2025年高考數(shù)學解密之填空題

一,填空題（共25小題）

1.（2024?楊浦區(qū)校級三模）對于沒有重復數(shù)據(jù)的樣本為、士.....七“，記這〃?個數(shù)的第a百分位數(shù)為

中囹k99,此Z）.若&不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間（4,中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則”的所有可能

值組成的集合為—.

2.（2024?河南模擬）（2X-!）4的展開式中x的系數(shù)為—.

廠

3.（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知集合4={x|xvZ},B={x\\<x<2},且4nB=8,則實數(shù)A的取值范

圍是

X2+O￥,X<0

4.（2024?廣東模擬）已知函數(shù)/（幻=x的最小值為-1,則“

,x>0

,X+1

5.（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)x>0,y>0,則。+］）+何+1）的最大值為

x2+9y24-2---

6.（2024?廣州模擬）已知橢圓=的左右焦點為居.直線丁=丘與橢圓C相交于

alr

P，Q兩點，若|*"=2|。片|,且/P￡Q=與，則橢圓C的離心率為.

7.（2024?南湖區(qū)校級一模）（x+g（2x」）s展開式中的常數(shù)項是120,則實數(shù)〃=—.

XX

8.12024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5,其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面匕則I員I錐的體積為

9.（2024?河南模擬）已知△ABC的內(nèi)角人，B,C的對邊分別為“，b,c,C=60。，c=7,若〃-。=3,

。為中點，則CD=.

10.（2024?回憶版）設雙曲線C：，/l（a>0力>0）的左、右焦點分別為人,過F?作平行于），軸

的直線交C于4,B兩點,若|4A|=13,|A3|=1（）,則C的離心率為.

11.（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列{七}的前〃項和為S“，若S”=44,則色+&的最小，直為.

12.（2024?衡陽模擬）己知拋物線），2=2px（p>0）的焦點為尸，過點尸的直線與拋物線交于A：8兩點（點

A在第一象限），/4/0=120。（0為坐標原點），\AF\=4,則|8尸|二

13.（2024?順義區(qū)校級模擬）A/WC為等邊三角形，且邊長為2,則AB與BC的夾角大小為,若|80=1,

CE=EA.則八方IE的最小值為

14.(2024?錦州模擬)已知“，叼，％，a4e{1?2,3,4},N(a]?a2,a3,卬)為q,a2,a3,q中

不司數(shù)字的種類，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)與(【，2,I,2)視為不同

的排列，則（％,%,小,%）的不同排列有一個（用數(shù)字作答）；所有的排列所得N（q,%,%,q）

的平均值為一.

15.（2024?紅橋區(qū)一模）i是虛數(shù)單位，復數(shù)土！2=.

1-/

16.（2024?孝南區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列｛《｝的前〃項和為若4+生=12,則S“=—.

17.（2024?南岸區(qū)模擬）logQl**-］尸嗚、（券嚴+（捺尸=.

18.（2024?淅川縣校級三模）三知集合A=｛x|=上,,0,x€R｝與集合8=｛劃1>0,xeZ）,求集合

x-2

明八一?

19.（2024?芝呆區(qū)校級模擬）如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為A,點C、呂在圓。上，且點C位于第

一象限，點8的坐標為（（一|）,ZAOC=a,若|BC|=1,則6cos?3-s嗚cos?_*的值為.

20.（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列（月從〃又稱黃金分割數(shù)列,因數(shù)學家萊昂納多?斐波那

契（及am?曲/泌a"d）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、

3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：4=1,4=1,

%=4r-l+%-2（幾?2,〃￡N'3A=｛4，“2，…，^2024）?8口力且4W0中，則/中所有元素之和為奇數(shù)

的概率為—.

92

21.（2024?浙討模擬）已知雙曲線二-二々，尺為雙曲線的左右焦點.過G作斜率為干的直線

a-b

交雙曲線左支于4。,片），8（/，月）（X〈乃）兩點，若用=2。，乙鉆瑪=90。，則雙曲線的離心率是

22.（2024?紅谷灘區(qū)校級模擬）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，正八面體就是其中之一.正

八面體由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個正方錐體黏合而成，每個正方錐體由四個三角形

與一個正方形組成.如圖，在正八面體48C。斯中，”是棱比的中點，則異面直線〃尸與AC所成角的

余弦值是.

一

F

23.（2024?歷下區(qū)校級模擬）已知函數(shù)/（x）=/z—eT，+sin（2X-馬+1,則不等式/（2x+l）+/（2-x）..2

24

的評集為—.

24.（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體RWC中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,設

四面體Q48C與四面體2力Er的體積分別為K、匕，則匕的值為.

25.（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如卜.：①本題共

3小題，每小題6分，滿分18分：②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有

選錯的得0分：③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分：若某小題正

確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學試題的考

試中，小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了

一個選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為

2025年高考數(shù)學解密之填空題

參考答案與試題解析

一,填空題（共25小題）

I.（2024?楊浦區(qū)校級三模）對于沒有重復數(shù)據(jù)的樣本%、占.....二,記這根個數(shù)的第&百分位數(shù)為

蟲啜A99,丘Z）.若％不在這沮數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間（&,%）中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則/〃的所有可能

值組成的集合為_{5（）-55}_.

【答案】{50,55）.

【考點】百分位數(shù)

【專題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析

【分析】根據(jù)0.9x〃z是否為正整數(shù)分類討論，若為正整數(shù)，則5個數(shù)分別為天川，…，x*若不為整數(shù)，

則5個數(shù)分別為天7，…，與…，根據(jù)左，s的范圍分類計算.

【釋答】解：設玉＜與＜3＜/，

則%不在這組數(shù)據(jù)，

4

.,.0.8x〃?=一為正整數(shù)，

5

.I）_Mt+“％+1n_勾I+-^-1

??小一'小一2'

?.?在區(qū)間（心），B。）中的數(shù)據(jù)有且只有5個，

故這個5個數(shù)分別為%+1,…,Xgk-（8^+1）..4,即k..5,

當左=5,6,7,

當左=5時，％+］，,?,，x9k,即為知，x42,xu,x45,共5個，符合；

XXXX

當攵=6時，％.1，…，X9k,即為七9，?%?，5\?52?53?54?共6個，不符合；

當〃=7時，X57,X58?必，%），%，％，工63，共7個，不符合，

若0.9〃?為整數(shù)，"J得〃7=103即有〃7=10x5=50；

若0.9x/〃不為整數(shù)，故相=5/,其中/為正奇數(shù)，

設m=105+5,其中s為正整數(shù)，

則0.9x〃?=9s+4.5,且0.8x〃?=8s+4,故［0.9x〃?］=9s+4,

Bo=MA+S

2

?.?在區(qū)間（匕），%,）中的數(shù)據(jù)有且只有5個，

.,.這5個數(shù)分別為％.5，…,%+4，???9S+4-（8S+5）..4,即S..5,

但當s..8,95+4-（85+5）..7,此時.+5.........要+4至少有6個,

=596,7,

當S=5時，x&,+5，…，必+4即為飛，X46,打，x48,x49,共5個，符合，此時m=55；

當s=6時，%+5.........工9.、+4即為X541X33*X56'X37,與，共6個,不符合：

當5=7時，/S+5，…，樂+4即為%，%，%，%，%，%，%，共7個，不符合?

綜上，符合條件的，〃為50,55.

故答窠為：{50,55}.

【點評】本題考查百分位數(shù)的定義和集合的表示，考查運算求解能力，是基礎題.

2.（2024?河南模擬）Qx-!）"的展開式中x的系數(shù)為_-32_.

k

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算：二項式定理；綜合法

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得展開式中工的系數(shù).

【解答】解：（2x-[）4的展開式的通項公式為心=4（-1）〈21?/%

x

令4-3r=1,求得r=1,

可得展開式中x的系數(shù)為-32,

故答案為：-32.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬「基礎題.

3.（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知集合A=（x|x<k},B={x\l<x<2],且B,則實數(shù)我的取值范

圍是_[2_+oo）_.

【答案】[2,+00）.

【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應用；交集及其運算

【專題】轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想

【分析】根據(jù)已知條件，推得即可求出4的取值范圍.

【解答】解：Ap|Z?=B,

則

A={x|x<A},?={x|l<x<2},

則k.2,

故實數(shù)上的取值范圍是［2,+00）.

故答案為：［2,+oo）.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

x2+av,x<0

4.（2024?廣東模擬）已知函數(shù)/"）=?x>0的最小值為-1,則〃=2.

.x+\

【考點】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應用

【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；直觀想象；運算求解

【分析】由題意可知當X.0時，，從而得當X<0時，/（外=彳2+必有最小值-1,結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)求解即可.

【辭答】解：因為當x.O時，/（%）=--=-1+—,

X+lX+1

易知此時，且/■*）在［0，+8）上單調(diào)遞減，

乂因為函數(shù)的最小值為-1,

所以當XV。時，/。）=產(chǎn)+公有最小值一1,

令/（x）=Y+ai=。，則有X1=0,x2=-a,

當一”.0,即4,0時，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在［fo,0）上單調(diào)遞減，不能取到最小值-1;

當-。<0,即〃>0時，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在（-0）上單調(diào)遞增，

22

2

所以/（幻麗=/（—§=—9=一1，

解得4=±2,

又因為4>0,所以4=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了尋函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

5.（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)x>0,），>0,則"+a+（3）'+l）2的最大值為?.

x2+9/+2

【答案】2

【考點】基本不等式及其應用；函數(shù)的最值

【專題】綜合法；數(shù)學運算；不等式的解法及應用；函數(shù)思想

【分析】將分式化簡，然后結(jié)合平方均值不等式與基本不等式的相關(guān)知識即可得到結(jié)論

田/。+尸+(22

【解答】解:13y+1)2_x+9y+2+2x+6y2(x+3,y)

口內(nèi)Y+獷+2——7+9-+2~丁+9-+2

因為x>0,y>0,所以根據(jù)平方均值不等式得:

當且僅當x=3y時等號成立,

2(x+3y)2(x+3y)

將匕式化簡得:

丁+9)，2+2”(X+3*2

2-

=1+7------------，，］+~?=2，

（x+3y）［2卜+3），2

2（x+3y）V2x+3y

當且僅當：三包=」一時等號成立，即x+3y=2,又因為x=3y,

2x+3y

所以當x=I,y=g時取得最大值.

故答案為：2

【.點評】本題主要考察了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)條件化簡可以知道，基本不等式的靈活運用是解題

的關(guān)鍵

6.（2024?廣州模擬）已知橢圓［=的左右焦點為居.直線），=丘與橢圓C相交于

alr

P，Q兩點，若|P"|=2|Q^|,且/尸￡Q=至，則橢圓C的離心率為_且_.

33

【答案】—.

3

【考點】橢圓的幾何特征

【分析】由橢圓的對稱性可得四邊形。用26為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出|P片|,|P6|,再在

△。石工中，利用余弦定理求出。，c的關(guān)系，即可得解.

【解答】解：由橢圓的對稱性可得四邊形PEQR為平行四邊形，則|PERQ￡I，

由/心。=二，得/毋夕入=工，

33

因為|尸耳=2|。用,所以|尸用=2|%

4〃2〃

又|產(chǎn)甲+|尸曰=2-所以耳卜?|P巴卜町,

22

在^用巴中,由余弦定理得|F居|=|PF^+\PF21-2|西||PF2|cosN耳尸官,

an,216a，4/4a為

即4c~=+--------2x-x——x

9933

所以￡=立，

a3

即橢圓的離心率e=￡=且.

a3

故答案為：2.

3

【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應用及余弦定理的應用，屬于中檔題.

7.(2024?南湖區(qū)校級一模)(x+g(2x-3s展開式中的常數(shù)項是120,則實數(shù)

xx

【答案】2.

【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)

【專題】綜合法；二項式定理；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；計算題；數(shù)學運算

【分析】求出(2X-')5的通項公式，得到-竺與T=80x,從而得到“+@)(2x」)5展開式常數(shù)項，

XXXX

得到方程，求出4=2.

【解答】解：???(2”一3、展開式的通項公式為7；M=(T)，c；25-"2『(r=O,L2b??,5),

x

令5—2r二-1得r=3,HPT：,=-q-22x-'.

X

令5—2r=1得廠=2,即4=C；23]=80X,

/.(x+-)(2x-Ly展開式中的常數(shù)項為x?豈+q?京=TO+80a,

XXX

故-40+8()4=120,解得a=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查的知識要點：二項展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

8.(2024?鹽湖區(qū)一模)己知圓錐的高為5,其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體枳為

25萬

[--

【答案】冬.

3

【考點】圓錐的體積

【專題】整體思想：立體幾何；數(shù)學運算：綜合法

【分析】求出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的體枳公式可求得該圓錐的體積.

【解答】解：取圓錐的軸截面如下圖所示：

設圓錐臣的外接球為球O,易知PE工AB,且莊=5,OP=3,則OE=PE-OP=5-3=2,

故圓錐PE的底面半徑為AE=y]OA2-OE2=招-22=石，

1175

因比該圓錐的體積為V=-；FxAE2xPE=_；rx5x5=J7r.

333

故答案為：—.

3

【點評】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎題.

9.(2024?河南模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,C=60°,c=7,若〃一"=3,

。為AB中點，則cr>=狙變.

一2-

【考點】余弦定理；解三角形

【專題】整休思想；粽合法；解三角形；平面向量及應用；數(shù)學運算

【分析】由已知結(jié)合余弦定理先求出《而，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因為△A6C中，C=60。，c=7,a-b=3,

由余弦定理得，c2=a2+b2-2而cos60°=(a-b)2+ab,

即49=9+",

所以ab=40,

。為人月中點，則C/5=■!■(&+，

2

所以I|2=_!_+2C4?J(尸+片+,⑼

44

11(29

=-[(?-b)2+3^]=-(9+120)=—,

444

所以。。=運.

2

故答案為：2.

2

【點評】本題主要考查了余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

10.（2024?回憶版）設雙曲線C:「-與=1（。＞0,力＞0）的左、右焦點分別為匕,過工作平行于y軸

crb一

的直線交。于A,B兩點,若14Al=13,|A8|=10,則C的離心率為

【答案】

2

【考點】雙曲線的幾何特征

【專題】對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解

【分析】由題意求出|￡A|,|入加，利用雙曲線的定義求出a和/、c,即可求出雙曲線。的離心率.

【解答】解：由題意知，|^A|=13,|鳥A|=J|A4|=5,

所以|丹加一|6A|=2a=8,解得。=4；

12.2

又x=c時，y=—,HP|F-,A|=—=5,

a~a

所以Z/=5a=20,

所以。2=。2+o2=]6+2O=36,所以c=6,

所以雙曲線C的離心率為e=-=-.

【點評】本題考查了雙曲線的定義與應用問題，也考杳了數(shù)學運算核心素養(yǎng)，是基礎題.

11.（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列應｝的前〃項和為S.,若配=44,則色+色的最小值為

2.

【答案】1+V2.

2

【考點】求等差數(shù)列的前〃項和

【專題】數(shù)學運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：整體思想

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，基本不等式即可求解.

【辭答】解：正項等差數(shù)列（〃"｝中，加=地山=44,

2

所以4+4]=a5+弓=8,

則"+&=+2+生」+2

%%2%%226%2TP技

當且僅當區(qū)=&時等號成立.

24火

故答案為：1+五.

2

【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式及基本不等式的應用，屬于基礎題.

12.（2024?衡陽模擬）已知拋物線）尸=2px（p>0）的焦點為尸，過點尸的直線與拋物線交于A：8兩點（點

4

A在第一象限），/4尸0=120。（0為坐標原點），|/\F|=4,則

【答案】

3

【考點】拋物線的焦點與準線

【專題】方程思想：運算求解：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法

【分析】由題意可得直線44的斜率和直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和拋物線的焦半徑

公式，解方程可得〃，可得所求值.

【解答】解：9=2內(nèi)（〃>0）的焦點為尸（2,0）,準線方程為％=-￡,

22

由NA尸0=120°,可得直線的斜率為4=31160。=6，

直線旗的方程為〉，

代入拋物線的方程可得3（x-j）2=2px,即為3/-5px+耳?=0，

力）,可得不+毛=*〃，1、

設A(x1,）1），B(X2,v=-/r

32

由|A尸|=4,可得菁+^=4,

解得p=2,%=3,12=§，

4

則|B*=9+1=§.

故答案為：

3

【點評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力,

屬于基礎題.

13.(2024?順義區(qū)校級模擬)A4BC為等邊三角形，旦邊長為2,則麗與百仁的夾角大小為_120。_,

若[8萬|=1,CE=EA,則而-BE的最小值為.

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算

【專題】數(shù)學運算；綜合法；平面向量及應川；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想

【分析】根據(jù)平面向量的夾角與數(shù)量積定義，平面向量的線性運算，函數(shù)思想即可求解.

【解答】解：?.?△48C為等邊三角形，.??則A月與的夾角為8的補角，

即AB與BC的夾角大小為120。,

?H8萬|=1,.?.￡＞在以8為圓心，1為半徑的圓上，

又C￡=EA,為等邊三角形，且邊長為2,

二.BE工AC,且BE=BBC=BX2=^,

22

設＜6。8后＞=6,貝乃],

:.AD-BE=(BD-BA)BE=BD?BE-BA?BE

=lx＞/3xcos。-2xGxcos—

6

=-3+\/3cos0,8w[0,4],

.?.8=4時,8S8=-1,而?屁取得最小值-3-4,

故答案為：120。；-3-6.

A

D

【點評】本題考查平面向顯的夾角與數(shù)展積定義，平面向展的線性運算，函數(shù)思想，屬基礎題.

s

14.(2024?錦州模擬)已知“，出，％，a4",2,3,4},N(《，a2>a3,aj為％,a2>a3,由中

不司數(shù)字的種類，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)與(1,2,1,2)視為不同

的排列，則（q,出，％，/）的不同排列有256個（用數(shù)字作答）:所有的排列所得N（q,a2,出

〃4）的平均值為

【答案】256；—.

64

【考點】排列組合的綜合應用；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)

【專題】數(shù)學運算：整體思想；綜合法；排列組合

【分析】本題首先可以確定N（q,%,%，6）的所有可能取值分別為I、2、3、4,然后分別計算出每

一種取值所對應的排列個數(shù)，進而得到每一種取值所對應的概率，最后根據(jù)每一種取值所對應的概率即可

II算出,a2,%，?4）的平均值.

【解答】解：由題意可知，（％,%，%,&）的不同排列有4x4x4x4=256個,

當N(q,a2,%，4)=1時，=4x^-=—

464

6x(C：+C：+C：)8421

當N（q，叼，a3r4）=2時，P

225664

4x3(6+3+3)1449

當N（4,a2,%：）=3時，P、

4425616

當N(q,%,%,%)=4時，￡=

4425632

綜上所述，所有的256個⑷：生：％,&）的排列所得的N（《，%，%，&）的豆均值為:

1J+2XA+3X2+4X3=B

6464163264

175

故答案為:256；

~64'

【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了平均值的計算，屬于中檔題.

15.(2024?紅橋區(qū)一模)i是虛數(shù)單位,復數(shù)士;2=1+3/.

1-/——

【答案】1+3Z.

【考點】復數(shù)的運算

【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想

【分析】由已知結(jié)合復數(shù)的四則運算進行化簡即可求解.

【解答】解：

412/=(4+2/)(1+Q=2±6/=1+3.J

1-z(l-Z)(l+/i2

故答案為：1+3，,

【點評】本題主要考查了復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

16.(2024?孝南區(qū)校級模擬)已知等差數(shù)列(/｝的前〃項和為S”，若2q+%=12,則S.=44

【答案】44.

【考點】等差數(shù)列的前〃項和

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算

【分析】由已知條件，可推得4=4,再結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式，求解即可.

【解答】解：設等差數(shù)列(凡｝的公差為d，

?/24+生=12,/.2(q+7d)+(q+d)=12,

即3(q+5d)=12,a6=4,

S"=J=11綜=Ux4=44.

故答案為：44.

【點評】本題考查了等差數(shù)列前4項和公式和性質(zhì)，需要學生熟練掌握公式，屬r基礎題.

14964--

2,og43053

17.(2024?南岸區(qū)模擬)log231og32-(-)~+(—)+(—I

225627

【答案】T.

【考點】有理數(shù)指數(shù)累及根式；對數(shù)的運算性質(zhì)

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解

【分析】利用指數(shù)塞的運算性質(zhì)加對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可求解.

【解答】解：原式=1-2?*3+(型族+&W

2563

7Q

=l-221yg43+—+—=1-3+1=-1.

1616

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查了指數(shù)晶的運算性質(zhì)，屬于基礎題.

18.(2024?淅川縣校級三模)已知集合4=5|三卷,,O,xwR}與集合3={x[x>0,xwZ},求集合=

{1}_-

【考點】其他不等式的解法；交集及其運算

【專題】數(shù)學運算；綜合法；不等式的解法及應用；集合；集合思想

【分析】先求出集合A，再利用交集運算求解.

【解答】解：由士工,0可得.(3+2A)(X-2)?0Hr-2^0,

x-2

解得二x<2,

2

又?集合8={x[x>0,xeZ},

集合App={l}.

故答案為：{1}.

【點評】本題主要考杳了分式不等式的解法，考杳了集合的交集運算，屬于基礎題.

19.(2024?芝呆區(qū)校級模擬)如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為4,點C、3在圓O上，且點C位于第

一象限，點8的坐標為(±-3),ZAOC=a>若|8。|=1,貝1]68$247訪。054-且的值為-.

552222-5一

【考點】G9：任意角的三角函數(shù)的定義

【專?題】49：綜合法；15：綜合題；34：方程思想；56：三角函數(shù)的求值

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?點2的坐標為4(丁3-*,設404=。

34

/.sin(2^-6)=—,cos(2^一。)=一，

55

34

即sin6=-,cos。二—，

55

?.?ZAOC=a,若18cl=1,:.0+a=-,

3

則a=2-e,

3

則百cos2--sin—cos---=—cosasina=cos（a+—）=cos（—一夕）=sin夕=。，

222222625

故答案為：

5

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本

題的關(guān)鍵.

20.（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列（&儀〃“、曲綺”々“空），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多?斐波那

契（笈5"心尸乃加仇?&）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：I、1、2、

3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：4=l,q=l,

A=｛q,a2,...?限/，且3工0中，則8中所有元素之和為奇數(shù)

的概率為

----22024_?-------

21023

【答案】

【考點】古典概型及其概率計算公式

【專題】數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計；對應思想；定義法

【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為。，集合。的子集為E，集合。中含

有奇數(shù)個元素的子集為尸，則所有元素之和為奇數(shù)的集合8可看成E|J/，然后可解?

【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合A=｛《，生，…，密3｝中的元素有674個偶數(shù)，1350個奇

數(shù)，

記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為。，集合C的子集為E,集合。中含有奇數(shù)個

元素的子集為產(chǎn)，

則所有元素之和為奇數(shù)的集合8可看成，

顯然集合后共有2674個，集合廠共有cl。+C鼠+C；35O+…+哨=2的個,

所以所有元素之和為奇數(shù)的集合8共有267。x2M=2M3個,

92023

又集合A的非空子集共有2^4一1個，所以8中所有元素之和為奇數(shù)的概率為言「

,2023

故答案為：有二y?

【點評】本題考查集合、二項式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識，屬于中檔題.

21.（2024?浙江模擬）已知雙曲線￡=1（4方＞0）,月,乙為雙曲線的左右焦點，過寫作斜率為正的直線

交雙曲線左支于4(%,)1),伏&,)，2)(y<必)兩點，若|A￡I=2。，乙4叫=9()。，則雙曲線的離心率是

75-2x/2

［答案］J5-2&.

【考點】雙曲線的幾何特征

【專題】方程思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及勾股定理即可求解.

【解答】解：設|5耳|=『，?.?|A6|=2a,ZABF2=90°,

.JAF21=||+2。=4a,又|AB|=||+1|=f+又,

22222

|BF21=|AF2|-|/\fi|=l6a-(J+2a),又||=2a+/,

:.l6a2-(t+2a)2=(2a+t)2,

/.16a2=2(t+2<?)2,/.4a=>］2(t-2a),/.t-2>/2cz—2a>

.?.|/|=2。-2a,|叫|=2a+r=2缶，

又IK5|=2c,ZABF2=90°,

/.IBFXf+\BF2/=耳『

二.(2億-2a)2+8/=4c2,

22

/.c=(5-242)a1

e2=5-2x/2,又e>l,

e=V5-2>/2.

故答案為：>j5-2y/2.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題.

22.(2024?紅谷灘區(qū)校級模擬)數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，正八面體就是其中之一.正

八面體由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個正方錐體黏合而成，每個正方錐體由四個三角形

與一個正方形組成.如圖，在正八面體43C“產(chǎn)中，〃是棱BC的中點，則異面直線〃尸與AC所成角的

余弦值是4.

~6-

A

F

【答案】—.

6

【考點】異面直線及其所成的角

【專題】空間角；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法

【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角的定義即可得.

【解答】解：取棱A3的中點G,連接"G,FG.

因為，，G分別是棱4C,的中點，所以〃G//AC,

則ZFHG或其補角是異面直線與AC所成的角.

設AB=2,則”G=l,正方形MED中，F(xiàn)G=>/5,正三角形C尸8中，HF=6

在tsGHF中，由余弦定理可得cosNFHG=""一F0=-—,

2HGFH6

則異面直線HF與AC所成角的余弦值是坦.

6

故答案為：—.

6

【點評】本題考查正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角，屬于中檔題.

23.(2024?歷下區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=U-2、s嗚+則不等式/(2x+l)+/(2-戲.2

的解集為2_+00)_.

【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式特征，判斷其圖象關(guān)于點(g,l)中心對稱：通過求導判斷導函數(shù)為正得了")在AI：

單調(diào)遞增；再利用對稱性將f(2x+I)+/(2-幻..2進行等價轉(zhuǎn)化，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即得.

【解答】解：因為/。)=/1_*2.、+如仁公'+1,

所以『(1一公=產(chǎn)一產(chǎn)+sin[^lz^臼+1=/小一產(chǎn)+§嗚x-夕+1,

所以/(1-A)+f(x)=2,即/(x)的圖像關(guān)于點(；,1)中心對稱，

因為f\x)=2e2x~'+2e'~2'+—cos(—-—)>2\l2e2x~yx2^'_2'+—cos(---)=4+—cos(—-—)>0,

224224224

當日僅當x=J.時取等號.

2

所以/(M在尺上單調(diào)遞增，

由/(l—x)+/(x)=2,^/(2-x)+/(-l+x)=2,

由/(2x+l)+/(2—x)..2可得(2x+I)+/(2—x)../(2—x)+/(—l+x)，

即/(2x+l)../(-l+x)，

所以2x+l…—l+x,解得x..—2.

故答案為：[-2,+00).

【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應用，屬于中檔題.

24.(2024?黃浦區(qū)二模)在四面體RWC中，2PD=PA+P8,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,設

四面體QABC與四面體的體積分別為V；、匕，則匕的值為—.

?V,―20—

【答案】—.

20

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體枳

【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算

【分析】根據(jù)題意易得A方=。"，3CE=2EB,2AF=CA,再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱

錐的體枳公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

【解答】解：???29=萬+方，5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,

PD-PA=P8-PDt3(PE-PC)=2(PB-PE)t2(PF-PA)=(PA-PC),

AD=DB,3CE=2EB,2AF=CA,

作出底面圖形，延長OE,AC交于點G,如圖所示:

AG

D

___2a_____

由3CF=2/?Q,AE=-AB^-AC,設AC="G,又4/5=0后,

55

/.AE=-AB+-AC=-AD+—AG,乂E,D,G三點共線,

5555

4311—.1—.「——

/.-+—=1,/.AC=-AG,又2AF=C4,

5533

.的=[.S*DE」GJ

「AG丁"S&、DE相6f

.匕_^ADEF_7

..-----------

V,SMK20

故答案為：-1.

20

【點評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運算，向量共線定理的應用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

25.（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共

3小題，每小題6分，滿分18分：②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有

選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分：若某小題正

確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.己知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學試題的考

試中，小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了

一個選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為11分.

【答案】11分.

【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)

【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；整體思想；綜合法

【分析】根據(jù)題意，求出小明同學多選題所有可能總得分，再結(jié)合中位數(shù)的定義求解.

【解答】解：由題意可知，小明同學三個多選題中第一小題得6分，第二小題可能得（）分或4分或6分,

第三小題可能得0分或2分或3分，

所以小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：6分，8分，9分，10分，12分，13分，

14分,15分，

所以中位數(shù)為UU=u分.

2

故答案為：11分.

【點評】本題主要考查了中位數(shù)的定義，屬于基礎題.

考點卡片

1.集合的包含關(guān)系判斷及應用

【知識點的認識】

概念：

I.如果集合A中的任意一個元素都是集合8的元素，那么集合4叫做集合8的子集；A￡8；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合4叫做集合8的真子集，即Aug

2.如果集合A的每一個元素都是集合8的元素，反過來，集合8的每一個元素也都是集合4的元素，那

么我們就說集合A等于集合&即A=8.

【解題方法點撥】

I.按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系.

4.有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏