2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，24題(含選做題)，全卷滿分150分，考試用時120分鐘。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

(I)設(shè)集合A={X|，-4X+3V0},8={X|2X—3>0},則()

3333

(A)(—3,—)(B)(-3,—)(C)(1,一)(D)(—,3)

222

(2)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中是實(shí)數(shù),則,+)9=()

(A)1(B)V2(C)V3(D)2

(3)己知等差數(shù)列｛七｝前9項的和為27,《0=8，則《00=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

(4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車

站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()

II93

(A)—(B)—(C)—(D)一

3234

(5)已知方程---------g—二1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則〃的取值范圍是

nr+n3nr-n

()

(A)(-1,3)(B)(-1,V3)(C)(0,3)(D)(0,5

(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓

中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是一，則它的

3

表面積是()

(A)174(B)18%

(C)207(D)28%

(7)函數(shù))=2——6國在［-2,2］的圖像大致為()

(A)

的距離為()

(A)2(B)4(C)6(D)8

Cl)平面a過正方體ABC。-A烏GA的頂點(diǎn)A,a〃平面C⑸R,afl平面aD平

面ABHJA=〃，則/幾〃所成角的正弦值為()

(A)—(B)—(C)—(D)-

2233

(12)已知函數(shù)/'a)=sin(@r+0)(0>O，M?巳)，x=-2為f(x)的零點(diǎn)，工=工為)，二八不)圖像

1244

的對稱軸，且/⑴在(C,2)單調(diào)，則。的最大值為()

1836

2

(A)11(B)9(C)7(D)5

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)~(21)題為必考題，每個試題考生都必需作答。第(22)

~(24)題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

二,填空題：本題共4小題，每小題5分。

(13)設(shè)向量力=(1,2),且|。+方F=|aF+|/>F，則.

(14)(2x+J7)5的綻開式中，/的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)

(15)設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿意q+%=1°，生+4=5,則％出…%的最大值為.

(16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品3須要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A須要甲材料1.5kg,

乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B須要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A

的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元，該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超

過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(17)(本小題滿分12分)AAZ?。的內(nèi)角A,",C的對邊分別為,己知2cosc(acosU+bcosA)—c.

(I)求C；

(H)若c=J7,AABC的面積為38,求A45C的周長.

2

(18)(本小題滿分12分)如圖，在以為頂點(diǎn)

的五面體中，面為正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,

且二面角。一A/一E和二面角。一BE-b都是60\

(I)證明：平面平面EFOC：

(II)求二面角E—8C—A的余弦值.

(19)(本小題滿分12分)某公司安排購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器運(yùn)用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零

件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器運(yùn)用期間，假如備件不足再購

買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器

在三年運(yùn)用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

3

頻數(shù)▲

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替I臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺

機(jī)器三年內(nèi)共須要更換的易損零件數(shù)，〃表示購買兩臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).

(I)求X的分布列；

(II)若要求求0.5,確定/I的最小值;

(III)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),，在片19和〃=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？

(20)(本小題滿分12分)設(shè)圓％2+/+2X一］5=0的圓心為4,直線/過點(diǎn)8(1,0)且與x軸不重合,

/交圓4于C,。兩點(diǎn)，過3作AC的平行線交4。于點(diǎn)E.

(I)證明|￡4|+|￡可為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G，直線/交G于M,N兩點(diǎn)，過8且與/垂直的直線與圓A交于P,Q兩

點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(幻=*-2)-+。。-1)2有兩個零點(diǎn).

(I)求。的取值范圍：

(II)設(shè)m,々是/(幻的兩個零點(diǎn)，證明：玉+々＜2.

請考生在第(22)、(23)、(24)題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分。

(22)(本小題滿分10分)選修4—1：幾何訐明選講

如圖，AOAB是等腰三角形，408=120°.以O(shè)為圓心,

為半徑作圓.

2

(I)證明直線A8與。。相切：

(II)點(diǎn)C,。在。O上，且四點(diǎn)共圓，

證明：AB//CD.

(23)(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

4

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為＜x=acost.（，為參數(shù)，。＞0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

y=1+asinz

,E軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：夕=4COS8.

（I）說明G是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標(biāo)方程；

（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為8=4，其中/滿