7.2離散型隨機變量及其分布列

7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征

目錄

一、隨機變量的概念理解..........................................................

二、離散型隨機變量的分布列及兩點分布.............................................................I

三、分布列的性質(zhì)及應用...........................................................................4

四、離散型隨機變量的均值.........................................................................6

五、離散型隨機變量的方差.........................................................................9

六、均值與方差的性質(zhì)............................................................................II

七、均值與方差的實際應用與方案設計問題..........................................................13

(目錄可自行刪除)

一、隨機變量的概念理解

①隨機變量

特點：隨著試驗結果的變化再變化的變量.

表示：常用字母X,Y,焉〃，…表示.

②離散型隨機變量的特點：所有取值可以一一列舉出來.

1、判斷下列哪些變量是離散型隨機變量，是的打'W”，錯的打

(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量()

⑵某單位辦公室一天中接到的次數(shù)O

(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)()

(4)一瓶果汁的容量為500±2mL.()

(5)某林場的樹木最高達30m,則此林場中樹木的高度.()

(6)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差。()

解(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0.1,2,3,…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散

型隨機變量.

(2)某單位辦公室一天中接到的次數(shù)可能為01,2,3,…，是陵機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨

機變量.

⑶明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,123,…，是隨機變化的，因此是隨機變量,

也是離散型隨機變量.

(4)由于果汁的容量在498mL?502mL之間波動，是隨機變量，但不是離散型隨機變量.

(5)林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30］內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量.

(6)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.

二、離散型隨機變量的分布列及兩點分布

分布列定義：若離散型隨機變量X可能取的不同值為X2,…：國，…，&，X取每一個值屆《=1,2,…，

〃)的概率尸(X=xi)=pi，則下表

性質(zhì)：①0NO(i=1，2,…，〃)；②工〃尸1.

兩點分布:若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為

X01

PP

其中〃=P(X=1)稱為成功概率.

注意點：隨機變量X只取0和I,才是兩點分布，否則不是.

解題步驟:

⑴隨機變量的取值列舉來.

(2)初每一個取值所對應的概率求出來.

(3)把所有的隨機變量對應概率之和是否為1來檢驗.

2、某班有學生45人，其中0型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.現(xiàn)

從中抽1人，其血型為隨機變量X,求X的分布列.

解將O,A,B,四種血型分別編號為123,4,則X的可能取值為123,4.

9y1、Clo2

pq—D一餐一亨

P（X=2）=群4

百

CJ8

怨=3）=忒=

45'

”,八C|$]

pq—4)—您一手

故X的分布列為

X1234

481

P

15453

3、已知一批10()件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變顯X表

示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列.

C弘49491

解由題意知，X服從兩點分布，P(X=0)=忒=而，P(X=1)=1一元=/.所以隨機變量X的分布列為

X01

491

P

5050

4、從裝有除顏色外完全相同的6個白球，4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出1個

黑球贏2元，而每取出1個白球輸1元，取出黃球無輸贏.

(1)以X表示贏得的錢數(shù)，隨機變量X可以取哪些值？求X的分布列；

⑵求出贏錢(即X>0時)的概率.

解(1)從箱中取兩個球的樣本點有以下6種：(2個白球)，(1個白球，1個黃球)，(1個白球，1個黑球)，(2

個黃球)，(1個黑球，1個黃球)，(2個黑球).

當取到2個白球時，X=-2；

當取到1個白球，1個黃球時，X=-l；

當取到I個白球，1個黑球時，X=\；

當取到2個黃球時，X=0；

當取到1個黑球，1個黃球時，X=2；

當取到2個黑球時，X=4,

所以X的可能取值為-2,-1,0,1,2,4.

P(X=-2)=S=看尸--1)=普=半P(X=0)=裳=總尸5=1)=第=今，

P(X=2)=署=奈，P(X=4)=^==?

所以X的分布列為

X-2-10124

521441

P

221166II3311

(2)P(X>O)=P(X=1)+P(X=2)+RX=4)

=TT+萬十TT=藥.

io

所以贏錢的概率為三

JJ

5、北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個相同的盒

子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱貝貝晶晶歡歡迎迎妮妮

數(shù)量12311

從中隨機地選取5只.

⑴求選取的5只恰好組成完整的“奧運會吉祥物”的概率；

(2)若完整的選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推,

設X表示所得的分數(shù)，求X的分布列.

解⑴選取的5只恰好組成完整的“奧運會吉祥物”的概率咨=言=磊.

(2)X的取值為100,80,60,40.

抽取一個檢驗，其級別為隨機變量酊則W域)=.

4

答案-

7

k7

解析設二級品有2個，則一級品有象個，三級品有力個，總數(shù)為夕個的分布列為

0123

421

p777

4

-

7

9、設離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求：(1)2X+1的分布列：(2)P(1VXW4).

【解】由分布列的性質(zhì)知：

0.2+0.1+0.1+0.3+〃?=1,

解得根=0.3.

(D2X+1的分布列：

2X+113579

P0.20.10.10.30.3

(2)P(IVX*)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=07

10、設隨機變里X的分布列傘=§一〃做左一1,234,5).

⑴求常數(shù)。的值；

⑵求

解由題意，得X的分布列為

1234

X1

5555

Pa2a3a4a5a

(1)由分布列的性質(zhì)得a+24+3a+4a+54=I,

解得〃=看

(2)方法一'運)=e=5)+6卻+P(X=1)=卷+,

四、離散型隨機變量的均值

均值(數(shù)學期望)：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示.

XX1X2???

PPiP2???Pn

則稱日用=%必+理小+…+為取=豆無，為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望.

11、從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中逐一取球，已卻每個球被取到的可能性相同.若取后不放

回，設取完紅球所需的次數(shù)為X,求X的分布列及均值.

解由題意知X的可能取值為234,5.

當X=2時，表示前2次取的都是紅球,

A71

??.P(X=f；

當X=3時，表示前2次中取得1個紅球,I個白球或黑球，第3次取紅球,

CiCiA?I

??.P(X=3)=f^=5：

當X=4時，表示前3次中取得1個紅球,2個不是紅球，第4次取得紅球,

cgc的3

，P(X=4)=

當X=5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球,

???P(X=5)=美A'=|..??X的分行列為

X2345

1132

rr>

105105

1,針尖向上，2

12、在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令乂=八如果針尖向上的概率為t那么試寫出隨機變量X

0,針尖向下.5

的分布列并求其均值.

3

-

2-

解根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是1—專y

則隨機變量X的分布列為

13、隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4

件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設

1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為X.

⑴求X的分布列；

⑵求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)；

(3)經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%.若此時要求1件產(chǎn)品的

平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

解(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2,

P(X=6)=2QQ=0.63*P(X=2)==025,

204

p(x=1)=200=0.1,p(x=-2)=555=0.02.

故X的分布列為

X621-2

p0.630.250.10.02

(2)E(X)=6x0.63I2x0.25I1x0.1I(2)K0.02=4.34(萬元).

(3)沒技術革新后的三等品率為x,則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)=6x0.7+2x(l-0.7-0.01-x)+lxx+

(-2)x0.01=4.76-x(0<r<0.29),

依題意，知E(X)*.73,即4.76—隹4.73,

解得爛0.03,所以三等品率最多為3%.

14、某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為:2和、3現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品人，乙

JJ

組研發(fā)新產(chǎn)品設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；

(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元.求

該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.

2—13

解記￡=”甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，尸=”乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設知P(E)=g,P(E)=yP(F)=5,

—2————

P(尸)=土且事件E與F,E與F,E與F,E與尸都相互獨立.

⑴無”=“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”，則方=百下，

———122

于是P(H)=P(E)P(F)=5><5=75>

—213

故所求的概率為p(〃)=i—p(”)=i一區(qū)=區(qū).

(2)沒企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.

-----1=2〉

因為P(X=0)=P(EF)^X^=Y^,

——1331

P(>=]OO)=P(EF)=]x；=*=g,

—2?4

P(>=120)=P(EF)=^=—,

236。

P(X=220)=P(￡F)=3X-=-=-

故所求的分布列如表所示：

X0100120220

2142

P

155155

2142

￡^=0x^4-l(X)x-4-120x—4-220x^=140.

15、某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)

處都種J'一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量丫(單位：kg)與它的“相近”

作物株數(shù)X之間的關系如表所示：

X1234

Y51484542

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.

(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；

(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與均值.

解(1)所種作物總株數(shù)N=l+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)

為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有C』C|2=36(種)，選取的兩株作物恰好

“相近”的不同結果有3+3+2=8(種).

故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為會=言

(2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量y的分布列.

因為P(y=51)=P(X=l),P(y=4B)=P(X=2),

P(y=45)=P(X=3),P(y=42)=P(X=4),

所以只需求出尸(X=Q僅=123,4)即可.

記以為其“相近''作物恰有k株的作物株數(shù)伏=1,2,34),

則川=2,〃2=4,〃3=6,“4=3.

由P(X=k)=弋,得

尸(>=1)=高

4

P(>=2)=正

P(X=3)=笳|.

3I

"=4)=『.

故所求y的分布列為

Y51484542

2421

P75"1555

因此所求年收獲量y的均值為

2421

E(y)=51xy^+48xyy+45x^+42x^=46.

五、離散型隨機變量的方差

方差：設離散型隨機變最X的分布列為

XXIX2???X〃

PPiPl???Pn

22

考慮X所有可能取值為與￡(X)的偏差的平方(即一E(X))2,(X2-E(X))....U-E(X)),因為X取每個值的

概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏

離程度，我們稱Q(X)=(.“一￡(X))2」力_+(理一七(X?_〃2+…+(同—E(X))2〃”=￡a_E(x))2p,為隨機變量X

1=1

的方差,有時也記為區(qū)內(nèi)0，并稱而為為隨機變量X的標準差,記為(7(X).

16、(多選)下列說法中錯誤的是0

A.離散型隨機變量X的均值￡(田反映了X取值的概率的平均值

B.離散型隨機變量X的方差Z)(X)反映了X取值的平均水平

C.離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平

D.離散型隨機變量X的方差。(㈤反映了X取值的概率的平均值

答案ABD

解析E(X)反映了X取值的平均水平，O(X)反映了X取值的離散程度.

17、(多選)下列說法正確的是()

A.離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定

B.若。是常數(shù)，則D(a)=0

C.離散型隨機變量的力差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度

D.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量

的平均程度越小

答案BCD

解析隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定.所以A錯誤.

18、設離散型隨機變量X的分布列為

X1234

111

P4364

則D(X)等于。

A22R12117917

A12D144L144U12

答案C

解析由題意知，

11|129

E(X)=lx-+2x-4-3x-+4x-=—,

故DW=(T)q+(2-笥2,+g用￥+(4畸x|/

19、已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，若￡(X)=0,D(X)=1,則〃=，b=,

X-1012

1

Pa

bcV2

答喇

r,.,iir5

〃十〃十c一p,

—6f+c+1=0,解得<=i

解析由題意知<Db4,

、a+c+g=l,1

J，

20、甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量^與力且。，牛的分布列為

0123

Pa0.10.6

7123

P0.3b0.3

(I)求力的值；

(2)計算15〃的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術狀況.

解⑴由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知

〃+0.1+0.6=1,，。=().3.

同理0.3+。+0.3=1,???。=0.4.

(2)E(<)=1x03+2x0.1+3x0.6=23,

￡(//)=1x0.3+2x0.44-3x0.3=2,

。?=(1-2.3)2X0.3+(2-2.3)2X0.1+(3—2.3)2x0.6=0.81,

。(0)=(1-2)2x03+(2-2★0.4+(3—2)2x0.3=0.6.

由于E(J>E”7),說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但。(。>。(〃)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因

此甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優(yōu)劣.

六、均值與方差的性質(zhì)

均值性質(zhì)：若丫=。乂+力，其中”，〃均是常數(shù)(X是隨機變量)，丫也是隨機變量，則E(aX+b)=aE(X)+b.

方差性質(zhì)：若y=aX+b,其中〃，〃均是常數(shù)(X是隨機變量)，y也是隨機變量，則。(4X+b)=/Q(X)

21、設4的分布列為

gi234

i111

p6633

又設“=2^+5,則七5)等于()

D

A[B/￥f

答案D

解析E?=lx1+2x1+3x1+4x1=(

E(〃)=E(2J+5)=2E(a+5=2叼+5=y.

22、已知隨機變量和小其中”=1紇+7,且改小=34,若4的分布列如表所示，則機的值為()

01234

11

Pmn

412

I

A-3B4C6D8

答案A

解析因為〃=12^+7,E(〃)=34,

則E(〃)=12E(②+7,

即EQ])=12x(1x1+2x〃?+3x〃+4x=)+7=34.

所以2〃?+3〃=*①

1I2

又[+機+"+五=1,所以機+〃=§,②

由①②，解得加=;.

23、設隨機變量X的分布列為

X-101

111

P236

若y=2x+2,則D(y)等于0

B9

c10\20

C.7D.至

答案D

解析由題意知，

E(X)=-Ix；+0x；+1x'=—

故D(X)=(-I+94+(。+知4+G

520

。(X)=Q(2X+2)=4D(X)=4x-=—

24、已知X的分布列如表所示：

X-101

1

Pa

2

⑴求X2的分布列；

(2)計算X的方差；

(3)若y=4x+3,求y的均值和方差.

解⑴由分布列的性質(zhì)知與+；+。=1,解得4=1,

所以X2的分布列為

X201

3

P4

(2)方法一由⑴知

所以E(X)=(-l)x1+Ox14-1x|=—1,

D(X)=(-l+1)4+(0+i)x|+(l+州=日

方法二由(I)知〃=：,

所以E(X)=(—l)x1+Ox1+lx|=—

133

-+X---

444

所以D(X)=E(X2)-fE(X)l2=]1.

(3)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,

D(y)=42D(X)=ll.

七、均值與方差的實際應用與方案設計問題

均值、方差在實際應用中的作用

均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.

方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定.

注意在決策中常結合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷.

25、受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關，

某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50

輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

品牌甲乙

首次出現(xiàn)故獐

0<A<l\<x<2x>20<A<2x>2

時間M年)

轎車數(shù)量(輛)2345545

每輛利潤(萬元)1231.82.9

將頻率視為概率，解答下列問題：

(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故隙發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；

(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)?輛甲品牌轎車的利潤為Xi，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,分

別求X|,X2的分布列；

(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的

角度考慮，你認為應該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由.

解(1)設“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A.典p(A)=-^~=-^.

(2)依題意得,X的分布列為

Xi123

139

P

2550io

X2的分布列為

1.82.9

x2

19

P

1010

39

(3)由⑵得￡(Xi)=lx而+2x岳+3飛=2.86(萬元).

1Q

E(X2)=1.8X—+2.9X—=2.79(^元).

???￡(XI)>E(X2),???應生產(chǎn)甲品牌轎車.

26、某地盛產(chǎn)臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級(每箱重量為5kg),某采購

商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得

到的數(shù)據(jù)如表:

等級珍品特級優(yōu)級一級

箱數(shù)10151510

⑴用分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中遁機抽取3箱，4表示隨機抽取

的3箱中是特級的箱數(shù)，求。的分布列及均值E?；

⑵利用樣本估計總體，該地提出兩種購俏方案供采購商參考:

方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；

方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表：

等級珍品特級優(yōu)級一級

售價(元/kg)25201510

從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？

解⑴用分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數(shù)為1(4舄=3,非特級品的箱數(shù)為10

-3=7,4的取值為0,123.

則…詈*5器磊

5尸詈哧尸(『尸翳忐

則占的分布列為

0123

72171

P244040120

721719

E?=°際+1幅+2＞而+3伺=而-

(2)方案一的單價為20元/kg,

設方案二的單價為小則〃的均值為

￡(〃)=25/+20號+15號+10號=17.5(元/kg),

因為17.5<20,所以從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應該采用方案二.

27、甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，旦野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)

內(nèi)每個季度發(fā)牛.違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為

甲保護區(qū):

0123

P0.30.30.20.2

乙保護區(qū):

2

01

P0.10.50.4

試評定兩個保護區(qū)的管理水平.

解甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為

E?=0x0.3+1x0.3+2x0.2+3x0.2=1.3,

D(^=(O-1.3)2XO.3+(1-1.3)2XO.3+(2-1.3)2XO.2+(3-I.3)2XO.2=I.21.

乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)77的均值和方差分別為

E(〃)=0x0.1+1x05+2x0.4=1.3,

。(小=(0-1.3)2X0.1+(1-1.3)2X0.5+(2-1.3)2X0.4=0.41.

因為E(0=E(〃)，D(a>D(/7),所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)的

違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定.

28、某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意

外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為A,B,C三類工種，從事這三類工種的

人數(shù)分別為12000,6000.2(XX),由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計賠付概率)：

工種類別ABC

101

賠付頻率訶

已知A,B,。三類工種的職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬

元、10()萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年1()萬元.

⑴求保險公司在該業(yè)務所獲利潤的均值；

⑵現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：

方案I：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付

給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的70%,職工個人負責保費的30%,出險后賠償金由保險

公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.

請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

解(1)設工種A,B,C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X,Y,Z,則X,匕Z的分布列分別為

X2525-lOOxlO4

1-七1

P不

Y2525-lOOxlO4

22

PF不

Z4040-50X104

1-備1

P

所以E(X)=25x(1—制+(25—100x104)x-^=15,

E(，)=25x(1-高)+(25—1OOxIO4)xj^=5,

E(Z)=40x(1一制+(40-50x104>j^4=-10,

保險公司所獲利潤的均值為120(X)x15+6000x5—2000x10—100000=90000,

所以保險公司在該業(yè)務所獲利潤的均值為9萬元.

⑵方案1：企業(yè)不與保險公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為12000x100x104x*+6

2?

00(漢10(僅10、市+2000x50x1(產(chǎn)力+12xl()4=46xlO4；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，見企業(yè)支出保險金額為

(12000x25+6000x25+2000x40)x0.7=37.lxl04.

因為46xl04>37.1xl04,

所以建議企業(yè)選擇方案2.

29、某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調(diào)研.項目4通信設備.根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有

可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為臺專，a項目B：新能源汽

車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為江

經(jīng)測算，當投入A,8兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等.

(1)求a,b,c的值；

(2)若將10()萬元全部投到其中一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的

項目，并說明理由.

解(1)依題意，得J^+\+a=l,解得

設投到項目A,4的資金都為工萬元，變量乂和X2分別表示投資項目A和4所獲得的利潤,

則M和X2的分布列分別為

X10.4.r-0.2A-0

7J,

P

126

%20.3x-OAx

pbc

,7||

所以E(Xi)=0.4%x五+(—021)x4+0x4=021,

￡(法)=0.3也丫一O.lcx,

因為E(X)=E(X2),

所以0.3/u-0.1cR=0.2r,

即-0.2.①

又b+c=l,②

31131

由①②，解得人=不c=/所以口=/1)=46?=不

(2)選擇項目及理由如下:

當投入100萬元資金時，由(1)知爐=100,

所以E(Xl)=E(X2)=20t

0(X1)=(40-20)2++(-20-20尾+(0-20)2x1=600,

31

0(X2)=(30-2O)2X-+(-10-20)2x-=300.

因為E(XI)=E(X2),Q(XI)>Q(X2),說明雖然項目A和項目4的平均收益相等，但項目4更穩(wěn)妥，所以從風

險回報穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目8

30、為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個

標有面值的球的袋中?次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

(1)若袋中所裝的4個球中有I個所標的面值為50元，其余3個均為1()元，求：

(I)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；

(II)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；

(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組

成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧

客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

解：(1)設顧客所獲的獎勵額為X.

(I)依題意，得尸(X=60)=宣=奈

即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為:.

(H)依題意，得X的所有可能取值為20,60.

P(X=60)=1,P(X=20)=.

即X的分布列為

X2060

11

P22

所以顧客所獲的獎勵額的期望為

E(X)=20x：+60x1=40(元).

(2)根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面

值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以

期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可

能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以

可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.

以下是對兩個方案的分析：

對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵額為Xi,則XI的分布列為

X2060100

121

P636

2112

Xi的期望為E(Xi)=20x-+60x-4-100x^=60,X]的方差為Q(X])=(20—60)2x1+(6()-60)2x§+(10()一

6。尾=竽

對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵額為X?,則X?的分布列為

X?406080

21

p

36

]21

X2的期望為E(%2)40x-+60+80x-=60,

X2的方差為。(、2)=(40—60)*+(60—60竭+(80—60說=券

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.

課后鞏固練習

】、已知離散型隨機變量4的分布列如表所示，則其均值等于0

gi35

p0.5m0.2

A.lB.0.6C.2+3/wD.2/

答案D

解析由分布列的性質(zhì)，得