專題7.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)目錄目錄 1一、5年高考?真題感悟 2二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析 15【課程標(biāo)準(zhǔn)】 15【考情分析】 15【2026考向預(yù)測】 16三、知識(shí)點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí) 16知識(shí)點(diǎn)1、直線與平面垂直的定義 16知識(shí)點(diǎn)2、判定定理 16知識(shí)點(diǎn)3、性質(zhì)定理 17知識(shí)點(diǎn)4、平面與平面垂直的定義 17知識(shí)點(diǎn)5、判定定理 18知識(shí)點(diǎn)6、性質(zhì)定理 18四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破 18考點(diǎn)1垂直關(guān)系的簡單判定 18考點(diǎn)2線線垂直的證明 21考點(diǎn)3線面垂直的證明 29考點(diǎn)4面面垂直的證明 36考點(diǎn)5面面垂直的綜合應(yīng)用 43五、必考題型?分層訓(xùn)練 55A、基礎(chǔ)保分 55B、綜合提升 61TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考?真題感悟1．（2025·天津·高考真題）正方體的棱長為4，分別為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可；（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離，再利用錐體的體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，易知，則也是平面的一個(gè)法向量，∴平面；（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，則D到平面的距離為，由棱錐的體積公式知：.2．（2025·全國一卷·高考真題）如圖,在四棱錐中，底面，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，且點(diǎn)，，，均在球的球面上．（i）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（ⅱ）求直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）.【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、求異面直線所成的角、證明面面垂直、異面直線夾角的向量求法【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長，過點(diǎn)作的平行線，交的延長線為，連接，，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而得出的長，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過點(diǎn)作的平行線，交的延長線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.3．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、證明面面垂直、由二面角大小求線段長度或距離【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)?，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．4．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見解析.(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)面距離、證明面面垂直【分析】(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.6．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)?，，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析【課程標(biāo)準(zhǔn)】（1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．（2）掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單的應(yīng)用．

【5年考情分析】5年考情分析考題示例考點(diǎn)分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）2024年新I卷，第17題,15分證明面面垂直一般2024年新Ⅱ卷，第17題,15分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直一般2023年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直較難2021年新I卷，第20題,12分線面垂直證明線線垂直面面垂直證線面垂直一般2021年新Ⅱ卷，第10題,5分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直簡單2021年新Ⅱ卷，第19題,12分證明面面垂直簡單【2026考向預(yù)測】選擇題、填空題中考查直線、平面位置關(guān)系判斷；解答題第一問中多考查平行、垂直的證明．證明一些空間位置關(guān)系，利用性質(zhì)定理、判定定理探究平行、垂直位置關(guān)系的存在性問題．三、知識(shí)點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1：直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．知識(shí)點(diǎn)2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言判斷定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a知識(shí)點(diǎn)3：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號(hào)語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直知識(shí)點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．知識(shí)點(diǎn)5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直__知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破考點(diǎn)1垂直性質(zhì)的簡單判定例1、（25-26高三上·河北衡水·開學(xué)考試）設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則能確定的一組條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,若，則可能平行，也可能相交或者異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,若，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,,則可能平行，可能異面，也可能相交，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,，又，故，故D正確，故選：D例2、（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）如圖，下列四個(gè)正方體中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點(diǎn)，則直線平面EFG的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、判斷線面是否垂直、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】補(bǔ)全截面，由正方體性質(zhì)及線面垂直的判定定理可判斷ABD正確，由與所成的角可判斷錯(cuò)誤.【詳解】如圖，在正方體中，設(shè)M，N，Q均為所在棱的中點(diǎn)，則E，F(xiàn)，M，N，Q，G共面，平面EFG與平面EFMNQG重合，因?yàn)椤推矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又分別為中點(diǎn)，所以，所以，又所以平面，所以.同理可得.又，所以直線平面EFMNQG，則直線平面EFG，A正確；同理可得，B，D正確；因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，中點(diǎn)，所以，所以是異面直線EF與所成的角，則，故，即EF與不垂直，故直線與平面EFG不垂直，C錯(cuò)誤．故選：ABD.【變式訓(xùn)練1】、（多選題）設(shè)、為兩條直線，、為兩個(gè)平面，，，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷線面平行、判斷線面是否垂直、線面平行的性質(zhì)【分析】根據(jù)線線，線面的平行和垂直關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：根據(jù)線面平行的判斷定理，可知A正確；B選項(xiàng)：若，則直線只與平面的一條直線垂直，不滿足線面垂直的判斷定理，所以直線不垂直于平面，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可知C正確；D選項(xiàng)：若，因?yàn)椋裕瑒t，故D正確.故選：ACD.【變式訓(xùn)練2】、（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知為不同的兩點(diǎn)，是空間中三個(gè)不同的平面，是空間中三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則直線【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，若，則，且，又，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，又，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則直線，又，所以直線或直線與相交，故D錯(cuò)誤．故選：D．考點(diǎn)2線線垂直的證明例3、（2025·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，，.(1)求證：；(2)若三棱錐的外接球表面積為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法【分析】(1)根據(jù)勾股定理證得,由平面推得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而得到．(2)由三棱錐的外接球表面積為，求得的長度，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，即可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形?在中，，.由余弦定理可得，DB所以，所以為直角三角形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）由(1)知，兩兩垂直，所以三棱錐的外接球的直徑長為DA2+DB故π?DD1因?yàn)锳1D1=1,由平面，知點(diǎn)在底面的投影是的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則B10,所以B1設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則n?B1令，則為平面的一個(gè)法向量.易知平面的一個(gè)法向量為，則cosm即平面與平面夾角的余弦值為.例4、（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，四邊形為正方形，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若，，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法【分析】（1）先證平面，根據(jù)線面垂直的概念可得線線垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的正弦值.【詳解】（1）連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)槠矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）取中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉檎切?，為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.取中點(diǎn)，則為外接圓的圓心.又因?yàn)樵谕粋€(gè)球面上，所以平面.因?yàn)闉檎叫?，為正三角形，，所以，設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，解得，所?.平面的法向量為.因?yàn)?所以直線與平面所成角正弦值為.【變式訓(xùn)練3】、（2025·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)滿足．將沿翻折至，使得．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法【分析】

（1）根據(jù)題意先計(jì)算，利用余弦定理可得，結(jié)合勾股定理有，根據(jù)翻折的不變關(guān)系和線面垂直的判定定理證得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）利用空間向量法計(jì)算線面夾角；【詳解】（1）由題意可知，，又，所以由余弦定理得，故．又，所以．由及翻折的性質(zhì)知，又，平面，所以平面，又平面，所以（2）如圖所示，連接，由題可知，，故．又，所以，故．又平面，所以平面．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．由得，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即,令，則．設(shè)直線與平面所成角為，，則．故直線與平面所成角的余弦值為．【變式訓(xùn)練4】、（2025·江西新余·模擬預(yù)測）在多面體ABCDE中，平面平面為等邊三角形，四邊形ABCD為平行四邊形，M，N分別為AD，BE的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求直線MN與平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法【分析】（1）連接，過作，垂足為，過作，垂足為，由題意得到，利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊的邊長為2，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，通過證明即可證得；（2）由（1）求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面ACE的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，根據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，過作，垂足為，過作，垂足為，∵為等邊三角形，N分別為BE的中點(diǎn)，∴∵平面平面平面平面平面，∴平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊的邊長為2，則設(shè)則∵四邊形ABCD為平行四邊形，M為AD的中點(diǎn)，所以.,,∵，所以，即.

（2）由（1）知,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取則，所以是平面的一個(gè)法向量..所以直線MN與平面ACE所成角的正弦值為.考點(diǎn)3線面垂直的證明例5、（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）在平面中，我們把兩兩相交又沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，稱為完全四邊形.如圖，在完全四邊形中，，.將和分別沿BD，DF翻折至和，使得.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）根據(jù)全等得到，結(jié)合可得，，從而，得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，計(jì)算出兩個(gè)法向量的余弦值，進(jìn)而求出二面角的正弦值【詳解】（1）因?yàn)?，所?因，所以，從而.即，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，平面，故平面；?）由（1）知，平面，又平面，所以，，又，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，因?yàn)?，則，則，，，.所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，所以平面的一個(gè)法向量可取為.又因，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.所以，設(shè)二面角的大小為，則，從而二面角的正弦值為.

例6、（2025·全國·模擬預(yù)測）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了一種幾何體“芻薨（méng）”，中國傳統(tǒng)房屋的頂部大多都是“芻薨”，如圖所示的五面體為一個(gè)芻薨，其六個(gè)頂點(diǎn)分別為.四邊形為矩形，，，，為的中點(diǎn)，平面平面.(1)求證：平面；(2)若平面平面，且與直線所成角為，求二面角所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面垂直證線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可得線面垂直，由線面垂直性質(zhì)定理可得線線垂直，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積可得線線垂直，利用線面垂直判定定理，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，且為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在矩形中，，，由，，，即，則，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）在矩形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，即，由與的夾角為，則，在中，易知，則，在矩形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，取的中點(diǎn)為，連接，易知兩兩垂直，由，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，取，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)二面角的平面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，則.【變式訓(xùn)練5】、（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面；(2)若二面角的正切值為，求四棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的余弦值的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直、求線面角【分析】（1）延長交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）由二面角的定義可知二面角的平面角為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)二面角的正切值可求出的長，即可得出點(diǎn)到平面的距離，再利用錐體體積公式可求得四棱錐的體積；（3）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知與平面所成的角為，再結(jié)合正弦定理可得出的正弦值的最大值，進(jìn)而可得出直線與平面所成角的余弦值的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，所以，所以，因?yàn)?，則，在底面中，，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故為的中點(diǎn)，因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，即，故，因?yàn)?，、平面，故平?（2）由（1）可知，因?yàn)槠矫?，、平面，故，，所以，二面角的平面角為，因?yàn)椋?，所以，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，則，故，由勾股定理可得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.由（1）可知，因?yàn)?，因?（3）因?yàn)?，故直線與平面所成角等于與平面所成的角，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，、平面，故平面，所以，與平面所成的角為，在中，，，由正弦定理得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為，即直線與平面所成角的余弦值的最小值為.【變式訓(xùn)練6】、如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用三角形相似證得，結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求解夾角余弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，所以與相似，故，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以.

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，此時(shí)，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.考點(diǎn)4面面垂直的證明例7、（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的菱形，平面，，，點(diǎn)為線段上的三等分點(diǎn).

(1)證明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案；（2）連接，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）因?yàn)樗睦忮F中，底面是邊長為3的菱形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由，平面，得平面，又平面，所以平面平面；?）連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，所以，所以二面角的余弦值為.

例8、（24-25高一下·遼寧大連·期末）如圖，平面四邊形中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，且，，，沿著將三角形折疊得到四棱錐，折疊后．(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的正切值；(3)若，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為，證明：當(dāng)球的半徑最小時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問題、證明面面垂直、求二面角【分析】（1）由圖翻折可知，，再利用面面垂直的判定證明即可；（2）過點(diǎn)作交于，通過證明平面，得到為二面角的平面角，再求正切值即可；（3）設(shè)和的外心分別和，則球心為過點(diǎn)和且分別垂直于平面、平面的兩直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作于，連接，可知四邊形為矩形，設(shè)，通過計(jì)算可得外接球半徑，當(dāng)時(shí)，球的半徑最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合即可證明.【詳解】（1）在四邊形中，因?yàn)?，所以折疊后有，．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由題意，又，故，過點(diǎn)作交于，則，連接，，因?yàn)槠矫嫫矫?，面面，平面，且，所以平面．因?yàn)槠矫妫?，同理，因?yàn)?，，，所以由余弦定理得，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角．所以在中，，所以平面與平面夾角的正切值為．（3）由（1）知平面平面，設(shè)和的外心分別和，因?yàn)?、、、均在以為球心的球面上，則球心為過點(diǎn)和且分別垂直于平面、平面的兩直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作于，連接，設(shè)，顯然四邊形為矩形，所以．在中，設(shè)（），由及余弦定理得，再由正弦定理得的外接圓半徑．在中，，，，由余弦定理得，再由正弦定理得的外接圓半徑．所以，即，所以，故當(dāng)時(shí)，球的半徑最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)在平面內(nèi)．【變式訓(xùn)練7】、（2025·海南三亞·一模）在多面體中，為平行四邊形，平面，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)已知多面體的體積為，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面；（2）由，利用錐體的體積公式，求得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫媲颐?，所以，又因?yàn)?，可得因?yàn)榍颐?，則平面又因平面面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)?，由?）可知三棱錐中，由面，則解得，由（1）可知，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由（1）可知，，可得，則，設(shè)面的法向量，則，令，可得，所以，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.【變式訓(xùn)練8】、（2025·海南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，與底面的夾角為，且是線段上的點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、證明面面垂直、線面垂直證明線線垂直、已知線面角求其他量【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定性質(zhì)得，再結(jié)合余弦定理，線面垂直的判定、面面垂直的判定推理得證.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面夾角的向量求法列式求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)O，連接，由是等邊三角形，是等腰三角形，得，，又平面，則平面，而平面，于是平面平面，在平面內(nèi)射影為直線，即為與底面的夾角，，由正邊長為4，，得，，在中，由余弦定理得，而，解，因此，，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，由與平面所成角的正弦值為，得，整理得，而，解得，所以考點(diǎn)5面面垂直的綜合應(yīng)用例9、（2023·北京·三模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，且底面是矩形，，．

(1)求證：平面平面；(2)從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的大?。畻l件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析；(2)．【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、求二面角、面面角的向量求法【分析】（1）由平面平面，可得平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）選條件②或③：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，進(jìn)而可證得，，，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，可求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以．又平面平面，且平面與平面相交于，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）選條件①由（1）知，，在等腰中，頂角不確定，由無法求出，則都不確定，因此不能求出二面角的大小，即①不可選.選條件②取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）知，平面，所以．因?yàn)榫匦沃?，，所以平面，所以，所以和都是直角三角形．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，又平面，所以平面，所以平面一個(gè)法向量為．設(shè)平面法向量，，，由，可以?。O(shè)二面角為，則．由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為．選條件③取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）知，平面，因?yàn)榫匦沃?，，，所以平面，所以和都是直角三角形，因?yàn)?，，所以，又，，所以，所以在直角三角形中，，所以如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，所以平面一個(gè)法向量為．設(shè)平面法向量，，，由，可以?。O(shè)二面角為，則．由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為．例10、（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)．(1)若F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面PBC；(2)若F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)F使得平面AEF，說明理由；(3)若F為線段DC的中點(diǎn)，，過A、E、F三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)G，求四棱錐與的體積之比．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析(3)．【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、補(bǔ)全線面平行的條件、證明面面垂直、空間向量共面求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面平面PBC；（2）連接AC，BD交于點(diǎn)O，得到O為BD的中點(diǎn)，證得，利用線面平行的判定定理，證得平面ACE，進(jìn)而得到點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，直線平面AEF，得到結(jié)論；（3）連接EF，則四棱錐可分為和兩個(gè)三棱錐，利用錐體的體積公式，求得四棱錐的體積，再由點(diǎn)G為PC的靠近C的三等分點(diǎn)，分別求得和，根據(jù)，求得即可得到答案．【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)?，且E為線段PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，因?yàn)椋?，且AB，平面PAB，所以平面PAB，又因?yàn)槠矫鍼AB，所以，因?yàn)?，且PB，平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC；（2）存在，理由如下：如圖所示，連接AC，BD交于點(diǎn)O，可得O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍭CE，平面ACE，所以平面ACE，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)平面AEF，即在BC上存在點(diǎn)F，使得平面AEF．（3）如圖所示，連接EF，則四棱錐可分為和兩個(gè)三棱錐，因?yàn)?，且底面ABCD，所以四棱錐的體積為，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，，，，設(shè)，其中，則，因?yàn)锳，E，G，F(xiàn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y使得，即，可得，解得，即，所以G為PC的靠近C的三等分點(diǎn)，因?yàn)镕為線段DC的中點(diǎn)，可得，即，又因設(shè)E到平面PCD的距離為d，B到平面PCD的距離為d1，則，所以，又因?yàn)镕為線段DC的中點(diǎn)，且平面PAB，因?yàn)?，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，所以F到平面PAB的距離等于C到平面PAB的距離，此時(shí)距離為，則，所以，所以．【變式訓(xùn)練9】、（2025·山東淄博·三模）在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，在上，，在上，,在上，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，、分別是二面角和二面角的平面角.(1)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，

(i)證明:平面；(ii)為底面(包括邊界)內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且到平面的距離等于到直線的距離，最大時(shí),確定的位置；(2)當(dāng)最小時(shí)，求.【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)在上，且；(2).【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正切公式化簡、求值、證明線面垂直、求點(diǎn)面距離、求二面角【分析】（1）(i)建系，通過可證；(ii)確定的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在四邊形內(nèi)部部分（包括邊界），由，結(jié)合最大時(shí)，最大即可求解；（2）作，連接，得到,.設(shè)，再由兩角和的正切公式得到進(jìn)而可求解.【詳解】（1）(i)因?yàn)?，所以，所以，又底面為平行四邊形，所以底面為矩形，因?yàn)闉橹彼睦庵?，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,則，所以，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面；(ii)因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過在底面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，即到平面為，到直線的距離為，由題可知，由拋物線定義知的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在四邊形內(nèi)部部分（包括邊界），以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，線段中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易得拋物線方程為：，設(shè)，，最大時(shí)，最大，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，最大，即最大，此時(shí)在上，且.（2）作，連接，因?yàn)?，且為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以，由直角三角形面積易得：，因?yàn)?，為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，同理，所以，所以四邊形是矩形，所以，因?yàn)?，所以，所以二面角的平面角即?同理二面角的平面角即為.當(dāng)與（或）重合時(shí)，，，當(dāng)當(dāng)不與（或）重合時(shí)，設(shè)，，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，最小時(shí)，最小，此時(shí)，綜上.【變式訓(xùn)練10】、（2025·山東·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，與所在的平面垂直，，是上的一動(dòng)點(diǎn)（不同于），為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．

(1)求證：(2)當(dāng)時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、求線面角、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面，平面進(jìn)而得出線面垂直；（2）應(yīng)用異面直線所成角結(jié)合余弦定理計(jì)算求解；（3）先根據(jù)線面垂直得出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而結(jié)合基本不等式得出正弦值為．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以

又因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?）因?yàn)?，所以，所?/p>

又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，為的中點(diǎn)，所以

取的中點(diǎn)為，連接，則，且，所以為異面直線，所成的角或其補(bǔ)角

在直角中，，所以，在中，，所以，直線與直線所成角的余弦值為．（3）設(shè)，則，

設(shè)，則．過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由于是確定的，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，即為點(diǎn)到平面的距離最大，即點(diǎn)到平面的距離最大．過點(diǎn)向作垂線，垂足為，又因?yàn)槠矫?，所以，平面，所以平面，所以為點(diǎn)到平面的距離．故，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

此時(shí)，，則點(diǎn)到平面的距離為，故直線與平面所成角的正弦值為．

五、分層訓(xùn)練1．設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，在正方體中，記為，為，為，平面為，則有，但與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，又，存在，滿足，因?yàn)?，則，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖，在正方體中，記為，平面為，記為，平面為，則有，但平面平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：B2．（多選題）如圖是棱長為2的正方體的平面展開圖，其中是的中點(diǎn)，在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．與平行B．C．直線、、中，任意兩條都是異面直線D．過，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、平面的概念及其表示、異面直線所成的角的概念及辨析【分析】由題意還原正方形，根據(jù)幾何性質(zhì)以及異面的概念，結(jié)合共面判定與菱形性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意還圖可得對(duì)于A，由，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，故B正確；對(duì)于C，由，，則兩兩異面，故C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：由分別為的中點(diǎn)，則，所以四邊形為菱形，即共面，故菱形為所求截面，易知，，則面積為，故D正確.故選：BCD.3．（2025·山西晉城·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是邊長為的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.

(1)求證：；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)此時(shí)所在的位置.【答案】(1)證明見解析(2)(3)當(dāng)點(diǎn)在線段上靠近點(diǎn)的處時(shí)，直線與平面所成的角最大，最大角的正弦值為【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求cosx(型)函數(shù)的值域、證明線面垂直、求線面角、求二面角【分析】（1）由題意得到平面，即得，再由可證平面，由線面垂直可得；（2）過在平面內(nèi)作于，連接，證明平面，得到為二面角的平面角，在中，利用三角函數(shù)的定義求解即得；（3）由平面得到到平面的距離即為到平面的距離，利用等體積求得，設(shè)直線與平面所成的角為，求得，推得當(dāng)時(shí)，最小，從而