高級(jí)高二上期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.．考生必須保持答題卡的整潔.第I卷選擇題（分）85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000600600800對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取80人進(jìn)行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，且按年級(jí)來分層，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是（）A.24B.26C.30D.36【答案】A【解析】【分析】按照分層抽樣計(jì)數(shù)規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】依題意高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選：A2.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，利用斜率公式求得，得到，進(jìn)而求得直線的傾斜角，得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過和兩點(diǎn)，可得，設(shè)直線的傾斜角為，可得，第1頁/共18頁又因?yàn)椋?故選：B.3.某中學(xué)有教職工14035歲及以上的有4014035歲以下教職工的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用古典概型概率求法求概率即可.【詳解】由題意，抽到35歲以下教職工的概率為.故選：B4.在空間中，若向量，，共面，則（）A.4B.2C.D.6【答案】A【解析】【分析】由共面定理建立等量關(guān)系列方程組即可求解.【詳解】，，，因?yàn)橄蛄浚?，共面，所以存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，即，，解得，即.故選：A.5.已知樣本數(shù)據(jù)為，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）A.極差B.方差C.平均數(shù)D.中位數(shù)【答案】D【解析】第2頁/共18頁【詳解】去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，中位數(shù)不變，而極差，方差，平均數(shù)都有可能發(fā)生改變.故選：D6.將顏色分別為紅、白、藍(lán)的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則與事件“甲分得紅球”互為對(duì)立事件的是（）A.乙分得紅球B.丙分得紅球C.甲分得白球或藍(lán)球D.乙分得白球或藍(lán)球【答案】C【解析】【分析】由對(duì)立事件的概念即可得解.【詳解】事件“甲分得紅球”與“甲分得白球或藍(lán)球”不能同時(shí)發(fā)生但又必有一個(gè)發(fā)生，故這兩個(gè)事件是互為對(duì)立事件.故選：C.7.如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，，，，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】連接，由題意，為中點(diǎn)，則.故選：A第3頁/共18頁8.已知ABCD是球O，，球O的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】果.【詳解】因?yàn)樗裕?，因?yàn)?，，所以平面，同理可得平面，所以可作為邊長為1的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)檎襟w的外接球直徑為，所以外接球的半徑為，因此球的體積為，故選：A.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.第4頁/共18頁9.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為D.已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯(cuò)誤；由直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無法表示的直線可知C錯(cuò)誤；求得所過定點(diǎn)后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D錯(cuò)誤.A和若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線得：，直線的斜率，即，又，，B正確；對(duì)于C，平行于坐標(biāo)軸的直線，即或時(shí)，直線方程不能寫為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得：，直線恒過定點(diǎn)；第5頁/共18頁，，結(jié)合圖象可知：，，D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知事件兩兩互斥，若，，，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，故B正確；對(duì)于D，由，得，故D正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確.故選：BCD.直四棱柱的所有棱長都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的長度為.第6頁/共18頁C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為.D.的最小值為2．【答案】BC【解析】A法求線面角判斷B的軌跡得最小值判斷C點(diǎn)的軌跡最小值判斷D.【詳解】直四棱柱的所有棱長都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，由，有，即，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；第7頁/共18頁平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離，，所以時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.第卷非選擇題（分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位數(shù)為___________.第8頁/共18頁【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念直接求解即可.【詳解】解：由題知，總共有10個(gè)數(shù)據(jù)，所以分位數(shù)為第8個(gè)與第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以分位數(shù)為.故答案為：13.已知點(diǎn)，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的投影向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】，向量在上的投影向量為：，故答案為：14.若不等式的解集為，且，則___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則可根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象的位置關(guān)系求得的值.【詳解】設(shè)，，則，故即，結(jié)合可得在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2所以的圖象為如圖所示的半圓，其中第9頁/共18頁因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋实膱D象不在圖象上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合為，若，結(jié)合圖象可得，故，故的圖象過，故此時(shí)即，若，結(jié)合圖象可得此時(shí)，這與矛盾，若，結(jié)合圖象可得故的圖象不在圖象上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合為空集，故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于含參數(shù)的不等式的解的問題，可根據(jù)不等式的形式將解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，結(jié)合動(dòng)態(tài)討論求出參數(shù)滿足的要求.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求滿足下列條件的直線方程；（1）過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；（2）過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（3）過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等直線方程．【答案】（1）（2）第10頁/共18頁（3）或【解析】1）根據(jù)平行直線的斜率相等即可求解；（2）根據(jù)互相垂線直線的斜率乘積為，從而求解直線方程；（3）分直線過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)討論可得答案.【小問1詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，由于過點(diǎn)，代入，解得，可得，所以所求的方程為；【小問2詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為；由于過點(diǎn)，代入，解得，可得，所以所求的直線方程為；【小問3詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，，可得，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，，可得，綜上，所求直線方程為或.16.已知經(jīng)過點(diǎn)的圓C的圓心在x軸上，且與y軸相切．（1）求圓C的方程；（2）若，，點(diǎn)M在圓C上，求的取值范圍．第11頁/共18頁【答案】（1）（2）【解析】1）由題意待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意列出方程組求出參數(shù)即可得解.（2）由題意設(shè)點(diǎn)在圓上，則，，由兩點(diǎn)之間的距離公式化簡可得，由此即可得解.【小問1詳解】設(shè)圓C：（由題意得，解得，所以圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，由，得，則．當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為10；當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為34．故的取值范圍為.17.中，，，DE，F(xiàn)滿足，，.（1）求線段的長；第12頁/共18頁【答案】（1）（2）【解析】1）借助空間向量線性運(yùn)算及模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）借助空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】由，，則、分別為、中點(diǎn)，，則；【小問2詳解】由，則，則，故，即直線與所成的角為.18.某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)競賽”（單位：分，得分取正整數(shù)，第13頁/共18頁（1）求的值；（2）如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取6人，再從6人中選2人，求2人中有來自組的學(xué)生的概率；（310名學(xué)生的成績：10個(gè)成績的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的94和86兩個(gè)成績，求剩余8個(gè)成績的平均數(shù)與方差.【答案】（1）（2）（3）平均數(shù)為90，方差為27.25【解析】1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣比求解人數(shù)，即可列舉所有可能結(jié)果，利用古典概型的概率公式即可求解，（3）根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】由圖可知：，解得，【小問2詳解】樣本成績位于和的比例為，故所抽取的6個(gè)人中，來自的人數(shù)為，設(shè)這兩個(gè)人為來自的人數(shù)為，設(shè)這4個(gè)人為，則從6個(gè)人中隨機(jī)抽取2個(gè)人的所有情況有：，2人中有來自組情況有第14頁/共18頁【小問3詳解】由，可得，則剔除其中的94和86兩個(gè)分?jǐn)?shù)，剩余8個(gè)數(shù)平均數(shù)為；又標(biāo)準(zhǔn)差，故，則，則剩余的8個(gè)數(shù)的方差為.19.如圖，在直四棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值：（3）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線距離的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）第15頁/共18頁【解析】1）由直棱柱的性質(zhì)可得，再結(jié)合，可證得平面，則，最后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2為原點(diǎn)，別求出平面與平面的法向量，從而利用向量的夾角公式可求得結(jié)果；（3）設(shè)，則表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出的坐標(biāo)，然后表示出到直線的距離，化簡可求出其最小值.【小問1詳解】由直四棱柱知，底面，因平面，所以，又，，平面，所以平面，因平面，所以．因?yàn)?，，．所以，，所以，所以，因?yàn)?/p>