高考數(shù)學(xué)概念措施題型易誤點技巧總結(jié)（十）

排列、組合和二項式定理

1.排列數(shù)A：中a>m>1,〃、ineN、組合數(shù)C：中〃之n>1,m>0,小meN.

（1）排列數(shù)公式

A"'=n（n-\）［n-2）（n-m+1）=—————（m<n）；=u!=n（n-l）（n-2）??21o如

（1）1!+2!+3!+…+n!（〃24,〃wN，）的個位數(shù)字為（答：3）：（2）滿足忿<6黑二

的工=（答：8）

（2）組合數(shù)公式

冬="（"?）”一：〃「）二J〒（?。?；規(guī)定5=1，G；=i?如已知

鑿?….21加（〃-m）!"

C：+C3+A："=6,求n,m的值（答：m=n=2）

⑶排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：①c：=c;r；②C：=M+C%：③圮：=〃仁，

④C；+C—..+C：=C：；：：⑤〃?加=（〃+1）!-〃!；=

（〃+1）!〃?。?7+1）!

2.解排列組合問題的根據(jù)是：分類相加（每類措施都能獨立地完畢這件事，它是互相獨

立的，一次的且每次得出的是最終的成果，只需一種措施就能完中這件事），分步相乘（-

步得出的成果都不是最終的成果，任何一步都不能獨立地完畢這件事，只有各個環(huán)節(jié)都完畢

了，才能完畢這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合.如（1）將5封信投入3個郵

筒，不一樣的投法共有種（答：35）：（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取

出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不一樣的取法共有一種（答：70）：（3）

從集合｛1,2,3｝和｛145,6｝中各取一種元素作為點的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系中能確定不一樣

點的個數(shù)是一（答：23）：（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有個（答：12）：（5）ZA

的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同NA的頂點共10個點，以這些點為

頂點，可以構(gòu)成_____個三角形（答：90）；（6）用六種不一樣顏色把

右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，容許同一顏色涂不一樣區(qū)域，但/QASX

相鄰區(qū)域不能是同一-種顏色，則共有種不--樣涂法（答：480）：//\

（7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張他人送出的賀CB

年卡，則4張賀年卡不一樣的分派方式有______種（答：9）：（8）f\L->y

是集合M=｛a,〃,c｝到集合N=｛T,0,l｝的映射，且/（〃）+/S）XCDJ/

=/（c），則不一樣的映射共有個（答：7）；（9）滿足/1U5UC=｛12,3,4｝的集合

A、B、C共有組（答：74）

3.解排列組合問題的措施有：

（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元索優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的規(guī)定，再

考慮其他元素：位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的規(guī)定，再考慮其他位置）。如（D

某單位準(zhǔn)備用不一樣花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的

外墻，映行編號為1到6的6種不一樣花色的石材可詵擇，其中1號石材有微量的放射性,

不可用于辦公室內(nèi)，則不一樣的裝飾效果有____種（答：300）：（2）某銀行儲蓄卡的密碼

是一種4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的

措施設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選。千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計出來的

密碼共有種（答：100）；（3）用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字，可以構(gòu)成無反復(fù)數(shù)

字的四位偶數(shù)______個（答：156）：（4）某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育

不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不一樣排課方案種數(shù)為_____（答：6）；（5）

四個不一樣的小球所有放入編號為1、2、3、4的四個盒中，①恰有兩個空盒的放法有

一種：②甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不一樣放法有

一種（答：84：96）；（6）設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、

4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相似的蓋法

有_________種（答：31）

（2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有狀況去掉））。

如在平面直角坐標(biāo)系中,由六個點（0,0）,（1,2）,（2,4）,（6,3）,（-1,一2）,可以確定

三角形的個數(shù)為（答：15）。

（3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一種大元素，然后再與其

他“一般元素”全排列，最終再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。如（1）把4

名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不一樣的排法種數(shù)為（答：2880）；（2）

某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連任一起的狀況的不一樣種數(shù)為（答：

20）；（3）把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票所有分給4個人，每人至少

分I張，至多分2張，且這兩張票具有持續(xù)的編號，那么不一樣的分法種數(shù)是（答：

144）

（4）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采

用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按規(guī)定插入排好

的元素之間）。如（1）3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊均有空位，則不一樣的坐

法種數(shù)有種（答：24）；（2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演

前又增長了兩個新節(jié)目。假如將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不一樣的插法種數(shù)為

（答：42）0

（5）多排問題單排法。如若2n個學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x,這2n個學(xué)生排成前后

兩排，每排各n個學(xué)生的排法數(shù)為y,則x,y的大小關(guān)系為（答：相等）：

（6）多元問題分類法。如（1）某化工廠試驗生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，既有5

種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同步使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先

投放.那么不一樣的試驗方案共有種（答：15）：（2）某企業(yè)新招聘進(jìn)8名員工，平

均分給下屬的甲、乙兩個部匚.其中兩名英語翻譯人員不能同給一種部門：另三名電腦編程

人員也不能同給一種部門，則不一樣的分派方案有種（答：36）；（3）9名翻譯中，6

個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參與外事活動，規(guī)定其中3人擔(dān)任英語翻譯，選撥的

措施有種（答：90）；

（7）有序問題組合法。如（1）書架上有3本不一樣的書，假如保持這些書的相對次序

不便，再放上2本不一樣的書，有種不一樣的放法（答：20）：（2）百米決賽有6名運

動A、B、C、D、E、F參賽，每個運動員的速度都不一樣，則運動員A比運動員F先到終

點的比賽成果共有種（答：360）；（3）學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

王€{89,90,91,92,93}0=1,2,3,4）且滿足內(nèi)＜$4當(dāng)＜%,則這四位同學(xué)考試成績的所

有也許狀況有種（答：15）；（4）設(shè)集合A={1,Z3,4,5,6,7,8},對任意XWA,有

/（1）＜/（2）＜/（3）,則映射的個數(shù)是（答：C；8l；（5）假如一種三位

正整數(shù)形如“卬廿3”滿足《＜電且內(nèi)〈電，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、

374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為（答：240）；（6）離心率等于log,"（其中

1工〃＜9,1〈鄉(xiāng)＜9且的不一樣形狀的的雙曲線的個數(shù)為（答：26）0

（8）選用問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相似且

可辨別，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最終一只次品恰好在第五次測

試時，被發(fā)現(xiàn)的不一樣狀況種數(shù)是（答：576）。

（9）至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女

同學(xué)當(dāng)選的選法有______種（答：596）

（10）相似元素分組可采用隔板法,如（1）10個相似的球各分給3個人，每人至少一

種，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36：15）：（2）某運送企業(yè)有7個車隊，每個

車隊的車都多于4輛且型號相似，要從這7個車隊中抽出10輛車構(gòu)成一運送車隊，每個車

隊至少抽1輛車，則不一樣的抽法有多少種？（答：84）

4、分組問題：要注意辨別是平均分組還是非平均分組，平均提成n組問題別忘除以n!0

如4名醫(yī)生和6名護(hù)士構(gòu)成?種醫(yī)療小組，若把他們分派到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)

校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不一樣選派措施有種（答：37440）：

5.二項式定理：（a+b）n=+…+C；cT'b'+…+C?”,其中組合數(shù)C；

叫做第，41項的二項式系數(shù)：展開式共有〃+1項，其中第戶］項7；+1=C；/-，'（r=0,l,2,

,〃）稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的重要用途是求指定的項.尤其提醒：（1）

項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不一樣的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就

是二項式系數(shù)。如在（ax+份”的展開式中，第r+】項的二項式系數(shù)為第r+1項的

系數(shù)為CH"-'"；而CY+'）”的展開式中的系數(shù)就是一項式系數(shù)；（2）當(dāng)n的數(shù)值不大時

X

往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)：（3）審題時要注意辨別所求的是項還是第幾

項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？如（1）（2d-七Y的展開式中常數(shù)項是一（答：14）：

（2）（1+4+（1+"+…+{1+W°的展開式中的/的系數(shù)為（答：330）；

（3）數(shù)-l的末尾持續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是一（答：3）；（4）（缶+次嚴(yán)展開后所得的

x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有一項（答：7）；（5）若

1一6%+15%2—20/+15/一6%5+%6（入￡%且工421）的值能被5整除，則x的可取值的

個數(shù)有一個（答：5）：⑹若知＜。，且x+y=L二項式按X降恭展開后，其第

二項不不小于第三項，則x的取值范圍是（答：（1,+8））；⑺函數(shù)

/（幻=（1-《!1外|°+（1+5由刀產(chǎn)的最大值是_______（答：1024）.

6、二項式系數(shù)的性質(zhì)：

（I）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

（2）增減性與最大值：當(dāng)?shù)葧r，二項式系數(shù)C：的值逐漸增大，當(dāng)「2等時.C：

的值逐漸減小，且在中間獲得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（第，+1項）的二項式系

2

數(shù)獲得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（第"1和"1+1項）的二項式系數(shù)

"22

n-lM+I

c,F=?相等并同步取最大值。如（1）在二項式“一1）”的展開式中，系數(shù)最小的項的

系數(shù)為（答：-426）：（2）在（1+x）”的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，

則〃=（答：17,18或19）。

（3）二項式系數(shù)的和：C：+C：++C：+…+C：=2"：C：+C：+…=C：+C；+

…=2"二如（1）假如l+2C：+22C；+.??+2"C二=2187,則C+C：+C；+：?+￡；=

（答：128）；（2）化簡C：+2C：+3C；+…+5+1）。（答：（〃+2）-2"7）

7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為了⑴、“奇數(shù)（偶次）項”

系數(shù)和為匕/⑴一/（一1）］,以及“偶數(shù)（奇次）項“系數(shù)和為,"⑴+如（1）日

22

9

知（1—3x）9_4++生廠+----F，則+%|+14|等于（答：4