《線性代數(shù)》主觀題■■離線作業(yè)

第一次作業(yè)

15.

01

2

**.-0

n-1

n0

答案：(-1)n!

123

16.行列式124=。

125

答案：0

17.若向量組%=(1,2,-1,1),a2=(2,0,30)，/=(°，T5,-2)的秩為2,則"

答案：t=3

18.設(shè)4為MX法巨陣，而XX盛巨陣，且切＞箝。則|明二o

答案：

0

(R(AB)Wmax{R(A),R⑻}Wn,且AB為m階方陣，故不可逆)

/、

122

19.己知4=2-1乂，三階方陣3H0,且滿足助二0。則乂二。

31-1

\7

答案：

入二-3

IA|=0,否則5=0

20.向量組4=(1,2,-1,1),^2=(2,0,k,0),%=(0,-4,5,-2)的秩為2,則公

答案：3

lab300

21.設(shè)閡=a2c=0,A+B=030,則矩陣B有一個(gè)特征值4=

bc3003

7

答案：3

22.齊次線性方程組12的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

-10

（2-31）

答案:

23.

已知河%，%是齊次線性方程組小的一個(gè)基礎(chǔ)解系，若

=（Zj＞夕2=%+*3，。3=%+，討論實(shí)數(shù)/滿足什么條

件時(shí)，兒血血也是小=。的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

答案：

只需討論色,外線性無關(guān)的條件。

k\1+上2月+上3旦=0=（占+&3）%+（42+秋1；%+（向+灰2）%=0

k]+放3=0

因?yàn)橛啥?%線性無關(guān)，所以，生+自=0。4M4是出=0基礎(chǔ)解系

放2+總=0

比1+秋3=0

則齊次線性方程組的+勺=0只有零解，故系數(shù)行列式不為零。

就2+/=0

10A

N10H0=1+才HO=NH-1,所以;IH-1時(shí)加人/3是基礎(chǔ)解系。

041

24.設(shè)A是反對(duì)稱矩陣，E+A是可逆矩陣。證明（E-A）（E+A）T

是正交矩陣。

因?yàn)槿f=一幺，故

解:

[(5-上)(5+4)-】]「[?-上)*+A)-1]=[(E+AfT1^-A)r](E-A^E+工尸

=(E-^)-1(E+A)(E-A)(E+A)-1

鋁+⑷與建-⑷5交

=(E-A)-1(E+A)(E+A)-\E-A)=E

所以(5-4)(5+⑷-】是正交矩陣。

101

25.己知3階方陣A可逆且力一1二220,求A的伴隨矩陣的逆矩陣.

333

解:

\JA=[1]=-

??忙】|6

4?=|邳4-1=#1--------------------------------------------------------------------------------------------------------3

63-2-

工二4尸027

-32

63-2-

(/?)-1=(2.=6力=一60210

6

0-32

26.

<1、⑹,3、'1',2、

-11-2-1-1

.設(shè)向量3=,%=，%=,&=，尸=

23。+102￡>4-6

2114,&+5,<102

問：。必取何值時(shí)，向量戶可由向量組。1，%，%，%線性表示？并在可以線性

表示時(shí)求出此線性表示式。

解:

是線性方程組占%+勺%+%%+為%=戶的可解性問題。增廣矩陣

0312、勺0312

——11-2-1-101101

<=（%%%4,尸）=

乙3a+102小+600以+10b-1

?4214a+510；k000以+10

所以，以工-1時(shí)有唯一的線性表示，a=7且3=1時(shí)有多種線性表示——6

解方程得：時(shí)，唯一的線性表示為

-2一3#十°一鬻%+永

?=-1且6=1時(shí)，線性表示為（自也w穴）

尸=（2-索1-上2）%+Q-a）%+&%+12

5-1

或線性表示的系數(shù)滿足々-1o1

=用+h4-

100

10J⑼

求向量組％%4的一個(gè)最大線性無關(guān)向量亂

解：對(duì)矩陣力=（%,生，生,/）進(jìn)行初等行變換。

<1210、’1210、q210、

r-2r

21-13y-2y0-3-330111

A=

2-2-46r-r.0-6-66ij000

J-2-34,<0-4-44/e000>

所以向量組上=1%%,%%）的巷為2,；%,%；是其一個(gè)最大線性無關(guān)向量生。

第二次作業(yè)

15.設(shè)4=(6-204),a2=(-3157),則3。［-2G2=

答案:3a1-2a2=(24-8-10-2)

,(201110,

16.設(shè)。=(-110),A=-042,￡=03，則。皿=___________

0I22

11/\/

QAB=(014)

答案:

17.

設(shè)力為3階矩陣，且滿足Ml=3,則卜T卜,|3/|=.

答案：

1/3,3s

(1}(°〕伍1

18.問量組%=12，4二：4%=2是線性.的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是.

(1I5I7

\/\\0

答案：

相關(guān)（因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。a1，a;,a」。

因?yàn)閍s=2ai+a2,A=|axa2a4|^0.

19.若爪力）==，貝物元方程組布=0當(dāng)「=時(shí)，此方程組只有零解。

答案：r=n時(shí)，此方程組只有零解。

2。.設(shè)A=A2.是分塊對(duì)角矩陣，其中AA=("：1(斤=1,2,

,n),則

,?Ikk+1)

,'刀J

lAl=—

答案:(2n+l)J!

123100

21.設(shè)矩陣力=045,3=5-10，則行列式|朋=

002231

答案：?知l=-8

210

22.若矩陣力=1a0為正定矩陣，則a的取值范圍是

00a

答案：a>1/2

23.求一個(gè)正交變換P,化二次型￡(*1，X2,A-3)=2A-2+3君+3君+4透》3

為標(biāo)準(zhǔn)形。

r200'010

A=032，特征值：1,2,5,特征向量：lo-1,200,501

<023/1

0、10

1

單位化

PL明''PF

f072o')

01,X=PYf貝lJ/=必2+2也2+5/2

01

設(shè)數(shù)列；以",囪:，其中以i=l,瓦=-1,%=4-1+泡-1，這=-%-1+4%-1，

24.求4，公。

歌:)力%=42"*_2=…="1%，5=[IJ°

6⑷=12,3),特征向量：p、=(j),%=(:)，尸21

—

r11-1s

21Y2*-01-1r2*-3*-23*-2

N"一1=尸尸」1JI03”-1

J-12-3"-i2-3*-，-2*-1

127J

設(shè)兩向量組：（D%%,生，（口）外,%，。4的秩為長⑴=2,及（口）=3,求

向量組外,多,,+%的秩。

25.

由R（I）=2,A（n）=3知1,%線性無關(guān)且％可由外,%線性表出。--4

因而Ra1,4,%，%}=&匕1，..多）=3

向量組+%與%,心，。3,。4是等價(jià)的向量組，所以

艮4.%.%+%;=3

26.用正交變換化二次型f5,打打）=24+3￡+3越+也今為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的正交變換及造標(biāo)準(zhǔn)型。問:

這個(gè)二次型是否是正定的？為什么？

一次型的矩陣為力=032-----------------------------------------------1

矩陣力的特征值為4=1，與=2,4=5---------------------------------4

特征向量，

4=190=0,刈=2一身=1,4=5一身=|1]------------8

[佟00、

[]——一—■.■■一■———■■.—―—一———■■一■■■―?M.一■―――■■—一———■一■.■]O

^0-11

/

正交變換“力，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為/=犬+2?+54-------------11

因?yàn)榫仃嚬さ奶卣髦稻鶠檎龜?shù)，所以此二次型是正定的。--------12

第三次作業(yè)

14.設(shè)碇:mx選陣,躡px璇巨陣，則力5堤X階矩陣。

年案,A：B，是nXp階矩陣。

15.由m個(gè)課向量組成的向量組，當(dāng)mn時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。

答案:m>n時(shí)向量組一定線性相關(guān)

2-31'

16.設(shè)力=lai且秩斤(4)=2,則3=

503

答案：

(R(A)-2=|A|-0)

f\

;1(4

17.已知%〃2,%是四元方程組念二城)三個(gè)解，其電敝秩月(力=3,肉=：?

，必+。3=.(則方程組念=胸

3

⑷

；X4/

通解為。

答案:

(1234)r+k(20-2-4)二。因?yàn)镽(A)=3,原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向

量，取為“2+TI3-2”」由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即將。

Z

I叫+直+與=1

18.設(shè)方程組)刈+〃2+町=,則，當(dāng)而一時(shí)方程組無解，當(dāng)，一時(shí)方程組有無窮多個(gè)解，當(dāng)"時(shí)方

2

丸+&+"3=3

程組有唯一解。

答案：

當(dāng)a二-2時(shí)方程組無解，當(dāng)a=l時(shí)方程組有無窮多個(gè)解，當(dāng)a盧1,-2時(shí)方程組有唯一解。

(123]

皿.設(shè)矩陣A與B相似，B=045,則A的行列式|AK

、°06)

答案：24

1-12

20.設(shè)力=204,若3階非零方陣耐足用=0,則￡=

32t

答案：t=6

<11O'>

B=\12|,XA=B,求X。

設(shè)4=-111

\223)

H-11)

A-x=-11-1o3=co3

2l002J

22.

on

設(shè)矩陣N=030,矩陣￡=(在:+N)2,keRo

J0b

(1)求對(duì)角陣。，使￡與。相似。

(2)求歸的值，使方為正定矩陣

4的特征值：k-N劇=2(2-2)(2-笏，所以特征值為：0,2,3

(k2、

B的特征值為：/，依+2尸，(無+為2,D=(匯+2f

I

5為正定，則/>0且強(qiáng)血鴻§^+3)2>0，即心0,2,3。

23.

設(shè)4方為附階方陣，&45=/+與。問2=1能否是矩陣上的特征值？

證明你的結(jié)論。

AB-A-B+E=E^(A