第一部分

知識梳理課程重構(gòu)

第一章數(shù)與式本章知識導(dǎo)圖★命題域聚焦結(jié)構(gòu)遞歸，探究規(guī)律

規(guī)律探究類試題是根據(jù)題干中提供的特例，通過觀察類比、歸納猜測、驗證推理等思維過程，來解決具有規(guī)律性的一類數(shù)學(xué)探究題.這類試題主要有兩大類，一類是數(shù)式規(guī)律型問題，另一類是圖形規(guī)律型問題.解決規(guī)律探究類試題對應(yīng)的基本策略一般有列舉歸納法、觀察歸納法和數(shù)形結(jié)合分析法.

多年來，各地中考都非常重視對這種題型的考查，安徽中考數(shù)學(xué)更是如此，幾乎每年都有這類試題，如2025年的第14題和第21題、2024年第18題、2023年第18題、2022年第18題、2021年第18題等，分析近幾年這類試題的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)式規(guī)律類考查難度較小，圖形規(guī)律類考查難度較大，因此要掌握相應(yīng)的做題方法.

解答此類問題的一般步驟是：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗證結(jié)論.

(2)請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n(n為正

整數(shù)，n＞1)表示的等式：

；

數(shù)式規(guī)律探究問題是給定一些代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律.解答此類問題，關(guān)鍵要抓住兩點：一是找出等式中“變”與“不變”的部分；二是分析出等式中的“變”的每一個數(shù)與序數(shù)n之間的關(guān)系.針對訓(xùn)練

(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并證明.

3.[2025·合肥包河區(qū)一模]觀察下列等式：第1個等式：(1×2)2－1×3×(1－1)＝2×1×2；第2個等式：(2×3)2－2×4×(4－1)＝2×2×3；第3個等式：(3×4)2－3×5×(9－1)＝2×3×4；第4個等式：(4×5)2－4×6×(16－1)＝2×4×5；……根據(jù)上面等式的規(guī)律，回答下列問題：(1)寫出第6個等式：

；

(6×7)2－6×8×(36－1)＝2×6×7(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并證明.解：(2)第n個等式為[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝2n(n＋1).證明：左邊＝[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝n2(n＋1)2－n(n＋2)(n＋1)(n－1)＝(n＋1)[n2(n＋1)－n(n＋2)(n－1)]＝(n＋1)(n3＋n2－n3－n2＋2n)＝2n(n＋1)＝右邊，∴等式成立.4.在數(shù)學(xué)活動課中，某興趣小組研究一種完全平方式，寫出了下列幾組等式.第1個等式：12＋12×22＋22＝(1×2＋1)2；第2個等式：22＋22×32＋32＝(2×3＋1)2；第3個等式：32＋32×42＋42＝(3×4＋1)2；……(1)根據(jù)上述等式規(guī)律，(ⅰ)第4個等式：42＋42×52＋52＝(

×

＋1)2；

(ⅱ)第n個等式：

；(用含n的代數(shù)式表示)

n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2

5

4

(2)小組成員小明和小華進一步探索上述規(guī)律：

小明同學(xué)猜想a2＋a2b2＋b2＝(ab＋b－a)2，其中a，b為正整數(shù).小華同學(xué)提出反對意見，并通過如下計算進行了證明：(ab＋b－a)2＝a2＋a2b2＋b2－2ab(

)，

∴a2＋a2b2＋b2不一定等于(ab＋b－a)2.請你補全①中所缺內(nèi)容，并寫出當小明同學(xué)猜想成立時，a，b需要滿足的數(shù)量關(guān)系.解：(2)1＋a－b.當小明同學(xué)猜想成立時，a，b需要滿足a－b＝－1.①

類型2

圖形規(guī)律例2

[2025·合肥瑤海區(qū)校級二模]如圖，每個正方形由邊長為1的小正方形組成.(1)觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

正方形邊長1357…n(奇數(shù))黑色小正方形個數(shù)…正方形邊長2468…n(偶數(shù))黑色小正方形個數(shù)…159132n－14812162n(2)在邊長為n(n≥1)的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個數(shù)為P1，白色小正方形的個數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P2＝5P1?若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.【參考答案】(2)由(1)可知n為偶數(shù)時P1＝2n，白色與黑色的總數(shù)為n2，∴P2＝n2－2n，根據(jù)題意假設(shè)存在，則n2－2n＝5×2n，解得n＝12，n＝0(不符合題意，舍去).答：存在偶數(shù)n＝12，使得P2＝5P1.

圖形類規(guī)律探究題通常以探索物體的個數(shù)和確定圖形數(shù)量為主要內(nèi)容出現(xiàn).解答這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過觀察圖形的組成、圖形的排列方式，分析得到圖形的組成特征和圖形的變換規(guī)律，進而用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律來解決問題.1.[2024·四川攀枝花]如圖，這是由棱長為1的小正方體堆積成的圖形.若按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，則第8層需要擺放

塊小正方體.針對訓(xùn)練

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2.[2024·四川涼山州]閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，……，第n行有n個點，容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10.(1)探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為

，前15行的點數(shù)之和為

，那么，前n行的點數(shù)之和為

；

36120

(2)體驗：三角點陣中前n行的點數(shù)之和

(填“能”或“不能”)為500；

(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排?解：(3)由題知前n排盆景的總數(shù)可表示為n(n＋1).令n(n＋1)＝420，解得n1＝－21(舍去)，n2＝20，∴一共能擺放20排.不能3.[2025·合肥瑤海區(qū)三模]小樂同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和黑色正方形按一定規(guī)律搭建圖形，觀察圖形，回答下列問題：

(2)若圖n中黑色正方形比等邊三角形多45個，求圖n中白色正方形的個數(shù).

4.[2025·合肥廬陽區(qū)模擬]觀察下列圖形與等式的關(guān)系：

根據(jù)圖形及等式的關(guān)系，解決下列問題：(1)第5個圖中空白部分小正方形的個數(shù)是

，第6個圖中空白部分小正方形的個數(shù)滿足的算式：

；

(2)用含n