數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果展示卷2025年考點(diǎn)預(yù)測一.選擇題。（共10題）

1.若函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.1/2B.1C.2D.1/4

2.不等式|3x-2|>x+1的解集為（）

A.(-∞,-1/2)∪(3,+∞)B.(-1/2,3)C.(-∞,-1/2)D.(3,+∞)

3.已知向量a=(1,k)，b=(-2,4)，若a⊥b，則k的值為（）

A.-8B.8C.-2D.2

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，恰好出現(xiàn)2次正面的概率為（）

A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=S_n/(n-1)（n≥2），則a_4的值為（）

A.2B.3C.4D.5

6.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

7.若f(x)=e^x-ax在x=1處取得極小值，則a的值為（）

A.eB.e^2C.1/eD.1/e^2

8.已知直線l:ax+by+c=0與圓O:x^2+y^2=1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=√2，則直線l到圓心O的距離為（）

A.1/2B.√2/2C.1D.√2

9.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為（）

A.-8B.-1C.0D.2

10.已知點(diǎn)P在曲線y=ln(x+1)上，且點(diǎn)P到直線y=x的距離最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(0,0)B.(1,ln2)C.(e-1,1)D.(2,ln3)

二.填空題（共10題）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為________。

2.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，則b=________。

3.不等式組{x|1<x≤3}∩{x|2<x<4}的解集為________。

4.若向量a=(3,-1)，b=(k,2)，且|a+b|=5，則k的值為________。

5.從5名男生和4名女生中隨機(jī)選取3人參加活動(dòng)，則恰好選取2名男生的概率為________。

6.等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，公差d=-2，則a_5+a_7的值為________。

7.拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為________。

8.圓x^2+y^2-6x+4y-12=0的圓心到直線3x-4y+5=0的距離為________。

9.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值為________。

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則a的值為________。

三.判斷題。（共5題）

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間I上必有最大值。

2.不等式|2x-1|<3的解集為(-1,2)。

3.已知a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a與向量b的夾角余弦值為-1/5。

4.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2^n-1，則{a_n}是等比數(shù)列。

5.圓x^2+y^2=1與直線y=x+1相交。

四.計(jì)算題（共6題）。

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式組：{|x-1|<2}∪{x^2-3x+2>0}。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.已知向量a=(1,2,-1)，b=(2,-1,1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。

5.求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，其中a_n=2n-1。

6.求圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的面積。

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s（單位：米）關(guān)于時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為s=t^3-3t^2+5。求該物體在t=2秒時(shí)的速度和加速度。

2.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為80元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，可變成本增加5元，售價(jià)為每件12元。若要使利潤最大，該工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（利潤=收入-成本，收入=售價(jià)×件數(shù)）

3.從一副完整的撲克牌（除去大小王）中隨機(jī)抽取3張牌，求抽到的3張牌中至少有一張紅桃的概率。

4.在一個(gè)直徑為10米的圓形廣場中心安裝一盞路燈，求距離路燈水平距離為6米處的照度（照度與距離的平方成反比，假設(shè)在燈下一點(diǎn)的照度為最大值1）。

5.某班級計(jì)劃用50米長的繩子圍成一個(gè)矩形場地，為了使場地面積最大，矩形的長和寬應(yīng)分別為多少米？

6.已知某校高三（1）班有50名學(xué)生，其中男生30名，女生20名。為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生進(jìn)行問卷，求抽到的10名學(xué)生中男生不少于6名的概率。

六.思考題

1.試討論函數(shù)f(x)=x^3-3x+a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)與參數(shù)a的關(guān)系，并說明理由。

2.在實(shí)際生活中，如何運(yùn)用數(shù)列的知識模擬或解決一個(gè)與儲蓄、貸款或人口增長等相關(guān)的問題？請給出具體的實(shí)例并闡述其應(yīng)用過程。

3.分析直線與圓的位置關(guān)系，并探討如何通過代數(shù)方法（如判別式）判斷它們是相離、相切還是相交。

4.結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解釋為什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)為零不一定意味著該點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)。

5.考慮一個(gè)包含多個(gè)變量的優(yōu)化問題（例如，條件極值），探討如何利用拉格朗日乘數(shù)法或其他數(shù)學(xué)工具尋找最優(yōu)解，并說明這些方法的適用條件和局限性。

6.思考概率論中的大數(shù)定律或中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中的意義，舉例說明它們是如何幫助我們理解和預(yù)測隨機(jī)現(xiàn)象的。

一.選擇題。（共10題）

1.A2.A3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.B10.B

1.解：f'(x)=1/x-1，令f'(x)=0，得x=1。f'(x)<0(x>1)，f'(x)>0(x<1)，故x=1處為極小值點(diǎn)，f(1)=ln2-a=0，解得a=ln2。選項(xiàng)中無ln2，但根據(jù)題目提供的選項(xiàng)和常見考點(diǎn)，若題目有誤或考慮近似值，最接近的是A.1/2，但嚴(yán)格來說此題選項(xiàng)設(shè)置有誤，正確答案應(yīng)為ln2。

2.解：|3x-2|>x+1等價(jià)于3x-2>x+1或3x-2<-(x+1)，即x>3/2或x<1/2。解集為(-∞,1/2)∪(3/2,+∞)。選項(xiàng)A.(-∞,-1/2)∪(3,+∞)與之不符，選項(xiàng)B.(-1/2,3)與之不符，選項(xiàng)C.(-∞,-1/2)是(-∞,1/2)的子集，選項(xiàng)D.(3,+∞)是(3/2,+∞)的子集。嚴(yán)格分析發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置均不正確，但若必須選一個(gè)，可能意在考察x>3/2部分，選D相對接近，但仍有偏差。

3.解：a·b=1*(-2)+k*4=0，解得k=1/2。選項(xiàng)均無1/2，選項(xiàng)B.8最接近，但此題選項(xiàng)設(shè)置有誤，正確答案應(yīng)為1/2。

4.解：P(恰出現(xiàn)2次正面)=C(3,2)*(1/2)^2*(1/2)^1=3*1/4*1/2=3/8。選項(xiàng)B正確。

5.解：n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_(n-1)=S_n/(n-1)-S_(n-1)/(n-2)。令n=2,a_2=S_2/S_1=2/1=2。令n=3,a_3=S_3/S_2=(1+a_2+a_3)/a_2，代入a_2=2得(1+2+a_3)/2=2，解得a_3=3。令n=4,a_4=S_4/S_3=(1+a_2+a_3+a_4)/a_3，代入a_2=2,a_3=3得(1+2+3+a_4)/3=3，解得a_4=5。選項(xiàng)D正確。

6.解：圓方程可化為(x-3)^2+(y+3)^2=18。圓心坐標(biāo)為(3,-3)。選項(xiàng)均不符，此題選項(xiàng)設(shè)置有誤，正確答案為(3,-3)。

7.解：f'(x)=e^x-a。x=1處取得極小值，需f'(1)=e-a=0，解得a=e。選項(xiàng)A正確。

8.解：圓心O(3,-2)，直線l到圓心O的距離d=|3*3-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|9+8+5|/5=22/5。選項(xiàng)無22/5，此題選項(xiàng)設(shè)置有誤，正確答案為22/5。

9.解：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1。f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3。f(1)=1^3-3*1+1=1-3+1=-1。f(2)=2^3-3*2+1=8-6+1=3。最小值為min{-1,3}=-1。選項(xiàng)B正確。

10.解：點(diǎn)P(x,ln(x+1))到直線y=x的距離d=|x-ln(x+1)-x|/√2=|-ln(x+1)|/√2。令g(x)=-ln(x+1)，g'(x)=-1/(x+1)。g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減。要使d最小，需|g(x)|最小，即g(x)=0。解得-ln(x+1)=0，即x+1=1，得x=0。此時(shí)P(0,ln(1))=(0,0)。選項(xiàng)A正確。

二.填空題（共10題）

1.3

2.-2

3.(2,4)

4.-4

5.3/4

6.-10

7.1/6

8.5

9.3

10.1

1.解：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x<-2;-2x-1,-2≤x≤1;x-1,x>1}。當(dāng)x=-2時(shí)，f(-2)=-2*(-2)-1=3。當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=1-1=0。函數(shù)在(-∞,-2)上遞增，在(-2,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增。最小值為min{3,0}=0。但f(x)在x=1處不可導(dǎo)，需比較左極限和右極限，左極限為0，右極限為0。實(shí)際最小值在x=1處取得為0。選項(xiàng)中無0，題目可能設(shè)問有誤或選項(xiàng)有誤。

2.解：函數(shù)像開口向上，則a>0。頂點(diǎn)(-1,2)在像上，代入得a*(-1)^2+b*(-1)+c=2，即a-b+c=2。頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為(-b/(2a),-Δ/(4a))，得-(-b)/(2a)=-1，即b=2a。又-Δ/(4a)=2，Δ=b^2-4ac=4a^2-4ac=2，即4a^2-4ac-2=0。代入b=2a，得4a^2-4a*c-2=0。結(jié)合a-b+c=2，即a-2a+c=2，即-c+a=2。聯(lián)立4a^2-4ac-2=0和-c+a=2，解得a=1（舍去a<0的情況），則b=2a=2。

3.解：{|x-1|<2}等價(jià)于-2<x-1<2，即-1<x<3。{x^2-3x+2>0}等價(jià)于(x-1)(x-2)>0，解集為(-∞,1)∪(2,+∞)。二者交集為(-∞,1)∪(2,3)。題目寫法{x|1<x≤3}∪{x|2<x<4}，前者解集為(1,3]，后者為(2,4)。二者交集為(2,3)。

4.解：|a+b|=(3+2,-1-1,-1+1)=(5,-2,0)。|a+b|=√(5^2+(-2)^2+0^2)=√29。|a|=(√(3^2+(-1)^2+(-1)^2))=√11。|b|=(√(2^2+(-1)^2+1^2))=√6。cos<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA2>=(a·b)/(|a||b|)=(15-1+0)/(√11*√6)=14/(√66)=7√66/33。

5.解：P(恰好2名男生)=C(5,2)*C(4,3)/(C(9,3))=10*4/84=40/84=10/21。

6.解：a_n=2n-1。S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(5+2n-1)=n/2*(2n+4)=n(n+2)=n^2+2n。

7.解：總情況數(shù)=6*6=36。和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。概率=6/36=1/6。

8.解：圓心(3,-3)，直線3x-4y+5=0。距離d=|3*3-4*(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|9+12+5|/5=26/5。

9.解：a_n=2n-1。S_n=n^2+2n。最大值在n=2時(shí)取得，S_2=4+4=8。n=1時(shí)S_1=3。n=3時(shí)S_3=9+6=15。n=4時(shí)S_4=16+8=24。最大值為24。

10.解：f'(x)=e^x-a。x=0處取得極值，需f'(0)=e^0-a=1-a=0，解得a=1。

三.判斷題。（共5題）

1.錯(cuò)誤。單調(diào)遞增函數(shù)在開區(qū)間上未必有最大值，例如f(x)=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但無最大值。

2.正確。|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3，即-2<2x<4，即-1<x<2。解集為(-1,2)。

3.正確。cos<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA2>=(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-1)+(-1)*1)/(√(1^2+2^2+(-1)^2)*√(3^2+(-1)^2+1^2))=(3-2-1)/(√6*√11)=0/(√66)=0。

4.正確。a_1=S_1=2^1-1=1。當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。所以a_n=2^(n-1)，即a_n/a_(n-1)=2^(n-1)/2^(n-2)=2。數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。

5.正確。設(shè)矩形長為x米，寬為y米。2x+2y=50，即x+y=25。面積A=xy。由均值不等式A≤((x+y)/2)^2=(25/2)^2=625/4。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=25/2時(shí)取等。此時(shí)長寬均為12.5米。代入圓的直徑10米，12.5米大于半徑5米，故圓與矩形相交。

四.計(jì)算題（共6題）。

1.解：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。最大值為max{-2,2,-2,2}=2，最小值為min{-2,2,-2,2}=-2。

2.解：{|x-1|<2}等價(jià)于-1<x<3。{x^2-3x+2>0}等價(jià)于(x-1)(x-2)>0，解集為(-∞,1)∪(2,+∞)。二者交集為(-1,1)∪(2,3)。

3.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+2(x+1)/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+2+3/(x+1))dx=∫(x+2+3/(x+1))dx=∫xdx+∫2dx+∫3/(x+1)dx=x^2/2+2x+3ln|x+1|+C。

4.解：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1。|a|=√6，|b|=√6。cos<0xE1><0xB5><0xA3><0xE1><0xB5><0xA2>=(-1)/(√6*√6)=-1/6。

5.解：a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=n^2+2n-(n^2+2n-1)=1。所以a_n=1。S_n=n*1=n。

6.解：圓方程(x-3)^2+(y+3)^2=18。圓心(3,-3)，半徑r=√18=3√2。面積A=πr^2=π(3√2)^2=π*9*2=18π。

五.應(yīng)用題。（共6題）

1.解：速度v=s'(t)=3t^2-6t。加速度a=s''(t)=6t-6。當(dāng)t=2時(shí)，v=3*2^2-6*2=12-12=0。a=6*2-6=12-6=6。速度為0，加速度為6。

2.解：設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品。成本C=80+5x。收入R=12x。利潤P=R-C=12x-(80+5x)=7x-80。求P最大，需P'=7=0，無解。P'變化：x<80/7時(shí)P'負(fù)，x>80/7時(shí)P'正。故x=80/7≈11.43。實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)為整數(shù)，比較x=11和x=12。P(11)=7*11-80=7。P(12)=7*12-80=14。故生產(chǎn)12件利潤最大。

3.解：總牌數(shù)=52-2=50。抽3張，總情況數(shù)=C(50,3)。至少一張紅桃，用補(bǔ)集。無紅桃情況=抽自非紅桃牌（26張）=C(26,3)。P(至少一張紅桃)=1-P(無紅桃)=1-C(26,3)/C(50,3)=1-(26*25*24)/(50*49*48)=1-325/1225=900/1225。

4.解：設(shè)路燈點(diǎn)為O，距離水平距離為6米的點(diǎn)為P。設(shè)OP=6，圓心為C，PC=√(10^2-6^2)=√(100-36)=√64=8。設(shè)照度為E，最大值為E_0，距離為d_0=0（燈下點(diǎn)），E與d^2成反比，E=K/d^2。E_0/K=1/0^2無意義，但E_0=K/d_0^2。P點(diǎn)照度E=K/6^2=K/36。P點(diǎn)與O的距離|OP|=6。根據(jù)反比關(guān)系，E/E_0=(d_0^2)/(d_P^2)=(0^2)/(6^2)=0/36=0。此反比模型在d=0處無定義，不能直接用于計(jì)算P點(diǎn)照度。若理解為E與|OP|^2成反比，即E=K/(6^2)=K/36，則照度是某個(gè)常數(shù)K/36。但題目未給出最大值，無法確定具體數(shù)值。此題表述可能不嚴(yán)謹(jǐn)。若理解為P點(diǎn)到圓心C的距離為8米，則E=K/8^2=K/64。同樣無法確定。通常這類題會給出最大值或明確反比關(guān)系適用范圍。按最常見模型E與水平距離的平方成反比，E=K/6^2=K/36。

5.解：設(shè)矩形長為x米，寬為y米。2x+2y=50，即x+y=25。面積A=xy。由均值不等式A≤((x+y)/2)^2=(25/2)^2=625/4=156.25。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=25/2時(shí)取等。此時(shí)長寬均為12.5米。

6.解：總?cè)藬?shù)=50。男生=30。女生=20。抽10人，總情況數(shù)=C(50,10)。至少6名男生，情況數(shù)=C(30,6)*C(20,4)+C(30,7)*C(20,3)+C(30,8)*C(20,2)+C(30,9)*C(20,1)+C(30,10)*C(20,0)。計(jì)算復(fù)雜，可用近似。男生比例=30/50=0.6。10人中男生期望數(shù)=10*0.6=6。可用二項(xiàng)分布P(X=k)=C(10,k)*(0.6)^k*(0.4)^(10-k)。P(X≥6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)。計(jì)算得P(X=6)=C(10,6)*(0.6)^6*(0.4)^4≈0.2508。P(X=7)≈0.1209。P(X=8)≈0.0368。P(X=9)≈0.0054。P(X=10)≈0.0004。近似和≈0.4133。精確計(jì)算略去。

六.思考題

1.解：f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1,x=1。f''(x)=6x。f''(-1)=6*(-1)=-6<0，f(-1)是極大值點(diǎn)。f''(1)=6*1=6>0，f(1)是極小值點(diǎn)。當(dāng)a>1時(shí)，f(1)=1-3+2=0，f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4。無極值點(diǎn)。當(dāng)a=1時(shí)，f(1)=0，f(-1)=4。無極值點(diǎn)。當(dāng)-1<a<1時(shí)，f(1)=1-a>0，f(-1)=-1-a<0。極小值點(diǎn)x=1。極大值點(diǎn)x=-1。當(dāng)a=-1時(shí)，f(1)=0，f(-1)=0。極小值點(diǎn)x=1，極大值點(diǎn)x=-1。當(dāng)a<-1時(shí)，f(1)=1-a>0，f(-1)=-1-a>0。無極值點(diǎn)。綜上：a<-1或a=1時(shí)無極值點(diǎn)；-1<a<1時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)（x=-1為極大值點(diǎn)，x=1為極小值點(diǎn)）；a=1時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)x=-1；a=-1時(shí)有極大值點(diǎn)x=-1和極小值點(diǎn)x=1。

2.實(shí)例：復(fù)利儲蓄。設(shè)初始本金為P元，年利率為r，每年復(fù)利計(jì)算一次，存n年。賬戶余額S_n=P(1+r)^n。這是一個(gè)關(guān)于n的等比數(shù)列（若r為定值）。若每月存入100元，則n年內(nèi)總存入本金F=100n。賬戶余額S_n=100[1+(1+r/12)^1+(1+r/12)^2+...+(1+r/12)^{12n}]。利用等比數(shù)列求和公式S_n=100[(1+r/12)^(12n+1)-1]/[(1+r/12)-1]。這是數(shù)列知識在金融儲蓄中的應(yīng)用