/組距木頻率/組距

嬲

0.004kl111r

O8090100110120指標(biāo)O60708090100指標(biāo)

不合格產(chǎn)品合格產(chǎn)品

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K將該指標(biāo)大于k的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于攵的

產(chǎn)品判定為“合格〃.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為了伏)；錯(cuò)檢率

是將“合格”產(chǎn)品判定為"不合格〃產(chǎn)品的概率，記為g(A).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作

為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏檢率/伙)=2.8%時(shí)，求臨界值k和錯(cuò)檢率g(k)；

(2)設(shè)函數(shù)力(A)=/(A)+g。),當(dāng)々480,100］時(shí)，求〃(〃)的解析式，并求妝A)在區(qū)間［80,100］的最小值.

規(guī)律方法：

構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對變量范圍的限制.

專題精練

一、單選題

1.(2024?福建三明?三模)隨機(jī)變量J~N(必/),函數(shù)〃x)=x2-沒有零點(diǎn)的概率是;，則〃的值

為()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024?湖南常德?一模)將三個(gè)分別標(biāo)注有e，，x,的三個(gè)質(zhì)地均勻的小球放入一個(gè)不透明的小盒中.

Inx

無放回的隨機(jī)取出2個(gè)小球(每次取一球)，分別記錄下小球的標(biāo)注為/(x),g(x).若/i(x)=f(x)^(x),則

/?)在xc(O,l)上單調(diào)遞減的概率為()

I212

A.-B.-C,-D.一

6933

3.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進(jìn)數(shù)字的計(jì)算方法、提高計(jì)算

速度和準(zhǔn)確度.已知M={1,3},N={1,3,5,7},若從集合M,N中各任取一個(gè)數(shù)工，戶則1吧，(移)為整數(shù)的

概率為()

I214

A.—B.-C.—D.一

4525

4.(2024?安徽?模擬預(yù)測)科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，

以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量〃進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的概

率為％(〃)=log〃四，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律

來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若立。（〃）=整甯（%eN'，k>4）,則A的值為

MIn2+In5

（）

A.11B.15C.19D.21

5.12024?河南?二模）單調(diào)遞增數(shù)列｛&｝滿足：4wN"=l.在q=8的條件下，出+/=2%的概率為（）

1321

A.-B.—C.-D.-

51052

6.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）隨著互聯(lián)網(wǎng)普及和技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲已成為當(dāng)今社會的一種流

行文化，也是青少年學(xué)習(xí)、娛樂和社交的重要方式.但隨著網(wǎng)絡(luò)游戲的推廣發(fā)展，一些青少年對其過度依賴，

甚至對心理健康產(chǎn)生了不可忽視的影響."預(yù)防網(wǎng)絡(luò)游戲沉迷，關(guān)愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現(xiàn)實(shí)

問題."某款網(wǎng)絡(luò)游戲的規(guī)則如下：參與者每?局需投?枚游戲幣，每局通關(guān)的概率為50%,若該局通關(guān)，參

與者可以贏得兩個(gè)游戲幣.遇到兩種情況會自動(dòng)結(jié)束游戲：?種是手中沒有游戲幣；?種是手中游戲幣到預(yù)

期的N個(gè).設(shè)當(dāng)參與者手中有〃個(gè)（0W〃WN）游戲巾時(shí)，最終手中沒有游戲幣的概率為“（〃），下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.*0）=1,P（N）=0

B.記乂=參與者通關(guān)的局?jǐn)?shù)，在前13局中，￡（X）=6.5,D（X）=3.25

C.*〃+1）="（〃）+）（〃-1）

4

D.若參與者最初手中有20個(gè)游戲幣，他希望贏到100個(gè)，則他輸光的概率為《

7.（24-25高三上?福建?開學(xué)考試）某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個(gè)月?lián)u上的人退出搖號，

沒有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月?lián)u號，每個(gè)月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號隊(duì)伍，每個(gè)季度第一個(gè)月?lián)u上的概率為第

二個(gè)月為《，第三個(gè)月為：，則平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為（）個(gè)月.

9o

A.7B.8C.9D.10

8.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）己知A細(xì)胞有0.4的概率會變異成8細(xì)胞，0.6的概率死亡；8細(xì)胞

有0.5的概率變異成A細(xì)胞，0.5的概率死亡，細(xì)胞死亡前有可能變異數(shù)次.下列結(jié)論成立的是（）

A.一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.75

B.一個(gè)細(xì)胞為A細(xì)胞，其死亡前是8細(xì)胞的概率為0.2

C.一個(gè)細(xì)胞為8細(xì)胞，其死亡前是A細(xì)胞的概率為0.35

D.一個(gè)細(xì)胞為U細(xì)胞，其死亡前是〃細(xì)胞的概率為0.7

二、多選題

9.（2024?廣西來賓?一模）甲，乙，丙，丁等4人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者將

球等可能地傳給另外3人中的任何1人，經(jīng)過〃次傳球后，球在甲手中的概率為匕（幾=1,2,…），則下列結(jié)

論正確的是（）

A.經(jīng)過一次傳球后，球在丙中概率為:

4

2

B.經(jīng)過兩次傳球后，球在乙手中概率為§

7

C.經(jīng)過三次傳球后，球在丙手中概率為彳；

27

D.經(jīng)過〃次傳球后，

4ID/

10.（2024?全國?模擬預(yù)測）甲、乙、丙三人做足球傳球訓(xùn)練，規(guī)定：每次傳球時(shí)，傳球人將球傳給另兩人

中的任何一人是等可能的.假設(shè)第1次由甲將球傳出，第&次傳球后，球回到甲處的概率為外（kWND，

則（）

1r?1

A.p2=~B.PCP&C.A+2/?,+I=1D.p15>-

4J

11.（22?23高二下?貴州貴陽?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開始，等可能地隨機(jī)

傳問另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假

設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲手中的概率為乙，易知[=1，6=。.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.

6

B.[2一；｝為等比數(shù)列

C.設(shè)笫〃次傳球之前球在乙手中的概率為”“，&<兄2

D.第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種

三、填空題

12.（2024?北京海淀?一模）一維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款

由個(gè)黑白方塊構(gòu)成的〃x〃二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒

能隨機(jī)生成*個(gè)不重復(fù)的二維碼：為確保一個(gè)〃x〃二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，，則〃的最小

值為.

13.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知某公司加工一種芯片的不合格率為p,其中。若加工后的30

顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為了（〃），且各顆芯片是否為不合格品相互獨(dú)立，則當(dāng)/（〃）取最大值

時(shí)，〃=.

14.（22-23高二下?北京豐臺?期末）投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬札結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次

投擲結(jié)果是正面的概率為〃（。<P<1）.現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的

概率為了（P），則/（P）=;函數(shù)/（P）取最大值時(shí)，P=.

四、解答題

15.（2024?浙江?三模）為提高學(xué)生的思想政治覺悟，激發(fā)愛國熱情，增強(qiáng)國防觀念和國家安全意識，某校

進(jìn)行軍訓(xùn)打靶競賽.規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊

中靶心的概率為,，且滿足：如果第〃次射擊擊中靶心概率為p,那么當(dāng)?shù)凇ù螕糁邪行臅r(shí)，第〃+1次擊中

靶心的概率也為p,否則第〃+1次擊中靶心的概率為

⑴求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

⑵芍如下定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，1是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)/。）=尸（XW>）,xwR稱為X的分布函數(shù)，

對于任意實(shí)數(shù)七，七（大<玉），W^1<X<X2）=P（X<^）-P（X<XI）=F（X2）-F（X1）.因此，若已知X

的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間（％,9]上的概率.

（i）寫出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式〉；

（ii）靶子是半徑為2的一個(gè)圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面枳成正比，假如選

手射擊都能中靶，以丫表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量丫的分布函數(shù).

16.（2024?福建龍巖?三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個(gè)

層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45.55）,[55.65）,[65,75）,[75,85）,[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片

的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為8等

品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)工作為〃的近似值，用

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面

兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隙機(jī)變量J服從正態(tài)分布%(〃,/),則

P(z7-tr<^</74-cr)a0.6827,P(〃-2o<Jv〃+2a)?0.9545,P(〃-3crvJv//+3(T)=0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45.55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯

片件數(shù)為〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一性A等品芯片

的利潤是〃?(1<〃?<24)元，一件8等品芯片的利潤是ln(25-/〃)元，根據(jù)⑴的計(jì)算結(jié)果，試求〃，的值，使得

每箱產(chǎn)品的利