微專題20直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

高考定位直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線

的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及弦中點(diǎn)等問題，難度中等.

【真題體驗(yàn)】

1.（2021.新高考II卷）拋物線）2=2pMp>0）的焦點(diǎn)到直線），=x+l的距離為啦，則

〃=（）

A.lB.2

C.2yf2D.4

答案B

解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為g,（））,其到直線工一），+1=（）的距離

5-()+1

(T)2=?

解得：p=2（p=—6舍去）.

2.（2023.新高考II卷）已知橢圓C=1的左、右焦點(diǎn)分別為為，色,直線y

=x+〃?與C交于A,3兩點(diǎn)，若面積是△尸洲8面積的2倍，則機(jī)=（）

B坐

c-范D-|

。3

答案C

解析由題意，F(xiàn)i（一50）,尼（陋，0）,人區(qū)面積是△48面積的2倍，

所以點(diǎn)Fi到直線AB的距離是點(diǎn)Fi到直線AB的距離的2倍，

計(jì)1一也+〃"—?義1也+〃力

即啦一2Xg，

解得,〃=一孚或〃?=—3啦（此時(shí)直線與橢圓。不相交，舍去），故選C.

3.（2023?全國(guó)乙卷）設(shè)48為雙曲線/一號(hào)=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段

A8中點(diǎn)的是()

A.(l,1)2)

C.(l,3)D.(—1,-4)

答案D

解析法一設(shè)A(xi,yi),B(X2,聞，AB的中點(diǎn)為M(xo,yo),由點(diǎn)A,3在雙

曲線上,

-仃-5=］，■>_?

得3兩式作差，得3一七="薩

與七=1，

(yi—")()4+")

即(XI—X2)(X|+★)=9

(yi—”)(yi+”)

化簡(jiǎn)得?(XI-X2)(XI+X2)

)'l+)'2

―戶2VO

,"T=KAB'=9,

—X2XI+X2X()

2

因此ZAB=9?一.

州

由雙曲線方程可得漸近方程為)，=±3x,如圖.

對(duì)于A,因?yàn)樨癏=9X；=9>3,所以直線A8與雙曲線無交點(diǎn)，不符合題意；

一19

對(duì)于B,因?yàn)橐?=9X±-=-gV—3,所以直線A8與雙曲線無交點(diǎn)，不符合

題意；

對(duì)于C,—=9X；=3,此時(shí)直線AB與漸近線j=3x平行，與雙曲線不可能有

兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

—19

對(duì)于D,因?yàn)樾腂=9X—?=￡<3,所以直線AB與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題

—4q

意.

法二選項(xiàng)中的點(diǎn)均位于雙曲線兩支之間，故A,8分別在雙曲線的兩支上且不

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)線48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（回，1yo）,

則1%=915V3,即伏|A3|xo|,

結(jié)合選項(xiàng)可知選D.

22

4.（2022?全國(guó)甲卷）記雙曲線C：，一方=1（a>0,QO）的離心率為e,寫出滿足

條件“直線），=2'與。無公共點(diǎn)”的c的一個(gè)值.

答案2（（1,?。輧?nèi)的任意值均可）

解析雙曲線C的漸近線方程為丁=±。，

若直線），=2r與雙曲線C無公共點(diǎn)，

則2*,.?.狂4,"4=1+軸5,

又e>l,AeG（l,75］,

，填寫（1,?。輧?nèi)的任意值均可.

o2

5.（2021.浙江卷）已知橢圓a+笈=1（〃>歷>0）,焦點(diǎn)為Fi（-c,0）,尸2（c,0）（00）.

若過Fi的直線和圓（%一0+），2=02相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)p,且PF2_LX

軸，則該直線的斜率是；橢圓的離心率是________.

答案半當(dāng)

解析設(shè)過Fi的直線與圓的切點(diǎn)為M,圓心0）,則|AM|=c,|AFi|=|c,

所以|MFi尸坐c,

所以該直線的斜率左=調(diào)=言=乎?

2C

p

因?yàn)檩S，所以『向=5，

又|F尸2|=2C,

b~

即WL2二44021-—

所以上—5-2c-2d—2e，

解得e=W(e=一小舍去).

【熱點(diǎn)突破】

熱點(diǎn)一中點(diǎn)弦問題

核心歸納

已知4(必，V)，Bg")為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(M),yo),直線AB

的斜率為k.

⑴若橢圓E的方程為提+￡=1(〃20),則攵=一耨；

(2)若雙曲線E的方程為「一百=心0,疣>0),則仁與玲;

ccOCi)0

(3)若拋物線E的方程為)?=2PMp>0),則戶.

例1(1)已知拋物線C)2=2/求(/?0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,若拋物線C上存

在關(guān)于直線/：］一>一2=0對(duì)稱的不同兩點(diǎn)P和Q,則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(l,-1)B.(2,0)

D.(l,1)

(2)(2023?鄭州二模)已知橢圓5+方im>z?o)的上頂點(diǎn)為B,斜率為目的直線/交

橢圓丁-M,N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F,則橢圓的離心率

1

c-

2

答案(1)A(2)A

解析(I)：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,則p=l,

，拋物線方程為：)，2=2X.

設(shè)點(diǎn)P(X|,yi),2(X2,”).

?M=2X2,

則O?l—)眨)?！?)，2)=2(X1—X2),

???幼°=^^(或直接利用結(jié)論女=4一=^^),

y\十戶y\十戶y\十戶

又?：P,。關(guān)于直線/對(duì)稱.

?'?kpQ=-1,即yi+y2=-2,—1,

又：尸。的中點(diǎn)一定在直線/上，

.K+土)'|+)'2」

??2—2'z—1?

???線段P。的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).

(2)設(shè)M(xi,yi),N(X2,”)，MN的中點(diǎn)為尸(xo,w),

x2V2

因?yàn)镸(XI,yi),Ng,”)都在橢圓”+方=1上，

序十〃1,

所以《

^cr'b2=1,

(X1+X2)(XI—X2)()|+)、2)(戶一產(chǎn))

作差可得，72

crb一0

2x()(XI-X2)2yo(yi~p)

即u一—卜b2=0,

所以件產(chǎn)Vy,

2X0(XI-X2)ci

b23

即koP'kMN=-因?yàn)閗MN=3,

所以h片一景或直接利用結(jié)論一'?比=—%/；=,,從而有人”=一齊，

又因?yàn)镕為4BMN的童心,

所以崩=，濟(jì)，8(0,b),F(c,0),

所以(xo,刈一〃)=》(c,-b)y

整

得

理m

所以kop=二

即序十，-2bc=0,

所以b=c,則4=d從+。2=也0,

所以離心率6=(=乎.

規(guī)律方法1.處理中點(diǎn)弦問題的常用方法：(1)根與系數(shù)的關(guān)系；(2)點(diǎn)差法；

⑶常用結(jié)論.

2.利用點(diǎn)差法需注意保證直線與曲線相交.

72

訓(xùn)練1(1)(2023?青島調(diào)研)已知橢圓C，+%=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為R過點(diǎn)產(chǎn)

的直線工一)，+6=0與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,8.若P為線段A8的中點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0尸的斜率為一)則橢圓。的方程為()

222

A.y+y2=1

得十《=1D《+《=l

(2)橢圓5+苧=1中以點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為()

A.4%+9y-17=0B.4x—9y—17=0

C.由x+3y—26一3=0D.由x—3y—2#+3=0

答案(1)B(2)A

解析⑴因?yàn)檫^橢圓上兩點(diǎn)A,8的直線x—y十也=0,過,MR-寸i,0),

所以C=，^且kAB=1,

可付kAB~―戶._］，

A21

所以/=5，/=2/=后+02,

CI乙

所以b=c=y/^,ci=2,

i2

所以橢圓C的方程為，+5=1.故選氏

(2)設(shè)以點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為A(xi,>1),8(X2,”),

兩式相減得掾+寧=。

因?yàn)镸（2,1）為中點(diǎn)，

Xl+X2）"+戶

所以2—2、2—1，

所以斜率k=~~坐=_：:W=_[（或直接利用結(jié)論仁一*送=_/鋁

x\—x29（yi+y2）9ayo91

4

-

所以所求直線方程為y—19

即4x+9y—17=0.

熱點(diǎn)二弦長(zhǎng)問題

核心歸納

巳知4（劉,yi）,8（x2,”）,直線A8的斜率為?k戶0）,

則|/18|=y/（XLX2）2+（），|一），2）2

=11+彥陽~X2\

=7l+可（幻+12）2—4x112

或[4陰=41+占乃一"|

=q1+3/5+”）2_4y1”.

92

例2已知橢圓氏5+白—①*。）的左、右焦點(diǎn)分別為四（一1，0）,乃（1,0）,

點(diǎn)Hj,乎）在橢圓E上.

⑴求橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/：x="zy+l（，"WR）與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)，與圓f+）2=/相交

于C,D兩點(diǎn),當(dāng)IA3HCDF的值為8啦時(shí),求直線/的方程.

解（1）因?yàn)辄c(diǎn)壯1,乎）在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得|PFI|+|PF2|=2〃，

又|PFi|=y7j=乎，|P尸2|=坐，

所以2〃=^^+乎=2吸，

222

即。=啦，Vc=l,：.b=a-c=\t

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+V=i.

(2)設(shè)A(xi,yi),B(xi,yi),

聯(lián)立ix=+my2-尸\-12,,

消去x,

整理得(加+2))2+2my—1=0,

所以/=8〃尸+8>0,y\+y2=—^^.)叮2=一^)^,

則|AB|=(yi+”)2_4yly2

2/(蘇+i)

川+2

設(shè)圓f+)，2=2的圓心O到直線/的距離為d.

則4,(f)2+r

所以仁勺尸^小一房產(chǎn)嗜黑.

2

M1°26(zn+1)2〃P+!

則依4|8|2=X4X

Y〃尸+2-汴+1

8&(2療+1)

=8隹

加2+2

解得〃7=±1,經(jīng)驗(yàn)證用=±1符合題意.

故所求直線的方程為

x—y—1=0或x+y—1=0.

規(guī)律方法1.設(shè)直線方程要注意斜率不存在的情況.若已知直線過Q,()),可設(shè)直

線方程為犬=〃少+?〃層0)；

2.聯(lián)立直線、曲線的方程組消元后，一需要二次項(xiàng)系數(shù)不等零，二需要，＞0；

3.點(diǎn)差法，要檢驗(yàn)中點(diǎn)是否在圓錐曲線內(nèi)部，若中點(diǎn)在曲線內(nèi)部，可不必檢驗(yàn)/

>0.

訓(xùn)練2(2023?遂寧二診)已知定點(diǎn)。(2,0),直線/：)，=Mx+2)(Q0)與拋物線/

二4%交于兩點(diǎn)A,B,若NAO8=90。，則依陽=()

A.4B.6

C.8D.10

答案C

解析設(shè)A(xi,yi),Bg”),

y=k(x+2),

=F『+(4F-4)x+4F=0,

b~=4%

故…=三

由題知,/>0,XIX2=4,

則y\y2=k{x\+2)^x2+2)

=尸[.口12+2(川+X2)+4]

8—8后

=后4Tk2卜4=8,

由/ADB=900=>DADB=(xi-2)(x2-2)+y了2=0,

即xiX2-2(xi+x2)+yi)2+4=0,

4(1—廬)

即4-2-——72——+8+4=0,

4

4-

3

8

1-

-

3

則\AB\=y]1+—|xi—X2I=y](xi+x2)2—軟凌2=勺1+/464-16=8.

熱點(diǎn)三圓錐曲線的切線問題

核心歸納

1.直線與圓錐曲線相切時(shí)，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項(xiàng)系數(shù)

不為零)的判別式為零.

2.橢圓5+冬=1(。>/?0)在(M，/)處的切線方程為等+昔=1;雙曲線，一5=

1(67>0,/?())在(xo,yo)處的切線方程為等一筆"=1;拋物線)2=2px(p>())在(xo,

yo)處的切線方程為joy=p(x+xo).

例3(多選)設(shè)A,B為拋物線C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且直線48過拋物線C

的焦點(diǎn)F,分別以A,8為切點(diǎn)作拋物線C的切線，兩條切線交于點(diǎn)P.則下列結(jié)

論正確的有()

A.點(diǎn)P一定在拋物線C的準(zhǔn)線上

B.AP1BP

C.PF1AB

D.△%B的面積有最大值無最小值

答案ABC

解析由拋物線知焦點(diǎn)電，0，

可設(shè)直線A8方程為)，二區(qū)+/

設(shè)A(?,)，i),8(x2,/)，

聯(lián)立直線與拋物線方程得f—丘一；=0,

則X1+X2=Z,41X2=一；,

y\+)，2=Z(X1+x2)+^=S+；,

yy=(如+JRz+g

=+x2)+*==,

,=

由拋物線可得y2xt

在點(diǎn)A處的切線斜率為2xi,

所以切線A尸的方程為y—>'i=2ri(x-xi),

即y+)"=2xix(也可有結(jié)論得到xri=/yi+y),即y\-^y=2xx\),

同理切線BP的方程為y+”=2迄E,

｛黑:黑聯(lián)立解得唯f

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y=-/所以點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，故A正確;

由A可知，直線AP的斜率為Zri,直線8尸的斜率為2也，

2xi?2x2=4XIX2=-1,

所以B正確;

1

4-

4

2

:?kpF，k=—\,.'.PFIAB,故C正確;

???弦長(zhǎng)|AB=W+F|XLX2|

=yjl+/c\l(Xl+x2)2—4x112

'S△%B=3lA8|d=/(F+1)-

=3（&2+1尸，

當(dāng)攵=0時(shí)，S△出8有最小值，無最大值，故D錯(cuò)誤，故選ABC.

規(guī)律方法1.圓錐曲線在某點(diǎn)處的切線方程可通過求導(dǎo)的方法來解決.

2.過圓錐曲線外一點(diǎn)作曲線的兩條切線，過兩切點(diǎn)的直線方程與曲線在該點(diǎn)處的

22

切線方程相同.例如：過橢圓C：，+$=1（。＞/?0）外一點(diǎn)尸（xo,yo）作橢圓的兩條

切線力,PB（A,B為切點(diǎn)），則直線的方程為等+筆=1.

訓(xùn)練3如圖，已知點(diǎn)P（JVO,yo）是雙曲線Ci：，一號(hào)=I上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓

C2：j+f=1的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,直線相交Ci的兩漸近線于點(diǎn)E，F(xiàn),

O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則々?赤的值為（）

3

-

AC.4

4

-

3

答案B

解析橢圓C2關(guān)于點(diǎn)P(xo,K)的切點(diǎn)弦A8的方程為竽+竽=1,

即3mr+4.yo)，=12,

3xox+4yoy=12,

{y—2-

解行4\^刈+2yo'小xo+2yo)'

J4V5-6,

°%/5xo—2yo'y13xo—2yo/

則必?赤=菰竺就+蔡*=尋，=1,故選B.

熱點(diǎn)四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

核心歸納

直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法

(1)聯(lián)立直線的方程與圓錐曲線的方程.

(2)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程.

⑶利用判別式4判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

92

例4⑴(2023?徐州質(zhì)檢)過點(diǎn)(0,-1)且與雙曲線，一方=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

的直線的條數(shù)為()

A.OB.2

C.3D.4

⑵(2023?湖州模擬)已知直線/與拋物線)2=2px3>0)交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，OA1OB,OH工AB交AB于點(diǎn)、H,點(diǎn)”的坐標(biāo)為(2,2),則〃的值為()

3

-B2

2

5

AC.-3

2D.

答案(1)D(2)B

解析⑴由雙曲線［一9=1得其漸近線方程為產(chǎn)±|x.

33

-

①過點(diǎn)M(0,—1)且分別與漸近線平行的兩條直線y=2-V--2一與雙曲

線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

②設(shè)過點(diǎn)M(0,—1)且與雙曲線相切的直線為

y=kx~1,

y=kx-\,聯(lián)立±,

149H

化為(9—43)『+8日一40=0,

由9—4SW0,/=(8Z)2+4X40X(9—43)=0,

得到43=10,解得出=等2

則切線1,)、=一杏￡—1分別與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

綜上可知：過點(diǎn)M(0,—1)且與雙曲線，一，=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有4

條.

(2)???”(2,2),OH上AB,

?,.如“=考=],

kAB'koH=—1,:?kAR=11.

???直線A8的方程為了一2=一。-2),

即y=—x+4,

設(shè)A(xi,yi),Bgyi),

y——x+4,

聯(lián)立直線與拋物線方程:「

Lr=2px,

得力+y-4=o,/=1+卷=1+2

由根與系數(shù)的關(guān)系得y\y2=~Sp,

11,

=符(一8〃)~=16，

又???OA_LO8,：.OAOB=Ot

?\x\X2~\~y\y2=16—8/7=0,/.p=2.

易錯(cuò)提醒1.直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲

線的漸近線平行.

2.直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對(duì)稱軸平

行（或重合）.

訓(xùn)練4（1）（2023?沈陽模擬）命題p：直線y=kx-\-b與拋物線『二2〃）。〉。）有且僅有

一個(gè)公共點(diǎn)，命題/直線），=h+〃與拋物線f=2〃），相切，則命題〃是命題q

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

（2）己知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為最+（=1（。乂以）），則橢圓在其上一

點(diǎn)A（xo,州）處的切線方程為等+等=1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓G：

5+），2=1,點(diǎn)8為。在第一象限中的任意一點(diǎn)，過8作G的切線/,/分別與x

軸和），軸的正半軸交于C,。兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OCQ面積的最小值為（）

A.lB.小

C.y[2D.2

答案（1）C（2）C

解析（1）二?拋物線f=2py的對(duì)稱軸為），軸，，一條直線與拋物線f=2p），有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與），軸平行，

??,直線），=丘+力存在斜率，與），軸不平行，

???“直線》=履+〃與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線y=G

+人與拋物線《=2〃），相切”，則命題〃是命題q的充要條件.

（2）設(shè)伏叫yi）（Xi>0,ji>0）,由題意得，

過點(diǎn)8的切線/的方程為拶+）“），=1,

令y=0,可得dW，0），

令工=（）,可得4。，"），

1?11

所以△OCO的面積5=^X-X-=—

乙人【y1Alyl

又點(diǎn)B在橢圓上，所以，+）彳=1,

當(dāng)且僅當(dāng)郎吟居+加1，

即Xl=l,），1=平時(shí)，等號(hào)成立，

所以△OCO面積的最小值為啦.213頁

【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】

一、基本技能練

1.直線/過拋物線C）2=2px（p〉o）的焦點(diǎn)，且與。交于A,B兩點(diǎn)，若使|AB|=2

的直線/有且僅有1條，則〃等于（）

B.1

C.lD.2

答案C

解析由拋物線的對(duì)稱性知，要使依5|=2的直線/有且僅有1條，則A8必須垂

直于x軸，故A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)為（當(dāng)±1）,代入拋物線方程可解得〃=1.

2.橢圓云+^=1中，以點(diǎn)歷（-1,2）為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）

A9門9

AT6B.我

「9c9

C-64D~32

答案B

解析設(shè)以M為中點(diǎn)的弦為弦A8,弦A8的端點(diǎn)為A（?,），i）,8（X2,戶），

x?.y?,A.yi,hj3/m（xi+x2）（xi-xz）.

則諱+§=，正+亍=，兩式相喊侍--------布--------+

（yi+戶）

9=0，

又弦A8中點(diǎn)為M（-l,2）,

.?.xi+x2=-2,）”+）?=4,

---2（^fl-X2）,4（VI-V2）八

即—16一+一9'=°，

或直接利用結(jié)論仁—!<=一

J1

3.（2023.常德模擬）已知橢圓氏a+卓=1（。>">°），直線/：）'=步+。與橢圓E相

切，則橢圓E的離心率為（）

B.1

C.乎D雪

乙乙

答案B

2

解析由題意，聯(lián)立橢圓E和直線/的方程得：后=//，

整理得：［^a2+b^^x24-a3x-\-a4-a2b2=0,

因?yàn)闄E圓石和直線/相切，

則橢圓E的離心率e='=、/l—*=41一（=3，故選B.

4.（2023?廣州模擬）已知拋物線。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)尸在x軸上，過點(diǎn)（2,

0）的直線交。于P,。兩點(diǎn)，且。尸_1_OQ,線段PQ的中點(diǎn)為M,則直線用廣的

斜率的最大值為（）

A-6B2

C乎D.l

答案A

解析設(shè)拋物線C：y=2/7A（/7>0）,

直線尸。的方程為X=D，+2,P（XI,yi）,Q（X2,y2）,

y1=2px,

聯(lián)立彳消去入?得y2—2p<y—4p=0,

x=ry+2,

』=4p2p+16p>0,

則有yi+/=2m，yiV2=-4p,

9,

所以》12=為?第=4,

由OP_LOQ,可得河r+)，1戶=4—4p=0,

解得p=L

此時(shí)yi+y2=2f,XI+X2=2產(chǎn)+4,

即M(P+2,r),又雄，0),

所以直線Mb的斜率kMF1-3

-尸-

2+-2

當(dāng)1=0時(shí),kMF=0,

當(dāng)fWO時(shí)，LWF="當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=；時(shí)取等號(hào)）

?+2-五一

所以直線MF的斜率的最大值為乎.

5.（2023?煙臺(tái)調(diào)研）已知拋物線C：）?=4工，圓八仁一1產(chǎn)+），2=1,直線/：y=k（x

-1）（左20）自上而下順次與上述兩曲線交于Mi,Mi,%,MI四點(diǎn)，則下列各式

結(jié)果為定值的是（）

A.IM1M2IIM3M4IB.|FMI|.|FA/4|

C.IM1M3HM2M4|D.|FMI|-|MIM2|

答案A

解析如圖，分別設(shè)M,M2,Ma,M4四點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,El,X2,X3,X4,

由)2=?得焦點(diǎn)/(1,0),準(zhǔn)線/o：X=-1,

由定義得，|MiE=jn+l,

又|M/1=|MM2|+1,

所以|MIM2|=XI,

同理|M3M4|=X4,

y=k(A—1),

Mi,消去)，整理得

Fr-QR+M+koawo),

則JOT4=1,即|M1M2HM3M4|=1.

6.(2023?遼南協(xié)作校模擬)已知P為直線)，=一工一1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C：

f=2y的兩條切線，切點(diǎn)記為A,B,則原點(diǎn)到直線4B距離的最大值為()

A.IB.j

C.#D.2

答案B

解析設(shè)汽妝，刈)，切點(diǎn)為A3,yi),

Bgp),

由f=2y,得則y'=x,

所以在點(diǎn)A處的切線方程為

y-yi=xi(x—xi),即y—y\=xix—xit

因?yàn)閄=2yi,所以y=xix—yi,

同理在點(diǎn)B處的切線方程為)，=Q￥一)、2,

因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)P(M),州)，

所以y)=xuro—)”,j\)=X2Xo—p,

所以直線AB的方程為yo=xr()—y,

即xxo-yo=O,

所以原點(diǎn)到直線AB距離為

|yo|/yo/(—XQ—1)2/XD+2XQ-H

，詔+1'高+1V需+1V-w+1

當(dāng)且僅當(dāng)xo=l時(shí)取等號(hào)，

所以原點(diǎn)到直線A8距離的最大值為觀,故選B.

7.已知直線尸左L1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與+*^=1總有公共點(diǎn)，則b的取值

范圍是.

答案［1,2）

解析由題意直線）=代―1恒過定點(diǎn)N（0，-1），

要使直線y=E-1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，+孑=1總有公共點(diǎn)，

則只需要點(diǎn)N（0,—1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，

（一1）2

即F—W1,解得621,

又焦點(diǎn)在x軸上，:,b<l,：.\^b<2.

8.（2023?福州質(zhì)檢）已知橢圓C=1,直線/與。在第二象限交于A,B兩

點(diǎn)（A在8的左下方），與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N,且|MA|：|A8|：|8N|=1：2：3,

則I的方程為.

答案人一y+4=（）

解析

設(shè)直線在x軸，y軸上的截距為〃2,〃（，〃<0,心0）,

由|M4|:網(wǎng):18M=1：2：3,可得A償,如砥,。

又點(diǎn)A,8在橢圓上，

,ri1.25nr.n2“

故五十不=4且a下-+不=36,

解得加=—4,〃=4.

故直線I的方程為x—『+4=0.

9.（2023?江西大聯(lián)考）已知拋物線C：），2=2〃Mp>0）的焦點(diǎn)為F,過尸作斜率為、5的

直線/與。交于M,N兩點(diǎn)，若線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為忻，則/到C的準(zhǔn)線

的距離為.

答案5&

解析設(shè)M(xi,yi),Ngp),

則＞彳=2pxi,y2=2px2,

兩式相減得y^—yi=2px\—Ipxi,

即(yi—)2)。"+”)=2p(xi-X2),

因?yàn)闅v，N兩點(diǎn)在斜率為小的直線/上,

yi—\2

所以

XI—X2

所以由(yi—+")=2P(xi—X2),

得小G"+”)=2p,

因?yàn)榫€段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為也，

所以y?+,2=2JT5,

則小X2/=2〃，〃=5啦，

所以尸到C的準(zhǔn)線的距離為55.

22

10.(2023?濰坊統(tǒng)考)設(shè)雙曲線C，一方=1(。冷0)的右頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A且斜率

為2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q.若線段PQ的中點(diǎn)為M,

\AM\=^~a,則雙曲線C的離心率6=.

答案華

解析因?yàn)锳(a,0),

所以直線。。的方程為y=2(x-a).

心尸2(1)2g

則由”得也而五二寸

由］：=：：“'，得4就，—焉，

ra,

“，/4/2ah2、

所以咻匚6f!，

所以+（（）缶）1闋

整理，得3〃+42〃一為4=0,

即（3/一242）（/+〃2）=0,

力22

所以3〃-2層=0,所以3

所以e=K1+（9=^/^1=華，

11.（2023?荊州調(diào)研）己知拋物線C），2=2pMp〉o）的焦點(diǎn)為凡其準(zhǔn)線與“軸交于

點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)八與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱.

⑴證明：直線8。過點(diǎn)F；

Q）若稱=3曲,求/的斜率.

⑴證明設(shè)點(diǎn)A（xi,y）,8（x2,ya）,

。（川，-yi）,直線/的斜率為Z,

由題可知k一定存在，

直線/的方程為：y=Q+§.

由,yG+2），得b?_2〃y+即2=0,

）2=2外，

A=4〃2—4Mp2>o,則一[<K1

._2/?

)"+”=女，>1)'2=〃2,

p+yi）吃十州2P

KBD==[

X2~X\I"一），|

而（正一y?）

故直線BD的方程為

故直線8。過點(diǎn)造，0）

（2）解由而=3彷可得

「十畀3卜尚

Ji=3”,

由(1)可知,yi+*=4*=卷故*=1

又加+3x2=2”，

YT,3貫C

故"+方=2〃，

即)彳+3父=4〃2=12強(qiáng)，

故貨=彌=,所以F=l，

滿足/>(),故2=±^.

12.已知橢圓C：\+忘=1(。>心())的離心率為坐，且經(jīng)過點(diǎn)(一小，I).

(1)求橢圓C的方程；

⑵如圖，點(diǎn)M是X軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線/與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)、(點(diǎn)A

4

在x軸的上方),若HM=2|M8|,且直線/與圓O：f+)心=亍相切于點(diǎn)M求△OMN

的面積.

^c2=a2-b\

c書

J￡=2，

解(1)由題意知q

(f產(chǎn)隙

I/+下"=】,

(??=4,

解得《加=1,

"=3,

所以橢圓。的方程為5+)7=1.

(2)設(shè)M("7,0),直線/：x=ty+m,A(x\,ji),B(xit*),

由HM=2|M8|,得川=一2”,

5+尸1,

由

x=(y+"z,

得(尸+4))2+2〃2(y+團(tuán)2—4=0.

J=—16(/n2—Z2—4)>0,

即w2<r2+4.

由根與系數(shù)的關(guān)系得尸+戶=一給,

7H2—4

)3=月?

由y\y2=—2族，y1+"=-2”+”=—yi，

得y\y2=—2]—(yi+)喇2=-2(yi+”)\

E/J-42ml、『

即7育=—2|r+4)'

化簡(jiǎn)得("P—4>(尸+4)=—8-〃戶,

問

所以原點(diǎn)。到直線/的距離4=

4

又直線/與圓O：*+/=,相切,

加7

所以,即戶=平一一1.

g一

(加2—4)(P+4)=—8及〃心,

由產(chǎn)=%?_],

得21/一]6〃?2—16=0,

即(3S2—4)(7/〃2+4)=(),

44

解得加2=],此時(shí)產(chǎn)=亨滿足j>0,

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,0J,

424_4^21

在RtZSOMN中，|MN|二3~7=21，

所以酒產(chǎn)卜嚼乂斗=噪

二、創(chuàng)新拓展練

13.（2023?寶雞二模）已知拋物線C：f=2p），（p＞0）的焦點(diǎn)為EM（xo,yo）為。上一

動(dòng)點(diǎn)，曲線。在點(diǎn)M處的切線交y軸于N點(diǎn)，若NBWN=30。，則Nf7VM=（）

A.60°B.45°

C.30°D.15°

答案C

解析如圖，由

在點(diǎn)M處的切線的斜率為彳，

所以在點(diǎn)M處的切線方程為y—yo=~（x—xo）.

令x=0,可得N點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—和）.

所以，|孫=和+§

又根據(jù)拋物線的定義可得，

|Mfl=g+yo=|FN|,

所以△BWN是以MN為底邊的等腰三角形,

所以/FNM=/FMN=30。.

14.（多選）（2023?白山三埃）設(shè)雙曲線E：^2-^2=l（r/＞（）,比＞（））的右焦點(diǎn)為巴〃（（）,

33，若直線/與￡的右支交于A,8兩點(diǎn)，且尸為△MA8的重心，則（)

A.E的離心率的取值范圍為。限，，5）U（W，4-00）

B.E的離心率的取值范圍為仔羋，小）U（S，+8）

C.直線/斜率的取值范圍為（一8,

D.直線/斜率的取值范圍為（一8,

答案AC

解析設(shè)。為AB的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得話=2月）,

因?yàn)楫a(chǎn)(c,0),M(0,3b),則＜圄

因?yàn)橹本€/與E的右支交于A,8兩點(diǎn),

所以點(diǎn)。在雙曲線右支內(nèi)部，

9c29序

故